chuyen de boi duong toan 6

Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng CHỦ ĐỀ 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm khái niệm dãy số viết theo quy luật ( phần tử dãy có mối liên hệ với ) - Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật phân tích để tìm quy luật B DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT THƯỜNG GẶP Định nghĩa: Dãy cộng dãy mà phần tử kể từ phần tử thứ lớn phần tử liền trước số đơn vị TQ: Dãy a1, a2, a3, a4, …… an-1, an dãy cộng ⇔ a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 =…= an- an - Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4…… Dãy số chia có số dư : 3, 10, 17, 24, 31…… Các loại tập dãy cộng: VD: Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4, …… an-1, an a) Tìm phần tử thứ n dãy: an = a1 + (n - 1) d b) Tính tổng dãy Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an = (a1 + an ) n c) Số số hạng dãy: n= an - a1 +1 (Trong d khoảng cách hai phần tử liên tiếp) d Bài tập áp dụng: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 dãy? b./ Nếu viết dãy liên tiếp thành số chữ số thứ 302 số tạo thành số mấy? Giải: a./ Phần tử thứ 102 dãy a102 = + (102 - 1) = 304 b./ Phân tích: Dãy số viết liền thành số chia thành dãy sau - Dãy số có chữ số chia dư là: 1, 4, gồm chữ số Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định - Dãy số có chữ số chia dư 10, 13, …, 97 gồm Gv: Hồ Xuân Dâng 97 - 10 +1 = 30 số nên có 30 = 60 chữ số - Để viết tiếp dãy đến chữ số thứ 102 ta phải dùng số có chữ số kể từ 100… đảm bảo chia dư Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số hay 79 số có chữ số kể từ 100 chữ số số thứ 80 (là chữ số đầu trong số thứ 80 dãy 100, 103, 106, ) Mà số thứ 80 dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 số tạo dãy (1) ( hàng chục số 337) 147101317……334337340… Chữ số thứ 302 Chú ý: Trong phần b./ chữ số thứ n phải tìm số lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy số có 3, có … chữ số tiếp tục làm tương tự II/ Mở rộng VD: Cho dãy sau: 1, 3, 6, 10, 15…… (1) 2, 5, 10, 17, 26 … (2) Tìm phần tử thứ 108 dãy trên? Giải: - Dãy (1) chưa dãy cộng viết lại thành dãy sau: 1.2 2.3 3.4 4.5 , , , 2 2 Xét dãy thừa số thứ tử số: 1, 2, 3, 4, … (1)’ Đây dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 dãy (1)’ 108 Từ suy phần tử thứ 108 dãy (1) 108.109 = 5886 - Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1… Tương tự ta tính phần tử thứ 108 dãy (2) 1082 + = 11665 Dãy Fibonaci: Dãy số Fibonaci dãy bắt đầu hai phần tử 1, kể từ phần tử thứ dãy phần tử tổng hai phần tử liền trước phần tử Chun đề Tốn Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Gv: Hồ Xn Dâng Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta nghiên cứu phần C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Cho dãy sau: 1, 3, 5, 7, 9…… (1) 1, 10, 19, 28, 37, … (2) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) 1, 7, 17, 31, 49, … (4) 1, 5, 11, 19, 29, … (5) a) Tìm phần tử thứ 123 dãy trên: b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử Tìm dãy phần tử giống hai dãy? Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 2008 số Bài 3: Ta có: ak = ( k + 3k + 3k +1) ( k +1) k k3 = 1 k ( k +1) Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2008 Chuyên đề Toán ỉ1 ỉ1 ỉ 1ư ÷ ữ ữ ỗ ỗ =ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ữ ỗ13 23 ứ ỗ23 33 ứ ỗ20083 20093 ứ ố ố 8108486728 = 1= 2009 8108486729 Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng CHỦ ĐỀ 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA ĐỒNG DƯ _ SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm cách tìm số tận luỹ thừa với số số tự nhiên - Hiểu đồng dư, vận dụng tốt kiến thức đồng dư thức vào làm tập tìm chữ số tận chứng minh chia hết - Nắm phương pháp dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên Vận dụng tốt kiến thức để làm tập B PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chú ý: a./ Các số có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0, 1, 5, b./ Các số có tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa có tận c./ Các số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa có tận d./ Số a a4n+1 có chữ số tận giống ( ∀n, a ∈ N , a ≠ ) CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp: Xét toán: CMR a4n+1 – a M10 ( ∀n, a ∈ N * ) - Với n = ta dễ dàng chứng minh a5 – a M 10 - Giả sử toán với n = k (a4k+1 – a M10 ( ∀k , a ∈ N * )) - Ta CM toán với n = k + ⇔ a 4(k+1) +1 - a M10 - Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 a4k+1 – a ⇔ a4 a4k+1 – a5 (Vì a5 a có chữ số tận cùng) - Mà a4 a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) M 10 Þ a 4(k+1) +1 – a M 10 Đpcm 2./ Phương pháp Để giải tốn tìm chữ số tận luỹ thừa ta tìm cách đưa số luỹ thừa dạng đặc biệt đưa số mũ dạng đặc biệt biết cách tính theo phần ý VD1: Tìm chữ số tận 108 6195 ; 5151 ; 21000 ; 9999 … Giải: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định - Tận 6195 - Tận 5151 Gv: Hồ Xuân Dâng 21000 = 23 24 249 +1 mà 23 có tận 24 249 +1 có tận - Ta có 21000 = ( ) ( Hoặc - Ta có : 250 = 16250 ) nên 21000 9999 = 99 ( 99 ) 49 = 99 (….1) 49 có tận có tận nên 108 9999 = (… 9)108 = [(… 9)2]54 có tận 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng dư: a/ Khái niệm: Trong ý d./ phần ta nói a đồng dư với a 4n+1 theo modun 10 (là hai số có số dư chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m ≠ 0) a b chia cho m có số dư Ký hiệu a º b( mod m ) với a, b, m ∈ N m ≠ (1) Khi a M m ta viết a º (mod m ) Hệ thức (1 ) gọi đồng dư thức b/ Một số tính chất đồng dư thức Nếu a º b(mod m ) c º d (mod m) a + c º b + d (mod m) a.c º b.d (mod m) a n º b n (mod m) thì: a - c º b - d (mod m) Các tính chất áp dụng cho nhiều đồng dư thức modun c/ Ví dụ: VD1 Tìm số dư 3100 cho 13 Tìm số dư phép chia nghĩa tìm số tự nhiên nhỏ 13 đồng dư với 3100 theo modun 13 Ta có 3100 = 3.399 = 3.( 33 ) 33 Vì 33 = 27 = 13 +1, nên 33 º 1(mod 13) (33)33 º 133 (mod 13) hay 399 º 1(mod 13) Chuyên đề Toán ⇒ 399 º (mod 13) Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định º (mod 13) Gv: Hồ Xuân Dâng nên 3100 º (mod 13) Vậy 3100 chia cho 13 có số dư VD Chứng minh 22008 – chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 – chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – º (mod 31) Ta có : 22008 = 23 22005 = 23 (25)401 mà 25 =32 º (mod 31) nên ta có (25)401 º 1401(mod 31) Þ 23 22005 º 23 1(mod 31) ⇒ 22008 º 8(mod 31) ⇒ 22008 - º - (mod 31) Mặt khác º 8(mod 31) Nên 22008 - º (mod 31) Vậy 22008 – chia hết cho 31 Đpcm VD 3: CM với số tự nhiên n số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 144n Vỡ 144 º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133) suy 12 144n º 12 11n (mod 133) (1) Mặt khác: 11n+2 = 121 11n Mà 121 º - 12 (mod 133) nên 121 11n º - 12 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) (2) ta 122n+1 + 11n+2 º (mod 133) Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 VD 4: CM 58 2008 Đpcm + 23M24 Ta có 58 = 254 mà 25 º 1(mod 24) nên 254 º 1(mod 24) Þ 254 2008 º 1(mod 24) cũn 23 º 23(mod 24) Suy 82008 + 23 º (mod 24) Vậy 58 2008 + 23M24 Đpcm 3.2/ So sánh hai luỹ thừa a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng tính chất sau: - Trong hai luỹ thừa số luỹ thừa có số mũ lớn lớn - Trong hai luỹ thừa số mũ luỹ thừa có số lớn lớn - Dùng luỹ thừa trung gian b/ Ví dụ: So sánh 10200 99100 648 1612 6100 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: Chun đề Tốn Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định 6100= 2100.3100 3170= 370.3100 Gv: Hồ Xuân Dâng ⇒ Để so sánh 6100 3170 ta cần so sánh 2100 370 Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 < 370 ⇒ 2100 < 370 Vậy 6100 < 3170 C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: a) 714n – chia hết cho b) 124n + + 34n +1 chia hết cho c) 92001n + chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 M Bài 2: Tìm chữ số tận a) 2008 2009 e) 97 19 1997 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + … + 220 B = 31 + 32 + 33 + … + 3300 a) Tìm chữ số tận A b) Chứng minh B chia hết cho b) Chứng minh B – A chia hết cho Bài 4: Tìm số dư phép chia sau: a) 3100 : b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : Bài 5: Chứng minh rằng: a) 301293 – M9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n M271 c) 62n + 3n+2 3n M11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 M19 (với " n Ỵ N) Bài 6: Ngày tháng năm 2010 bạn Nam kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 Biết ngày tháng năm 2008 ngày thứ a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày b) Bạn Nam tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài 7: Chứng minh a2 + b2 + c2 M9 thỡ ớt cỏc hiệu a – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Bài 8: So sánh số sau: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định a) 3281 3190 Gv: Hồ Xuân Dâng b) 11022009 – 11022008 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 B = (20082008 + 20072008)2007 D HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho số dư nhận số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Bởi Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Vậy dù với số nguyên n số n chia cho có số dư số 0, 1, 4, Gọi số dư chia a2, b2, c2 cho r1, r2, r3 Ta có: a2 + b2 + c2 º r1 + r2 + r3 º (mod 9) ( Vì a2 + b2 + c2 chia hết cho 9) Như r1, r2, r3 nhận giá trị 0, 1, 4, nên r + r2 + r3 chia hết cho trường hợp sau 1) r1 = r2 = r3 = 2) Một số r1, r2, r3 hai số lại 3) Một số r1, r2, r3 hai số lại 4) Một số r1, r2, r3 hai số lại Vậy trường hợp có hai số r1, r2, r3 Điều có nghĩa hai số a2, b2, c2 có số dư chia cho Vậy có hiệu a – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Đpcm Bài 8: Ta có c) A = (20082007 + 20072007)2008 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007 (20082007 + 20072007)2007 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định Vậy A > B Gv: Hồ Xuân Dâng Mở rộng: Ta chứng minh tốn tổng quát : (an + bn)n + > (an + + bn + 1)n với a, b, n số ngun dương Thật vậy, khơng tính tổng quát, giả sử a ≥ b Ta co (an + bn)n + = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + + bn + 1)n Trong ví dụ với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B CHỦ ĐỀ CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng - Hiểu mối quan hệ ước bội với tính chia hết B MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH VỀ TÍNH CHIA HẾT I Chú ý : Nhắc lại ước bội - Nếu a Mb ta nói b ước a a bội b - Khi a Md b Md ta nói d ước chung a b Khi d số lớn tập hợp ước chung a b ta nói d ước chung lớn a b Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d (a,b) = d - - Khi mM a mMb ta nói m bội chung a b Khi m # m số nhỏ tập hợp bội chung a b ta nói m bội chung nhỏ a b Ký hiệu BCNN(a,b) = m [a,b] = m Một số dấu hiệu chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 tổng chữ số vị trí lẻ tổng chữ số vị trí chẵn số chia hết cho 11 Dấu hiệu chia hết cho 4, 25 Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng Những số có hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 8, 125 Những số có ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125) Một số tính chất: - Nếu tích chia hết cho số ngun tố p tích chứa thừa số chia hết cho p - Nếu tích a.b chia hết cho m b m hai số nguyên tố a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m n a chia hết cho bội chung nhỏ m n Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho số nguyên tố a chia hết cho tích hai số - Nếu A MB mA ± nB MB (m,n ∈ N, A B biểu thức số tự nhiên) II Các phương pháp chứng minh chia hết Sử dụng tính chất chia hết tổng Ví dụ: a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299 CMR: A chia hết cho 31 A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299 Giải: Ta có = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295 (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) (1 + 25 + 210 + … + 295) = 31 (1 + 25 + 210 + … + 295) chia hết cho 31 Đpcm b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Giải: Để 3n + 4Mn - Û [1.(3n + 4) - 3.(n - 1) ] Mn - Û Mn - hay n – Ỵ Ư(7) én - = ⇔ ê Þ ê n = ë én = Vậy với n = n = ê ê n = ë 3n + 4Mn - Sử dụng đồng dư thức Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Giải: Ta có Chun đề Tốn Năm học: 2010 – 2011 Trang 10 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng 17 º 7(mod10) 244 º 6(mod10) 1321 =13.( 134 ) º 3(mod10) Þ 175 + 244 - 1321 º + - 3(mod10) Hay 175 + 244 - 1321 º 0(mod 10) Vậy 175 + 244 - 1321 M10 Đpcm Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ: CMR: n5 – n M 30 Giải: Bài tốn ln với n = n =1 Xét n ≥ 2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A M 10 ( Vì n5 n có chữ số tận giống nhau) AM (Vì A có tích số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) ⇒ A chia hết cho 10 Mà ƯCLN(3, 10) = nên A chia hết cho 3.10 Vậy A M 30 Đpcm C CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI VÀ SỐ NGUYÊN TỐ Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố cho để tỡm hai số 2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chỳng ta hóy xột số vớ dụ minh họa Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 11 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z + ; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chỳ ý : Ta áp dụng cơng thức (**) để giải tốn : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy mn = 15 Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 (a, b) = Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vỡ : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18 Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, toán đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chỳ ý : Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vỡ : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25 Chỳ ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) = Bài tốn : Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140 Lời giải : Đặt (a, b) = d Với , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 12 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài tốn : Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Không tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài tốn : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Do : a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 BÀI TẬP 1) Tìm hai số biết ƯCLN chúng: Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 100 có ƯCLN 10 Giải: Gọi hai số phải tìm a b (a ≤ b) Ta có ƯCLN(a,b) = 10 Do a =10.a’ b = 10.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’ ∈ N) Theo đầu bài: a + b = 100 suy 10.a’ + 10.b’ =100 nên a’+b’ = 10 (a’ ≤ b’) Chọn hai số nguyên tố có tổng 10 ta có a’ b’ Do a b 10 90 30 70 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng chúng có tích 300 Giải: Gọi hai số phải tìm a b (a ≤ b) Ta có ƯCLN(a,b) = Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 13 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng Do a =5.a’ b = 5.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’ ∈ N) Theo đầu bài: a.b = 300 suy 25.a’.b’ =300 nên a’.b’ = 12 (a’ ≤ b’) Chọn hai số nguyên tố có tích 12 ta có a’ b’ 12 Do a b 60 15 20 Ví dụ 3: Chứng minh số nguyên tố p > (p - 1).(p + 1) M24 Giải: Ta có : (p - 1).p.(p + 1) M3 (Tích số tự nhiên liên tiếp) Vì p số nguyên tố p > nên ƯCLN(3, p) = ⇒ (p - 1).(p + 1) M3 Do p số nguyên tố nên p – p + hai số chẵn liên tiếp nên có 1số bội số bội ⇒ (p - 1).(p + 1) M8 Mà ƯCLN(3,8) = nên (p - 1).(p + 1) M3 Vậy (p - 1).(p + 1) M24 Đpcm 2) Các toán phối hợp ƯCLN BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a £ b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Giải: Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do a =12.a’ b = 12.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a’ £ b’; a’, b’ ∈ N) Vì ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = a.b nên 144a’.b’ = 2160 suy a’.b’ = 15 a’ b’ 15 Do a b 12 180 36 60 D CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tập tự giải : Bài : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 (a, b) = c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 (a, b) = e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140 HD: Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy d = suy a = 28 ; b = 35 Bài 2: Tìm hai số a, b biết: a) 7a = 11b (a, b) = 45 b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 chúng có chữ số tËn cïng giống Bµi 3: Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số, tích hai số ln chia hết cho số cịn lại Chun đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 14 Trường THCS nguyễn Thị Định Bài 4: Tìm số tự nhiên m n cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Gv: Hồ Xuân Dâng Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho 5n + 45 Mn + Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Bài 7: Cho p, q , r ba số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 hợp số E HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: CM “ Bình phương số nguyên tố lớn chia cho có số dư 1.” CHUYÊN ĐỀ : SO SÁNH HAI PHÂN SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 15 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng - Nắm phương pháp để so sánh hai phân số, hiểu thuật ngữ toán học phần bù 1, phần thừa - Biết nhận dạng dạng tập từ có định hướng để sử dụng phương pháp so sánh hai phân số cách thích hợp tìm lời giải tốn - Có thể tự tạo tập phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá toán ban đầu B NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I/ Nhắc lại kiến thức - Để so sánh hai phân số ta thường đưa chúng hai phân số có mẫu số số dương, phân số có tử số lớn phân số lớn Tổng quát: a c > Û b b ìïï b > í ïïỵ a > c - Ngồi cịn số phương pháp khác sau: 1/ Quy đồng đưa hai phân số có tử số số dương: Phân số có mẫu lớn phân số lớn 2/ Sử dụng phần bù phần thừa VD: So sánh a +1 a +2 với a số tự nhiên khác a +2 a +3 Lời giải: C1: Quy đồng đưa mẫu số C2: Ta có: a +1 a + - 1 = = 1còn a +2 a +2 a +2 a + a +3- 1 = = 1a +3 a +3 a +3 Mà 1 1 Þ 1> 1> a + a +3 a +3 a +2 Vậy: a +1 a + < a + a +3 3/ Dùng phân số trung gian tính chất bắc cầu bất đẳng thức Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 16 Trường THCS nguyễn Thị Định Gv: Hồ Xuân Dâng m 2008 +1 m 2009 +1 VD1: Cho hai phân số A = 2009 B = 2010 với m Ỵ N * m +1 m +1 Hãy so sánh A B Lời giải: Nhận xét: - Nếu m = A = B - Với m > ta so sánh mA mB từ dễ dàng so sánh A B Ta có: mA = mB = m ( m 2008 +1) m 2009 +1 m ( m 2009 +1) m 2010 +1 m 2009 + m m- = 2009 = + 2009 m +1 m +1 m 2010 + m m- = 2010 = + 2010 m +1 m +1 m- m- > Þ mA > mB A > B m 2009 +1 m 2010 +1 Mở rộng: Bài toán tổng quát hoá thành dạng m n+1 +1 m n +1 B = với m, n Ỵ N * A = n+1 n+2 m +1 m +1 VD2:Một phân số có tử mẫu số nguyên dương Nếu cộng tử mẫu phân số với số tự nhiên n ¹ phân số thay đổi nào? Lời giải: Gọi phân số a Ta xét ba trường hợp: a = b; a > b; a< b b - Trường hợp a = b ta có: a a a +n = Vậy giá trị phân số không thay đổi = = b a a +n - Trường hợp a > b ta có:( a >1) b a b +a - b a- b = =1 + b b b Còn a + n ( b + n ) +( a + n ) - b - n a- b = =1+ b +n b +n b +n Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 17 Trường THCS nguyễn Thị Định Vì Gv: Hồ Xuân Dâng a- b a- b a a +n > Þ > b b +n b b +n Vậy: Khi cộng tử mẫu phân số lớn (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị lớn giá trị phân số ban đầu -Trường hợp a < b ta có:( a Þ 1< 1< Nên b b +n b b +n b b +n Vậy: Khi cộng tử mẫu phân nhỏ (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị nhỏ giá trị phân số ban đầu VD3: Tìm số tự nhiên x cho x 10 < < 11 15 11 Lời giải: Ta có: x 10 9.15 11.x 10.15 < < Û < < 11 15 11 11.15 11.15 11.15 Hay 135 < 11x < 150 Û 135 150 10 Từ ta tìm x 50 44 Xét trường hợp 2: Ta có 10a + b + (a + b) + (a + b – ) = 60 hay 4a + b = 23 Kết hợp điều kiện ta tìm a = 4, b = thoả mãn từ tìm x = 47 Vậy có số thoả mãn đầu 2/ Một số tập: Bài 1.3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chia số cho tích chữ số hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ tự ngược lại 18 Bài 2.3: Có ba tờ bìa ghi số 23, 79 ab Xếp ba tờ bìa lại thành số có chữ số Cộng tất số có chữ số lại (đổi chỗ tờ bìa ta lại sơ có chữ số khác) kết 989 896 Tìm số ab Bài 3.3: Trên bia có vịng trịn tính điểm 18, 23, 28, 33, 38 Muốn trúng thưởng phải bắn số phát để đạt 100 điểm Hỏi phải bắn phát vào vòng để trúng thưởng Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 24 Trường THCS nguyễn Thị Định Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Gv: Hồ Xuân Dâng Trang 25 ... = 6m.6n = 36mn => ab = 2 16 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18 Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 ... (a, b).[a, b] => mn. 162 = 240. 16 suy mn = 15 Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 2 16 (a, b) = Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ;... 10200 99100 64 8 161 2 61 00 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Trường THCS nguyễn Thị Định 61 00= 2100.3100 3170= 370.3100 Gv: Hồ Xuân Dâng ⇒ Để so sánh 61 00 3170