C 4 CH NG MINH CHIA h t l p 7

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT Bài 1: Chứng minh rằng: ab + ba M 11 a, HD: a, Ta có : b, Ta có : b, ab − ba M9 (a > b) c, abcabcM7,11,13 ab + ba = 10a + b + 10b + = 11b + 11b M 11 ab − ba = (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b M abcabc = abc.1001 = abc.7.11.13M7,11,13 c, Ta có : Bài 2: Chứng minh rằng: (n + 10)( n + 15) M2 a, HD: b, n(n + 1)( n + 2)M2,3 a, Ta có: Nếu n số lẻ Nếu n số chẵn c, n2 + n + M khơng 4,2,5 n + 15M2 n + 10M2 n ( n + 1) ( n + ) , Như với n số tự nhiên : ( n + 10 ) ( n + 15) M2 b, Ta có: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2,1 số chia hết cho n(n + 1) + M c, Ta có : số lẻ nên khơng cho 4,2 có chữ số tận khác Bài 3: Chứng minh rằng: (n + 3)(n + 6)M2 aaabbbM37 n2 + n + M a, b, khơng c, HD: n + 6M2 a, Ta có: Nếu n số chẵn Nếu n lẻ n + 3M2 , Như với n số tự nhiên n + n + = n ( n + 1) + b, Ta có : : 0, 2, 6, Do : , Vì n ( n + 1) + n ( n + 1) ( n + 3) ( n + ) M2 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận có tận 6, 8, nên khơng aaabbb = aaa 000 + bbb = a.11100 + b.111 = a.300.37 + b.3.37 c, Ta có : Bài 4: Chứng minh rằng: aaa Ma a, HD: ,37 b, ab(a + b)M2 c, M chia hết cho 37 abc − cba M99 aaa = a.111 = a.3.37 a, Ta có : chia hết cho a chia hết cho 37 b, Ta có: Vì a, b hai số tự nhiên nên a,b có TH sau: TH1: a, b tính chẵn lẻ=> (a+b) số chẵn nhưu a+b chia hết cho TH2: a, b khác tính chẵn lẻ số phải có số chẵn số chia hết cho abc − cba = 100a + 10b + c − ( 100c + 10b + a ) = 99a − 99c = 99 ( a − c ) M99 c, Ta có: Bài 5: CMR : HD: Ta có: ab + 8.ba M9 ab + 8.ba = 10a + b + ( 10b + a ) = 18a + 18b = 18 ( a + b ) M9 Bài 6: Chứng minh rằng: ab ( a + b ) M2, ∀a , b ∈ N abcabc Bài 7: Chứng minh số có dạng : ln chia hết cho 11 HD : abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + b.10 + c = a.102 ( 103 + 1) + b.10 ( 103 + 1) + c ( 103 + 1) Ta có : = ( 103 + 1) ( a.10 + b.10 + c ) = 1001 ( a.10 + b.10 + c ) = 11.91.abc M 11 A = ( n + 5) ( n + 6) M6n Bài 8: Tìm n số tự nhiên để: HD: A = 12n + n( n − 1) + 30 AM6n => n( n − 1) + 30M6n Ta có: , Để n( n − 1) Mn => 30Mn => n∈ U ( 30) = { 1;2;3;5;6;10;15;30} Ta có: n( n − 1) M6 => n( n − 1) M3 => n∈ { 1;3;6;10;15;30} Và n∈ { 1;3;10;30} Thử vào ta thấy thỏa mãn yêu cầu đầu M M Bài 9: CMR : 2x+y 5x+7y HD: x + y M9 => ( x + y ) M9 => 14 x + y M9 => x + x + y M9 => x + y M9 Ta có : Bài 10: Chứng minh rằng: a, Nếu HD: ab + cd M 11 a, Ta có: abcd M 11 b, Cho abc − deg M7 cmr abc deg M7 ab + cd = a.10 + b + 10c + d = (a + c)10 + b + d = (a + c )(b + d ) M 11 abcd M 11 M hay (a+c) – (b+d) 11 M Khi có (a+c) - ( b+d) 11 b, Ta có: abc deg = 1000abc + deg = 1001abc − (abc − deg) abc − deg M7 abc deg M7 Ta có mà nên Bài 11: Chứng minh rằng: a, CMR: HD: ab = 2.cd → abcd M67 a, Ta có: Ta có b, Cho abcM27 cmr bcaM27 abcd = 100ab + cd = 200cd + cd = 201cd M67 b, Ta có : Ta có abc M27 => abc 0M27 => 1000a + bc 0M27 => 999a + a + bc0M27 => 27.37 a + bca M27 bcaM27 Nên Bài 12: Chứng minh rằng: abc deg M23, 29 abc = 2.deg (ab + cd + eg ) M 11 abc deg M 11 a, b, Cmr HD: abc deg = 1000abc + deg = 1000.2deg + deg = 2001deg = deg.23.29.3 a, Ta có : abc deg = 10000.ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + ( ab + cd + eg ) M 11 b, Ta có : Bài 13: Chứng minh rằng: abc + deg M 37 abc deg M37 abcdM99 ab + cd M99 a, Cho cmr b, Nếu HD: abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg) M 37 a, Ta có : ¶ = 99.ab + ab + cd M99 => ab + cd M9 abcd = 100.ab + cd b, Ta có : ( ) ab − cd M 101 abcd M 101 Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu HD : abcd M 101 => 100.ab + cd = 101.ab − ab + cd = 101.ab − ab − cd M 101 ab − cd M 101 Ta có : => Bài 15: Chứng minh rằng: a, 2a - 5b+6c HD: M M 17 a-11b+3c 17 (a,b,c a, Ta có: a-11b+3c b, Ta có: 3a+2b ∈ Z) M 17 17a-34b +51c M 17 17a - 34b M b, 3a+2b M 17 M ( ) ↔ M 10a+b 17 nên 18a-45b+54c M 17 (a,b M Z) M 17 => 9(2a-5b+6c) 17 M 17 nên 20a – 32b 17 10a – 16b 10a +17b – 16b 17 10a+b ∈ M 17 M 17 Bài 16: Chứng minh rằng: abcd M29 ↔ a + 3b + 9c + 27 d M29 a, HD: a, Ta có : abc M21 ↔ a − 2b + 4c M21 b, abcd = 1000a + 100b + 10c + d M29 => 2000a+200b+20c+2d => 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d M 29 M M 29 M => (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) 29 => (a+3b+9c+27d) 29 abc = 100a + 10b + c M M b, Ta có: 21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c 21 M M => 16a - 32b +64c 21 => 16(a- 2b +4c) 21 Bài 17: Chứng minh rằng: abcd M4 ↔ d + 2c M4 a, HD: abcd M 16 → d + 2c + 4b + 8a M 16 b, (c chẵn) abcd M4 → cd M4 → 10c + d M4 → 2c + d M4 a, Ta có: Vì e, abcd M 16 => 1000a + 100b + 10c + d M 16 => 992a + 8a + 96b + 4b + 8c + 2c + d M b, Ta có: Vì 16 M => (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) 16, mà c chẵn nên 8c Bài 18: Chứng minh rằng: a, Cho a - b HD: M M cmr 4a+3b (a,b ∈ M Z) b, Cmr m +4n M M M 13 M M ↔ M a, Ta có: a – b nên 4(a –b) => 4a – 4b +7b => 4a +3b b, Ta có: m+4n M 16 => (8a+4b+2c+d) 16 10m+n M 13 M M M 13 => 10(m+4n) 13 => 10m +40n – 39n 13 =>10m+ n 13 Bài 19: Cho a,b số nguyên, CMR 6a+11b HD: M M M 31 a+7b 31, điều ngược lại có khơng? M M Ta có : 6a +11b 31 => 6( a+7b) - 31b 31 => a+7b 31 Bài 20: Cho a,b số nguyên, CMR 5a+2b HD: M M 17 9a+7b M M 17 M M Ta có : 5a +2b 17 => 5a – 68a +2b -51b 17 => - 63a – 49b 17 => -7( 9a +7b) 17 => 9a+7b M Bài 21: Cho a,b số nguyên, CMR 2a+3b HD: M 8a + 5b M M M M M Ta có: 2a+3b => 4(2a+3b) =>8a +12b 7=> 8a+12b -7b 7=>8a+5b Bài 22: Cho a,b số nguyên, CMR a - 2b HD: M M M a-9b M 7, điều ngược lại có khơng? M Ta có: a – 2b => a- 2b -7b 7=> a - 9b 7, Điều ngược lại Bài 23: Cho a,b số nguyên 5a+8b a, - a +2b HD: M b, 10a +b M (-3) M cmr c, a +16b M M M M a, Ta có: 5a +8b 3=> 5a- 6a+8b-6b 3=> -a+2b M M M M b, Ta có: 5a +8b => 2(5a+8b) 3=>10a+16b 3=>10a+16b-15b M M M c, Ta có: 5a +8b 3=> 5(a+16b) – 72b =>a+16b M Bài 24: Cho biết a-b 6, CMR biểu thức sau chia hết cho a, a +5b b, a +17b c, a - 13b HD: M M M a, Ta có: a-b => a-b+6b 6=> a+5b M M M b, Ta có: a-b => a-b +18b 6=> a+17b M 17 M M M c, Ta có: a - b => a-b-12b 6=> a-13b x − y M5 x + 2M5 Bài 25: CMR : ngược lại Bài 26: Cho hai số nguyên a b không chia hết cho 3, chia cho có số dư: M CMR: (ab-1) HD: Ta có: a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r ∈ Z, r=1,2)  r = => r − = 0M3   r = => r − = 3M3 ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r2-1 Bài 27: Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 11 HD: ab Ta có : Gọi số tự nhiên có chữ số theo ta có abbaM 11 abba = 1001a + 110b = 7.11.13a + 11.10b Bài 28: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho HD: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a,a+1,a+2 xét tổng Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta /4 a + ( a + 1) + ( a + ) + ( a + 3) = 4a + M Bài 29: Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẻ liên tiếp khơng chia hết cho 10 HD: Gọi số chẵn liên tiếp a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được: a + ( a + ) + ( a + ) + ( a + ) + ( a + ) = 5a + 20M 10 Vì a số chẵn 2a − 1, 2a + 1, 2a + 3, 2a + 5, 2a + 7, Tương tự với số lẻ liên tiếp : xét tổng ta : / 10 ( 2a − 1) + ( 2a + 1) + ( 2a + 3) + ( 2a + 5) + ( 2a + ) = 10a + 15 M Bài 30: Khi chi 135 cho số tự nhiên ta thương cịn dư, Tìm số chia thương HD: 135 = x + r ( < r < x ) Gọi số chia x số dư r, Khi r = 135 − x => < 135 − x < x => 135 − x > => x < 135 => x < 22 Từ 135 135 − x < x => x > => x > 19 x = 20, 21, 22 7 Từ , Vậy Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 , sau bạn Thắng đem chia số cho đươc dư , chia cho 12 dư a, CMR bạn Thắng làm sai phép chia b, Nếu phép chia thứ đúng, phép chia cho 12 dư bao nhiêu? HD: ab Gọi số cần tìm n= a, n chia dư =>n chẵn n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn ab M ab dư chia 12 dư ab ab M ab M Nếu phép chia thứ chia dư 4=> => 12 => n chia 12 dư b, Vì a+b=14 nên abc bca cab Bài 32: Chứng minh chia hết cho 37 chia hết cho 37 Bài 33: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: Tìm số tự nhiên biết chia cho 17 số dư hai lần bình phương số thương Bài 35: Chứng minh tồn số tự nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 lại dư Bài 36: Cho số nguyên dương khác thỏa mãn : tổng hai số chia hết cho tổng ba số chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ cảu tổng bốn số Bài 37: Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 27, biết hai số 97 HD: a97b a97b M Gọi số cần tìm nên b = b = => trường hợp b = => a970M27 => a + + + = a + 16M9 => a = TH1: Với , Khi số cần tìm 2970 thỏa mãn chia hết cho 27 b = => a975M27 => a + + + = a + 21M9 => a = TH2: Với , Khi số cần tìm 6975 khơng chia hết cho 27 Bài 38: Tìm số có hai chữ số biết số chia hết cho tích chữ số HD: Gọi số cần tìm => ab abMa.b => 10a + b Mab => 10a + b Ma => b Ma => b = k a ( k ∈ N ) ab = 10a + b Mà 10a + bMb => 10a Mb 10a = b.q => 10a = z.k q => 10 = k q Và , mà b chia hết cho a=> Do k số có chữ số nên k= 1;2;5 Với k=1=> a=b, ta có số 11,22,33, 99, có số 11 thỏa mãn Với k=2=>b=2a, ta có số 12, 24, 36, 48, có số 12, 24, 36 thỏa mãn Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn Vậy số cần tìm 11, 12, 24, 36, 15 Bài 39: Cho số tự nhiên HD: Ta có: ab ba lần tích chữ số nó, cmr b ab M M a M =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b a =>b a 2009abcM315 Bài 40: Tìm a, b, c biết: HD: (5;7;9) = => 2009abc MBCNN ( 5;7;9 ) 315 = 5.7.9 Ta có: , Mà 2009abc = 2009000 + abc = 315.6377 + 245 + abc Ta có: => 245 + abc M315 => 315 ∈ U 245 + abc ( Mà ) ( ) 100 ≤ abc ≤ 999 => 345 ≤ 245 + abc ≤ 1244 => 245 + abc ∈ { 630;945} => abc ∈ { 385;700} (14a3 + 35b2) M Bài 41: Tìm a,b biết: a-b=3 HD: 14a3 + 35b 2M9 => + + a + + + + b + = a + b + 18M9 => a + b M9 Ta có: Để : a + b = 0, a + b = 9, a + b = 18 mà a b số chó chữ số nên kết hợp với a - b =3 để tìm a b 5a6b2M3 Bài 42: Tìm a,b biết:c, a - b=4 HD: 5a 6b2M3 => + a + + b + = a + b + 13M3 => a + b + 1M3 Để Do a, b hai số tự nhiên có chữu số nên: a + b = 2, a + b = 5, a + b = 8, a + b = 11, a + b = 14, a + b = 17, ( 1999 + 1a6 ) M29 , Kết hợp với a −b = để tìm a,b Bài 43: Tìm a,b biết rằng: 1999 + 19a8 M 1997 Bài 44: Tìm a biết rằng: ( Bài 45: Cho 22x − y a/ HD: x − y = ( x, y ∈ Z ) , CMR biểu thức sau chia hết cho x + 20 y 11x + 10 y b/ c/ x − y = => x − y M7 => x − y + 21x M7 => 22 x − y M7 a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có: Bài 46: Cho HD: ) x − y = => ( x − y ) + ( x + 21y ) M7 => x + 20 y M7 x − y M7 => 11x − 11 y M7 => 11x − 11 y + 21 y M7 => 11x + 10 y M7 A = 111 Ta có: Ta có: Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 khơng? 111 = 3.37 , nên để 111 1M 111 => 111 1M3 chia hết cho 37 111 ( 20 số ) có tổng chữ số 1+1+1+ +1=20 / 111 111 M không chia hết M Bài 47: CMR: 7x+4y 29 9x+y HD: Ta có: M 29 x + y M9 => 36 x − 29 x + y M9 => 36 x + y M9 => ( x + y ) M9 => x + y M9 abcd M29 Bài 48: CMR a+3b+9c+27d chia hết cho 29 HD: abcd M29 1000a + 100b + 10c + d M29 Ta có: 200a + 200b + 20c + 2d M29 ( 2001a − 1) + ( 203b − 3b ) + ( 29c − 9c ) + ( 29d − 2d ) M29 ( 2001a + 203b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27 d ) M29 ( 69.29a + 7.29b + 29c + 29d ) − ( a + 3b + 9c + 27d ) M29 Khi đó: a + 3b + 9c + 27d M29 Bài 49: Chứng minh x,y số nguyên cho ngược lại HD: Ta có: ( x + y ) M13 5x + y M 13 => ( x + y ) M 13 => 20 x + 16 y M 13 => x + y M 13 ( 5x + y ) chia hết cho 13 Từ ta ngược lại Bài 50: Cho HD: A = n2 + n + , CMR A không chia hết cho 15 với số tự nhiên n n + n + = n ( n + 1) + 0, 2, 6, Do : , Vì n ( n + 1) + n ( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận : có tận 2, 4, nên khơng Bài 51: Cho a,b hai số phương lẻ liên tiếp, CMR : HD: Ta có: Vì a, b số lẻ nên Khi : Và 5, A không chia hết cho 35 ( a − 1) ( b − 1) M192 ( a − 1) ( b − 1) M4 a = ( 2k − 1) , b = ( 2k + 1) => ( a − 1) = k ( k − 1) , ( b − 1) = k ( k + 1) Đặt M ( a − 1) ( b − 1) = 16k ( k − 1) ( k + 1) k ( k − 1) , k ( k + 1) , Mà k ( k + 1) ( k + ) M3 chia hết cho k ( k − 1) ( k + 1) M 12 => ( a − 1) ( b − 1) = 16k ( k − 1) ( k + 1) M 192 Nên , Khi a, b số phương lẻ liên tiếp Bài 52: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 12n+1 HD: 2n + 7Mn + => x + + 5Mn + => ( n + 1) + 5Mn + => n + 1∈ U ( ) Ta có : Tương tự : 2n + M 12n + => ( 2n + ) M 12n + => 12n + 42M 12n + => 12n + + 41M 12n + => 12n + 1∈ U ( 41) Bài 53: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y (y+1) chia hết cho x HD: x≤ y Ta có : Vì vai trị x, y bình đẳng nên giả sử : y =1 x = => x + = 2My =>  => ( x; y ) = ( 1;1) , ( 1; ) y = Nếu  x + 1My x ≥ => ≤ x ≤ y =>  => ( x + 1) ( y + 1) = ( xy + x + y + 1) Mxy => ( x + y + 1) Mxy  y + 1Mx Nếu x + y +1 1 => = + + xy x y xy số nguyên dương 1 1 1 1 ≤ x ≤ y => + + ≤ + + = => + + =1 x y xy 2 4 x y xy Mà (1) 1 1 1 => = + + ≤ + + = => x ≤ => x = x y xy x x x x , Thay vào (1) ta có : 1 + + = => y = y 2y 10 C = 34 − 1M 10 ( ∀n ∈ N , n ≥ 1) n Bài 23: Chứng minh số có dạng HD: 4n = 41+n −1 = 4.4 n −1 => C = 34 − = ( 34 ) n Ta có: Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của: 66661111 + 11111111 − 665555 a, 10n + 555n + 666n , ( ∀n ∈ N , n ≥ 1) b, 9999 n + 9992 n +1 + 10n , ( n ∈ N * ) c, 20184 n + 20194 n + 2007 n , ( n ∈ N * ) d, Bài 25: Tìm chữ số tận số sau: a, A= 24n - (n > 0, n HD: ∈ b, Ta có : − = ( 81) ∈ ( ) 4n −1 − = − = 0M 10 ∈ b, B= 24n+2 + (n N) N) c, C= 74n – (n N ) 24 n − = ( 24 ) − = 16 − = − = .1 n a, Ta có : A= 4n −1 n B = 24 n + + = 24 n.4 + = 6.4 + = .5 C = n − = − = c, Ta có : Bài 26: Tìm chữ số tận số sau: n a, D= HD: 22 + n b, E= 24 + n−2 n a, Ta có : 2n =22+n-2 =22.2n-2 =4.2n-2 => n n −2 22 = 24.2 = (24 )2 = n−1 n−1 4n = 41+ n −1 = 4.4n−1 => 24 = 24.4 = (24 ) = b, Ta có : Bài 27: Chứng minh rằng: n 22 − 1M5 + 4M 10 a, A = b, B= HD: 22 − = 24 − = 15M5 a, Ta có : n 24 b, Ta có : Ta có có tận n n c, C= n −1 92 − 1M 10 n −1 2n = 21+ n −1 = 2.2n −1 => 92 − = 92.2 − = (92 ) − = − = M 10 c, Ta có : Bài 28: Chứng minh rằng: 24 n+1 + 3M 92 n+1 + 1M 10 n − 1M a, E= b, F= c, H= HD: 24 n +1 + = 24 n.2 + = 6.2 + = a, Ta có : 20 b, Ta có : 92 n +1 + = 92 n.9 + = 1.9 + = n − = − = c, Ta có : Bài 29: Chứng minh rằng: 24 n+ + 1M5 a, I= HD: a, Ta có : n b, K= n 32 + 4M5(n ≥ 2) c, M= 34 − 1M 10(n ≥ 1) 24 n + + = 24 n.2 + = 6.4 + = n b, Ta có : 2n = 22+ n−2 = 22.2n −2 = 4.2n− => 32 + = 34.2 n −2 + = + = n −1 n 4n = 41+ n−1 = 4.4n −1 => 34 − = 34.4 − = − = c, Ta có : Bài 30: Chứng minh rằng: 34 n+1 + 2M 92 n − 1M a, D= b, G= HD: 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = 5M5 a, Ta có : 92 n − = − = b, Ta có : Bài 31: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 34 n +1 + 1(n ∈ N ) 24 n +1 − 2(n ∈ N ) a, b, HD: 34 n +1 + = 34 n.3 + = 1.3 + = a, Ta có : 24 n +1 − = 24 n.2 − = 6.2 − = b, Ta có : Bài 32: Trong số sau số chia hết cho 2,5 10 n 22 + 4(n ∈ N, n ≥ 2) a, HD: n b, 94 − 6(n ∈ N , n ≥ 1) n a, Ta có : 2n = 22+ n − = 2.2n − = 4.2n − => 2 + = 4.2 n−2 + = + = n −1 n 4n = 41+ n −1 = 4.4n −1 => 94 − = 94.4 − = − = b, Ta có : Bài 33: Chứng minh rằng: M a, 94260 - 35137 HD: ( 942 ) 15 a, Ta có : b, Ta có : M b, 995 – 984 +973 – 962 − ( 351) 37 = − .1 = .5M5 995 − 984 + 973 − 96 = 994.99 − 984 + 973 − 962 = 1.99 − + − = .0 Bài 34: Chứng minh rằng: 17 25 + 244 − 1321 M 10 a, HD: Hiển nhiên chia hết cho b, 8102 − 2102 M 10 21 a, Ta có: 17 25 + 244 − 1321 = 17 24.17 + 244 − 1320.13 = 1.17 + − 1.13 = 102 −2 102 b, Ta có: Bài 35: Chứng minh rằng: 3636 − 910 M45 a, HD: a, Ta có: = 8 − 2 = 6.64 − 6.4 = .4 − = 100 100 chia hết cho 10 b, nên chia hết cho 10 1028 + 8M72 3636 − 910 = − 98.92 = − .1.81 = − = 36M9 => 3636 M9,910 M9 => Chia hết cho 5, ta thấy đpcm 28 10 + = 10 00 + = 1000 008M b, Ta có : có tổng chữ số nên chia hết cho Khi chia hết cho 72 Bài 36: Chứng minh rằng: 88 + 220 M 17 165 + 215 M 33 a, b, HD: 88 + 220 = ( 23 ) + 20 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1) = 20.17 M 17 a, Ta có: 165 + 215 = ( 24 ) + 215 = 220 + 215 = 215 ( 25 + 1) = 215.33M 33 b, Ta có: Bài 37: Chứng minh rằng: 106 − 57 M 59 a, HD: b, 817 − 279 − 913 M45 106 − 57 = ( 2.5 ) − 57 = 26.56 − 57 = 56 ( 26 − ) = 56.59M59 a, Ta có: 817 − 279 − 913 = ( 34 ) − ( 33 ) − ( 32 ) = 328 − 327 − 326 = 326 ( 32 − − 1) = 326.5 = 324.45M45 b, Ta có: Bài 38: CMR: 2008100 + 200899 M2009 a, HD: a, Ta có: b, Ta có: b, 13 12345678 − 12345677 M 12344 2008100 + 200899 = 200899 ( 2008 + 1) = 200899.2009M2009 12345678 − 12345677 = 12345677 ( 12345 − 1) = 12345677.12344M 12344 M Bài 39: Cho n số tự nhiên, CMR : A=17n+111 (n chữ số 1) HD: A = 18n − n + 111 Ta có : Số 1111 có tổng chữ số 1+1+1+1+ +1 có n số nên n A = 18n − n + 1111 18nM9 Khi có nên cần 1111 1-n chia hết cho mà 1111 - n có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho Bài 40: Tìm chữ số tận tổng sau: HD: S = 21 + 35 + + 20048009 22 Ta thấy lũy thừa S có số mũ chia cho dư + + + + 2004 = 9009 => S Nên tổng S có chữ số tận là: có chữ số tận 11 8011 T = + + + + 2004 Bài 41: Tìm chữ số tận của: HD: Ta thấy lũy thừa T có dạng chia dư 3, Nên tổng T có chữ số tận : ( + + + + + + + ) + 199 ( + + + + + + + + ) + + + = 9019 + Vậy chữ số tận T Bài 42 : Tìm số dư : A = 21 + 35 + 49 + + 20038005 a, chia cho 11 8007 B = + + + + 2003 b, chia cho Bài 43: Tìm chữ số tận : C = 22 + 36 + 410 + + 20048010 a, D = 28 + 312 + 416 + + 20048016 b, Bài 44: Chứng minh chữ số tận số sau giống nhau: A = + 35 + 49 + + 20058013 B = 23 + 37 + 411 + + 20058015 a, Bài 45: Tìm chữ số tận của: A = 105 + 129 + 1413 + + 2014 4013 + 20164017 a, B = 99 + 1113 + + 20154021 + 2017 4025 b, C = 57 + 711 + 915 + + 20154027 + 2017 4031 c, D = 215 + 239 + 2513 + + 20173997 + 2019 4001 d, E = 2043 + 22 47 + 2451 + + 98203 + 100207 e, F = 28 + 312 + 416 + + 20048016 f, Bài 46: Tìm chữ số tận của: n n A = 194 + 7, ( n ≥ ) 20172 + 2016 ( n ≥ ) a, b, n n n C = 1999 + 1997 + 19964 + 2017 ( n ≥ ) Bài 47: Tìm chữ số tận của: n10 + 1M 10 Bài 48: Tìm số tự nhiên n để HD: n10 + = ( n ) n + 1M 10 => ( n ) n 2 Ta có: 10=4.2+2, nên 9999931999 − 555571997 M Bài 49: CMR: phải có tận 9=> n=3 n=7 23 Chú ý: Đối với tìm chữ số tận cùng: + Với chữ số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa bao nhiên (Khác 0) có chữ số tận 26n + Các số ln có tận 76 (n>1) 10 ,320 + Các số: có tận 76 01 + Còn lại đưa lên lũy thừa 2,4,5 trở 76 01 Bài 1: Tìm chữ số tận của: HD: Ta có: 2100 = ( 210 ) 10 2100 , 3100 ( = 76 ) 10 = 76 ( Ta có: ) 5151 = ( 512 ) 51 = 01 25 ( ) 9999 = ( 992 ) 99 = 01 49 49 Và 51 ,99 , 6666 ;14101.16101 51 Bài 2: Tìm chữ số tận : HD: ( ) 3100 = ( 320 ) = 01 = 01 99 25 51 = 51 99 = 99 6666 = ( 65133.6 ) = 76.6 = 56 14101.16101 = 224101 = ( 224 ) 224 = 76.224 = 24 50 99 Bài 3: Tìm chữ số tận của: HD: Ta thấy: => 99 n+1 9999 = 2n + => 9999 = 99 n +1 ( n ∈ N , n > 1) 99 99 9999 ; 512 k ,512 k +1 , 99 n , 99 n +1, 99 99 ,65n , 65n +1 ,666 thấy = 99 ( 99 ) n 9999 số lẻ nên = 99 01 = 99 Bài :Tìm số tận : Bài : Tìm chữ số : 492 n ;492 n +1 ( n ∈ N ) a, 24 n.38 n ( n ∈ N ) b, 23n + 3.3n +1 ( n ∈ N ) 23n.3n c, 2n 74 ,742 n +1 ( n ∈ N ) d, HD : 24 n.38 n = 24 n ( 32 ) b, Bài : Chứng minh : 4n 2003 , 9 , 74 2003 ,182004.68 2005 , 74 2004 = ( 18 ) 4n 24 a, A = 262 n − 26M B = 24 b, n +1 M 10 ( n ∈ N , n > 1) + 76M 100 ( n ∈ N ) M = 512000.74 2000.99 2000 c, HD: c, Có chữ số tận 76 A = 102008 + 125M45 Bài 7: Chứng minh rằng: HD: M A có chữ số tận nên A M M Mặt khác A có tổng chữ số :1+1+2+5=9 nên A Chú ý : Để đơn giản tìm chữ số tận số a, ta có TH : a n − 1M25 + a chẵn => Tìm n nhỏ cho a n − 1M 100 + a lẻ => Tìm n nhỏ cho 22003 Bài 8: Tìm dư chia cho 100 HD: 210 Ta có: tận 76 799 Bài : Tìm số dư chia cho 100 HD : n − 1M 100 => n = Ta có : số lẻ=> cần tìm 74 Khi : có tận 01 3517 Bài 10 : Tìm số dư : chia cho 25 HD : 3517 3517 Tìm chữ số tận 43=> chia cho 25 dư 18 A = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 Bài 11 : Tìm chữ số tận : HD : a ∈ N , ( a;5) = => a 20 − 1M25 Dựa vào tính chất : a M4, a100 − 1M4 => a M => a M25 Thấy a chẵn => a lẻ=> 2002 > A = + ( 2002 − 1) + + 2004 ( 20042002 − 1) + 2 + 32 + + 2004 2 chữ số tận A chữ số tận của tổng n ( n + 1) ( 2n + 1) B = 12 + 22 + 32 + + 20042 = với n= 2004 25 26 Dạng : NHÓM HỢP LÝ Bài 1: Chứng minh rằng: 3n + − 2n + + 3n − 2n M 10 a, HD : a, Ta có: b, VT = 3n.9 − n.4 + 3n − n = 3n ( + 1) − n−1.8 − n −1.2 = 3n.10 − 2n−1.10M 10 VT = 3n.9 − 2n.16 + 3n + 2n = 3n ( + 1) − 2n ( 16 − 1) = 3n.10 − n.15M30 b, Ta có: Bài 2: Chứng minh rằng: 8.2n + n+1 M 10 a, HD: a, Ta có: b, Ta có: 3n + − 2n + + 3n + 2n M 30 b, 3n +3 + 2n +3 + 3n +1 + 2n + M6 8.2n + 2n+1 = 8.2n + 2n.2 = 2n ( + ) = 10.2 n M 10 VT = 3n.27 + 3n.3 + 2n.8 + 2n.4 = 3n.30 + 2n.12M 32 n +1 + 2 n +2 M7 Bài 3: Chứng minh rằng: HD : n A = 3.32 n + 4.22 n = ( + ) + 4.2n = M + 7.2n M7 Ta có : Bài 4: Chứng minh rằng: 10n + 18n − 1M27 10n + 72n − 1M 81 a, b, D = HD: a, Ta có: VT = ( 10n − 1) + 18n = 999 + 18n VT = 9.1111 + 9.2n = ( 111 + 2n ) M9 111 + 2n ( có n chữ số 9) ( 1111 − n ) + 3n mặt khác: ( có n chữ số 1) = 111 − n Xét: có tổng chữ số 1+1+1+ +1-n=0 nên chia hết cho 111 1+2n chia hết cho 3=> VT chia hết cho 27 b, Ta có: D = 10n − + 72n = 9.111 − n + 81n = 9(111 − n) + 81n Xét 111 - n chia hết cho => D chia hết cho 81 3n +1 + 3n + + 3n +3 Bài 5: CMR : chia hết cho 13 với n HD: Ta có: 3n +1 + 3n+ + 3n +3 = 3n.3 + 3n.9 + 3n.27 = 3n.3 ( + + ) = 3n+1.13M 13 b, Chứng minh : Bài 6: Chứng minh rằng: 55 − 54 + 53 M a, + 75 − M 11 b, 3x +1 + 3x + + 3x +3 + + 3x +100 chia hết cho 120 27 c, 109 + 108 + 107 M222 M 555 106 − 57 M 59 d, HD: a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có : = 53 ( 52 − + 1) = 52.21M7 = 74 ( 72 + − 1) = 74.55M 11 = 107 ( 102 + 10 + 1) = 107.111M222 = ( 2.5) 57 = 56 ( 26 − 1) = 56.59M59 M 555 d, Ta có : Bài : Chứng minh : HD : = ( 34 ) − ( 33 ) − ( 32 ) Ta có : 817 − 27 − 913 M45 13 ( ) = 328 − 327 − 326 = 326 32 − − = 326.5M9.5 = 45 A = + 22 + 23 + + 2004 M3;7;15 Bài : Chứng minh : Bài : Chứng minh : 810 − 89 − 88 M 55 a, 4545.1515 M7530 b, 2454.5424.210 M7263 c, 4510 − 540 M2520 d, 10k − 1M 19 ( k > 1) , CMR :102 k − 1M 19 Bài 10: Cho HD: 102 k − = 102 k − 10k + 10k − = 10k ( 10k − 1) + ( 10k − 1) Ta có: 10k − 1M 19 Nhận thấy: /4 n2 + n + 1M Bài 11: Chứng minh rằng: HD: n + n + = n ( n + 1) + n ( n + 1) Ta có: , àm tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn Mà VP +1 nên số lẻ không chia hết cho /5 ∀n ∈ N , n + n + M Bài 12: Chứng minh rằng: HD: n + n + = n ( n + 1) + Vì , n ( n + 1) Vì tích số tự nhiên liên tiếp nên có chữ số tận 0; 2; n ( n + 1) + Khi đó: có tận 6;8;2 nên khơng chia hết cho 28 60n + 45M 15 Bài 13: Chứng minh rằng: Với n khơng chia hết cho 30 /2 n + n + 1M Bài 14: Chứng minh rằng: với số tự nhiên n HD: n + n + = n ( n + 1) Ta có: số lẻ nên không chia hết cho Tương tự chứng minh có chữ số tận khác nên không chia hết cho Bài 15: Chứng minh rằng: + + 32 + 33 + + 311 M4 + 52 + 53 + + 58 M 30 a, b, HD: A = + + 32 + 33 + + 310 + 311 = ( + 3) + 32 ( + 3) + + 310 ( + 1) a, Ta có: A = + 32.4 + 34.4 + + 310.4M4 B = + 52 + 53 + 54 + + 58 = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 57 + 58 ) b, Ta có: B = 30 + 52.30 + + 56.30 Bài 16: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + + 260 M 15 a, HD: a, Ta có: b, + + 32 + 33 + + 3119 M 13 C = + 22 + 23 + + 260 = ( + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + + 28 ) + + ( 257 + + 60 ) C = ( + + + 8) + 25 ( + + + ) + + 257 ( + + + ) D = ( + + ) + ( + + ) + + ( + + b, Ta có: 17 18 19 => C = 15 ( + 25 + + 257 ) ) D = 13 + 33.13 + + 317.13 = 13 ( + 33 + + 317 ) M 13 Bài 17: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + + 260 M3, 7,15 a, HD: a, Ta có: b, + + 32 + 33 + + 31991 M 13, 41 A = ( + 2 ) + ( 23 + 24 ) + + ( 259 + 260 ) A = ( + ) + 23 ( + ) + + 259 ( + ) => AM3 lại có: A = ( + 22 + 23 ) + ( 24 + 25 + 26 ) + + ( 258 + 259 + 260 ) A = ( + + 22 ) + 24 ( + + 22 ) + + 258 ( + + 22 ) M7 A = ( + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 ) + + ( 257 + 258 + 259 + 260 ) Lại có: A = 2.15 + 25.15 + + 257.15M 15 b, Ta có: B = ( + + 32 ) + ( 33 + 34 + 35 ) + + ( 31989 + 31990 + 31991 ) 29 B = 13 + 33.13 + + 31989.13M 13 Lại có: B = ( + 32 + 34 + 36 ) + ( + 33 + 35 + 37 ) + + ( 31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + ( 31985 + 31987 + 31989 + 31991 ) = 820 ( + + + 31984 + 31095 ) M41 Bài 18: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + + 2100 M 31 a, HD: b, + 32 + 33 + + 31998 M 12,39 A = ( + 22 + 23 + 24 + 25 ) + ( 26 + + 28 + 29 + 210 ) + + ( 296 + 297 + 298 + 299 + 2100 ) a, Ta có: A = 2.31 + 26.31 + + 296.31M 31 S = ( + 32 ) + ( 33 + 34 ) + + ( 31997 + 31998 ) b, Ta có: S = 12 + 32.12 + + 31996.12M 12 S = ( + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 ) + + ( 31996 + 31997 + 31998 ) mặt khác: S = 39 + 33.39 + + 31995.39M 39 Bài 19: Chứng minh rằng: + 32 + 33 + + 31000 M 120 11 + 112 + 113 + + 118 M 12 a, b, HD: a, Ta thấy tổng B chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng B chia hết cho 40 B = ( + 32 + 33 + 34 ) + + ( 3997 + 3998 + 3999 + 31000 ) = ( + + 32 + 33 ) + + 31997 ( + + 32 + 33 ) M40 M Như A 120 b, Ta có: C = ( 11 + 112 ) + ( 113 + 114 ) + + ( 117 + 118 ) C = 11( + 11) + 113 ( + 11) + + 117 ( 11 + 11) C = 11.12 + 113.12 + + 117.12 M 12 Bài 20: Chứng minh rằng: + 42 + 43 + + 210 M210 + + 52 + 53 + + 5404 M 31 a, b, HD: a, Tổng A hiển nhiên chia hết cho (1) Nên ta cần chứng minh tổng A chia hết cho 105=5.21 A = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 4209 + 4210 ) A = ( + ) + 43 ( + ) + + 4209 ( + ) = 4.5 + 43.5 + 4209.5 M A = ( + + ) + ( + + ) + + ( 4 208 +4 209 +4 210 ) (2) 30 A = ( + + 16 ) + 44 ( + + 16 ) + + 4208 ( + + 16 ) M21 (3) M Từ (1), (2) (3) ta thấy: A 210 b, Ta có : B = ( + + 52 ) + ( 53 + 54 + 55 ) + + ( 402 + 403 + 404 ) B = 31 + 53 ( + + 52 ) + + 5402 ( + + 52 ) M31 Bài 21: Chứng minh rằng: + 22 + 23 + 24 + + 2100 M a, HD: a, Ta có : b, 321 + 322 + 323 + + 329 M 13 A = ( + 22 ) + ( 23 + 24 ) + + ( 299 + 2100 ) A = ( + ) + 23 ( + ) + + 299 ( + ) = 2.3 + 23.3 + + 299.3 M B = (3 +3 +3 21 b, Ta có : 22 23 ) +(3 24 +3 +3 25 26 ) +(3 27 +3 +3 28 29 ) B = 321 ( + + 32 ) + 324 ( + + 32 ) + 327 ( + + 32 ) B = 321.13 + 324.13 + 327.13M 13 A = 75.(42004 + 42003 + + + + 1) + 25M 100 Bài 22: CMR HD: B = 42004 + 42003 + + 42 + + Đặt , Tính B thay vào A ta : A = 75 ( 42005 − 1) : + 25 = 25 ( 42005 − 1) + 25 = 25 ( 42005 − + 1) = 25.4 2005 Bài 23: CMR: HD: M 100 M = 2012 + 2012 + 20123 + + 2012 2010 M2013 M = ( 2012 + 20122 ) + ( 20123 + 20124 ) + + ( 20122009 + 20121010 ) M = 2012 ( + 2012 ) + 20123 ( + 2012 ) + + 20122009 ( + 2012 ) M = 2012.2013 + 20123.2013 + + 20122009.2013M2013 Bài 24: Cho HD: A = + + 22 + + 22008 , Tìm dư A chia cho A = + + ( 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 ) + + ( 22006 + 22007 + 22008 ) A = + 22 ( + + 22 ) + 25 ( + + 22 ) + + 22006 ( + + 2 ) A = + 22.7 + 25.7 + 22006.7 , Nhận thấy A chia dư A = + + + + 25 n −3 + 25 n − + 25 n −1 Bài 25: CMR : chia hết cho 31 n số nguyên dương HD: 31 A = ( + + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) + + ( 25 n −5 + 25n −4 + 25 n −3 + 25 n −2 + 25n −1 ) A = 31 + 25 ( + + 22 + 23 + 24 ) + + 25 n −5 ( + + 22 + 23 + 24 ) A = 31 + 25.31 + + 25 n −5.31M 31 3n + 3n+ + Bài 26: Cho n số nguyên dương, CMR : , bội 10 bội 10 HD: 3n + 3n + 3n Nếu , Là bội 10 có tận số 0=> có tận n+4 n + = 3 + = .9.81 + = + = M 10 Mà (đpcm) N = + 52 + 53 + + 52012 Bài 27: CMR : bội 30 HD: N = ( + 52 ) + ( 53 + 54 ) + + ( 52011 + 52012 ) N = 30 + 52 ( + 52 ) + + 52010 ( + 52 ) = 30 + 52.30 + + 52010.30M30 S = + 42 + 43 + + 42004 Bài 28: Cho HD: , CMR S chia hết cho 10 3S+4 chia hết cho 42004 S = ( + 42 ) + ( 43 + 44 ) + + ( 42003 + 42004 ) S = ( + ) + 43 ( + ) + + 2003 ( + ) = 4.5 + 43.5 + + 2003.5 => S M5, S M2 => S M 10 4S = 42 + 43 + 44 + + 42005 Mặt khác: => 4S − S = 3S = 42005 − => 3S + = 42005 M42004 N = 0,7 ( 2007 2009 − 20131999 ) Bài 29: Cho HD: N= ( 2007 2009 − 20131999 ) 10 2007 2009 − 2013 1999 = 2007 , CMR: N số nguyên , Để Chứng minh N alf số nguyên N chia hết cho 10 hay: 2007 − 20131996.20133 = 1.2007 − = − = 0M 10 2008 Vậy N chia hết cho 10, Khi N số nguyên a − a M6 Bài 30: CMR: B = 52008 + 52007 + 52006 M31 Bài 31: Chứng minh : HD : B = 52006 ( 52 + + 1) = 31.52006 M31 Ta có : 88 + 220 M 17 Bài 32: Chứng minh : HD : C = ( 23 ) + 220 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1) = 220.17M 17 Ta có: 32 D = 3135.299 − 3136.36M Bài 33: Chứng minh rằng: HD: D = 3135 ( 299 − 313.36 ) = 3135 ( −1567 ) M7 Ta có: A = + + + + n −1 + n M 400 Bài 34: Chứng minh rằng: HD: 400 = + + 72 + 73 Ta có: , nhóm số hàng tổng A Bài 35: Chứng minh rằng: A = 13 + 33 + 53 + 73 M23 a, B = + 33 + 35 + 37 + + 32 n +1 M30 b, A = ( + + 22 + 23 + + 22008 + 22002 ) Bài 36: Tìm số dư A chia A cho biết: HD: Nhóm số hạng Bài 37: Chứng minh rằng: 87 − 218 M 14 817 − 279 − 913 M405 1099 + 23 M9 1028 + 8M 72 a, b, c, d, 439 + 40 + 41 M28 e, HD: = 218 ( 23 − 1) a, c, Tổng chữ số Bài 38: Chứng minh rằng: 70 + 71 + + + 7101 M a, + + + + 416 M b, 2000 + 20002 + 20003 + + 20002008 M 2001 c, A = 33 + 35 + 37 + + 31991 M 13 M Bài 39: Chứng minh rằng: 41 HD: Nhóm nhóm Bài 40: Chứng minh rằng: A = + 52 + 53 + + 58 M 30 a, B = + 33 + 35 + 37 + + 329 M273 b, HD: b, Nhóm A = + 2 = 23 + 24 + + 2120 M217 Bài 41: Chứng minh rằng: HD: Ta có: 217=7.31 Bài 42: Cho HD: C = + 32 + 33 + 34 + + 3100 M , CMR: A 40 33 Nhóm 3x+1 + 3x+2 + 3x+ + + 3x+100 Bài 43: Chứng minh rằng: HD : 3x+1 + 3x+ + 3x+3 + + 3x+100 ( ) ( chia hết cho 120 với x số tự nhiên ) ( = 3x+1 + 3x+ + 3x+3 + 3x+ + 3x+ + 3x+ + 3x+ + 3x+8 + + 3x+97 + 3x+98 + 3x+ 99 + 3x+100 ( ) ( ) ( = 3x 3+ 32 + 33 + 34 + 3x+ 3+ 32 + 33 + 34 + + 3x+96 3+ 32 + 33 + 34 ) ) = 3x.120 + 3x+ 4.120 + + 3x+96.120 ( ) = 120 3x + 3x+ + + 3x+96 M 120 Bài 44: Cho biểu thức : B = 36 + 38 + 3648 , Tìm số dư chia B cho 91 34 ... chia 12 dư b, Vì a+b= 14 nên abc bca cab Bài 32: Ch? ? ?ng minh chia h? ? ?t cho 37 chia h? ? ?t cho 37 Bài 33: M? ?t số t? ?? nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 34: T? ?m... số t? ?? nhiên bi? ?t chia cho 17 số dư hai l? ??n bình phư? ?ng số thư? ?ng Bài 35: Ch? ? ?ng minh t? ??n số t? ?? nhiên chia cho 21 dư chia cho 84 l? ??i dư Bài 36: Cho số nguyên dư? ?ng kh? ?c thỏa mãn : t? ? ?ng hai số chia. .. Bài t? ? ?p ? ?p d? ?ng : Bài 1: T? ?m số dư ph? ?p chia HD: 20 04 20 04 chia cho 11 16 Dấu hiệu chia h? ? ?t cho 11 hiệu ch? ?? số h? ?ng l? ?? với ch? ?? số h? ?ng ch? ??n t? ?nh t? ?? bên trái chia h? ? ?t cho 11 2002M 11 => 20 04 ≡