Skkn hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải bài toán xác suất ở trường thpt đức hợp

PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn xác suất ngành tốn học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, cơng nghệ, kinh tế…Vì lí thuyết xác suất đưa vào chương trình tốn lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT kiến thức ngành tốn học quan trọng Để học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững khái niệm công thức xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tính xác suất Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 mơn Tốn trường THPT Đức Hợp nhận thấy: đa số em chưa hiểu sâu sắc khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…các em biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất để giải tập tính xác suất Qua nhiều năm đứng bục giảng, dạy tới chuyên đề này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao nhất, em chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức.Thầy đóng vai trị người điều khiến để em tìm đến đích lời giải Chính lẽ hai năm học 2010-2011 20112012 Tôi đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em khơng cịn lúng túng việc giải toán xác suất, tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung tốn xác suất nói riêng Mặt khác sau nghiên cứu tơi có phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì nghĩ làm vậy” skkn Với mong muốn Tôi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải toán xác suất trường THPT Đức Hợp ” Nội dung đề tài gồm ba toán: Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải tốn tính xác suất Bài 2: Sử dụng quy tắc cộng, qui tắc nhân giải tốn tính xác suất Bài 3: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải tốn tính xác suất Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song thời gian có hạn, mong đóng góp bạn đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Giúp em có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến xác suất kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho em kiến thức toán cao cấp năm đầu học đại học Mục đích yêu cầu -Giúp học sinh nắm vững khái niệm quy tắc xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tính xác suất - Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ban chuyên môn trường phát động - Tự học, bồi dưỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 11 trường THPT Đức Hợp - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc tính xác suất, tốn tính xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình SGK mơn tốn lớp 11 Nhiệm vụ nghiên cứu skkn a) Hệ thống kiến thức xác suất sơ đồ tư b) Hướng dẫn học sinh giải toán tính xác suất 5.Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp hợp lý phương pháp dạy học tích cực b) Đánh giá trình độ nhận thức, kỹ giải tốn học sinh c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán skkn PHẦN II: NỘI DUNG Bài toán 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT Hướng dẫn học sinh giải tốn xác suất có khơng gian mẫu mô tả cụ thể : Yêu cầu học sinh tư lại kiến thức xác suất theo sơ đồ: Phép thử ngẫu nhiên: Là thí nghiệm hay hành động mà kết khơng đốn trước xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Ký hiệu T Xác suất Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T Tập hợp kết thuận lợi A ký A Số kết thuận lợi biến cố A ký n( ) Không gian mẫu: Là tập hợp tất kết xảy phép thử Ký hiệu:  Số phần tử không gian mẫu ký hiệu: n() Các biến cố đặc biệt:  Biến cố không: Tập hợp  gọi biến cố không  Biến cố chắn: Tập hợp  gọi biến cố chắn Biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất: Gỉa sử phép thử T có khơng gian mẫu  tập hợp hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan đến phép thử T tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất biến cố A số ký hiệu P(A) Xác suất biến cố skkn Bài 1: Đại học Đà Nẵng 1997 Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc Tìm xác suất để tổng số chấm mặt hai súc sắc số lẻ chia hết cho Hướng dẫn học sinh: Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai súc sắc’’ Mô tả không gian mẫu: => n()=6.6=36 phần tử Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hai súc sắc 8.” Tập kết thuận lợi A : Xác suất biến cố A: Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất mặt hai súc sắc số lẻ chia hết cho 3.” Bài 2: Một máy bay có phận A, B, C, D đặt liên tiếp Máy bay rơi có viên đạn trúng vào phận phận kề trúng đạn skkn Tìm xác suất để máy bay rơi trường hợp: a/ phận có diện tích máy bay trúng hai viên đạn b/ Các phận B,C, D có diện tích nửa diện tích phận A máy bay trúng hai viên đạn Hướng dẫn học sinh: Liệt kê phần tử không gian mẫu a/ Đánh số phận A,B,C,D 1,2,3,4 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: n( )= 4.4=16 phần tử Xét biến cố A: máy bay rơi Tập kết thuận lợi A : Xác suất A: Hướng dẫn học sinh: mô tả không gian mẫu dạng khái quát em tiếp cận với không gian mẫu trừu tượng Chia phận A thành phần A1, A2 có diện tích phần B, C, D b/ Đánh số phận A1, A2 ,B,C,D 1,2,3,4,5 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ Không gian mẫu: 5.5=25 phần tử Xét biến cố A: máy bay rơi Tập kết thuận lợi A : skkn Xác suất biến cố A: Bài học kinh nghiệm: Để giải tốn tính xác suất có khơng gian mẫu mô tả cụ thể cần: - Liệt kê phần tử không gian mẫu, đếm số phần tử không gian mẫu - Liệt kê khả thuận lợi biến cố, tính số khả thuận lợi biến cố - Thay vào công thức tính xác suất Hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn tính xác suất có khơng gian mẫu mô tả trừu tượng : Bài 3: Một tổ có 12 học sinh gồm nam nữ Chọn nhóm lao động gồm học sinh Tính xác suất để có nam nữ chọn Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 12 học sinh’’ Mỗi phần tử không gian mẫu tổ hợp chập 12 phần tử Xét biến cố A: “Có nam nữ chọn.” Để chọn nam nữ ta phải thực công đoạn liên tiếp: Công đoạn 1: Chọn nam từ nam có Cơng đoạn 2: Chọn nữ từ nữ có có cách chọn nam nữ Xác suất A: Cho học sinh giải tập sau : skkn Bài 4: Có hành khách lên đồn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có Hướng dẫn học sinh: Tìm số phần tử cua khơng gian mẫu: Phép thử T: ‘‘Xếp hành khách lên đoàn tàu toa’’ Mỗi hành khách có cách chọn toa nên có toa khơng gian mẫu: gồm cách xếp người lên đoàn tàu phần tử Xét biến cố A: “1 toa có người, toa có người, toa cịn lại khơng có ai.” Xét công đoạn liên tiếp:  Chọn hành khách hành khách, chọn toa toa xếp lên toa hành khách vừa chọn  Chọn toa toa lại xếp lên toa hành khách (Cách) Bài 5: Xét số tự nhiên có chữ số khác Tìm xác suất để số tự nhiên có chữ số khác lấy từ số thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu: Các số tự nhiên có chữ số khác nhau: với i a1 j Có cách chọn a1 Mỗi cách chọn a1 có cách chọn a2 Mỗi cách chọn a1, a2 có cách chọn a3 skkn Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có cách chọn a4 Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có cách chọn a5 Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy thoả mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước” Vì chữ số đứng trước số nên xét tập hợp: X= Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo thứ tự tăng dần Bài học kinh nghiệm: Để tính số phần tử khơng gian mẫu mô tả trừu tượng cần phân tích đề vận dụng tốn Tổ hợp u cầu học sinh nhà giải tập: Bài 1: Gieo đồng thời ba súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc 10 Bài 2: Một hộp đựng cầu trắng, cầu xanh cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để chọn cầu lấy màu Bài 3: ( Đại học Tài kế tốn Hà Nội 1997) Mét hép bãng ®Ìn cã 12 bãng, ®ã cã bãng tèt LÊy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để lấy ®ỵc : a bãng tèt ? b Ýt nhÊt bãng tèt ? c Ýt nhÊt bãng tèt ? Bài 4: Một đợt xổ số phát hành 20000 vé có giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải t 5000 giải khuyến khích Tìm xác suất để ngời mua vé, trúng giải nhì giải khuyến khích Bài 5: Mét líp cã 30 häc sinh, ®ã gåm häc sinh giái, skkn 15 häc sinh kh¸ học sinh trung bình Ngời ta muốn chọn ngẫu nhiên em để dự Đại hội Tính xác suất để chọn đợc : a Ba học sinh đợc chọn học sinh giỏi ? b Có Ýt nhÊt häc sinh giái ? c Kh«ng cã häc sinh trung b×nh ? 10 skkn Bài tốn 2: SỬ DỤNG CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT Trước hết u cầu học sinh tư lại loại biến cố hợp, biến cố giao biến cố xung khắc, biến cố độc lập, biến cố đối , quy tắc tính xác sut theo sơ đồ t : Bin c hp Biến cố xung khắc Quy tắc cộng xác suất Biến cố đối Quy tắc cộng xác suất Quy tắc tính xác suất Biến cố giao Quy tắc nhân xác suất Biến cố độc lập Quy tắc nhân xác suất 11 skkn Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc cộng xác suất tốn tính xác suất: Bài 1: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiờn học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm phần tử Gọi A biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, Gọi B biến cố học sinh chọn thuộc lớp A B Gọi C biến cố học sinh chọn thuộc lớp A C Gọi D biến cố học sinh chọn thuộc lớp C B A,B,C,D biến cố xung khắc biến cố học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Vậy xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp bằng: Bài 2: Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất kết nhận ghi thẻ số chẵn? 12 skkn Học sinh vận dụng giải toán, giáo viên đưa thông tin phản hồi đề học sinh so sánh: Không gian mẫu: n()= Gọi A biến cố: “ Rút thẻ chẵn thẻ lẻ” Gọi B biến cố “ Rút hai thẻ đề chẵn” Nhận xét: hai biến cố A B xung khắc biến cố “ kết nhận ghi thẻ số chẵn” Theo qui tắc cộng xác suất ta có : Bài học kinh nghiệm: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , … , An xung khắc tương ứng Sau sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất biến cố A Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc nhân xác suất tốn tính xác suất: Bài 3: Xạ thủ An bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng An lần bắn Xạ thủ Bình bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng Bình lần bắn Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn Hướng dẫn học sinh: Gọi A1 biến cố An bắn trượt lần bắn thứ 13 skkn Gọi A2 biến cố An bắn trượt lần bắn thứ hai A1, A2 hai biến cố độc lập biến cố An bắn trượt hai lần bắn Tương tự: A, B độc lập biến cố Bình bắn trượt ba lần bắn biến cố An Bình bắn trượt hay: biến cố “Mục tiêu không trúng đạn” Bài học kinh nghiệm: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , … , An độc lập tương ứng Sau sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất biến cố A Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối tốn tính xác suất: Bài 4: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không hai lớp Hướng dẫn học sinh: 14 skkn Không gian mẫu : n()= phần tử Gọi A biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, lớp B, lớp C biến cố :“ học sinh chọn thuộc vào không hai lớp” = Bài 5: Một máy bay có phận A, B, C chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Máy bay rơi có viên trúng vào A, viên trúng vào B, viên trúng vào C Tính xác suất để máy bay rơi máy bay trúng viên đạn Hướng dẫn học sinh: Gọi A biến cố máy bay không rơi máy bay trúng viên đạn A biến cố có viên trúng B, viên trúng C biến cố máy bay rơi máy bay trúng viên đạn = 0,728 Bài học kinh nghiệm: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm khác ta nên sử dụng biến có đối để lời giải đơn giản 15 skkn Bài toán 3: SỬ DỤNG KẾT HỢP CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT Cùng học sinh phân tích tốn để đưa biến cố cần xem xét thành biến cố hợp biến cố có xác suất Bài 1: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng hỏng Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng Hướng dẫn học sinh: Mỗi bóng có xác suất bị cháy 0,25, bóng có xác suất hỏng 0,75 Gọi A1 biến cố bóng hỏng bóng tối, A1 biến cố hợp biến cố con, Gọi A2 biến cố bóng hỏng bóng tối, A2 biến cố hợp biến cố con, Gọi A3 biến cố bóng hỏng biến cố lớp học đủ ánh sáng biên cố lớp học không đủ ánh sáng Bài 2: Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 0,008, xác suất 16 skkn để viên trúng vòng 0,15, xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt 28 điểm Hướng dẫn: Gọi A1 biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 9, A1 biến cố hợp biến cố con, Gọi A2 biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 9, A2 biến cố hợp biến cố con, Gọi A3 biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 8, A3 biến cố hợp biến cố con, Gọi A4 biến cố viên trúng vịng 10, biến cố xạ thủ đạt 28 điểm Yêu cầu học sinh giải tập tương tự, giáo viên đưa thông tin phản hồi để học sinh so sánh: Bài 3: Tại thành phố tỉ lệ người thích bóng đá 65% Chọn ngẫu nhiờn 12 người Tính xác suất để có người thích bóng đá Đáp số: Bài 4: Gieo đồng thời súc sắc Bạn thắng có xuất lần chấm Tính xác suất để ván chơi bạn thắng ván 17 skkn Đáp số: Bài Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , câu có phương án trả lời có phương án Mỗi câu trả lời điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để bị điểm âm Đáp số: 18 skkn PHẦN III: THỰC NGHIỆM - GIẢI PHÁP Khảo sát thực tế: Trước thực đề tài , năm học 2010- 2011 đá khảo sát chất lượng học sinh lớp11ở hai lớp 11B5, 11B6 Trường THPT Đức Hợp, có trình độ nhận thức sĩ số tương đương nhau,thông qua kiểm tra viết gồm ba toán xác suất: Bài toán 1: Tính xác suất biến cố cách sử dụng cơng thức xác suất cổ điển Bài tốn 2: Sử dụng qui tắc tính xác suất để giải tốn tính xác suất Bài tốn 3: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải tốn tính xác suất Kết số học sinh làm đạt sau: Lớp Sĩ số Bài toán Bài toán Bài toán 11B5 48 43 19 90% 40% 15% 39 87% 11% 2% 11B6 45 Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu, kỹ trình bày lời giải hạn chế Sau khảo sát thấy thực trạng đến năm học 2011- 2012 áp dụng đề tài với hai lớp 11A2, 11A3 năm học 20112012 nhà trường, với trình độ sĩ số tương đương với hai lớp dạy năm học 2010- 2011 Các bước thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất 19 skkn Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giải tốn Từ rút cho học sinh học kinh nghiệm giải tốn tính xác suất Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao đề thi Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng toán Kết sau thực đề tài: Sau thực đề tài lớp 11A2, 11A3 trường THPT Đức Hợp năm học 2011- 2012 Tôi khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết gồm toán xác suất tương đương với đợt khảo sát năm học 2010- 2011: Bài tốn 1: Tính xác suất biến cố cách sử dụng công thức xác suất cổ điển Bài toán 2: Sử dụng qui tắc tính xác suất để giải tốn tính xác suất Bài tốn 3: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải tốn tính xác suất Kết sau: Lớp Sĩ số Bài toán Bài toán Bài toán 11A2 46 46 45 44 100% 97% 96% 44 44 43 100% 100% 98% 11A3 44 Chất lượng giải kĩ trình bày giải dạng tốn tính xác suất tốt Giải pháp đề nghị : 20 skkn Bài toán xác suất đưa vào chương trình tốn lớp 11 THPT , hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với toán Để giúp học sinh nắm vững kiến thức xác suất đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau: Hệ thống hóa khái niệm phép thử, khơng gian mẫu, biến cố, tập hợp kết thuận lợi biến cố, phương pháp tìm số khẩ thuận lợi biến cố, cơng thức tính xác suất cổ điển sơ đồ tư Sau hướng dẫn học sinh tính xác suất biến cố cách sử dụng công thức xác suất cổ điển Hệ thống lại qui tắc tính xác suất , hướng dẫn học sinh phân tích đề tiếp cân tốn sử dụng cơng thức để tính xác suất số tốn điển hình, phân tích cho học sinh sử dụng qui tắc cộng sử dụng qui tắc nhân xác suất Từ ruta cho học sinh nhận xét cách sử dụng qui tác cách linh hoạt hợp lý toán cụ thể Rèn luyện kĩ giải tập tính xác suất nâng cao cho học sinh Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng tốn thơng qua học sinh giải cách sáng tạo thích thú hơncacs tốn tính xác suất chương trình THPT làm tảng để học sinh học lên Đại học Trên số kinh nghiệm nhỏ tơi qua q trình giảng dạy Bài tốn tính xác suất lớp 11 THPT Đức Hợp Rất mong nhận góp ý thầy cô giáo em học sinh để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Đức Hơp, tháng năm 2012 21 skkn Mục lục TT Mc Trang Phần I: Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích yêu cầu Đối tợng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu Phần II: Nội dung Bài toán 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải toán tính xác suất Bài toán 2: sử dụng qui tắc tính xác suất giải 11 toán tính xác suất 10 Bài toán 3: Sử dụng kết hợp qui tắc tính xác suất 16 để giải toán tính xác suất 11 Phần III: Thực nghiệm, giải pháp 19 12 Khảo sát thực tế 19 13 Các bớc thực đề tài 19 22 skkn 14 Kết sau thực đề tài 20 15 Giải pháp ®Ị nghÞ 21 23 skkn ... chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải toán xác suất trường THPT Đức Hợp ” Nội dung đề tài gồm ba toán: Bài 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất giải toán tính xác suất Bài 2: Sử dụng... nhân xác suất để tính xác suất biến cố A Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối tốn tính xác suất: Bài 4: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất. .. qui tắc tính xác suất để giải tốn tính xác suất Bài toán 3: Sử dụng kết hợp quy tắc xác suất giải tốn tính xác suất Kết số học sinh làm đạt sau: Lớp Sĩ số Bài toán Bài toán Bài toán 11B5 48 43