C 10 t l TH c l p 7

CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC Dạng 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x3 x 1   a, x  b, x  HD:   x  3   x    x  46  x  23 a,   x  1  x  1  7.9    1   1  x  b,   44  x    x  12   x  256  x  32 c, Bài 2: Tìm x biết: x y x x4   x4 a, 20 b, x  y ( tìm y ) HD:   x    100  102  x   10 a, x  x  y  x  y  x  10 y   10 y b, 44  x x  12  c, x 1 x   c, x  x  x 1 x  x   x  3 5  x 1   x      1        x2 x3 x2 x3  x2   x3  c, 1   x  3   x    x  1  x  Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 20 40 40 20 28     a, x  y  12 z  24 x.y=1200 b, x  30 y  15 z  21 x.y.z = 22400 HD: x  y  12 z  24 x y z         15 20 40 15 20 40 a, Từ gt  x  15k x y z     k   15 20 40  y  20k , Mà x y  1200  k  2   x  40k    y  20k x  30 y  15 z  21 x y z       k  z  28k  40 20 28 40 20 28 b, Từ gt  x  40  x y.z  22400   y  20  z  28  Mà: Bài 4: Tìm x, y, z biết: x 1 y  z  x 1 y  z      x - 2y +3z =14 x  y  z  50 a, b, HD : x  y  z   x  1   y     z    x  y  z        5 494 a, x  y  z   x  1   y     z  3  x  y  z       1   12 b, Bài 5: Tìm x, y, z biết: x 1 y  z      z  3x  y  50 a, b, x  y z  x y  z x  y  z  10 HD : x  y  z  5  z     x  1   y  3  z  x  y   34    = 30   16 a, Từ : 3x  y z  x y  3z     b, Từ : 3x  y z  x y  z =>   3x  y   3 2z  4x    y  3z    12 x  y    z  12 x    y  z  16 3 x  y x y z x yz   2 z  x      10   4 y  z  27 0   Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : 2x  2y  z  x  y  z  17 Bài 7: Tìm số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : 3x  y  z  169 3x  25 y  169 z  144   144 25 169 HD : x  25 y  169 z  144  x  y  z    25  169  144  169      25 169 338 338 Từ : 144 144 47  x  25   72  x  , Tương tự cho y z Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z   2 2 2 a, x  y  z  585 b, x:y:z=3:4:5 x  y  z  100 HD: x2 y z x2  y  z     9 25 49 25  49  a, x y z x y z 2 x  y  3z 100        4 16 25 18  32  75 25 b, Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c   2 2 2 a, a  b  2c  108 b, x : y : z  : : z  3x  y  594 HD: a b c a b c a  b  2c 108        4 16   32 27 a, x y z x y z z  x  y 594        9 16 25 125  27  32 66 b, Bài 10: Tìm số x, y, z biết: x3 y z x3 y3 z3     2 2 2 a, 64 216 x  y  z  14 b, 27 64 x  y  z  650 HD : 3 x y z x2 y z x  y z x  y  z 14                  16 36  16  36 56 a, Từ GT ta có :       b,  x y z x y z x  y  3z 650         25 4 16 26 26 x3  y x3  y  6 Bài 11: Tìm x, y biết: x y  64 HD : x  y    x3  y   x  y    x3  y  y 3 x3  GT     64 12  16 Ta có :  x3 x6  x  64k  y    y    k  1 64 y  k   3x y 3z   2 Bài 12: Tìm x, y, z biết: 64 216 x  y  z  HD : x y z x2 y2 z2 2x2  y  z        64 4096 46656 8320  46656 38336 ( Vô lý) Từ GT ta có : 64 216 Vậy khơng tồn x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x y 4z 18   x y z x+y+z=49  x  y  z  120 a, b, 11 HD: x y z x y z x yz        1 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 a, x y z x y z  x  y  z 120         5 11.3 2.2 33 24 24 b, Bài 14: Tìm x, y, z biết: 18 x y z x  y  z  95 x  y  z  x  z  196 a, b, 11 HD :  x  y  z  95 x  y  z  95    x  y  z  95 a, Từ : x y z x yz 95 x  y  z      15 10 15  10  19 Nên 18 x y z  x  z 196 x y z     b, Từ : 11 => 33 33  28 x y z    x yz y  z  x  z  x  y  Bài 15: Tìm x,y,z biết: HD : x y z y  z 1 x  z  x  y       y  z  x  z  x  y  x y z Từ :  y  z  1   x  z     x  y  3  x  y  z    2 x yz x yz x yz  y  z   x  x  y  z  x    x  x  z   y  x  y  z  y    y  => => x  y   z  x  y  z  3z    z  Bài 16: Tìm x, y, z biết : HD : y  x 1 x  z  z  y     x y z x y z Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta : Khi : Và 1 2 x  y  z GT  x yz x  z   y  x  y  z  y   2 1  x  y  z  x yz  y  13 3  x  6 … y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz z  y   z  z  y   Bài 17: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT  2x  y  2z 1 2  x  y  z  x yz x yz y  z   x  x  y  z  3x    3x   x  2 Khi : Tượng tự để tìm y, z y  z  x z 3 x y 5    x y z x yz Bài 18: Tìm x, y, z biết: HD : Từ GT=> Tử + Tử + Tử => Khi : GT  2 x  y  z x yz y  z   x  x  y  z  3x   2 1  x  y  z  x yz  x  Làm tương tự cho y z x y z    x yz Bài 19: Tìm x, y, z biết: y  z  z  x  x  y  HD : x yz GT    x yz 2 x  y  z Ta có : 1 x  y  z   x  y  z  3x    x  2 Tương tự cho y z Khi : x  y  2 x  y 1   6x Bài 20: Tìm x, y biết: HD : 3y   x  1   y   x  y   y  GT    x    12 6x Từ 2x 1 y  2x  y    7x Bài 21: Tìm x, y biết: HD :  x  1   y   x  y  GT    x  59 7x Từ , Thay vào tìm y 1 y 1 y 1 y   24 6x Bài 22: Tìm x, biết: 18 HD :   y   1  y    y     y     y  1    x  GT   12 42  x 36  24 18  24  x Ta có : , Thay vào tìm y 5x 1 y  5x  y    4x Bài 23: Tìm x biết HD: 5x  y  5x  y  5x  y     4x => x ;y Nếu 5x-7y-7 # x  , Thay vào ta y=3 Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> 1 3y 1 5y 1 y   5x 4x Bài 24: Tìm x, y biết: 12 HD :   3y  1  5y  1 5y  1  y GT   12  x 5x  4x Ta có : 2 y 2 y    12  x  x  x  12  x  12  x x Thay vào tìm y 7x  3y  12 y  2z x   y z  y  y Bài 25: Tìm x,y,z biết : 3x  y x  y 2  xz2  yz2     x  0 17 x2 z2  Bài 26: Tìm x, y, z biết : 47 a b c   b c a a  b  c  0, a  2012 Tính b, c Bài 27: Cho HD : a b c abc      a  b  c  2012 Từ : b c a b  c  a a b c   Bài 28: Cho b c a a  b  c  0, a  2017 Tính b, c HD: a b c abc      a  b  c  2017 Ta có: b c a a  b  c a b 10   , a  b  10 Bài 29: Tìm a, b biết: b 10 a HD: a b 10 a  b  10      a  b  10 Ta có: b 10 a a  b  10 x y z   y z x x2018  y2019  Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác biết : a b c ; ; Bài 31: Cho số hữu tỉ nhau: b  c c  a a  b a  b  c  , Tính giá trị tỉ số HD : a b c abc     b  c c  a a  b 2 a  b  c a b c x   b  c c  a a  b , tỉ số có nghĩa Bài 32: Tìm x biết : HD : a b c x    1  a b  a Nếu a+b+c=0 b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c a b c a b c x     b  c c  a a  b 2 a  b  c Nếu a+b+c  x x 2  16 y y Bài 33: Tìm x, biết: , HD : x x 1     16   y   x  16.8 y y y Ta có : y  x  y  z  94  Bài 34: Tìm x, y, z biết: 3x  y  z  a  b  c  260  Bài 35: Tìm a, b, c biết: a  3b  0,3(b  c ) HD: a b  c a  b  c 260 60 a b     200  a  60, b   20  c a  3b   1,3 1,3 3 , 0, Từ Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a  b  c b  c 10  c GT     t Từ a  b  2t    b  8, a  4  c    10  c   c  2  t  b  c  3t mà  a b c b c a       abc  Bài 37: Tìm số a, b, c  Z biết : b c a a b c HD : a b c b c a a c b a  c b  GT                    6 b c a a b c b b c c a a Ta có : abc abc abc 1   a  b  c           a b c       a b c , Vì 1 1 1         a  b  c  b c a b c Do a,b,c nguyên nên a x y x y xy   13 200 Bài 38: Tìm x, y biết: HD: x  y x  y  x  y   x  y x x xy GT       13 16 8 200 x  xy  200 x   x  y  200      y  25 => TH1: x   y  TH2: y  25  x  40 3a  2b 2c  5a 5b  3c   Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: a+b+c=-50 HD :  3a  2b   2c  5a  6c  10b 5b  3c 5b  3c GT      0 25 34 17 Ta có : => 3a  2b a b c abc   5 2c  5a     10 5b  3c  z  10 y 10 x  3z y  x   10 Bài 40: Tìm x,y,z biết : 2x+3y-z=40 HD: z  10 y 10 x  3z  z  10 y   10 x  3z  GT     16 Ta có: 4 z  10 y 40 x  30 y 30 y  40 x      10 x  z 13 100 3 y  x  x y z x  y  z 40     5 => 10  12  10 12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z   11 Bài 41: Tìm x, y, z biết: x+ y+ z=48 HD:  12 x  15 y    20 z  12 x    15 y  20 z  GT  0   11 Ta có: x y x y 12 x  15 y   12 x  15 y     15 12 => x z x y z x  y  z 48       5   12 làm tương tự ta được: 5z  6y 6x  4z 4y  5x   Bài 42: Tìm x, y, z biết: 3x  2y  5z  96 x  3y 3y  9z 5z  15x   114 115 Bài 43: Tìm x, y,z biết: 19 x+y+2z= -31 HD : x  3y y  3z z  3x   38 23 , Đặt a x  3y  b y  3z  c z  3x  h x  y  2z Ta có : 19  x a  3c  y b  3a  z c  3b  hx  hy  2hz  a  3c  h   b  3a  h  c  3b  2h  (1) Đồng ta : a  ; b  ;c  7 , Như chẵn ta nen cho h =7 , Giả sử cho h=1 Khi : a  1;b  4;c  Ta biến đổi (1) sau : x  3y y  3z z  3x  x  3y  4 y  3z  2 z  3x 7 x  y  2z 7. 31       1 19 38 23 19  152  46 217 217  x  3y  19    y  3z  38  z  3x  23 4 x  y  z  80  x  y  z  20  , Cộng theo vế ta : Mà x  y  2z  31  20  z  31  z  11 3b 1 125a  3b   1 125a 6a  13 Bài 44: Tìm cặp số a, b thỏa mãn: a  HD: 13 a  2, a  ĐKXĐ: 3b 1 125a  3b 1 125a 1 125a    2 6a  13 a 4 a  6a    a2  6a   0, a  125   Suy ra: a  2(l), a  4 , Với a  4  b  2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy  z ; yz  x ; xz  16 y HD: x z x 16 z 16      z  9.16  144  z  2 y y z z Ta có:  x  4k x 12 z  12       4k 3k  12  k   y  y  3k TH1: GT  TH2: z  12 làm tương tự a  100 a1  a2     100 a ; a ; a a  a  a   a100  10100 100 , biết: 100 99 Bài 46: Tìm số: HD: Áp dụng dãy tỉ số ta có:  a1  a2   a100       100    a1  a2   a100    10100   100  99   100  99   5050 a1  a2  a3  a9      a , a , a , , a9 , Bài 47: Tìm , biết : a1  a2  a3   a9  90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M  a  b  c  d  e  f biết: a, b, a 14 c 11 e 13  ;  ;  * c, d, e, f thuộc N b 22 d 13 f 17 HD: a c 11 e 13 a b ab M  ;  ;     b 11 d 13 f 17 Từ gt=> => 11  11 18 c d cd M e f e f M       24 24 13 17 13  17 30 M  BC (18; 24;30) , M Tương tự ta có: 11 13 số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 x4  Bài 49: Tìm x,y biết:  y x+y=22 HD : Ta có : GT  x  28  28  y  x y x y   2 11 x y 2 x  y  38 Bài 50: Tìm x, y biết: HD: x y x2 y x2  y Gt       72 25 19 36 Ta có: 2 Khi đó: x  200  x   200 y  162  y   162 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b a-b=3(a+b) HD: a a  b   a  b   2a  4b  a  2b   2 b Ta có: a  a  b  a  b  2  a  b  Mà b thay vào a  b   a  b   2   2b    6b   b = Bài 52: Hãy tìm tất số có hai chữ số biết tổng, hiệu, tích chữ số số ba số nguyên dương tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: ab  a  0, a , b   0;1; 2; ;9  Gọi số cần tìm là: , Giả sử : a>b  a  b   a  b  a.b a  b a  b ab    210 12 35.6 6.35 12 Theo ta có : 35  6a  6b  a  b  5a  7b , Vơ lý a, b dấu Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a b thương a b lần tổng a b, HD: a a a  b    a  b   a  b   a  b    3 b b Theo ta có: 9  a  a  b  3      3    a  b  b  3  x  y 3y  2z  , x  z  2y 15 Bài 54: Tìm x,y,z biết: HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2x  y 3y  2z  x y 15 Mà nên 2x-y=3y-2z=0 Từ 2x-y=0=> y yz0 yz0 y z hay hay Từ 3y-2z=0 x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay   x z  x  z , y  z, z  R  3  Vậy giá trị x,y,z cần tìm  => 1 Bài 55: Tìm phân số có tổng chúng 70 , tử chúng tỉ lệ với 3:4:5 mẫu số tương ứng chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c a b c x y z ; ;   1 ,     70 Gọi phân số cần tìm x y z ta có: x y z a b c abc 1 a x b y c z y x y z  :  :  :  x   z   70  5 71 5   5 10 a b c  ;  ;  x 35 y z 14 ba phân số cần tìm => 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương ba số Bài 56: Số M chia làm số tỉ lệ với 4660 HD : 20 27   : :  : :  : 20 : 27 Ta có : 0,5 : 3 : 4 nên ta có : 12 12 12 Giả sử M chia thành số x ;y ;z Theo ta có : x y z x2 y2 z2 x2  y2  z2 4660          22 2 20 27 20 27  20  27 1165 2 2 2 => x  12  x  12, y  40  y  40, z  54  z  54 Vậy M=12+40+54=106 M=-106  x  ak x y z     k   y  bk a b c  z  ck  Đặt: bz  cy bck  bck cx  az ay  bx    0,  0, 0 a a b c và => đpcm a c ac 2009a  2010c   2 Bài 21: Cho b d , CMR : bd 2009b  2010d HD : 2 a c a c a  c  a.c a c a.c 2010c 2009a              b d b d b d  b.d b d => b.d 2010d 2009b a4  b4  a b  a c     4 Bài 22: CMR : b d  c  d  c  d HD: a c a b a b a4 b4  a  b  a  b4           4 c d cd c d cd  c d Ta có: b d a c ab  a  b    b, c, d , c  d   , CMR :  b d cd  c  d  Bài 23: Cho HD : a b ab a b a  b a  b  a  b      c d cd c d c d c  d c d2 Ta có : 2 Bài 24: Cho b  a.c, c  b.d , Chứng minh rằng: a  b3  c  a  b  c  a a  8b3  125c     3 3 bcd  a, b  c  d b, d b  8c  125d HD: a b c abc     a, Từ GT ta có: b c d b  c  d a c  b d , CMR :  a  2c   b  d    a  c   b  2d  Bài 25: Cho a,b,c,d số hữu tỉ dương HD : a c ac a 2c a  c      1 b d b  d b d b  2d Từ GT (2) a  c a  2c    b  d b  2d Từ (1) (2) Nhân chéo a c b2  a b  a   2 a Bài 26: Cho c b , cmr: a  c HD: a  c a  ab a  a  b  a    b  c b  ab b  a  b  b c  a b Từ gt=> , Khi đó: 2 b c b b2  c2 b b2  c2  a  c b  a       2 a a2  c2 a a  c2 a => a  c hay a c a  ac b  bd   2 Bài 27: Cho b d , CMR: c  ac d  bd HD: a c ac ca ac a ca c      b d b d d b b d b d b d Từ gt=> a  ac c  ac a  ac b  bd    b  bd d  ad c  ac d  ad => a x b y a2 x  ,  , CMR :  b y Bài 28: Cho k a k b HD : a kx x  a  kx, b  ky    b ky y Từ GT a c   c   CMR : Bài 29: Cho b d 3 ab ab  a b a b       3 cd a,  c  d  b,  c  d  c  d HD : a c a b ab ab  a  b         c d cd cd  c  d  a, Vì b d a b ab a b3 a  b3  a  b         c d c  d3  c  d  b, c d c  d ab  a  b  a c 3a  5b 3c  5d   , CMR :  cd cd 3a  5b 3c  5d Bài 30: Cho b d HD : a c a b 3a  5b 3a  5b       b d c d 3c  5d 3c  5d Từ GT a b ca   a  b, c  a  Bài 31: Cho a  b c  a , Chứng minh rằng: a  b.c HD: a  b a  b 2a 2b a b GT        a  bc c  d c  d 2c 2a c a Ta có: a  2009 b  2010 a b   Bài 32: CMR: Nếu a  2009 b  2010 2009 2010 HD : a  2009 a  2009 2a 2.2009 a 2009 a b        b 2010 2009 2010 Ta có : b  2010 b  2010 2b 2.2010 a5 b6 a  , CMR :  b Bài 33: Cho a  b  HD : a   10 b   12 10 12      a 5 b6 a 5 b6 Từ GT Nhân chéo=> ĐPCM 2a  13b 2c  13d a c  , CMR :  3c  7d b d Bài 34: Cho 3a  7b HD : 2a  13b 3a  7b  2a  13b    3a  7b  b a a c       2c  13d 3c  7d  2c  13d    3c  7d  d c b d GT=> ab cd a c  , CMR :  b d Bài 35: Cho a  b c  d u2 v2 u v   Bài 36: CMR : Nếu u  v  Bài 37: Cho a  b  c HD: c bd a c  b  d , CMR: b d a c  b  d  c  b.d  bc  cd  bd  bc  bd  cd  d  b  c   ad Từ GT =>  => b d a c a d a  b ab    2 cd , Với a, b, c, d  0, Chứng minh rằng: b d b c Bài 38: Cho c  d HD: 2 a  b  a  b 2ab  a  b     c  d 2cd  c  d   c  d  Ta có: ab ab 2a 2b a b a c        2c 2d c d b d TH1: c  d c  d a  b b  a 2b 2a a c      b d TH2: c  d c  d 2c 2d a  b a  2b a c  , b, d  0, CMR :  b d Bài 39: Cho c  d c  2d HD: Từ GT, Ta nhân chéo rút gọn: ab cd b a  2b a b a c GT        a  2b c  2d , Trừ vào vế ta : d c  2d c d b d Hoặc : ab bc a b   Bài 40: Cho c  a  b b  c , CMR: b c a bc a bc  ,b  Bài 41: Cho tỉ lệ thức: a  b  c a  b  c , Chứng minh rằng: c = HD:  a  b  c    a  b  c   2b   a  b  c  a  b  c  2c   c  GT   a  b  c    a  b  c  2b Ta có: abc abc   b  0 Bài 42: Cho tỉ lệ thức : a  b  c  a  b  c , CMR : a=0 HD: a bc abc a bc abc 2a 2a   1  1  a  b  c  a  b  c => a  b  c a  b  c Từ a  b  c  a  b  c Nếu a  ta có  a  b  c   a  b  c  b  b  b  vô lý=> a=0 a b c d    Bài 43: Cho a, b, c, d t/m : 3b 3c 3d 3a , a+b+c+d  0, Chứng minh rằng: a= b= c= d HD: a b c d abc d GT       3b 3c 3d 3a  a  b  c  d  Từ GT ta có: => a  b  c  d a1 a2 a    , a1  a2   a9  0, CMR : a1  a2  a3   a9 a1 Bài 44: Cho a2 a3 HD : Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu ab b a  b2 a   c  0  2 c Bài 45: Cho tỉ lệ thức: bc c , CMR : b  c HD: a.10  b b 10a a a b a b a.b a  b a GT            b.10  c c 10b b b c b c b.c b  c c a c  Bài 46: CMR: a+c=2b 2bd=c(b+d) b d với b,d khác HD: a c  Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> b d x y yz   x  y   5 y  z   3 z  x  Bài 47: Chứng minh rằng: , Thì HD: x y zx x yzx y  z z  x y  z  z  x x  y    yz    3 3  5 Ta có: 2 z  x zx yz zx x y zx x y zx  y  z   (2)   x  y    (1) 10 5 10 và x y yz  Từ (1) (2) ta có: a  d  b2  c  b, d  0,  Bài 48: Cho a  d  b  c, CMR số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc   b d Vì ab ca  Bài 49: Cho a  b c  a , Chứng minh số a,b,c  0, lập thành tỉ lệ thức HD : ab ca ab ab a b      ca ca c a Vì : a  b c  a Bài 50: Chứng minh : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn :  ab  ab  2cd   c 2d   ab  ab     ab  1   chúng lập thành tỉ lệ thức : HD : TH 1: ab  ab  2cd   c 2d    ab  cd    ab  cd  Từ GT=> đpcm 2 2  ab ab  2  2 ab  1    a b  2ab  2ab    a b  2  TH2 :  ( Vô lý) ax  by M  k  c, d   cx  dy Bài 51: Cho , Chứng minh rằng, Giá trị M khơng phụ thuộc vào x,y số a,b,c,d lập thành tỉ lệ thức : HD : ax  by b  k, x  0, y    k d Đặt cx  dy Chọn a a b x  1, y    k   c c d Chọn a c  b d 2bd  c  b  d  Bài 52: Chứng minh : Nếu a  c  2b HD :   a  c  d  c  b  d  Từ GT , Nhân vào=> ĐPCM 2 Bài 53: Cho x,y,z số khác x  yz; y  xz; z  xy CMR : x=y=z HD : Từ gt=> cặp phân số Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g  Z , Biết b,d,g>0 a.d - b.c=2009 c.g - d.e =2009 a c e c ae & & & a, So sánh b d g b, So sánh: d b  g HD : a, Từ GT ta có : b, Từ GT ta có : a.d  b.c  c e a c e a c c.g  d e       d g b d g b d a.d  b.c  c.g  d e  a.d  de  cg  bc  d  a  e   c  b  g   c ae  d bg ab ca  Bài 55: Chứng minh : Nếu a  bc a  b c  a , Đảo lại có khơng ? HD : a b ab ab     c a ac ca Từ GT a  b a  b 2b b a     Ngược lại : c  a c  a 2a a c , x y z   Bài 56: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , a b c   Chứng minh rằng: x  y  z x  y  z x  y  z HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Từ GT=>  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c   a  x  2y  z x  2y  z  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  b  2x  y  z 2x  y  z =  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  c   4x  y  z 4x  y  z a b c   => x  y  z x  y  z x  y  z (đpcm) a b c x y z     Bài 57: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , Chứng minh : x  y  z x  y  z x  y  z HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Từ GT=>   a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c   9a x  2y  z x  2y  z  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9b  2x  y  z 2a  y  z =  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9c  4x  y  z 4x  y  z 2y  2z  x 2z  2x  y 2x  2y  z x y z     a b c Bài 58: Cho , CMR: 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c  a b c x y z     Bài 59: Cho a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c , CMR: x  y  z z  y  x x  y  z HD: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c   x y z Nghịch đảo GT ta được:   a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c   9a x  2y  z x  2y  z  4a  4b  c    2a  b  c    a  2b  c   9b  z  y  2x z  y  2x  a  2b  c    2a  b  c    4a  4b  c  9c   4x  y  z 4x  y  z bz  cy cx  az ay  bx x y z     a b c , Chứng minh rằng: a b c Bài 60: Cho dãy tỉ số: HD: bxz  cxy cxy  ayz ayz  bxz  bxz  cxy    cxy  ayz    ayz  bxz     0 ax by cz ax  by  cz Từ GT => => y z bz  cy  x y z   b c    cx  az   a b c ay  bx x  z   a c 3x  y z  x y  3z x y z     , CMR: Bài 61: Cho HD: 3 x  y    2 z  x   3x  y    z  x    y  3z  GT  0 4 y  z   16   x y z   => 2bz  3cy 3cx  az ay  2bx x y z     a 2b 3c Bài 62: Cho dãy tỉ số nhau: , Chứng minh rằng: a b 3c HD : Từ GT ta có : 2abz  3acy 6bcx  2abz 3acy  6bcx 2abz  3acy  6bcx  2abz  3acy  6bcx    0 a2 4b 9c a  4b  9c z y x z x y z 3cx  az       2bz  3cy    3c 2b a 3c a 2b 3c => a b c ( a  c)    (a  b)(b  c ) Bài 63: Cho dãy 2009 2011 2013 , Chứng minh rằng: HD: a b c a c a b bc      k 4 2 2 Ta có: 2009 2011 2013 a  c  4k 2 a  c 4k      a  b  2k    4k 4 b  c  2k   a  b   b  c   4k => VT= VP x y z    x  z   8 x  y  y  z  Bài 64: Cho số x,y,z thỏa mãn: 1998 1999 2000 , CMR : HD: 3 xz x y yz  xz  x y  yz  x  z  x  y y  z               1 1  2   1   1  => Từ gt=> 2 Bài 65: Cho số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c số dương cho trước 1   x  y  z  không phụ thuộc vào a,b,c HD: Cộng theo vế GT ta được: 2a   x 1 a  b  c a  b  c   ax  by  cz    ax  a   2a  x  1 2b 2c  ,  Chứng minh tương tự ta có: y  a  b  c z  a  b  c 2 a  b  c 1    2 abc Khi đó: x  y  z  a  bc b  ca c  ab x  yz y  zx z  xy     x y z a b c , Chứng minh: Bài 66: Cho HD: x  yz y  zx z  xy x  yz y  zx z  xy    k  a  ,b  ,c  a b c k k k Đặt: => a  bc  x  x yz  y z  k2  y z  xy  xz  x yz a  bc   x  y  z  3xyz x k b  ca c  ab  x  y  z  xyz  x  y  z  xyz y z Chứng minh tương tự: => đpcm 2 a b  24 2006 2006 2004 2004  a  b , Chứng minh 32 Bài 67: Cho a, b dương thỏa mãn: a  b HD: a  b2  24 a  b  a 2004 a   b 2004  b 32 Giả sử: a=1=>b=1=> Nếu: a, b  , Giả sử:  a 2004  b  2004  a , Vì a  b   b  a   a  b2  => b a  b2    24 32 32 1 1 1   0   0 Bài 68: Cho a,b,c  a b c , chứng minh rằng: ab bc ca HD: 11 1 1 1          ab c b c Từ GT=> a 1 1 1  0   0,   ac bc => ab ac , Tương tự: bc ab 1       Cộng theo vế ta được: =>  ab bc ca     Bài 69: Cho HD: Xét x a b b c ca ,y  ,z  ab bc c  a , Chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z) a b 2a 2b 2c 1  y 1  , z 1  ab a  b , Tương tự: bc ca 8abc VT   a  b  b  c  c  a  x 1  Khi a b 2b 2c 2a  1 y  ,1  z  ab ab , bc ca Tương tự: 8abc VP   VT  a  b  b  c  c  a Khi đó: x 2000 y 2000  1000  2 2 1000 b (a  b)1000 Bài 70: Cho x  y  b.x  a y Chứng minh rằng: a 1 x  1 HD: bx  ay  x2 y x2  y    a b a b ab Từ x 2000 y 2000 x 2000 y 2000     2000  1000 1000 1000 1000 1000 a b a b  a  b  a  b x a b b c ca ,y  ,z  ab bc c  a Thì (1  x)(1  y)(1  z)  (1  x)(1  y)(1  z) Bài 71: Chứng minh nếu: HD: a b 2a 2b 2c x 1  1  y 1  , z 1  ab a  b , Tương tự: bc ca Xét 8abc VT   a  b  b  c  c  a  Khi a b 2b 2c 2a 1 x  1  1 y  ,1  z  ab ab , bc ca Tương tự: 8abc VP   VT a  b  b  c  c  a  Khi đó: 2c b  c b2 b2 2  a  ab   15 c  6 2 a , c  0; a   c 3 Bài 72 : Biết và a  ac  c  , CMR : a a  c HD:  b2 b2  a  ab   15    a  ac  c   c   3  Ta có:  2c  ab  ac  2c  ab  ac  2ac  2c  2ac  ab  ac 2c b  c  2c  c  a   a  b  c    a ac x  x y1 y x Bài 73: Cho    Chứng minh rằng: y   HD: y x 3y x Từ     3y  x  (1)  x y1 Và   y1  x  2y  thay vào (1) ta được: 3y  2y    y   x  10 a c ac x  ; y  ;z  b d b  d với a,b,c,d số nguyên b,d>0 Bài 73: Cho số hữu tỉ: CMR: x TH1: x  y  z  t   P  4 TH2: x  y  z  t   P  Q Ax  By  C ax  by  c không phụ thuộc vào x, y Bài 80: Cho A, B, C tỉ lệ với a, b, c, CMR : HD : k  ax  by  c  A B C    k  A  ka , B  kb, C  kc  Q  k a b c ax  by  c Ta có : x y z   Bài 81: Cho số a,b,c,x,y,z thỏa mãn : a  b  c  a  b  c  a b c ( Các tỉ số có nghĩa), CMR : x2  y2  z2   x  y  z 2 12ab  4bc  3ac    4b c 3a , CMR: 3a  4b  c Bài 82: Cho a, b, c khác thỏa mãn: Bài 83: Cho a, b, c tỉ lệ nghịch với  x  y  z, x  y  z, x  y  z , ( Giả sử số b+c, c+a, a+b a b  c ,b a  c ,c a  b khác 0), Chứng mỉnh x, y, z tỉ lệ thuận với ... kh? ?c c a b c   Bài 10: Cho a, b, c kh? ?c kh? ?c 0, t/ m: b  c a  c a  b b? ?c a? ?c ab A   a b c T? ?nh giá trị biểu th? ? ?c: HD: b? ?c a? ?c ab   b c T? ?? GT ta nghịch đảo => a ab? ?c a b? ?c ab? ?c ... a, b, c, d l? ? ?p th? ?nh t? ?? l? ?? th? ? ?c: HD : a c 2 a  d  b  c   a  d    b  c   2ad  2bc   b d Vì ab c? ??a  Bài 49: Cho a  b c  a , Chứng minh số a,b ,c  0, l? ? ?p th? ?nh t? ?? l? ?? th? ? ?c HD... c   c b a Bài 14: Cho a,b ,c số hữu t? ?? kh? ?c 0, cho:  a  b  b  c? ??  c  a M abc T? ?nh HD : a b ? ?c a b ? ?c a b? ?c   a b c Cộng th? ?m vào GT ta : TH1 : a  b  c   a  b  c  M  TH2