Thông tin tài liệu
QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC A Phương pháp giải Định lí Trong tam giác: – Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong hình 15.1: ABC AC AB B C Suy ra, tam giác: – Góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn; – Cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn Định lí Hai tam giác có hai cặp cạnh – Nếu cạnh thứ ba khơng góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, hai góc xen khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn B Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh tam giác vng có góc nhọn lớn 30o cạnh đối diện với góc lớn nửa cạnh huyền Giải (h.15.2) * Tìm cách giải Giả sử tam giác ABC vuông A, ABC 30o , ta phải chứng minh AC BC Muốn vậy, phải chứng minh 2AC BC Ta tạo đoạn thẳng 2AC cách lấy điểm D tia đối tia AC cho AD AC Khi đó, xét BDC cần chứng minh DC BC * Trình bày lời giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD AC ABD ABC (c.g.c) BD BC ABD ABC 30o Suy DBC 60o BCD cân có góc đỉnh lớn 60o nên góc đáy nhỏ 60o Xét DBC có DBC D nên CD BC (quan hệ cạnh góc đối diện) Do 2AC BC hay AC BC Ví dụ 2: Tam giác ABC có góc B, góc C góc nhọn, B 45o ; C 45o Vẽ đường cao AH Hãy so sánh HA, HB, HC Giải (h.15.3) * Tìm cách giải Ta thấy HA, HB, HC ba cạnh tam giác HA HB hai cạnh tam giác HAB HA HC hai cạnh tam giác HAC Vì ta dùng HA làm trung gian để so sánh HA, HB, HC * Trình bày lời giải Xét ABH có H 90o ; B 45o nên A1 45o Vậy A1 B HB HA 1 (quan hệ góc cạnh đối diện) Xét ACH có H 90o ;C 45o nên A2 45o Vậy C A2 HA HC 2 (quan hệ góc cạnh đối diện) Từ (1) (2) suy HB HA HC Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm O AB Chứng minh AC BC BD AD Giải (h.15.4) * Tìm cách giải BDO ADO có hai cặp cạnh nhau, để chứng minh BD AD ta cần chứng minh BOD AOD * Trình bày lời giải AOC BOC có OA=OB; OC chung; AC BC suy AOC BOC (định lí 2) Do BOD AOD BOD AOD có OB OA,OD chung, BOD AOD suy BD AD (định lí 2) Ví dụ 4: Tam giác ABC có B 90o AB AC Hãy xếp ba cạnh tam giác theo thứ tự tăng dần Giải (h.15.5) * Tìm cách giải Vì góc B góc tù nên cạnh AC cạnh lớn Khai thác điều kiện AB AC ta làm xuất yếu tố AC cách vẽ trung điểm M AC Khi AB BC hai cạnh hai tam giác có hai cặp cạnh nhau, ta dùng định lí * Trình bày lời giải Xét ABC có B 90o nên cạnh AC cạnh lớn nhất, BC AC 1 Gọi M trung điểm AC Xét ABM có AB AM AC nên ABM cân B1 M1 90 , M 90 Vậy M1 M o o AMB CMB có: MA MC, MB chung M1 M nên AB BC (2) Từ (1) (2) suy AB BC CA C Bài tập vận dụng Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác 15.1 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm đường thẳng BC Hãy so sánh AM với AB 15.2 Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Cho biết góc ADB góc nhọn, so sánh AB AC 15.3 Tam giác ABC có AB AC Trên cạnh AB lấy điểm M M B Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Mx//AC tia lấy điểm N cho MN MB Chứng minh BC NC 15.4 Cho tam giác ABC, A 60o ; B 75o Trong tam giác lấy điểm O cho OAC OCA 15o Chứng minh OA OB 15.5 Cho tam giác ABC Vẽ AH BC H BC BK AC K AC Biết AH BC;BK AC Tính số đo góc tam giác ABC 15.6 Trong tam giác ABC có AB AC Tia phân giác góc A cắt BC D Gọi M điểm đoạn thẳng AD Hãy so sánh MB với MC 15.7 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy E F cho BAE EAF FAC Chứng minh đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M N cho BM MN NC Chứng minh góc MAN góc lớn ba góc BAM ,MAN NAC 15.9 Chứng minh tam giác có góc lớn 60o cạnh đối diện với góc lớn trung bình cộng hai cạnh lại 15.10 Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M điểm nằm tam giác cho BMC 105o Chứng minh MA MB MC Hai tam giác có hai cạnh 15.11 Tam giác ABC có AB AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E E B , tia đối tia CA lấy điểm F F C cho BE CF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DEF DFE 15.12 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm nằm tam giác cho ABM ACM Hãy so sánh góc AMB AMC 15.13 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm A B Gọi O trung điểm CM Tia AO cắt BC D Chứng minh BD CD 15.14 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm tam giác cho AMB AMC Tia AM cắt BC D Chứng minh BD CD 15.15 Cho tam giác ABC, AB AC Gọi M trung điểm BC Lấy điểm D nằm A C cho AMD 90o Chứng minh MD MB 15.16 Cho tam giác ABC, A 60o , tổng AB AC 10cm Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Hướng dẫn giải 15.1 Trường hợp M B M C : Khi AM AB Trường hợp M nằm B C (h.15.6) Ta có AMB ACB (tính chất góc ngồi tam giác) Do AMB ABC (vì ACB ABC ) Xét ABM có ABM AMB Suy AM AB (quan hệ góc cạnh đối diện) Trường hợp M tia Bx tia đối tia BC M B (h.15.7) Ta có ABC ACB 90o (tính chất tam giác cân) Do ABM 90o Xét ABM có ABM góc tù nên AM cạnh lớn Vậy AM AB Chứng minh tương tự, M tia Cy tia đối tia CB M C AM AB 15.2 (h.15.8) Góc ADB góc nhọn nên góc ADC góc tù ABD ACD có A1 A2 ; D1 D2 nên B C ABC có B C AC AB (định lí 1) 15.3 (h.15.9) Ta có MN //AC MNC ACN (so le trong) Mặt khác, ACN ACB nên MNC ACB ABC có AB AC nên ACB ABC Từ (1) (2), suy MNC ABC (3) Tam giác MNB cân MNB MBN Từ (3) (4), suy MNC MNB ABC MBN Do BNC NBC BC NC (định lí 1) 15.4 (h.15.10) Ta có ACB 180o BAC ABC 180o 60o 75o 45o Mặt khác, A1 C1 15o (giả thiết) nên A2 60o 15o 45o , C2 45o 15o 30o Giả sử OA OB khơng vng góc với nhau, Tức AOB 90o Xét trường hợp AOB 90o Ta có B2 180o AOB A2 180o AOB 45o 45o Vậy B2 A2 OA OB (định lí 1) Mặt khác, AOC cân nên OA OC suy OC OB B1 C2 (định lí 1) Từ ta B2 B1 A2 C2 45o 30o hay ABC 75o (trái giả thiết) Xét trường hợp AOB 90o , chứng minh tương tự ta ABC 75o (trái giả thiết) Vậy AOB 90o OA OB 15.5 (h.15.11) Xét AHC vuông H, BKC vuông K, Ta có: AH AC; BK BC (1) Mặt khác BC AH ; AC BK (giả thiết) (2) Từ (1) (2), suy BC AH AC BK BC Do BC AH AC BK Vậy ABC phải tam giác vuông cân C Suy C 90o , A B 45o 15.6 (h.15.12) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE AB Vì AE AC nên điểm E nằm A C ABM AEM c.g.c MB ME M M1 Xét AME có MEC góc ngồi nên MEC M1 Do MEC M ; M D1; D1 ACD; ACD ECM Xét MEC có MEC ECM MC ME (định lí 1) Do MC MB (vì MB ME ) 15.7 (h.15.13) ABE ACF c.g.c AE AF BE CF (1) AEF cân AEF 90o AEB 90o Xét AEB có AEB 90o nên AB AE Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AE ADE AFE c.g.c ED EF ADE cân ADE góc nhọn BDE góc tù Xét BDE có BDE góc tù BE cạnh lớn Do BE DE BE EF (2) Từ (1) (2) suy EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 (h.15.14) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA AMN DMB c.g.c A2 D AN BD Ta có ANC ABC ANC C Do AC AN (định lí 1) Suy AB BD D A1 A2 A1 Dễ thấy A1 A3 A2 góc lớn ba góc A1 , A2 , A3 15.9 (h.15.15) Giả sử tam giác ABC có ABC 60o , ta phải chứng minh AC AB BC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD BA Vẽ CH AD Tam giác ABD cân B ABC D D ABC Vì ABC 60o nên D 30o Xét HCD vng H, có D 30o nên CH CD (xem ví dụ 1) Mặt khác AC CH nên 1 AC CD DB BC AB BC 2 15.10 (h.15.16) Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C, vẽ tam giác BDM vuông cân B ABD CBM c.g.c AD CM ADB BMC 105o BDM vuông cân B BDM 45o ADM 60o Xét ADM có ADM 60o nên MA AD DM (xem 15.9) Mặt khác, DM MB (vì BDM vng) suy MA MC MB 15.11 (h.15.17) ABC có AB AC ACB ABC Do FCB EBC FCD EBD có: CF BE, CD BD FCB EBC nên DF DE (định lí 2) Xét DEF có DF DE nên DEF DFE (định lí 1) 15.12 (h.15.18) Tam giác ABC cân A ABC ACB Ta có B1 C1 (giả thiết) B2 C2 MC MB (định lí 1) Xét ABM ACM có: AB AC; AM chung; MB MC MAB MAC (định lí 2) Mặt khác B1 C1 nên MAB B1 MAC C1 Do M1 M 15.13 (h.15.19) Trên tia đối tia OA lấy điểm N cho ON OA AMO NCO c.g.c AM NC A1 N1 Ta có AB AM AC NC Xét ACN có AC NC N1 A2 A1 A2 ABD ACD có: AB AC; AD chung A1 A2 nên BD CD (định lí 2) 15.14 (h.15.20) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Ax cho CAx BAM Trên tia Ax lấy điểm N cho AN AM AMB ANC c.g.c BM CN AMB ANC Mặt khác, AMB AMC nên ANC AMC (1) AMN cân A nên ANM AMN (2) Từ (1) (2), suy MNC NMC MC NC AMC ANC có: AM AN , AC chung MC NC nên MAC NAC (định lí 2) MAC MAB DAC DAB có AC AB, AD chung, DAC DAB nên DC DB (định lí 2) 15.15 (h.15.21) AMB AMC có: MB MC; MA chung AB AC nên AMB AMC (định lí 2) M góc nhọn M AMD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: MDC M1 Mặt khác, M1 M ; M C nên MDC C Xét MDC có MDC C MC MD (định lí 1) Lại MC MB nên MB MD hay MD MB 15.16 Xét trường hợp AB AC ABC tam giác cân, có A 60o nên tam giác Suy AB BC CA 5cm Chu vi tam giác ABC 15 (cm) (1) Xét trường hợp AB AC Khơng tính tổng qt, giả sử AB AC (h.15.22) Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho AM AN 5cm Khi AMN tam giác MN 5cm Vì AM AN AB AC (= 10 cm) nên AB BM AN AB AN CN BM CN Ta có BMC BMN ; BMN ANM ; ANM NCM (tính chất góc ngồi tam giác) suy BMC NCM BMC NCM có: BM CN , MC chung BMC NCM suy BC MN (định lí 2) Chu vi ABC AB BC CA 10 BC 10 MN 15 (cm) (2) Từ (1) (2), suy chu vi ABC nhỏ 15cm, AB AC 5cm
Ngày đăng: 18/10/2022, 19:56
Xem thêm:
