Chuyên đề BDHSG môn toán 7 các bài toán về tỷ lệ thức dãy tỷ số bằng nhau

Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên CHUN ĐỀ - TỐN LỚP CÁC BÀI TỐN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức I Tỉ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: a:b=c:d Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Tính chất a) Tính chất (Tính chất bản) => ad = bc (với b,d≠0) b) Tính chất (Tính chất hốn vị) Từ tỉ lệ thức - (a,b,c,d≠0) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: Đổi chỗ ngoại tỉ cho Đổi chỗ trung tỉ cho Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ (a,b,c,d≠0) II Tính chất dãy tỉ số 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức 2) Tính chất 2: ta suy (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nâng cao Nếu suy =k (b≠±d) Trịnh Đình Dũng Từ THCS Ngọc LIên => +) +) (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c B Các dạng toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải toán chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết: a) b) Bài 2: Tìm x, y, z biết: x – 3y + 4z = 62 Bài 3: Tìm x, y, z biết: a) b) 2x + 3y – z = 186 2x = 3y = 5z =95 Bài 4: Tìm x, y, z biết: a) – x + z = -196 b) 5z – 3x – 4y = 50 c) = = x + y – z = - 10 3x − y z − x y − 3z Trịnh Đình Dũng Bài 5: Tìm x y, z biết: a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810 b) = THCS Ngọc LIên + = - 650 Bài 6: Tìm x, y, z biết: (1) Bài 7: Tìm x, y biết: a) b) Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng số phương pháp sau: •) Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C •) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có giá trị •) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức * Một số kiến thức cần ý •) •) (n 0) => = (n N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức Chứng minh Bài 2: Cho tỉ lệ thức B ài 3: chứng minh Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên a) b) = Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng: 1) 2) Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = Bài 6: Biết CMR: abc + =0 Bài 7: Cho (1) CMR: Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài : 3x − y x Cho tỉ lệ thức x + y = Tính giá trị tỉ số y Bài 2: Cho y+z−x x y z = = Tính giá trị biểu thức P = x− y+z Bài : Cho dãy tỉ số a b c d = = = Tính giá trị biểu thức b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a a+b b+c c+d d +a M= + + + c+d a+d a+b b+c Bài 4: Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên Cho a , b ,c đôi khác thỏa mãn a+b b+c c+a = = c a b     Tính giá trị biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a a  b  c   Bài : ab bc ca = = a+b b+c c+a 2 ab + bc + ca Tính giá trị biểu thức P = 3 a +b +c Cho số a;b;c khác thỏa mãn Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm , ( ĐK : a, b, c ∈ N * ,1 ≤ a ≤ 9, ≤ b, c ≤ ) => ≤ a + b + c ≤ 27 +) ⋮ 18 ( 18=2.9 ƯCLN(2;9)=1 ) +) Các chữ số số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; Mà ⋮ => c ⋮ =>a, b, c tỉ lệ với 1;3; a; b; c tỉ lệ với 3; 1; +) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; =>a + b + c ⋮ Lại có ⋮9 a b c => = = = a+b+c a + b + c ⋮ Mà ≤ a + b + c ≤ 27 Nên a + b + c = 18 => a b c = = =3 => Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; => (Thỏa mãn điều kiện) (Thỏa mãn điiều kiện) Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 396; 936 Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A rút lớp 7B số học sinh, 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh lại 3 lớp Tính số học sinh lớp ban đầu Lời giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C x,y, z (học sinh) ĐK: x, y , z ∈ N * , x, y, z < 144 +) Ba lớp 7A,7B,7C có tất 144 học sinh => x + y + z = 144 +) Nếu rút lớp 7A 1 học sinh, rút lớp 7B học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh lại lớp x= y= z Nên ta có x y z x + y + z 144 x= y= => = = = = =6 24 42 18 z + + 24  x = 48  =>  y = 42 (Thỏa mãn điều kiện)  z = 54  => Vậy số học sinh lúc đầu lớp 7A, 7B, 7C 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Tìm số học sinh tổ Lời giải Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A x, y, z.(học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N * , x, y, z < 52 +) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52 +) Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3) => => ( x – 1) 12 ( x – 1) = = ( y – 2) ( 12 y – 2) = ( z + 3) 12 ( z + 3) = x − y-2 z + x + y + z 52 => = = = = =4 13 13  x − = 16  x = 17     y − = 12 =>  y = 14 (Thỏa mãn điều kiện)  z + = 24  z = 21   Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên Bài 4: Tìm ba phân số có tổng Biết tử chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; Lời giải Gọi ba phân số cần tìm a, b, c, d , e, g ∈ Z với b, d , g ≠ Theo đầu ta có a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 +) a:c:e= :4 :5 => a c e + + = −3 b d g 70 a c e = = = k với k ∈ Z a=3k ,c =4k , e =5k  +) b : d : g = : : => b d g = = = t với t ∈ Z , t ≠ o b=5t, d=t, g=2t  3k 4k 5k −213 +) b + d + g = −3 70 => + + = 5t t 2t 70 a c e k 71 −213 k −3 = => = t 10 70 t a −9 c −12 e −15 =  , = , = g 14 b 35 d −9 −12 −15 Vậy ba phân số cần tìm , , 35 14  Bài 5: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào? Lời giải Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , chiều cao tương ứng Diện tích tam giác là: a.ha b.hb c.hc = = => a 2 = b = c (1) +) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; a b c => = = = k ( k ≠ o ) => a = 2k, b = 3k v c = 4k (1) =>2k = 3k = 4k => => =3 =4 hb hc = = => => , 2ha 3hb 4hc = = 12 12 12 tỉ lệ với 6; ; Vậy độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; ba chiều cao tương tứng với ba cạnh tỉ lệ với 6; 4; Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên Bài 6: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau qng đường tơ tăng vận tốc thêm 20% Do tơ đến B sớm 10 phút Tính thời gian tô từ A đến B Lời giải Gọi vận tốc dự định x, vận tốc tăng y ( x,y > 0) Ta có y = 120 y x => = 100 x Gọi C trung điểm AB Ơ tơ đến B sớm dự định 10 phút nhờ tăng vận tốc từ điểm C Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc x thời gian Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc y thời gian Thì x = y y x => = t1 y mà = t2 x t = 60 t t t −t 1 => t = => = = = 10 =>  6−5 t2 = 50 =>Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc tăng hết 50 phút Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút Vậy thời gian ô tô từ A đến B 60 + 50 = 110 (phút) t Bài 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải 186m, giá tiền mét vải ba cuộn Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; Tính xem ngày cửa hàng bán mét vải cuộn Lời giải Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z (m) ĐK: 0< x, y, z < 186 +) Tổng chiều dài ba cuộn vải 186m => x + y + z = 186 + Sau bán ngày cửa hàng lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba => Trong ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba x y 2z , , (mét) 3 +) Số tiền bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; giá tiền mét vải ba cuộn => Số mét vài bán ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; => x y 2z : : = 2:3: 3 Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên 2x y 2z = = 12 10 x y z x + y + z 186 = =6 => = = = 12 10 12 + + 10 31  x = 72  =>  y = 54 ( Thỏa mãn điều kiện )  z = 60  => Vậy ngày cửa hàng bán số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba : 24; 36; 24 (mét) Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c với b> 0; d >0 b d a c < ⇔ ad < bc b d Giải: a c  <  ad cb < ⇒ ad < bc + Có b d ⇒ bd db b > 0; d >  ad < bc  ad bc a c < ⇒ < + Có: ⇒ b > 0; d >  bd db b d a c a a+c c < (Bài 5/33 SGK Đ7) Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ < ⇒ < b d b b+d d Giải: a c  <  + b d  ⇒ ad < bc(1) thêm vào vế (1) với ab ta có: b > 0; d >  ⇒ ad + ab < bc + ab a( b + d ) < b( c + a) ⇒ a a+c < ( 2) b b+d + Thêm vào hai vế (1) dc ta có: ( 1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c) < c ( b + d ) ⇒ a+c c < ( 3) b+d d + Từ (2) (3) ta có: Từ a c a a+c c < ⇒ < < (đpcm) b d b b+d d Tính chất 3: a; b; c số dương nên a Nếu th ì Trịnh Đình Dũng b Nếu THCS Ngọc LIên Bài Cho a; b; c; d > CMR: < a b c d + + + ( 1) (do d>0) a+b+c+d a +b+c a a > ( 2) Mặt khác: a +b +c a +b +c +d a a a+d < < ( 3) + Từ (1) (2) ta có: a +b +c +d a +b +c a +b +c +d + Từ Tương tự ta có: b b b+a < < ( 4) a+b+c +d b+c+d a+b +c +d c c c+b < < ( 5) a +b+c +d c + d + a c+d +a +b d d d +c < < ( 6) d+a+b+c d + a + b a + b + c + d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: 1< a b c d + + + CMR: < < b d b b + d2 d Bài Cho Giải: a c a.b c.d ab cd < b; d > nên < ⇒ < b d b.b d.d b d ab ab + cd cd a ab + cd c Theo tính chất (2) ta có: < 2 < ⇒ < 2 < b b +d d b b +d d Ta có Bài C BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm số x,y,z biết x−2 x+4 x y z = b = = x + y − z = 28 x −1 x + 10 21 c x = y ; y = z x − y + z = ; d x : y : z = 12 : : xyz = 20 10 14 x + 16 y − 25 z + = = e x − = y − = z − 21 xyz = 6720 ; f x − = 15 16 25 a Bài Tìm số x,y,z biết a x : y : z = : : z − x − y = 594 b ( x − 1) = ( y − ) ; ( y − ) = ( z − 3) x + y − z = 50 c 12 x − 15 y 20 z − 12 y 15 y − 20 z = = x + y + z = 48 11 Trịnh Đình Dũng d THCS Ngọc LIên 2x y 4z = = − x − y − z = −49 Bài x Tìm số x,y,z biết : y a y = ; = x − y + z = z c 2x +1 y − 2x + 3y −1 = = 6x 1+ y 1+ y 1+ y = = 13 19 5x y + z +1 x + z + y + x − = = = x y z x+ y+z b, d, a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả b d Bài Cho tỉ lệ thức thiết tỉ số có nghĩa ) 2015a − 2016b 2015c − 2016 d = 2016c + 2017 d 2016a + 2017b 2 7a + 5ac 7b + 5bd a2 + b2 ab  2a + 3b   a +b  = = = c  d, e, ÷  ÷ c2 + d cd  2c + 3d  7a − 5ac 7b − 5bd c+d  a c Bài Cho a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) ; b, d ≠ CMR : = b d a2014 a1 a2 a3 Bài Cho dãy tỉ số : a = a = a = L = a 2015 a 2a + 7b 2c + 7d = 3a − 4b 3c − 4d b, 2014  a + a + a + L + a2014  a1 = ÷ a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015  CMR ta có đẳng thức a c = số x, y , z , t thỏa mãn ax + yb ≠ zc + td ≠ b d xa + yb xc + yd = CMR : za + tb zc + td 2a + 13b 2c + 13d a c = Bài Cho tỉ lệ thức CMR : = 3a − 7b 3c − d b d an −1 an a1 a2 a3 Bài Cho a = a = a = L = a = a ( a1 + a2 + L + an ≠ ) n Bài Cho Tính : 1) A = a12 + a22 + L + an2 ( a1 + a2 + L x + an ) y 2) B = z a19 + a29 + L + an9 ( a1 + a2 + L + an ) t x+ y y+z z +t t+x Bài 10 Biết y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z Tính P = z + t + t + x + x + y + y + z Bài 11 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ;2 ;3 Bài 12 : Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng tử tương ứng tỉ lệ 196 với , mẫu tương ứng tỉ lệ với Bài 13 Cho VABC góc ngồi tam giác A,B,C tỉ lệ với ;5 ;6 Các góc tương ứng tỉ lệ với số ? Bài 14 Trong đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển 912m3 đất Trung bình học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3 Số học sinh khối khối tỉ lệ với 3, số học sinh khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối ? Trịnh Đình Dũng THCS Ngọc LIên Bài 15 Quãng đường AB dài 76m, người thứ từ A đến B người thứ hai vận tốc người thứ hai (đến lúc 10 gặp nhau) Thời gian người thứ thời gian người thứ hai Tính 11 từ B đến A Vận tốc người thứ quãng đường người ? ... TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số. .. thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải tốn chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG... lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta cịn viết x:y:z = a:b:c B Các dạng tốn phương pháp giải Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức