20-chuyen-de-boi-duong-toan-lop-8

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí CHUN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Hệ thống lại dạng tốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + f(1) f(- 1) khác số nguyên Để + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(-1) nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ aa +- 11 số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có ±1; ±2; ±4 x = , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 – x2 – = = (x − x ) + ( x − x ) +( (x2−x2−) 4( x) 2=+xx2 (+x2−) ) + x( x − 2) + 2( x − 2) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí x − x − = x − − x + = ( x − ) − ( x − ) = ( x − 2)( x + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) Cách 2: = ( x − ) ( x + x + ) − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: không nghiệm f(x), ±1, ±5 f(x) nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 3x3 − x − x + x + 15 x − = ( 3x − x ) − ( x − x ) + ( 15 x − ) + 17x – = = x (3 x − 1) − x(3 x − 1) + 5(3x − 1) = (3 x − 1)( x − x + 5) Vì với x nên không x − x + = ( x − x + 1) + = ( x − 1) + > phân tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ≠ Giả sử x ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + +11 x xx2 x 2 – ) = x [(x + ) + 6(x - ) + ] Đặt x - = y x2 + = y2 + 2, A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy Chú ý: Ví dụ giải cách áp 11 xx2 + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A= = ( x + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx) ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) Đặt = a, xy + yz + zx = b ta có x2 + y2 + z A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a x + y + z + b)2 = ( + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x + y + z ) − ( x + y + z )2 − 2( x + y + z )( x + y + z ) + ( x + y + z ) Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2() b –c2 = - x2 y + y z + z x2 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4() + (xy + yz + zx)2 x2 y + y z + z x2 −4 x y − y z − z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) = Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a + b3 + c ) − 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 m - n + ) Ta có: C = (m + c)3 – = 3( - c3 +mc2 m3 + 3mn – mn2 + cn2) 4 − 4c3 − 3c(m - n ) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số 1, không nghiệm ± đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng đa thức với đa thức a + c = −6 cho ta có: Xét bd = với b, d Z, b với b =  ac + b + d = 12   = −14  ad + bc ∈±3} ± 1, { bd = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8 2c = −8 c = −4  ⇒  Vậy: x - 6x + 12x - 14x + a + 3c = −14 ac = ⇒ a = −2  2 = (x - 2x + 3)(x - 4x + 1) bd = Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - a − = −3⇒ 2b)x - 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = b − 2a = −7 a =   ⇒ b = −5  c − 2b = c = −4   −2c = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac = 12 ⇒ bc + ad = −10 a =   12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3c − a = ⇒ ⇒ c = bd = −12 b = −6 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)  d = 3d − b = 12 BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 -4 7x 10)1)64x + y+4 + 16 11)2)a6x+ -a9x + a+2b6x + b - b6 6x2 +- xy3+- 30 12)3)x3x+-3xy - x + 5x 2+ 13)4)4x2x + 4x + 5x + 2x + 5) 27x - 27x2 + 18x - 14) x + x + 6) x82 + 2xy4 + y2 - x - y - 12 15) x + 3x + 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 16) 3x24 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 8) 4x - 32x + 17)9)x43(x - 8x + 63 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 CHUYấN ĐỀ - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP, CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp * Vận dụng kiến thức vào ssó tốn cụ thể thực tế * Tạo hứng thú nâng cao kỹ giải toán cho HS B KIẾN THỨC: I Chỉnh hợp: ≤ phần tử Mỗi cách xếp k phần tử định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n tập hợp X ( k n) theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số tất chỉnh hợp chập k n phần A k n tử kí hiệu Tính số chỉnh chập k n phần tử = n(n - 1)(n - 1)] A k n - 2)…[n - (k II Hoán vị: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập hợp X theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Số tất hốn vị n phần tử kí hiệu Pn Tính số hốn vị n phần tử ( n! : n giai thừa) Pn = = n(n = n! A n n 1)(n - 2) …2 III Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n ≤ phần tử Mỗi tập X gồm k phần tử n phần tử tập hợp X ( k n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tất tổ hợp chập k n phần tử C k n kí hiệu Tính số tổ hợp chập k n phần tử kn n(n - 1)(n - 2) [n C nn - (k - 1)]CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN A k! VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí C Ví dụ: Ví dụ 1: Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, a) có số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số b) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số c)Có cách chọn ba chữ số chữ số Giải: a) số tự nhiên có ba chữ số, chữ số A khác nhau, lập ba chữ số chỉnh hợp chập phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 số b) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số hoán vị cua phần tử (chỉnh hợp chập phần tử): = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = A 5 = 120 số c) cách chọn ba chữ số chữ số tổ hợp chập phần tử: = nhóm Ví dụ 2: 5.(5 - 1).(5 - 2) 53 60 = C5 = = 10 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Dùng chữ số này: a) Lập số tự nhiên có chữ số khơng có chữ số lặp lại? Tính tổng số lập b) lập số chẵn có chữ số khác nhau? c) Lập số tự nhiên có chữ số, hai chữ số kề phải khác d) Lập số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn Giải a) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác A nhau, lập chữ số chỉnh hợp chập phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 số CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Trong hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), chữ số có mặt: 120 : = 24 lần Tổng chữ số hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 Tổng số lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) chữ số tận có cách chọn (là 4) bốn chữ số trước hốn vị của chữ số cịn lại có P4 = 4! = = 24 cách chọn Tất có 24 = 48 cách chọn c) Các số phải lập có dạng , : a abcde có cách chọn, b có cách chọn (khác a), c có cách chọn (khác b), d có cách chọn (khác c), e có cách chọn (khác d) Tất có: = 1280 số d) Chọn chữ số chẵn, có cách chọn chọn chữ số lẻ, có cách chọn Các chữ số hốn vị, có: 4! =1 = 72 số · xAy ≠ 1800 Bài 3: Cho Trên Ax lấy điểm khác A, Ay lấy điểm khác A 12 điểm nói (kể điểm A), hai điểm củng nối với đoạn thẳng Có tam giác mà đỉnh 12 điểm Giải Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: + Loại 1: tam giác có đỉnh A, đỉnh thứ thuộc Ax (có cách chọn), đỉnh thứ thuộc Ay (có cách A B1 A1 chọn), gồm có: = 30 tam giác 6.5 30 + Loại 2: Các tam giác có đỉnh C = 2! = = 15 B2 A2 B3 A3 B4 A4 y B5 A5 A x điểm B1, B2, B3, B4, B5 (có cách chọn), hai đỉnh điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có cách chọn) Gồm 15 = 75 tam giác + Loại 3: Các tam giác có đỉnh 5.4 20 = = 60 2! CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN C = VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: tam giác Tất có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác Cách 2: số tam giác chọn 12 điểm C Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ax là: Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ay là: 12 = C 12.11.10 1320 1320 = = = 220 3! 3.2 = C = 7.6.5 210 210 = = = 35 3! 3.2 6.5.4 120 120 = = = 20 3! 3.2 Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D BÀI TẬP: Bài 1: cho số: 0, 1, 2, 3, từ chữ số lập số tự nhiên: a) Có chữ số gồm chữ số ấy? b) Có chữ số, có chữ số khác nhau? c) có chữ số, chữ số khác nhau? d) có chữ số, chữ số giống nhau? Bài 2: Có số tự nhiên có chữ số lập chữ số 1, 2, biết số chia hết cho Bài 3: Trên trang có đường kẻ thẳng đứng đường kẻ nằm ngang đôi cắt Hỏi trang có hình chữ nhật CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN 10