C 13 chuyên chia h t

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n  số dư - Trong n  - Nếu n 1  a;b  d n 1 nhận hai số ngun liên tiếp, ln có số chia hết cho n tồn hai số nguyên x, y cho: ax  by  d B LUYỆN TẬP DẠNG 1: SỬ DỤNG CÁC DẤU HIỆU, TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, * Chữ số tận 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết tổng Bài : Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n  n  3n  n chia hết cho 10 n n2 n n n n n n HD: ta có    =    n n = (3  1)  (2  1) n n n  2n1 10 = 10 2 5 3 10 = 10( 3n -2n) n n2 n n Vậy    M10 với n số nguyên dương Bài : Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100 Cho m, n N* p số nguyên tố thoả mãn: = (1) Bài : Chứng minh : p2 = n + HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p M(m 1) p số nguyên tố m, n N*  m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n N*  m – = p2 m + n =1  m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy Bài 4: p2 = n + a) Sè cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , khơng chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k  N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q  N*) Suy : = 7k + + 7q – = 7( k + q) M7 Bài : n 2 n 4 n n a) Chứng minh rằng:    chia hết cho 30 với n nguyên dương b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) Bài : a) Chứng minh rằng: 3a  2b 17  10a  b 17 (a, b  Z ) b) Cho đa thức f ( x)  ax  bx  c (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho HD: a) ta có 17a – 34 b M17 3a + 2b M17  17 a  34b  3a  2b M17  2(10a  16b) M17  10a  16b M 17 (2, 7) =  10a  17b  16b M 17  10a  b M 17 b) Ta có f(0) = c f(0) M3  cM3 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho  2bM3  bM3 ( 2, 3) = f(1) M3  a  b  cM3 b c chia hết cho  a M3 Vậy a, b, c chia hết cho 102006  53 Bài : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên b) Cho số nguyên tố (n > 2) Chứng minh hỵp sè HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hờt cho v số nguyên tè (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số DẠNG 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA   Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có : HD : Ta có : n 7n số chẵn với số tự nhiên n nên AM2 A  n 2n  7n  7 M6   Lấy n chia cho ta : Với r   n  3k  AM3 Với r  1 n  3k   2n   6k  9M3  AM3 Với r   n  3k   7n  1 21k  15M3  AM3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : n  3k  r k  N,0  r  A  4a2  3a  5M6 HD : Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng : a  6m 1, m Z   a  6m 1 A  4 6m 1  3 6m 1   6 24m  5m 1 M6 Với a  6m  A  4 6m 1  3 6m 1   24m2  11m M6 Với 2 Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: n  9n  2M11 HD: Ta có:   n2  9n  2M 11 n2  2n  2M 11 n2  2n  M 11 4n2  8n  1M 11   2n  1  2n  3 M 11 ,   Khi đó: 2n 1M11 2n 3M11  n  11m Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho 4n  1M5 chia hết cho 13 HD: n  11m 7, m N   Đặt Chọn r cho 4r  1 65 r  4 , Vậy với số n  65k  thỏa n  65k  r, k  N,0  r  64 mãn 2n n Bài 5: Chứng minh nM3 A    1M13, n N HD: Vì   n  3k  r, k  N,1 r  2 nM Khi đó: A 3 3k r    36k  1 33      33kr   32r 36k   3r 33k   32r  3r  2k     33  M  26M M 13  Lấy n chia cho ta có: Với Với  33k  1 33  N  26N M 13 Thấy: 2r r Với r       3 1M13  AM13 2r n Với r         91M13  AM13 n Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để  1M7 HD: n  3k  r, k  N,0  r  2 r   n  3k  2n   23k  1 8k  1  8 1 M  7M M7   r   n  3k   2n   28k1   2.23k   23k   Mà k  1M7   chia dư , n   r   n  3k   2n   23k2   23k   Với 3k n Mà  1M7   chia dư Vậy với n  3k, k  N  Bài 7: Chứng minh rằng: HD: n  1M7    A  n n2  n2  M5, n Z Lấy n chia cho ta được: Với r   nM5  AM5 n  5q  r, q,r  Z,0  r  4 Với r  1,4  n  4M5  AM5 Với r  2,3  n  1M5  AM5 5 Bài 8: Cho A  a1  a2   an B  a1  a2   an , Chứng minh rằng: A  BM30 HD:     a  a  a  a  1  a  a  1  a  1  a  1 M30 Xét Ta có: B  A  a15  a1   an5  an 1 Bài 9: Chứng minh HD: 1  n;6  1 2 n  1M24,n Z  Vì   Với r  1  n  1M24 2n n Bài 10: Tìm số tự nhiên n để:   1M7 n;6  1 n  6k  r, k,r  N,r  1 HD: Xét n  3k  r, k,r  N,0  r  2     22n  2n   22r 26k   2r 23k   22n  2n  Ta có: 2n n Xét TH cụ thể ta được:   1M7 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m   n , Chứng minh rằng: mnM5 HD:     24m4   n2  25m4  m4   25m4   m 1  m 1 m2  Ta có: Nếu mM5  mnM5  ĐPCM Nếu    m;5  mM  =>     m5  m m m4   m m 1  m 1 m2    m m 1  m 1 m2     m 2  m 1 m m 1  m 2  5m m 1  m 1 M5 Nên m  1M5  n M5  nM5  mnM5 , ĐPCM 2 Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : x  8x  2xMx  HD :     x3  8x2  2x  x x2   x2   x  8Mx2   x  8Mx2  Ta có : Nếu x    x  8 thỏa mãn x   x   x2   x   1; 2  x  0;2 Nếu 2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a  15ab  b M49  3a  bM7 HD: Ta có: 5a2  15ab  b2 M49  5a2  15ab  b2M7  9a2  6ab  b2M7   3a  b M7  3a  bM7 Mặt khác: 3a  bM7  3a  b  7k  k  Z  b  7k  3a  5a2  15ab  b2    5a2  15a 7k  3a   7k  3a  49 3ak  a2 M49 2 Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho a  b chia hết cho tích a.b A Tính giá trị biểu thức: a2  b2 ab HD:  a  da1 d   a; b   , a1;b1  a2  b2  d2  a1  b1 b  db   1 Gọi , ta có: ab  d ab 2 2 2 2  a1  b1 Ma1 b1  a1 Mb1 b1 Ma1 1 Vì a  b Mab  a1  b1 Mab Vì  a ;b   1 a Mb 1 A  d2 a12  b12 d2ab 1 b1Ma1  a1  b1    2.d a 2 2 da 2 Vậy Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A  m n 2 B  m  n HD : Gọi d  UCLN  A; B , Vì  m; n  1 A, B tính chẵn lẻ : 2mn  A  BMd 2mn  2n  2nAMd  2n Md (1) Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => 2Md  d  2 Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ Vì  m;n  1 d   1  n Md , tương tự : m Md 2 2n  10a  b,  b  10 n Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: abM6 HD: n Ta có:  10a  b  bM2  abM2 , ta cần chứng minh abM3 n n Mặt khác :  10a  b  có chữ số tận b   Đặt n k Nếu r    16 có tận  b   abM6 n  4k  r, k,r  N,0  r   2n  16k.2r Nếu    r   2n  2x  2r 16k  M 10  2n    10a  2n  2x  2r 16k  M3  aM3  abM6 Bài 18: Cho số tự nhiên n  , Chứng minh rằng: S  15  25  35   n5M 1  3  n HD: r r tận  b  Đặt: 2A  2 1  3  n  n n  1 n n * Mặt khác, với n lẻ ta có: a  b Ma  b,(a,b N )     2S  15  n5   25   n  1   n5  Mn     Nên 5  2S   15   n  1  25   n  2    n  1    2n5Mn    n;n  1  1 2SMn n 1  2A  SMA       Mà p 1  1    , p, q Z 1319 Bài 19: Cho q Chứng minh pM1979 HD: 1 p  1     1         1319  1318  2 Ta có: q   1   1  1   1    1        1319 659     660 1319  2.p  1   1   1979.A 2pB            B  q  q  660 1319   661 1318 1319 660   1979.A  1979  pM 1979 Mà B M   a1,a2, a3, an   1; 1 , n N * Bài 20: Cho Chứng minh rằng: nM4 HD: Đặt  , thỏa mãn: a1a2  a2a3  a3a4   ana1  , x1  a1a2, x2  a2a3, , xn  ana1  x1, x2, x3   1; 1 , Hơn x1  x2   xn  Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 (m N ) *  n  2m x1x2x3 xn   1 m x1x2x3 xn   a1a2 an   Từ ta m số chẵn => n chia hết cho Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: HD:  a  b  a  b  7ab a  b  a Ta có:   a  ab  b M7 ab a  b M Vì  7 2 3 Chọn b   a  a  1  a 7 ab a  b M  ab  b2  a  b   a7  b7M77 DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: An  Bn M A  B ,n LẺ Bài 1: Chứng minh A  2005  60  1897  168 M2004,n N HD: Ta có: 2004  12.167 , ta cần chứng minh AM12, AM167 n Ta có :  n n   A  2005n  1897n  168n  60n Áp dụng tính chất : Khi : an  bn M a  b , Tương tự : n   với n tự nhiên a  b  2005  1897 M 2005 1897 n   168n  60n M 168  60 A  2005n  168n  1897n  60n  n   => Vậy A M12 Khi AM167   A  5n 5n   6n 3n  2n M91 Bài 2: Cho n N , CMR : HD: Ta cần chứng minh AM7 AM13 Ta có :    A  25n  5n  18n  12n  25n  18n  12n  5n Áp dụng tính chất :  an  bn M a  b  AM7     A  25n  12n  18n  5n  AM 13 Tương tự : 2n n n1 Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng:  19  M17 HD: Ta có:    19  M17 Vì 3 3 Bài 4: Chứng minh rằng:    M2 HD : 36n  2n M36   34 Ta có:   A  62n  19n  2n1  36n  19n  2.2n  36n  2n  19n  2n n  n    A  13  33  53  73  13  73  33  53  8N  8M M8 8n 6n n n Bài 5: Chứng minh rằng:  1980  441  1M1979,n N HD: Ta có:    A  28n.56n  1980n  441  46n  441n  1980n  1n   6n n n n n n Vì  441  4000000  441 M3999559 1980  M1979 6n 6n Bài 6: Chứng minh rằng:  M35,n N HD: Ta có:          M        M  35.19M M35 36n  26n  36 n n 6 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : HD : 3 3 5n   26.5n  82 n 1 M 59  n2 n n 1 51.5n  8.64n   59   5n  8.64n  59.5n  64n  5n  26.5  M 59 Ta có: = n 64  M 64   Vì   nên ta có đpcm 2n Bài 8: Chứng minh rằng:  14M15 HD: Ta có:   92n  14  92n  1 15  81n   15  80n  15M5 n n n Bài 9: Chứng minh rằng: A  20  16   1M232,n N HD: Tách 232  17.19 Khi đó:   20n  3n   20  3 M  17M M 17 Lại có: Khi đó: AM17 Mặt khác: Mà   A  20n  3n  16n     A  20n   16n  3n 20  1  20  1 P  19.P M 19 n  , 16n    16  1 N  17N M 17 , 16n  3n   16  3 Q  19.QM 19  AM 19 nn  n2  n  1M n  1 ,n  Bài 10: Chứng minh rằng: HD: n   nn  n2  n   1M n  1  Với Với   n   A  nn  n2  n  1 nn  n2   n  1      n2 nn2    n  1  n2  n  1 nn3  nn4     n  1          n  1 nn1  nn2   n2    n  1  nn1    n2    n  1      n  1 M M n  1 2 2n1 2n Bài 11: Chứng minh rằng:  M7,n N HD: 32n1  22n2  3.32n  2.2n  3.9n  4.2n  3.  2  4.2n  7.M  7.2nM7 n Ta có: Bài 12: Chứng minh rằng: HD: Ta có:     mn m4  n4 M30,m, n N       mn m4  n4  mn m2  m2   mn n2  n2  M30 n Bài 13: Chứng minh rằng: A   63M72, n N, n  n số chẵn HD:     n  2k, k  N   3n  63  32k  63  32k   64  9k   64M8 Đặt n Mặt khác: n   M9 63M9  AM9 n n n Bài 14: Tìm giá trị n để: A  20  16   1M323 HD: Ta có: 323  17.19 2n 4n1 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A   M25 HD: 2n 4n1 2n 4n 2n 2n 4n Ta có: A    27 2  25  2 hay AM8   32n.25 9n  16n  Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a  1  b  1 M 192 HD: a   2k  1 , b   2k  1 ,  k  N  Đặt  a  1  b  1  16k k  1  k  1 M64 , Khi ta có: M3 2 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c , Chứng minh rằng: abcM60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M  abc Nếu a, b, c không chia hết cho  a ,b ,c chia hết cho dư  a2  b2  c2 , Do có số chia hết cho Vậy MM3 2 2 2 Nếu a, b, c không chia hết cho  a ,b ,c chia dư  b2  c2 chia dư hoặc  a2  b2  c2 , Do có số chia hết cho => M M5 Nếu a, b, c số lẻ  b ,c chia dư Do hai số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn: + Nếu c số chẵn =>M M4 2  b2  c2   mod4  a2  b2  c2 2  b2   a  c  a  b + Nếu c số lẻ, mà a  b  c  a số lẻ  b  a c   a  c  b          chẵn  bM4  M M4  2     Vậy M  abcM3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n  60n  24M24 HD : Ta có:  36n2  60n  24  12n 3n  5  24 ,  n 3n  5 M2 Thấy n;3n không đồng thời chẵn lẻ => ĐPCM DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh A  16  15n  1M225,n N HD: Với n   A  0M225 k Giả sử n  k  A  16  15k  1M225 n * 16k1  15 k  1  1M225 n  k  Ta cần chứng minh với k1 16  15 k  1  1 16.16k  15k  16  16k  15k   15.16k  15 Thật vậy:   n *  16k  15k  1 15.15.M  A  225.M M225 Vậy A  16  15n  1M225,n N 3n Bài 2: Chứng minh rằng:  26n  27M29,n  HD: 2n * Bài 3: Chứng minh rằng:  1M15,n N ... , Do c? ? số chia h? ? ?t cho Vậy MM3 2 2 2 Nếu a, b, c không chia h? ? ?t cho  a ,b ,c chia dư  b2  c2 chia dư ho? ?c  a2  b2  c2 , Do c? ? số chia h? ? ?t cho => M M5 Nếu a, b, c số lẻ  b ,c chia dư... cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: chia h? ?t cho HD: a) Ta c? ? 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số t? ?? nhiên kh? ?c không) = 3.1 + Suy : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia h? ? ?t cho , khơng chia h? ? ?t cho... 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c , Chứng minh rằng: abcM60 HD : Ta c? ? : 60=3.4.5, đ? ?t M  abc Nếu a, b, c không chia h? ? ?t cho  a ,b ,c chia h? ? ?t cho dư  a2  b2  c2 ,