Chuyên đề BDHSG môn Toán 7 - Các bài toán về tỷ lệ thức - dẫy tỷ số bằng nhau.doc_

CHUYÊN ĐỀ - TOÁN LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức I Tỉ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: a:b=c:d Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Tính chất a) Tính chất (Tính chất bản) => ad = bc (với b,d≠0) b) Tính chất (Tính chất hốn vị) Từ tỉ lệ thức (a,b,c,d≠0) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho - Đổi chỗ trung tỉ cho - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ (a,b,c,d≠0) II Tính chất dãy tỉ số 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức 2) Tính chất 2: suy (b≠±d) ta suy (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nâng cao Nếu Từ =k => +) +) (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c B Các dạng toán phương pháp giải Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, dãy tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số vào giải toán chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết: a) b) Giải a) Từ => 7(x-3) = 5(x+5) Giải x = 23 b) Cách Từ => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2) (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2 - x + 3x – = + 2x – 2x – Đưa 2x = -1 => x = Cách 2: x −1 x−2 +1= +1 x+2 x+3 2x +1 2x +1 = x+2 x+3 ⇒ 2x+1=0 ⇒ x= - (Do x+2 ≠ x+3) Bài 2: Tìm x, y, z biết: x – 3y + 4z = 62 Giải Cách (Đặt giá trị chung) Đặt => Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62 4k – 9k + 36k = 62 31k = 62 => k = Do Vậy x = 8; y= 6; z = 18 Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: => Cách (Phương pháp thế) => x= Từ => y= Mà x – 3y + 4z = 62 => Do x = ; y= Vậy x = 8; y = v z =18 Bài 3: Tìm x, y, z biết: 2x + 3y – z = 186 a) đua 31z = 558 => z = 18 b) 2x = 3y = 5z =95 Giải a) Cách 1: Từ Và => = Ta có: => => => => (*) = => Vậy x=45; y=60 z=84 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt = =k (Sau giải cách 2) Cách 3: Sau làm đến (*) dùng phương pháp giải cách b) Vì 2x = 3y = 5z => = => =  x + y − z = 95 ⇒  x + y − z = −95 Mà +) Nếu x+y-z= 95 Ta có = +) Nếu x + y – z = - 95 => Ta có = => Vậy: Bài 4: Tìm x, y, z biết: – x + z = -196 a) 5z – 3x – 4y = 50 b) c) = = x + y – z = - 10 3x − y z − x y − 3z Giải a) Vì => => => Ta có = = = => Vậy x = 231; y = 28 z = 35 b) Ta có =  Vậy x = 5; y = z = 17 c) => Vì = = = 3x − y z − x y − 3z => ⇒ Từ => x y z x + y − z − 10 = = = = = −10 2+3− Vậy x = - 20; y = -30 z = -40 Bài 5: Tìm x y, z biết: a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810 = b) + = - 650 Giải a) Vì x: y: z = 2: 3: => = Cách (Đặt giá trị chung) Đặt = => Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30 => =810 => =27 => k = Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 2: Từ = => = => x = thay vào đề tìm y = ; z = 15  Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách b) Từ = => Cách 1: (Đặt giá trị chung) Đặt = = k => => = Mà +2 –3 = - 650 => + 2.9 =>-26 Nếu k = 5=> Nếu k = -5 => Vậy Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Vì = => => Theo đề suy x,y,z dấu  x = 10; y = 15; z = 20 Vậy   x = −10; y = −15; z = −20 Cách (Phương pháp thế) Bài 6: Tìm x, y, z biết: (1) Giải: ≠0 * Nếu Ta c ó (2) Từ (1) (2) ta có x + y + z = => thay vào đề ta được: Hay = +) => 2x = => 3x = => x = +) => 2y = => 3y = => y = +) Có x + y + z = =>z= , mà x = = Vậy * Nếu x + y + z = ta có: y = Bài : Cho tỉ lệ thức 3x − y x = Tính giá trị tỉ số x+ y y Bài giải: Cách : Từ 3x − y = ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y x+ y ⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y x Vậy y = Cách 2: 3x −1 3x − y 3 y = Từ x + y = ⇒ x +1 y x 3a − Đặt y = a ⇒ = a +1 Bài 2: Cho y+z−x x y z = = Tính giá trị biểu thức P = x− y+z Cách 1: Đặt x y z = = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0) P= 3k + 4k − 2k 5k = = 2k − 3k + 4k 3k Vậy P = Cách : Có x y z y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z = = = = = = 3+ 4− 2−3+ ⇒ y+z−x x− y+z y+z−x = ⇒ = x− y+z Vậy P = Bài : Cho dãy tỉ số a b c d = = = Tính giá trị biểu thức b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a M= a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c Bài giải: Từ a b c d = = = b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a ⇒ a b c d +1 = +1 = +1 = +1 b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a ⇒ a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a +b+c+d = = = (*) b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a +) Xét a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d ) ⇒ M = −4 +) Xét a + b + c + d ≠ Từ (*) ta có : b+c +d = a +c +d = a +b+d = b +c +a ⇒a =b=c=d ⇒M =4 Bài 4: Cho a , b ,c đôi khác thỏa mãn a+b b+c c+a = = c a b     Tính giá trị biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a a  b  c   Bài giải: a+b b+c c+a a+b b+c c+a = = ⇒ +1 = +1 = +1 c a b c a b Từ ⇒ a+b+c a+b+c a+b+c = = (*) c a b +) Xét a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a P= a + b b + c a + c −c − a −b −abc × × = × × = = −1 b c a b c a abc +) Xét a + b + c ≠ Từ (*) ta có : a =b=c⇒ P =8 Bài : Cho số a;b;c khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức P = ab bc ca = = a+b b+c c+a ab + bc + ca a + b3 + c Bài giải: Với a, b, c ≠ ta có : ab bc ca = = a+b b+c c+a ⇒ a+b b+c c+a 1 1 1 = = ⇒ + = + = + ab bc ca b a c b a c ⇒ 1 = = ⇒ a = b = c ⇒ P =1 a b c Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm , ( ĐK : a, b, c ∈ N * ,1 ≤ a ≤ 9, ≤ b, c ≤ ) =>1 ≤ a + b + c ≤ 27 +) ⋮ 18 ( 18=2.9 ƯCLN(2;9)=1 ) +) Các chữ số số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; Mà ⋮ => c ⋮ =>a, b, c tỉ lệ với 1;3; a; b; c tỉ lệ với 3; 1; +) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; a b c => = = = a+b+c =>a + b + c ⋮ Lại có ⋮9 a + b + c ⋮ Mà ≤ a + b + c ≤ 27 Nên a + b + c = 18 => a b c = = =3 => Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; => (Thỏa mãn điều kiện) (Thỏa mãn điiều kiện) Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 396; 936 Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A học sinh, rút lớp 7B số 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp ban đầu Lời giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C x,y, z (học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N * , x, y, z < 144 +) Ba lớp 7A,7B,7C có tất 144 học sinh => x + y + z = 144 +) Nếu rút lớp 7A 1 học sinh, rút lớp 7B học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp 3 x= y= z Nên ta có x y z x + y + z 144 x= y= => = = = = =6 24 42 18 z + + 24  x = 48  =>  y = 42 (Thỏa mãn điều kiện)  z = 54  => Vậy số học sinh lúc đầu lớp 7A, 7B, 7C 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Tìm số học sinh tổ Lời giải Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A x, y, z.(học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N * , x, y, z < 52 +) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52 +) Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3) ( x – 1) ( y – ) ( z + 3) = = 12 12 12 ( x – 1) = ( y – ) = ( z + 3) => x − y-2 z + x + y + z 52 => = = = = =4 13 13  x − = 16  x = 17     y − = 12 =>  y = 14 (Thỏa mãn điều kiện)  z + = 24  z = 21   => Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh Bài 4: Tìm ba phân số có tổng Biết tử chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; Lời giải Gọi ba phân số cần tìm a, b, c, d , e, g ∈ Z với b, d , g ≠ Theo đầu ta có a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 +) a:c:e= :4 :5 => a c e + + = −3 b d g 70 a c e = = = k với k ∈ Z  a=3k ,c =4k , e =5k +) b : d : g = : : => b d g = = = t với t ∈ Z , t ≠ o  b=5t, d=t, g=2t 3k 4k 5k −213 +) b + d + g = −3 70 => + + = 5t t 2t 70 a c e  k 71 −213 k −3 = => = t 10 70 t  a −9 c −12 e −15 = , = , g = 14 b 35 d ... TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số. .. tỉ số vào giải toán chia tỉ lệ Dạng 5: Tính chất tỉ lệ thức áp dụng bất đẳng thức Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết: a) b) Giải a) Từ => 7( x-3)... sinh Nếu rút lớp 7A học sinh, rút lớp 7B số 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp ban đầu Lời giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C x,y, z (học sinh)