CHUYÊN ĐỀ BÀI NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững định nghĩa nghiệm đa thức biến + Nhận biết số nghiệm đa thức biến không vượt số bậc đa thức Kĩ + Kiểm tra số có nghiệm đa thức biến hay khơng + Tìm nghiệm số đa thức biến dạng đơn giản + Biết cách chứng minh đa thức vô nghiệm Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nếu P a x a nghiệm đa thức Nghiệm đa thức biến Giá trị x a gọi nghiệm đa thức P x P x P a Đa thức bậc có nghiệm; Chú ý Đa thức bậc hai có khơng q hai nghiệm; Một đa thức (khác đa thức 0) có Đa thức bậc ba có khơng q ba nghiệm;… nghiệm, hai nghiệm, … khơng có nghiệm Số nghiệm đa thức không vượt bậc II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Kiểm tra nghiệm đa thức Phương pháp giải Cho đa thức F x Kiểm tra xem x a có Ví dụ: Kiểm xem x 1; x 2 có phải nghiệm đa thức F x x x không? nghiệm F x hay không? Bước Thay x a vào đa thức F x tính Hướng dẫn giải +) Thay x vào F x , ta có: kết Bước Nếu kết F a x a (hoặc a ) F 1 1 1 nghiệm đa thức F x Vậy x nghiệm đa thức Nếu kết F a x a (hoặc a ) khơng +) Thay x 2 vào F x , ta có: F 2 2 2 12 nghiệm đa thức F x Vậy x 2 không nghiệm đa thức Ví dụ mẫu Ví dụ Xét xem x 1; x 0; x có phải nghiệm đa thức F x x3 12 x hay không? Hướng dẫn giải - Thay x vào F x ta có: F 1 3.13 12.1 12 9 Vậy x không nghiệm đa thức - Thay x vào F x , ta có: F 12 Vậy x nghiệm đa thức - Thay x vào F x , ta có: F 12 3.8 12.2 24 24 Vậy x nghiệm đa thức Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Kiểm tra xem: a) x có phải nghiệm đa thức P x x hay không? b) Mỗi số x 1; x có phải nghiệm đa thức Q x x x không? Câu 2: Trong tập hợp số 1; 1;5; 5 , số nghiệm, số không nghiệm đa thức: F x x x3 x x 5? Dạng 2:Tìm nghiệm đa thức Bài tốn Tìm nghiệm đa thức Phương pháp giải Tìm nghiệm đa thức F x : Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức: F x x Bước Cho đa thức F x F x 3x Bước Tìm nghiệm x kết luận 3x x3 Vậy x nghiệm đa thức Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm nghiệm đa thức: a) f x 3x b) f x x 3 x c) f x x x Hướng dẫn giải a) f x hay x x 8 x Vậy nghiệm đa thức x b) f x hay x 3 x x x x x 5 Chú ý: Với đa thức Trang F x g x h x x x Vậy nghiệm đa thức x x Nếu F x g x h x c) Ta có x x x x f x hay x x x x x x 2 Vậy nghiệm đa thức x x 2 Bài toán Chứng minh đa thức khơng có nghiệm Phương pháp giải Đa thức P x khơng có nghiệm P x Ví dụ: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm: f x x 100 với x Áp dụng tính chất để chứng minh đa thức khơng có Hướng dẫn giải nghiệm: Ta có: x (với x ) A2 0, A 8x2 Khi nhân hai vế với số âm đổi chiều dấu x 100 100 so sánh Khi nhân hai vế với số dương giữ f x với x nguyên dấu so sánh Vậy đa thức f x khơng có nghiệm Khi cộng trừ hai vế cho số giữ ngun dấu so sánh Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm: a) f x x b) f x x c) f x x Hướng dẫn giải a) Ta có x (với x ) x2 x2 f x với x Vậy đa thức f x khơng có nghiệm b) Ta có x với x nên x với x x 1 Trang f x với x Vậy đa thức f x khơng có nghiệm c) Ta có x với x 2x 1 x 3 f x với x Vậy đa thức f x khơng có nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm nghiệm đa thức a) P x 15 x b) P x 23 x Câu 2: Tìm nghiệm đa thức: a) x x ; b) x x ; c) x x Câu 3: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm a) F x x b) F x x x Câu 4: Chứng minh đa thức sau ln khơng có nghiệm a) x b) x x Câu 5: Tìm nghiệm đa thức sau: R x x x Dạng Tìm đa thức biến có nghiệm cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Biết F x ax b, F 0, F 1 Tìm F x Để tìm đa thức F x , ta vào giả thiết: Nếu F x0 k ( k số bất kỳ) F x k x x0 Hướng dẫn giải Thay x vào F x , ta có: F a.0 b b Do F nên b 1 Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a 1 b a b Do F 1 nên a b Thay 1 vào ta có: a a 2 Trang Vậy F x 2 x Ví dụ mẫu Ví dụ Biết F x ax b, F 2 1, F 1 Tìm F x Hướng dẫn giải Thay x 2 vào F x ta có: F 2 2a b Do F 2 2a b b 2a 1 Thay x vào F x ta có: F 1 a.1 b a b Do F 1 a b 2 Thay 1 vào ta có: a 2a 3a a Khi đó: b 2a 3 Vậy F x x 3 Ví dụ Biết F x ax bx, F 1 1, F 1 1 Tìm F x Hướng dẫn giải Thay x 1 vào F x ta có: F 1 a 1 b 1 a b Khi F 1 a b a b 1 Thay x vào F x ta có: F 1 a 1 b.1 a b Khi F 1 1 a b 1 2 Thay 1 vào ta có: b b 1 2b 2 b 1 Suy a b 1 Vậy F x x Bài tập tự luyện dạng Câu Cho P x ax b, biết P 5; P Tìm P x Câu Cho đa thức: F x x mx a) Xác định m để F x nhận x làm nghiệm b) Tìm tập hợp nghiệm F x ứng với giá trị vừa tìm m Câu Cho biết x F x x 1 F x 1 với x Chứng minh F x có hai nghiệm Trang ĐÁP ÁN Dạng Kiểm tra nghiệm đa thức Câu 1 1 1 a) Thay x vào P x x 2, ta có P 2 2 2 Vậy x nghiệm đa thức P x b) – Thay x vào Q x x x ta có Q 1 1 3.1 Vậy x nghiệm đa thức Q x - Thay x vào Q x , ta có Q 3.2 Vậy x nghiệm đa thức Q x Câu Thay x vào F x , ta có F 1 14 2.13 2.12 6.1 Vậy x nghiệm đa thức Thay x 1 vào F x , ta có F 1 1 1 1 1 F 1 Vậy x 1 không nghiệm đa thức Thay x vào F x , ta có F 54 2.53 2.52 6.5 625 2.125 2.25 30 800 Vậy x không nghiệm đa thức Thay x 5 vào F x , ta có F 5 5 5 5 5 625 125 2.25 30 360 Vậy x 5 không nghiệm đa thức Dạng Tìm nghiệm đa thức Câu a) Ta có P x 15 x 15 x x Vậy x 15 nghiệm đa thức P x b) Ta có P x 23 x x 23 Vậy x 23 nghiệm đa thức P x Câu Trang a) x x x x x x 6 x x 3 Vậy x x 3 nghiệm đa thức b) x x x x x x Vậy x x nghiệm đa thức c) x x x2 x x x x 4x x x 1 x 1 x 1 x x x x x Vậy x x nghiệm đa thức Câu a) F x x Ta có x với x x F x x khơng có nghiệm b) F x x x Ta có x x với x x4 x2 x x với x Vậy F x khơng có nghiệm Câu a) F x x Ta có x với x x x F x x nghiệm b) F x x x Trang Ta có x x với x x4 x2 x4 x2 x x 1 với x Vậy F x khơng có nghiệm Câu R x x2 3x x2 3 11 x x 2 4 3 3 11 x x x 2 2 2 11 x x 2 11 x 2 Suy R x với x Vậy đa thức R x nghiệm Dạng Tìm đa thức biến có nghiệm cho trước Câu Ta có P a.0 b b 1 P a.2 b 2a b 2 Thay 1 vào ta có: 2a a 5 Vậy P x x Câu a) Để F x nhận làm nghiệm F 22 m.2 2m m 3 Vậy với m 3 F x nhận làm nghiệm b) Với m 3 ta có F x x x F x Trang x 3x x2 x x x x 2x 2 x x 1 x 1 x 1 x x x x x Vậy nghiệm F x x 1; x Câu Vì x F x x 1 F x 1 với x nên +) Khi x 0.F 1.F 3 F 3 Vậy x nghiệm F x +) Khi x 2 F 1 0.F F 1 Vậy x nghiệm F x Do F x có hai nghiệm Trang 10 ... x vào F x , ta có: F 12 3.8 12.2 24 24 Vậy x nghiệm đa thức Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Kiểm tra xem: a) x có phải nghiệm đa thức P x x hay... thức x b) f x hay x 3 x x x x x 5 Chú ý: Với đa thức Trang F x g x h x x x Vậy nghiệm đa thức x x Nếu F x g x ... với x Vậy đa thức f x khơng có nghiệm b) Ta có x với x nên x với x x 1 Trang f x với x Vậy đa thức f x khơng có nghiệm c) Ta có x với x 2x 1