Bài viết Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học phương trình nghiệm nguyên ở trường phổ thông trình bày về vấn đề rèn luyện các thao tác tư duy đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá cho học sinh trong dạy học phương trình nghiệm nguyên ở trường phổ thông.
Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TRAINING OF THINKING ACTIVITIES FOR STUDENTS THROUGH TEACHING ABOUT FINDING THE INTEGER SOLUTIONS OF EQUATIONS AT HIGH SCHOOLS Nguyen Thi Kieu Nga Hanoi Pedagogical University 2, Vietnam Email address: nguyenthikieunga@hpu2.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/742 Article info Abstract: Received: 5/3/2022 In teaching math, students' thinking operations training plays a significant role in developing students' thinking capacity This article presents the training process of specialization, analogization, and generalization for high school students in teaching equations with integer solutions Revised: 15/4/2022 Accepted: 1/6/2022 Keywords: Specialization, familiarization, generalization, integer solutions of equations 14 Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Nguyễn Thị Kiều Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2, Việt Nam Email address: nguyenthikieunga@hpu2.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/742 Thơng tin viết Tóm tắt Ngày nhận bài: 5/3/2022 Trong dạy toán, việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh có vai trị quan trọng việc phát triển lực tư cho người học Bài báo trình bày vấn đề rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá cho học sinh dạy học phương trình nghiệm nguyên trường phổ thông Ngày sửa bài: 15/4/2022 Ngày duyệt đăng: 1/6/2022 Từ khóa: Đặc biệt hố, tương tự hố, khái qt hố, phương trình nghiệm ngun MỞ ĐẦU: Mơn Tốn mơn học có vai trị quan trọng việc phát triển tư cho học sinh Vì thế, người giáo viên dạy học tốn, ngồi việc cung cấp kiến thức tốn học việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh cần thiết Theo G.Polya [4] tác giả [2], [6], [7] thao tác tư bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá Các thao tác tư Nguyễn Bá Kim [2] số tác giả khác gọi hoạt động trí tuệ Trong q trình dạy học tốn, chúng tơi nhận thấy việc sử dụng thành thạo thao tác tư khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa vận dụng để dự đốn kết tốn, tìm phương hướng giải tốn để mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức Từ tốn cho học sinh vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hoá để đề xuất giải toán mới, hình thành tri thức Các thao tác tư kích thích người học tìm tịi, khám phá, phát triển khả phán đoán, tưởng tượng…Trên sở học sinh hiểu vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, mở rộng vốn kiến thức tiền đề để hình thành tư sáng tạo cho người học Phương trình ngiệm nguyên dạng tốn khó phổ thơng thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp Các tốn phương trình nghiệm ngun đa dạng số tốn có phương pháp giải tổng qt, cịn lại tốn lại có cách giải khác Do giải tốn phương trình nghiệm ngun, địi hỏi người học phải có kiến thức, kỹ tốt khả vận dụng kiến thức linh hoạt Vì dạy học phương trình nghiệm nguyên, giáo viên rèn luyện thao tác tư cho học sinh để phát triển lực tư cho người học Trong báo này, đề cập đến vấn đề rèn luyện thao tác tư duy: đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá dạy học phương trình nghiệm ngun trường phổ thơng Nội dung báo 15 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 trình bày Mục Mục 2.1 chúng tơi trình bày rèn luyện thao tác tư đặc biệt hố Mục 2.2 trình bày rèn luyện thao tác tư tương tự hoá Mục 2.3 trình bày rèn luyện thao tác tư khái quát hoá NỘI DUNG 2.1 Rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá Theo G Polya [4]: “Đặc biệt hoá việc chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho” Điều có nghĩa mệnh đề trường hợp tổng quát trường hợp cụ thể, mệnh đề sai trường hợp cụ thể mệnh đề tổng quát sai Đặc biệt hoá chuyển từ chung, tổng quát riêng Chẳng hạn tốn có chứa tham số, biến số, ta đặc biệt hố giá trị cụ thể phù hợp Hay chuyển việc nghiên cứu đa giác sang nghiên cứu đa giác đều… Khi giải phương trình nghiệm nguyên, khơng phải tốn giải cách dễ dàng Khi giải toán trường hợp đặc biệt Việc xét trường hợp đặc biệt tìm gợi ý tốt để tìm phương án giải toán tổng quát, xây dựng nhiều toán đặc biệt Nhiều việc giải toán trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải toán cho, việc giải phần tốn có giá trị Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình (1) với k số nguyên xk y k z k t k Giải: Ta xét toán trường hợp đặc biệt Khi tốn trở thành: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 1 1 (2) x2 y z t Vì x, y, z, t ngun dương nên khơng giảm tính tổng quát, giả thiết x y z t Đặt 1 1 A x y z t A Suy y2 z t phương trình vơ nghiệm Do x Suy Nếu 1 1 x y z t Nếu t A x y z 1 1 1 Mặt khác ta có , , Suy x y z 31 Do phương trình vơ nghiệm 36 Vì t Suy x y z t Vậy phương A trình có nghiệm x, y, z, t 2, 2, 2,2 Từ cách giải toán trường hợp đặc biệt k 2, ta có cách giải đối toán ban đầu sau: * Nếu k vế trái Do phương trình vơ nghiệm * Nếu k vế trái xk y k z k t k Suy phương trình vơ nghiệm * Xét trường hợp k Vì x, y, z, t nguyên dương nên khơng giảm tính tổng qt ta giả thiết x y z t Đặt A 1 1 xk yk z k t k Nếu x A Suy yk zk t k phương trình vơ nghiệm Do x Suy x y z t Từ xk y k z k t k Suy A 1 1 4 k k k k Hay k k x x y z t x Điều tương đương với x k Do k Vì k nên k k * Nếu k phương trình trở thành 1 1 Suy phương trình có x2 y2 z t nghiệm x, y, z, t 2, 2, 2, * Nếu k phương trình trở thành 1 1 A Lập luận tương tự ta x y z t 1 1 4 có Nếu x A x y z t x Do phương trình vơ nghiệm Suy x Hay x 2,3, + Nếu x A B 1 1 Suy y z t 1 1 Nếu y B z t y z t Suy phương trình vơ nghiệm Do y Mặt 1 Vì Suy y z t y y y Do y Hay y 3, 4,5, khác B Xét trường hợp y lập luận tương tự ta nghiệm phương trình 16 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 hoán vị (2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,3,12,12), (2,4,5,20), Từ cách giải toán trường hợp đặc biệt để ý nhân tử vế trái phương (2,4,6,12), (2,4,8,8), (2,5,5,10), (2,6,6,6) trình có k k k k , ta có cách giải * Nếu x A Suy y z t toán (*) sau: 1 Do x y z t nên y z t y z t Mặt khác Suy y Hay y z t y y 3, Xét trường hợp y lập luận tương B tự ta có nghiệm phương trình hốn vị 3,3, 4,12 , 3,3, 6, , 3, 4, 4,6 * Nếu x phương trình có nghiệm (4,4,4,4) Kết luận: - Nếu k phương trình vơ nghiệm - Nếu k phương trình có nghiệm (4,4,4,4) hốn vị (2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,3,12,12), (2,4,5,20), (2,4,6,12), (2,4,8,8), (2,5,5,10), (2,6,6,6), phương trình có nghiệm (2,2,2,2) - Nếu k phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho k số tự nhiên khác Tìm nghiệm nguyên phương trình: x k ( x k 1)( x k 2)( x k 3) y 2k * Giải: Ta xét tốn với Khi tốn trở thành: Tìm nghiệm nguyên phương trình x ( x 2)( x 3)( x 4) y (**) Phương trình (**) tương đương với x x x2 5x y Đặt a x 5x Khi phương trình trở thành a 1 a y Suy a y Do a y a y Vì a y a y số nguyên nên điều xảy a y a y 1 Do a y a y a y 1 a y Suy y Thay vào phương trình (**) ta có x ( x 2)( x 3)( x 4) nghiệm phương 1,0 , 2, , 3,0 , 4, Đặt a x 2k x k 3k , t y k Khi phương trình trở thành a a t Lập luận tương tự ta có nghiệm phương trình k ,0 , k 1,0 , k 2,0 , k 3,0 2.2 Rèn luyện thao tác tư tương tự hoá Theo G Polya [4]: “Tương tự kiểu giống Những đối tượng giống phù hợp với mối quan hệ đó” Tác giả Chu Cẩm Thơ [5] cho rằng:“Tương tự thao tác tư dựa giống tính chất quan hệ đối tượng toán học khác nhau” - Hai toán tương tự đường lối, phương pháp giải giống - Hai hình tương tự có nhiều tính chất giống hay vai trò chúng giống vấn đề đó, hay phần tử tương ứng chúng có quan hệ giống - Nhiều trình mở rộng, tập hợp đối tượng có thuộc tính tương tự, từ ta suy đốn tính chất từ tập hợp sang tập hợp khác Khi dạy học toán, tương tự thao tác phổ biến mà giáo viên thường dùng để hướng dẫn học sinh giải dạng toán có tương đồng cách giải Từ học sinh phát tương tự tốn, sở học sinh rút cách giải chung cho dạng tốn Vì thế, giải phương trình nghiệm nguyên, giáo viên cần hướng dẫn học sinh xét yếu tố tương tự toán cần giải với toán cho Nhờ đó, học sinh “quy lạ thành quen”, biến đổi toán phức tạp thành toán đơn giản biết, từ góp phần phát triển tư cho học sinh q trình học tập Ví dụ 3: Tìm nghiệm ngun phương trình Do x 1, x 2, x 3, x 4 Vậy x 2k x k 3k x 2k x k 3k y k Chúng ta thường xét tương tự tốn học khía cạnh sau: (3,3,4,12), (3,3,6,6), (3,4,4,6) - Nếu Phương trình * tương đương với x y 3z2 (*) trình Giải: Vế phải phương trình 3z mod Với số nguyên x, ta có 17 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 Với số nguyên x, ta có x mod x2 mod x mod Suy ra, với số nguyên x, y x y mod3 , x2 mod Do lập luận tương tự Ví dụ x2 y mod , x y mod ta có 0,0,0 nghiệm phương trình Do để phương trình có nghiệm vế trái phương trình x y mod3 Điều xảy Giáo viên u cầu học sinh giải tốn tương tự mức khó Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x mod y mod Suy x x1 , y y1 Do Vì n số tự nhiên khác 0, nên n 1 2 mod Do z z mod phương trình trở thành x y z Suy z mod Vì z 3z1 Do ta có Suy z mod z mod Mặt phương trình x12 y12 z12 Lập luận tương tự khác x y mod , x y mod , 2 x2 n1 với x y mod Do để phương trình có x y z , y2 , z2 với x2, y2, z2 3 nghiệm vế trái phương trình x y mod Lập luận tương tự hai ví ta có x1 x2 , y1 y2 , z1 3z2 số ngun Tương tự ta có phương trình dụ ta có x y z xn2 yn2 zn2 xn n , yn n , zn n 3 với xn, yn, zn số nguyên, với n số tự nhiên Điều xảy x, y, z 0,0,0 phương trình Ngược lại ta thấy 0,0, nghiệm phương trình Do phương trình có nghiệm 0, 0,0 Từ Ví dụ 3, giáo viên yêu cầu học sinh giải tốn sau: Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình x y 4z (**) Học sinh dễ dàng nhận thấy, vế trái phương trình (*) (**) giống nhau, vế phải phương trình (*) z mod Do học sinh 0,0,0 nghiệm 2.3 Rèn luyện thao tác tư khái qt hố Theo Hồng Chúng [1]: “Khái qt hố dùng trí óc tách chung đối tượng tượng, kiện Muốn khái quát hoá, thường phải so sánh nhiều đối tượng, tượng, kiện với nhau” Tác giả Đào Văn Trung [6] cho “Từ vật khác nhau, tìm tính chất chung chúng quy kết lại, phương pháp tư gọi khái qt hố” Chúng tơi đồng ý với quan điểm Nguyễn Bá Kim [3] rằng: có hai dạng khái qt hố mơ tả chúng theo sơ đồ sau: giải tương tự Ví dụ sau: Khái quát hoá Khái quát hoá từ riêng lẻ đến tổng quát Khái quát hoá từ tổng quát biết 18 Khái quát hoá từ tổng quát đến tổng quát Khái quát hoá từ tổng quát chưa biết Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 Như vậy, khái quát hoá xem thao tác tư phức tạp, trình bao quát nhiều đối tượng khác thành loại, nhóm dựa sở số dấu hiệu thuộc tính giống sau gạt bỏ dấu hiệu khác riêng lẻ Khái quát hoá đặc biệt hoá hai thao tác tư trái ngược Nhờ đặc biệt hố học sinh giải toán dễ dàng Nhờ khái quát mà học sinh nhìn nhận vấn đề cách có hệ thống hơn, toàn diện Thao tác tư khái quát hoá tiền đề để học sinh phát triển lực tư sáng tạo Do vậy, dạy học toán, giáo viên nên thường xuyên luyện tập cho học sinh khả khái qt hố tốn từ tốn cho Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên nghiệm Cách 2: Thay ẩn x, y, z phương trình n ẩn thay p biểu thức khơng chia hết cho p Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! y Giải: - Nếu x phương trình trở thành 1! y Suy y 1 Do phương trình có nghiệm 1, 1 , 1,1 - Nếu phương trình trở thành 1! 2! y Suy y Hay y Do x3 y z x y z 2023 phương trình vơ nghiệm Giải: 1! 2! 3! y Suy y Do y 3 Vì x y z x y z 2023 3 phương trình có nghiệm 3,3 , 3, 3 Hay x x y y z z 2023 3 Vì x x x x x y y, z z chia hết x x y y z z 3 tích số cho Suy chia hết cho Nhưng 2023 khơng chia hết cho Vì phương trình vơ nghiệm Ta khái qt hố toán theo nhiều cách Cách 1: Theo Định lý Fermat nhỏ “Nếu p số a số nguyên không chia hết cho p a chia hết cho p ” Định lý phát biểu dạng tương đương “Nếu p số nguyên tố p 1 nguyên tố x phương trình trở thành - Nếu nguyên liên tiếp nên chia hết cho Tương tự x phương trình trở thành - Nếu Phương trình tương đương với x Suy x p y p z p x y z p Nhưng p không chia hết cho p Do phương trình vơ a số nguyên a a chia p hết cho p ” Do ta có tốn sau: Ví dụ 7: Cho p số ngun tố Giải phương trình nghiệm nguyên x p y p z p x y z ( p 1) Giải: Phương trình tương đương với 1! 2! 3! 4! y Suy y 33 Do y 33 Vì phương trình vơ nghiệm - Nếu x từ 5!, 6!,7!, Do Mặt khác y , x! có tận có tận khơng có tận Suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm 1,1 , 1, 1 , 3,3 , 3, 3 Từ Ví dụ khái qt hố tốn theo nhiều cách Cách Cho số mũ y số chẵn Ta có tốn sau: Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! y z , với z số tự nhiên khác Giải: Ta có y2 z y z z Đặt y t Khi phương trình trở thành 1! 2! x! t (*) Lập luận tương tự Ví dụ ta có: Mặt khác x p x p, y p y p, z p z p với - Nếu phương trình (*) trở thành 1! t Suy t 1 Suy y z y z 1 19 Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 y với z số tự nhiên + Nếu y z khác + Với x A 5913 33.(3.73) chia hết cho 33 Nhưng 3.73 khơng có dạng t z 1 (do z ) Suy phương trình vô nghiệm y 1 với z chẵn + Nếu y z 1 y 1 z lẻ Trong trường hợp phương trình có nghiệm 1,1, z ,(1, 1, z) + Với x A 5913 40320 33.3.73 32.27.7.5 không chia hết cho 33 Suy phương trình vơ nghiệm 1! 2! t Suy t Hay t Do phương trình vơ nghiệm chia hết cho 33 Mà khơng chia hết cho 33 Suy không chia hết cho 33 Suy phương trình vơ nghiệm - Nếu x ta có 1! 2! 3! t Suy Do với x phương trình vơ nghiệm Vì - Nếu phương trình trở thành t Hay t 3 Suy y y 3 z z y z 1; Nếu y 3 Nếu y z z y 3 z 1; Vì phương trình có nghiệm t 33 Hay t 33 Vì phương trình vơ nghiệm - Nếu x từ 5!, 6!,7!, , x! có tận Do có tận Mặt khác t khơng có tận Suy phương trình vơ nghiệm phương trình 3,3,1 , 3, 3,1 , 1,1, z ,(1, 1, z) tốn sau: Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên phương trình Giải: x! y z 1, với z số tự nhiên khác Đặt A 1! 2! x ! Ta xét trường hợp x Do 1! 2! 3! 4! 33, từ 5!,6!, , x! chia hết cho Suy chia hết cho Vì y z 1 y Hay y 3t Do y chia hết cho Do z 1 3t z 1 33 + Với x A 153 32.17 khơng chia hết cho 33 Suy phương trình vơ nghiệm + Với x A 873 32 97 không chia hết cho 20 z 1 Suy y với trình 1,1, z z 1 Suy y Vơ lý trình vơ nghiệm Do phương - Nếu x y z 1 32 Vì z Suy phương trình vơ nghiệm - Nếu x y z 1 33 Vì z 1 Suy phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm 1,1, z Cách 3: Cho số mũ y số Ta có tốn sau Cách 2: Cho số mũ y số lẻ Ta có 1! 2! y - Nếu - Nếu x y - Nếu x ta có 1! 2! 3! 4! y Suy nghiệm ta xét trường hợp x z số tự nhiên khác Vậy nghiệm phương 3,3,1 , 3, 3,1 Vậy + Với x 33 Suy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình 1! 2! x! y z , với z số tự nhiên khác Để giải phương trình này, ta xét trường hợp z 2k , z 2k KẾT LUẬN Nội dung báo trình bày vấn đề rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá cho học sinh dạy học phương trình nghiệm nguyên Trong báo, qua việc phân tích số tốn giải phương trình nghiệm ngun, chúng tơi đưa gợi ý giúp giáo viên rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hố cho học sinh nhằm giúp học sinh có kỹ giải lớp toán, tự đề xuất tốn khó Từ góp phần phát triển lực tư cho người học, đồng thời nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông Nguyen Thi Kieu Nga/Vol8.No2_June 2022| p.14-21 REFERENCES [1] Hoang Chung (1978), Methods of teaching Maths, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [2] V A Cruchetxki (1973), Psychology of Mathematical ability of students, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [3] Nguyen Ba Kim (2015), Methods of teaching Maths, University of Education Publishing House, Ha Noi [4] G Polya (2010), Mathematics and logical reasoning, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [5] Chu Cam Tho (2014), Developing thinking through teaching Mathematics in high school, University of Education Publishing House, Ha Noi [6] Đao Van Trung (1996), How to learn Maths well in high school, Viet Nam Education Publishing House, Ha Noi [7] Nguyen Quang Uan (2010), Collection of psychological - educational studies, University of Education Publishing House, Ha Noi 21 ... Vì dạy học phương trình nghiệm ngun, giáo viên rèn luyện thao tác tư cho học sinh để phát triển lực tư cho người học Trong báo này, đề cập đến vấn đề rèn luyện thao tác tư duy: đặc biệt hoá, tư? ?ng... TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Nguyễn... việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh có vai trị quan trọng việc phát triển lực tư cho người học Bài báo trình bày vấn đề rèn luyện thao tác tư đặc biệt hoá, tư? ?ng tự hoá, khái quát hoá cho học