C 11 a TH c l p 7

CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP Dạng 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ f ( x ) = a.x + bx + c Bài 1: Cho đa thức: f ( ) = 2; f ( 1) = 7; f ( −2 ) = −14 , Xác định hệ số a,b,c biết: f ( x) = a.x + bx + c f( −2) = 0, Bài 2: Cho đa thức: đơn vị , Xác dịnh a, b, c biết: ( 2) = a số lớn c ba P ( x ) = a.x + bx + c Bài 3: Cho đa thức bậc hai: P ( ) = −2, P ( x ) − P ( x − 1) = x − , biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau: , CMR: a+b+c=0 xác định đa thức P(x)  1 f( −1) = 2, ( 0) = 1, f ÷ = 3, ( 1) = f ( x) = ax + bx + cx + d  2 Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn: , Xác định giá trị a, b, c d P ( x) = a.x3 + bx2 + cx + d P ( 0) = 2017, P ( 1) = 2, P ( −1) = 6, P ( 2) = −6033 Bài 5: Xác định đa thức: , biết: y = f ( x ) = ax + bx + c Bài 6: Cho hàm số: cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2) HD: f (0) = 2010 => c = 2010 f (1) = 2011 => a + b + c = 2011 => a + b = Theo gt ta có: , −1 = f (−1) = 2012 => a − b + c = 2012 => a − b = 2 =>a= , b hàm số có dạng y = f ( x ) = x − x + 2010 2 => f(2)=2017 G ( x ) = a.x + bx + c Bài 7: Cho đa thức (a, b, c hệ số) G ( −1) a, Hãy tính biết a+c=b - G ( ) = 4, G ( 1) = 9, G ( ) = 14 b, Tìm a, b, c biết: f ( x) = x2 − ax − ( ) g( x) = x3 − x2 − x − a − 2015 Bài 8: Cho đa thức: a, Tìm a biết -1 nghiệm f(x) b, Với a tìm câu a, Tìm nghiệm cịn lại f(x) tính g(2) y = f ( x ) = ax + bx + c f ( ) = 2014, f ( 1) = 2015, f ( −1) = 2017 Bài 9: Cho hàm số biết , f ( −2 ) Tính HD: f ( ) = 2014 => c = 2014 Ta có: f ( 1) = 2015 => a + b + c = 2015 => a + b = f ( −1) = 2017 => a − b + c = 2017 => a − b = f ( x ) = x − x + 2014 => f ( −2 ) = ( −2 ) − ( −2 ) + 2014 = 2024 => a = 2, b = −1 , đó: Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau hai đa thức sau đồng nhất: A = a.x − x + x − ( x − 3x ) B = x − 3bx + c − f ( x ) = x +a.x+b Bài 11: Xác định hệ số a, b đa thức : trường hợp sau : a, f(0) = f(x) nhận x = nghiệm b, Các nghiệm đa thức g(x) = (x+1)(x-2) nghiệm f(x) f ( x ) = a x + x ( x − 1) + g ( x ) = x + x ( bx + 1) + c − Bài 12: Cho Xác định a,b,c để f(x)=g(x) , a,b,c số P ( x ) = x + 2mx + m2 Bài 13: Cho hai đa thức: P ( 1) = Q ( −1) Q ( x ) = x + ( 2m + 1) x + m2 , Tìm m để p( x) = x + 2mx + m2 & q( x) = x + ( 2m + 1) x + m Bài 14: Cho hai đa thức: , Tìm m biết : p(2) = q(-2) P ( x ) = x − 2ax + a Q ( x ) = y + ( 3a + 1) y + a P ( 1) = Q ( 3) Bài 15: Cho hai biểu thức : , Tìm số a cho A a + 1; a − a y = f ( x ) = ax + ( Câu 16: Cho hàm số a, Tìm a ) có đồ qua điểm f ( 3x − 1) = f ( − 3x ) b, Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: HD: A a + 1; a + a ( ) a − a = a ( a + 1) + a, Đồ thị hàm số y=ax+4 qua điểm nên ta có: 2 a − a = a + a + => a = −2 => Vậy a=-2 đồ thị hàm số qua điểm A y = f ( x ) = −2 x + => f ( x + 1) = −6 x + f ( − 3x ) = x + b, Với a=-2 ta có hàm số f ( 3x − 1) = f ( − x ) => −6 x + = x + => x = Để f ( x) = a.x3 + 4x x2 − + g( x) = x3 + 4x( bx + 1) + c − ( Bài 17: Cho f ( x) = g( x) ) , Trong a, b, c số, Xác định a, b, c để HD : ( ) f ( x) = a.x3 + 4x x2 − + = a.x3 + 4x3 − 4x + = ( a + 4) x3 − 4x + Ta có : g( x) = x3 − 4x( bx + 1) + c − = x3 − 4bx2 − 4x + c − Và f ( x) = g( x) Do nên ta có : a + =   −4b = => { a = −3; b = 0; c = 11 c − =  f ( x) − f ( x − 1) = x Bài 18: Tìm đa thức bậc hai cho : HD : Áp dụng tính tổng : S = 1+ + 3+ + + n f ( x) = ax2 + bx + c( a ≠ 0) Vì đa thức bậc hai nên có dạng f ( x − 1) = a( x − 1) + b( x − 1) + c Ta có :    a = a =  f ( x) − f ( x − 1) = 2ax − a + b = x =>  =>   b − a = b =  Và f ( x) = Vậy đa thức cần tìm : x = => f( 1) − Áp dụng : Với x = => f( 2) − Với … x + x+ c 2 ( 0) = 1 2 , c số ( 1) = x = n => f ( n) − f ( n − 1) = n Với => n( n + 1) n2 n S = 1+ + 3+ + n = f ( n) − f ( 0) = + + c− c = 2 P ( x) Bài 19: Cho đa thức Tính f(2) HD: Ta có: xác định với x thuộc R, Biết với x ta có: 1 f ( 2) + f  ÷= 2 (1) 1 f  ÷+ f ( ) = 2 f ( 2) = Trừ vế (2) cho (1) ta có: −13 , => 1 f ( 2) + f  ÷= 2 f ( 2) = đó: 1 f ( x ) + f  ÷= x2 x −13 24 (2) f ( x ) = x17 − 2015x16 + 2015x15 − 2015 x14 + + 2015 x − Bài 20: Cho Bài 21: Cho đa thức: f ( x ) = − x + 3x + x + x − x − x , Tính f ( x) , Tính giá trị Bài 22: Tính giá trị đa thức sau biết x+y=0 A = x = y + 3xy ( x + y ) + ( x y + x y ) + a, f ( 2014 ) x −1 = B = 3xy ( x + y ) + x y + x y + b, x2 + y2 = P = x + 3x y + y + y Bài 23: Cho , Tính giá trị biểu thức : N = xy z + x y z + x y z + + x 2014 y 2015 z 2016 Bài 24: Tính giá trị biểu thức: , x=-1, y=-1, z=-1 HD : N = xyz yz + x y z yz + x y z yz + + x 2014 y 2014 z 2014 yz Ta có N = − xyz − x y z − x y z − − x 2014 y 2014 z 2014 Thay y=-1, z=-1 vào ta được: 2014 = − ( xyz ) − ( xyz ) − ( xyz ) − − ( xyz ) N = − + − + + − = Thay xyz=-1 vào ta : A = x ( x − 3) − x ( x − ) − ( x − 403) Bài 25: Cho đa thức: Tính giá trị A x=4, Tìm x để A=2015 ( A = 11x y z + 20 x yz − ( xy z − 10 x yz + x y z ) − 2008 xyz + x y z ) Bài 26: Cho đa thức: a, Tìm bậc A b, Tính A 15x-2y=1004z HD: A = 30 x yz − xy z − 2008 xyz = xyz (15 x − y − 1004 z ) Thu gọn Bài 27: Tính giá trị biểu thức: 5x2 + x − x − 2009 x + 2009 x − 2009 x + 2009 x − 2010 Bài 28: Tính giá trị biểu thức: x −1 = x5 − y + ( x − 1) 20 + ( y + 2) 30 x=2008 =0 Bài 29: Tính giá trị biểu thức: , biết 100 A ( x ) = x + x + x + + x Bài 30: Cho đa thức: , x= a, CMR: x=-1 nghiệm A(x) b, Tính giá trị A(x) HD: a, A(-1)= -1+1-1+1- -1+1=0 nên -1 nghiệm A, A ( x ) = x ( x + 1) + x ( x + 1) + + x99 ( x + 1) x= b, Với 1 1 => A = + + + 100 2 2 N = xy2z3 + x2y3z4 + x3y4z5 + + x2014y2015z2016 x = −1; y = −1; z = −1 Bài 31: Tính giá trị đa thức: , Tại HD: = xyz.yz2 + x2y2z2.yz2 + x3y3z3.yz2 + + x2014y2014z2014.yz2 Ta có: y = −1; z = −1 N = − xyz − x2y2z2 − x3y3z3 − − x2014y2014z2014 Thay vào ta được: xyz = −1 => N = 1− 1+ 1− 1+ + 1− = Thay M = a.x + b ∈Z Bài 32: Cho biểu thức: (a,b ) Lương nói: Giá trị biểu thức M x=23 2009 Minh nói: Giá trị biểu thức M x=18 là: 1458 CMR hai bạn có bạn nói sai ! HD: Giả sử hai bạn đúng, ta có: 23a+b=2009 18a+b=1458 đó: ( 23a + b ) − ( 18a + b ) = 2009 − 1458 => 5a = 551 => a ∈ Z ( Vơ lý) có bạn nói sai 10 B = x − 12 x + x + x + 2010 3x9 − x + x3 + = Bài 33: Tính giá trị biểu thức : , x thỏa mãn : B ( x ) = a.x + bx + c Bài 34: Cho đa thức: A ( ) A ( 1) ≤ a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR: b, Cho A(x) =0 với x, CMR: a=b=c f ( ) f ( −3) ≤ c, Nếu 13a-b+2c=0 B ( x ) = a x + bx + c Bài 35: Cho đa thức: A ( ) A ( 1) ≤ a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: A ( x ) = 0, ∀x b, Cho , Chứng minh a=b=c=0 f ( x ) = a x + bx + c Bài 36: Cho đa thức: f ( −1) f ( ) ≤ 5a + b + c = a, CMR nếu: f ( ) f ( −3) ≤ 13a − b + 2c = b, CMR: Nếu P ( x ) = a.x + bx + c P ( ) P ( −1) ≤ 5a + b + 2c = Bài 37: Cho , CMR nếu: HD: P ( ) + P ( −1) = 5a + b + 2c = => P ( ) = − P ( −1) P ( ) P ( −1) ≤ Ta có : P( x ) = a.x + bx + c ≤ Bài 38: Cho đa thức : , CMR 5x-b+2c=0 P(1).P(-2) HD : P (1) + P( −2) = a + b + c + 4a − 2b + c = 5a − b + 2c = Ta có : f ( x ) = a x + bx + c, f ( ) , f ( 1) , f ( ) nên P(1)= -P(-2) Bài 39: Cho đa thức có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, 2a, 2b số nguyên f ( n) b, số nguyên với giá trị nguyên n f ( x ) = a x + bx + c f ( x ) M3 Bài 40: Cho đa thức , a, b, c số nguyên, biết giá trị với M giá trị nguyên x, CMR a,b,c cho P = xyz − xy − xz , Q = x + y Bài 41: Cho , CMR: x-y=z P+Q=0 Bài 42: Cho đa thức bậc : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện số b để thỏa mãn hệ thức : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x ) = a.x + bx + c Bài 43: Cho đa thức biết f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, c, 2a, 2b số nguyên b, f(n) số nguyên với giá trị n f ( x ) = a.x + bx + c Bài 44: Cho , Trong a, b, c số nguyên, biết giá trị f(x) chia hết cho với giá trị x, CMR a, b, c chia hết cho Q ( x) = ax3 + bx2 + cx + d,( a,b, c, d ∈ Z) Bài 45: Cho đa thức: , Biết Q(x) chia hết cho với số nguyên x, CMR: hệ số a,b,c,d chia hết cho f ( x ) = ax + bx + c ( a, b, c ∈ Z ) Bài 46: Cho hàm số : Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3, f(-1) chia hết cho 3, CMR a,b,c chia hết cho HD: M M M M M Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) nên c 3, Vì f(-1) nên a+b+c 3=>a+b (1) M M M M M M M f(-1) nên a-b+c => a-b (2), Từ (1) (2) nên (a+b)+(a-b) =>2a 3=>a 3=>b f ( x ) = −2010 x Bài 47: Cho , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b) a.x + bx + c = Bài 48: Cho đa thức : với giá trị x, CMR : a=b=c=0 HD: a.x + bx + c = Vì đa thức với x, Ta cho x nhận giá trị x=0, x=1 x=-1 Ta có : c=0, a+b+c=0 a-b+c=0=> a=b=c=0 f ( x ) = ax + bx + c Bài 49: Cho đa thức: , CMR f(x) nhân -1 nghiệm a c hai số trái dấu HD: Ta có nghiệm f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, -1 nghiệm nên a-b+c=0 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, a c hai số đối f ( x ) = a.x + bx + c Bài 50: Cho số nguyên HD: nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x, CMR : 2a, a+b c f ( ) = a.02 + b.0 + c = c ∈ Z f ( 1) = a + b + c ∈ Z => a + b ∈ Ta có : f ( ) = 4a + 2b + c ∈ Z => 2a + 2(a + b) + c ∈ Z => 2a ∈ Z P( x) = a.x + bx + cx + d Bài 51: Cho đa thức với P(0) P(1) số lẻ, CMR : P(x) khơng thể có nghiệm số nguyên HD : P(0)=d lẻ P(1)=a+b+c+d lẻ, - P(1) số lẻ ( am3 + bm + cm + d ) − ( a + b + c + d ) Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m ta có P(m)=0 => lẻ a (m − 1) + b(m − 1) + c(m − 1) => lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều mâu thuẫn f ( x ) = a.x + bx + c Bài 52: Cho có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ HD: f ( 1) = a + b + c ∈ Q f ( ) = 16a + 4b + c ∈ Q f ( ) = 81a + 9b + c ∈ Q , ( 16a + 4b + c ) − ( a + b + c ) = 15a + 3b = ( 5a + b ) ∈ Q 5a + b ∈ Q Từ (1) (2) => ( 81a + 9b + c ) − ( 16a + 4b + c ) = 65a + 5b = ( 13a + b ) ∈ Q => 13a + b ∈ Q Từ (2) (3) => ( 13a + 5b ) − ( 5a + b ) ∈ Q => 8a ∈ Q => a ∈ Q Nên a ∈Q b ∈Q c∈Q Khi P(1) = P( −1) P ( x) = P(− x) Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : , CMR : với x HD : P ( x ) = a.x + b.x + c Giải sử : , P( x) = a.x + c P(1) = P (−1) ↔ a + b + c = a − b + c ↔ 2b = ↔ b = ta có : Vậy 2 P(− x) = a(− x) + c = a.x + c = P( x) Do f ( x) = Bài 54: Cho hàm số HD : 100 x 100 x + 10 f ( a ) + f ( b) = , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a+b=1 100a ( 100b + 10 ) + 100b ( 100a + 10 ) 100a 100b f ( a ) + f ( b) = + = 100a + 10 100b + 10 ( 100a + 10 ) ( 100b + 10 ) Ta có : 2.100a +b + 10 ( 100a + 100b ) 100 a +b + 10 ( 100a + 100b ) + 100 = 200 + 10 ( 100a + 100b ) 200 + 10 ( 100 a + 100b ) =1 = Bài 55: Cho đa thức bậc biến x P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với x HD : P( x) = a.x + bx3 + cx + dx + e P(x) đa thức bậc nên có dạng : Ta có : P(1)=P(-1) P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0 P( x) = a.x + cx + d P ( − x) = a.x + cx + d Vậy =P(x)   1890 2010 19t + ÷x y t  Bài 56: Cho đơn thức : , Tìm t thỏa mãn : a, Đơn thức dương với x,y khác b, Âm với x,y khác HD :  1890 2010 19t + 1890 2010  19 t + = x y  ÷x y x1890 y 2010 > t t  19t + > a, mà 4 A = 4mx y + ( −15 x y ) + mx y Bài 57: Cho , x y khác Với giá trị m : a, A dương với x,y b, A âm với x,y khác 2 P = x − xy + 11 y Q = −4 x + xy − y Bài 58: Cho thức: ,CMR P Q có giá trị âm HD : Xét tổng dương A = −13 x + 10 xy + y B = x − xy − y Bài 59: Cho hai đa thức : , CMR: A B có giá trị âm P ( x ) = ax + bx + c 6a + 2b = −3c Bài 60: Cho đa thức: , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có số khơng âm, số khơng dương P ( x ) = x8 − x5 + x − x + Bài 61: Cho đa thức: , CMR: P(x) dương với giá trị x thuộc P 2 M = x + 3xy − y & N = y − x − xy Bài 62: Cho hai đa thức: , CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm A = x + xy − y B = −9 x − xy + 11y C = x + xy − y Bài 63: Cho đa thức : , CMR A ,B ,C âm M = −6 x + xy − 13 y Bài 64: Cho thức: dương N = x − xy + y , CMR: M, N có giá trị M = x + 3xy − y , N = y − x − xy Bài 65: Cho hai đa thức: CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm A ( x ) = x − x3 + x − B ( x ) = x − x + x3 + Bài 66: Cho hai thức : , , CMR hai thức có đa thức có giá trị dương HD: Xét tổng dương 10 P ( x ) = x3 + x − x + Q ( x ) = −5 x − x + x + Bài 67: Cho hai đa thức : x để đa thức P(x) Q(x) có giá trị không dương , CMR: không tồn giá trị HD: Xét tổng dương M = −5 x19 y , N = 11xy12 , P = Bài 68: Cho đơn thức: dương M = x + 3xy − y x y , CMR ba đơn thức có giá trị N = y − x − 3xy Bài 69: Cho hai đa thức: chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm A = −4 x + xy − y B = x − xy + 11 y Bài 70: Cho đa thức , CMR A B có giá trị âm P = x − xy + y , Q = −6 x + xy − 13 y Bài 71: Cho , CMR: P Q có giá trị dương P ( x) = a.x + bx + c Bài 72: Cho đa thức : Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có số âm, số khơng dương HD : Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 ba số có số khơng âm, số khơng dương P ( x ) = ( x + x − 10 ) 2008 ( 8x + x − 10 ) 2009 Bài 73: Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : HD: P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 n = 2.2008 + 2.2009 Sau bỏ ngoặc ta : với P ( 1) Thay x=1, giấ trị tổng hệ số P(x) P ( 1) = ( 8.12 + 3.1 − 10 ) 2008 ( 8.1 + − 10 ) 2009 = −1 Ta có Bài 74: Tính tổng hệ số đa thức F(x) sau thu gọn: f ( x ) = ( 1999 x − 2000 x + ) 2011 ( 2002 x − 2003 x + 2005 x − 2005 ) 2008 Bài 75: Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: ( 3− 4x + x ) 2016 ( 3+ 4x + x2 ) 2019 11 Dạng NGHIỆM CỦA ĐA THỨC f ( x ) = x 2016 − x 2015 + x − x + Bài 1: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm với x: f ( x) = 5x3 + 2x4 − x2 + 3x2 − x3 − x4 + 1− 4x3 Bài 2: Chứng minh đa thức: x2 + x + Bài 3: CMR đa thức khơng có nghiệm khơng có nghiệm x f ( x − ) = ( x − ) f ( x ) Bài 4: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: với x ( x − 3) f ( x ) = ( x − 1) f ( x − ) Bài 5: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: với x ( x − ) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − ) Bài 6: CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : HD : ( x − ) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − ) Vì với x nên ( − ) P ( ) = ( + 1) P ( − ) => = P ( ) => P ( ) = Khi x=6 => nghiệm P(x) ( −1 − ) P ( x ) = ( −1 + 1) P ( −1 − ) => −7 P ( −1) = => P ( −1) = Khi x=-1 => -1 nghiệm P(x) xP ( x + 2) = ( x − 9).P ( x) Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: , CMR đa thức có ba nghiệm HD: Xét x=0, x=3 x= -3 ( x − 5) P( x + 4) = ( x + 3) P( x) Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : CMR đa thức có hai nghiệm xP ( x + ) = ( x − ) P ( x ) P ( x) Bài 9: Cho đa thức thỏa mãn điều kiện , CMR đa thức có hai nghiệm Q ( x) ( x − 1) Q ( x + ) = ( x − ) Q ( x ) Bài 10: Cho đa thức thỏa mãn điều kiện , CMR đa thức có nghiệm P ( x ) = a.P (1 − x) = (a − 1).x Bài 11: Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn: với giá trị x, biết a ≠ { 0;1; −1} Bài 12: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhận 19; 2017 làm nghiệm HD : A( x) = ( x − 19)( x − 5)( x − 2017) Bài 13: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhân ; ; ; ;2019 làm nghiệm Q( x) = x + mx − 12 Bài 14: Cho đa thức : (m số) Tìm nghiệm Q(x), biết Q(x) có nghiệm -3 f ( x ) = ax + b ( a, b ∈ Z ) Bài 15: Cho hàm số : , CMR đồng thời có f(17)=71, f(12)=35 12 P ( x ) = x + a.x + b, Q ( x ) = x + cx + d x1 ; x2 Bài 16: Xét hai đa thức hai số khác CMR P(x) x1 ; x2 Q(x) nhận làm nghiệm P(x) = Q(x) HD : x12 + a.x1 + b = x12 + cx1 + d = Ta có : a ( x1 − x2 ) = c ( x1 − x2 ) => a = c x22 + a.x2 + b = x22 + cx2 + d = Nên a.x1 + b = cx1 + d a.x2 + b = cx2 + d b=d Do : => Vậy P(x)=Q(x) x 1  x x q ( x) = x  − x + x ÷−  − x + x − ÷  3 3  2 Bài 17: Cho đa thức: a, Tìm bậc q(x)  −1  q ÷   b, Tính c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên y = f ( x) ≠ 0( ∀x∈ R, x ≠ 0) f ( x1; x2 ) = f ( x1) f ( x2 ) Bài 18: Cho hàm số , có tính chất ( ) f ( 1) = Hãy CMR: a Bài 19: Cho hàm số  1 f ( x) + 3f  ÷ = x2  3 f ( x) b, f x−1 =  f ( x)  −1 xác định với x thuộc R, biết với x ta có: f ( 2) , Tính HD: Ta có: x= Và  1 x = => f( 2) +  ÷ =  2 =>  1 f ÷+ ( 2) = => f ( 2) = 47  2 32 f ( x) Bài 20: Cho đa thức thỏa mãn: f ( x) CMR: có nghiệm ( x − 5x) f ( x − 2) = ( x + 3x + 2) f ( x + 1) 2 , với x 13 ... P( x + 4) = ( x + 3) P( x) Bài 8: Cho ? ?a th? ? ?c P( x) th? ? ?a mãn điều kiện : CMR ? ?a th? ? ?c có hai nghiệm xP ( x + ) = ( x − ) P ( x ) P ( x) Bài 9: Cho ? ?a th? ? ?c th? ? ?a mãn điều kiện , CMR ? ?a th? ? ?c có hai... 10: Cho ? ?a th? ? ?c th? ? ?a mãn điều kiện , CMR ? ?a th? ? ?c có nghiệm P ( x ) = a. P (1 − x) = (a − 1).x Bài 11: Tìm tất ? ?a th? ? ?c P( x) th? ? ?a mãn: với giá trị x, biết a ≠ { 0;1; −1} Bài 12: Tìm ? ?a th? ? ?c có b? ?c. .. => 2a + 2 (a + b) + c ∈ Z => 2a ∈ Z P( x) = a. x + bx + cx + d Bài 51: Cho ? ?a th? ? ?c với P( 0) P( 1) số l? ??, CMR : P( x) khơng th? ?? c? ? nghiệm số ngun HD : P( 0)=d l? ?? P( 1) =a+ b +c+ d l? ??, - P( 1) số l? ?? ( am3