phuong phap giai bai tap ve quan he giua goc va canh doi dien trong mot tam giac chon loc

QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC A Phương pháp giải  Định lí Trong tam giác: – Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong hình 15.1: ABC AC  AB  B  C Suy ra, tam giác: – Góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn; – Cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn  Định lí Hai tam giác có hai cặp cạnh – Nếu cạnh thứ ba khơng góc đối diện với cạnh lớn góc lớn – Đảo lại, hai góc xen khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn B Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh tam giác vng có góc nhọn lớn 30o cạnh đối diện với góc lớn nửa cạnh huyền Giải (h.15.2) * Tìm cách giải Giả sử tam giác ABC vuông A, ABC  30o , ta phải chứng minh AC  BC Muốn vậy, phải chứng minh 2AC  BC Ta tạo đoạn thẳng 2AC cách lấy điểm D tia đối tia AC cho AD  AC Khi đó, xét BDC cần chứng minh DC  BC * Trình bày lời giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD  AC ABD  ABC (c.g.c)  BD  BC ABD  ABC  30o Suy DBC  60o BCD cân có góc đỉnh lớn 60o nên góc đáy nhỏ 60o Xét DBC có DBC  D nên CD  BC (quan hệ cạnh góc đối diện) Do 2AC  BC hay AC  BC Ví dụ 2: Tam giác ABC có góc B, góc C góc nhọn, B  45o ; C  45o Vẽ đường cao AH Hãy so sánh HA, HB, HC Giải (h.15.3) * Tìm cách giải Ta thấy HA, HB, HC ba cạnh tam giác HA HB hai cạnh tam giác HAB HA HC hai cạnh tam giác HAC Vì ta dùng HA làm trung gian để so sánh HA, HB, HC * Trình bày lời giải Xét ABH có H  90o ; B  45o nên A1  45o Vậy A1  B  HB  HA 1 (quan hệ góc cạnh đối diện) Xét ACH có H  90o ;C  45o nên A2  45o Vậy C  A2  HA  HC  2 (quan hệ góc cạnh đối diện) Từ (1) (2) suy HB  HA  HC Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt trung điểm O AB Chứng minh AC  BC BD  AD Giải (h.15.4) * Tìm cách giải BDO ADO có hai cặp cạnh nhau, để chứng minh BD  AD ta cần chứng minh BOD  AOD * Trình bày lời giải AOC BOC có OA=OB; OC chung; AC  BC suy AOC  BOC (định lí 2) Do BOD  AOD BOD AOD có OB  OA,OD chung, BOD  AOD suy BD  AD (định lí 2) Ví dụ 4: Tam giác ABC có B  90o AB  AC Hãy xếp ba cạnh tam giác theo thứ tự tăng dần Giải (h.15.5) * Tìm cách giải Vì góc B góc tù nên cạnh AC cạnh lớn Khai thác điều kiện AB  AC ta làm xuất yếu tố AC cách vẽ trung điểm M AC Khi AB BC hai cạnh hai tam giác có hai cặp cạnh nhau, ta dùng định lí * Trình bày lời giải Xét ABC có B  90o nên cạnh AC cạnh lớn nhất, BC  AC 1 Gọi M trung điểm AC Xét ABM có AB  AM   AC  nên   ABM cân  B1  M1  90 , M  90 Vậy M1  M o o AMB CMB có: MA  MC, MB chung M1  M nên AB  BC (2) Từ (1) (2) suy AB  BC  CA C Bài tập vận dụng  Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác 15.1 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm đường thẳng BC Hãy so sánh AM với AB 15.2 Cho tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt BC D Cho biết góc ADB góc nhọn, so sánh AB AC 15.3 Tam giác ABC có AB  AC Trên cạnh AB lấy điểm M  M  B  Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Mx//AC tia lấy điểm N cho MN  MB Chứng minh BC  NC 15.4 Cho tam giác ABC, A  60o ; B  75o Trong tam giác lấy điểm O cho OAC  OCA  15o Chứng minh OA  OB 15.5 Cho tam giác ABC Vẽ AH  BC  H  BC  BK  AC  K  AC  Biết AH  BC;BK  AC Tính số đo góc tam giác ABC 15.6 Trong tam giác ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt BC D Gọi M điểm đoạn thẳng AD Hãy so sánh MB với MC 15.7 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy E F cho BAE  EAF  FAC Chứng minh đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M N cho BM  MN  NC Chứng minh góc MAN góc lớn ba góc BAM ,MAN NAC 15.9 Chứng minh tam giác có góc lớn 60o cạnh đối diện với góc lớn trung bình cộng hai cạnh lại 15.10 Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi M điểm nằm tam giác cho BMC  105o Chứng minh MA  MB  MC  Hai tam giác có hai cạnh 15.11 Tam giác ABC có AB  AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E  E  B  , tia đối tia CA lấy điểm F  F  C  cho BE  CF Gọi D trung điểm BC Chứng minh DEF  DFE 15.12 Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm nằm tam giác cho ABM  ACM Hãy so sánh góc AMB AMC 15.13 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm A B Gọi O trung điểm CM Tia AO cắt BC D Chứng minh BD  CD 15.14 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm tam giác cho AMB  AMC Tia AM cắt BC D Chứng minh BD  CD 15.15 Cho tam giác ABC, AB  AC Gọi M trung điểm BC Lấy điểm D nằm A C cho AMD  90o Chứng minh MD  MB 15.16 Cho tam giác ABC, A  60o , tổng AB  AC  10cm Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Hướng dẫn giải 15.1  Trường hợp M  B M  C : Khi AM  AB  Trường hợp M nằm B C (h.15.6) Ta có AMB  ACB (tính chất góc ngồi tam giác) Do AMB  ABC (vì ACB  ABC ) Xét ABM có ABM  AMB Suy AM  AB (quan hệ góc cạnh đối diện)  Trường hợp M  tia Bx tia đối tia BC M  B (h.15.7) Ta có ABC  ACB  90o (tính chất tam giác cân) Do ABM  90o Xét ABM có ABM góc tù nên AM cạnh lớn Vậy AM  AB Chứng minh tương tự, M  tia Cy tia đối tia CB M  C AM  AB 15.2 (h.15.8) Góc ADB góc nhọn nên góc ADC góc tù ABD ACD có A1  A2 ; D1  D2 nên B  C ABC có B  C  AC  AB (định lí 1) 15.3 (h.15.9) Ta có MN //AC  MNC  ACN (so le trong) Mặt khác, ACN  ACB nên MNC  ACB ABC có AB  AC nên ACB  ABC Từ (1) (2), suy MNC  ABC (3) Tam giác MNB cân  MNB  MBN   Từ (3) (4), suy MNC  MNB  ABC  MBN Do BNC  NBC  BC  NC (định lí 1) 15.4 (h.15.10)   Ta có ACB  180o  BAC  ABC  180o   60o  75o   45o Mặt khác, A1  C1  15o (giả thiết) nên A2  60o  15o  45o , C2  45o  15o  30o Giả sử OA OB khơng vng góc với nhau, Tức AOB  90o  Xét trường hợp AOB  90o Ta có     B2  180o  AOB  A2  180o  AOB  45o  45o Vậy B2  A2  OA  OB (định lí 1) Mặt khác, AOC cân nên OA  OC suy OC  OB  B1  C2 (định lí 1) Từ ta B2  B1  A2  C2  45o  30o hay ABC  75o (trái giả thiết)  Xét trường hợp AOB  90o , chứng minh tương tự ta ABC  75o (trái giả thiết) Vậy AOB  90o  OA  OB 15.5 (h.15.11) Xét AHC vuông H, BKC vuông K, Ta có: AH  AC; BK  BC (1) Mặt khác BC  AH ; AC  BK (giả thiết) (2) Từ (1) (2), suy BC  AH  AC  BK  BC Do BC  AH  AC  BK Vậy  ABC phải tam giác vuông cân C Suy C  90o , A  B  45o 15.6 (h.15.12) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB Vì AE  AC nên điểm E nằm A C ABM  AEM  c.g.c   MB  ME M  M1 Xét AME có MEC góc ngồi nên MEC  M1 Do MEC  M ; M  D1; D1  ACD; ACD  ECM Xét MEC có MEC  ECM  MC  ME (định lí 1) Do MC  MB (vì MB  ME ) 15.7 (h.15.13) ABE  ACF  c.g.c   AE  AF BE  CF (1) AEF cân  AEF  90o  AEB  90o Xét AEB có AEB  90o nên AB  AE Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD  AE ADE  AFE  c.g.c   ED  EF ADE cân  ADE góc nhọn  BDE góc tù Xét BDE có BDE góc tù  BE cạnh lớn Do BE  DE  BE  EF (2) Từ (1) (2) suy EF có độ dài nhỏ ba đoạn thẳng BE, EF FC 15.8 (h.15.14) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD  MA AMN  DMB  c.g.c   A2  D AN  BD Ta có ANC  ABC  ANC  C Do AC  AN (định lí 1) Suy AB  BD  D  A1  A2  A1 Dễ thấy A1  A3 A2 góc lớn ba góc A1 , A2 , A3 15.9 (h.15.15) Giả sử tam giác ABC có ABC  60o , ta phải chứng minh AC  AB  BC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  BA Vẽ CH  AD Tam giác ABD cân B  ABC  D  D  ABC Vì ABC  60o nên D  30o Xét HCD vng H, có D  30o nên CH  CD (xem ví dụ 1) Mặt khác AC  CH nên 1 AC  CD   DB  BC    AB  BC  2 15.10 (h.15.16) Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C, vẽ tam giác BDM vuông cân B ABD  CBM  c.g.c   AD  CM ADB  BMC  105o BDM vuông cân B  BDM  45o  ADM  60o Xét ADM có ADM  60o nên MA  AD  DM (xem 15.9) Mặt khác, DM  MB (vì BDM vng) suy MA  MC  MB 15.11 (h.15.17) ABC có AB  AC  ACB  ABC Do FCB  EBC FCD EBD có: CF  BE, CD  BD FCB  EBC nên DF  DE (định lí 2) Xét DEF có DF  DE nên DEF  DFE (định lí 1) 15.12 (h.15.18) Tam giác ABC cân A  ABC  ACB Ta có B1  C1 (giả thiết)  B2  C2  MC  MB (định lí 1) Xét ABM ACM có: AB  AC; AM chung; MB  MC  MAB  MAC (định lí 2) Mặt khác B1  C1 nên MAB  B1  MAC  C1 Do M1  M 15.13 (h.15.19) Trên tia đối tia OA lấy điểm N cho ON  OA AMO  NCO  c.g.c   AM  NC A1  N1 Ta có AB  AM  AC  NC Xét ACN có AC  NC  N1  A2  A1  A2 ABD ACD có: AB  AC; AD chung A1  A2 nên BD  CD (định lí 2) 15.14 (h.15.20) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Ax cho CAx  BAM Trên tia Ax lấy điểm N cho AN  AM AMB  ANC  c.g.c   BM  CN AMB  ANC Mặt khác, AMB  AMC nên ANC  AMC (1) AMN cân A nên ANM  AMN (2) Từ (1) (2), suy MNC  NMC  MC  NC AMC ANC có: AM  AN , AC chung MC  NC nên MAC  NAC (định lí 2) MAC  MAB DAC DAB có AC  AB, AD chung, DAC  DAB nên DC  DB (định lí 2) 15.15 (h.15.21) AMB AMC có: MB  MC; MA chung AB  AC nên AMB  AMC (định lí 2)  M góc nhọn  M  AMD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: MDC  M1 Mặt khác, M1  M ; M  C nên MDC  C Xét MDC có MDC  C  MC  MD (định lí 1) Lại MC  MB nên MB  MD hay MD  MB 15.16  Xét trường hợp AB  AC ABC tam giác cân, có A  60o nên tam giác Suy AB  BC  CA  5cm Chu vi tam giác ABC   15 (cm) (1)  Xét trường hợp AB  AC Khơng tính tổng qt, giả sử AB  AC (h.15.22) Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho AM  AN  5cm Khi AMN tam giác  MN  5cm Vì AM  AN  AB  AC (= 10 cm) nên AB  BM  AN  AB  AN  CN  BM  CN Ta có BMC  BMN ; BMN  ANM ; ANM  NCM (tính chất góc ngồi tam giác) suy BMC  NCM BMC NCM có: BM  CN , MC chung BMC  NCM suy BC  MN (định lí 2) Chu vi ABC  AB  BC  CA  10  BC  10  MN  15 (cm) (2) Từ (1) (2), suy chu vi ABC nhỏ 15cm, AB  AC  5cm