ly thuyet da giac da giac deu moi 2022 bai tap toan 8

ĐA GIÁC, ĐA GIÁC ĐỀU A Lý thuyết Đa giác lồi đa giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh đa giác 2.Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc 3.Bổ sung ● Tổng góc đa giác n cạnh  n    n   180 ● Số đường chéo đa giác n cạnh  n    n  3 n ● Tổng góc ngồi đa giác n cạnh  n   360 ( đỉnh chọn góc ngồi) ●Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc kề cạnh tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác Có đường tròn tâm O qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác B Các dạng tập Ví dụ Tìm số cạnh đa giác biết số đường chéo số cạnh Giải * Tìm cách giải Bài biết mối liên hệ số đường chéo số cạnh nên hiển nhiên đặt số cạnh đa giác n biểu thị số đường chéo n  n  3 từ ta tìm số cạnh * Trình bày lời giải Đặt số cạnh đa giác n  n  3 số đường chéo n  n  3  n2  5n  14    n   n    Vì n  nên n    n  Vậy số cạnh đa giác theo đề bài, ta có: n  n  3 n7 Ví dụ Trong tất góc góc ngồi đa giác có số đo 47058,5 Hỏi đa giác có cạnh? Giải *Tìm cách giải Nếu ta đặt n số cạnh,  số đo góc ngồi đa 0    180  n   180 số nguyên Do suy  n   180    47058,5 , từ ta có  số dư 47058,5 chia cho Bằng cách suy luận vậy, có lời giải sau: *Trình bày lời giải Gọi n số cạnh đa giác  n  N, n  3 Tổng số đo góc đa giác  n   180 Vì tổng góc góc ngồi đa giác có số đo 47058,5 nên ta có:  n   180    47058,5 (  số đo góc ngồi đa giác với 0    180 )   n   180    216.280  78,5  n   261  n  263 Vậy số cạnh đa giác 263 Ví dụ Tổng số đo góc đa giác n – cạnh trừ góc A 570 Tính số cạnh đa giác A Giải *Tìm cách giải Theo cơng thức tính tổng góc trong, ta có:  n   180  A  570 Quan sát nhìn nhận, ta nhận thấy có thêm điều kiện n  N , n  0  A  180 Từ ta có lời giải sau: *Trình bày lời giải Ta có:  n   180  A  570  A   n   180  570 Vì 0  A  180    n   180  570  180  570   n   180  750  19 25 1  n2    n  Vì n  N nên n  6 6 Đa giác có cạnh A     180  570  150 Ví dụ Một lục giác ngũ giác chung cạnh AD (như hình vẽ) Tính góc tam giác ABC Giải *Tìm cách giải Vì AD cạnh lục giác ngũ giác đều, nên dễ dàng nhận ABD , ACD , BCD tam giác cân đỉnh D tính số đo góc đỉnh Do ABC tính số đo góc *Trình bày lời giải Theo cơng thức tính góc đa giác đều, ta có: ADB  ADC     180    180  120  DAB  DBA  30  108  DAC  DCA  36 Suy ra: BDC  360  120  108  132 Ta có: BDC  DB  DC  cân D Do DBC  DCB  180  132  24 Suy BAC  30  36  66 , ABC  30  24  54 , BCA  24  36  60 Ví dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, L, K trung điểm EF, DE, CD Gọi giao điểm AK với BL CM P, Q Gọi giao điểm CM BL R Chứng minh tam giác PQR tam giác Giải Các tứ giác ABCK, BCDL, CDEM có cạnh góc đơi Các góc lục giác 120 Đặt BAK    CBL  DCM   ; LBA   LBA    CKA  EMC  DLB        120 Trong tam giác CKQ có CQK      180  CKQ  60 Trong tam giác PBA có APB      180  APB  60 Từ suy ra: RQP  RPQ  60 , Vậy PQR Ví dụ Cho bát giác ABCDEFGH có tất góc nhau, độ dài cạnh số nguyên Chứng minh cạnh đối diện bát giác Giải Các góc bát giác nhau, suy số đo góc 8  180  135 Kéo dài cạnh AH BC cắt M Ta có: MAB  MBA  180  135  45 suy tam giác MAB tam giác vuông cân Tương tự tam giác CND, EBF,GQH là tam giác vuông cân, suy MNPQ hình chữ nhật Đặt AB = a; BC = b; CD = c; DE = d; EF = e; FG = f; GH = g; HA = h Từ tam giác vuông cân, theo định lý Py-ta-go, ta có: , CN  c Tương tự PQ  e MB  a 2 nên MN  f g a b c a Do MN  PQ nên b c  e f g  2 a  c  e  g  f  b Do f b số nguyên nên vế phải đẳng thức số nguyên, vế trái số nguyên Vế trái 0, tức f = b, hay BC = FG Tương tự có AB = EF, CD = GH, DE = HA Nhận xét Dựa vào tính chất số hữu tỷ, số vơ tỷ giải tốn nên Cũng với kỹ thuật đó, giải thi hay khó sau: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I,J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình – giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình – giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Hưng Yên, năm học 2009-2019) C Bài tập vận dụng 10.1 Số đường chéo đa giác lớn 14, nhỏ 27 Hỏi đa giác cạnh? Giải Gọi số cạnh đa giác n, điều kiệu n  N , n  Ta có: 14  n  n  3 2  27  28  n2  3n  54   15  11 15  11       n        n   2   2 2  7n9 n8 10.2 Tổng số đo góc đa giác n – cạnh trừ góc A 2570 Tính số cạnh đa giác A Giải Tổng góc trừ góc đa giác 2570 nên:  n   180  A  2570  A   n   180  2570 Vì 0  A  180    n   180  2570  180  16 5  n  17 Vì n  N  n  17 18 18 Vậy đa giác có 17 cạnh 10.3 Cho ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Gọi A1 ; B1 ; C1 điểm đối xứng với M qua trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh đoạn AA1 ; BB1 ; CC1 qua điểm b) Xác định vị trí điểm M để lục giác AB1CA1 BC1 có cạnh Giải a) Ta có: AMBC1 ; BMCA1 CMAB1 hình bình hành Suy đường chéo AA1 ; BB1 ; CC1 đồng quy (xem 7.7) b) Theo tính chất hình bình hành, ta có: AC1  A1C  MB ; AB1  A1 B  MC ; BC1  B1C  AM Để hình lục giác AB1CA1 BC1 có cạnh MB = MC  AM hay M giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC 10.4 Một ngũ giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài (ta gọi loại độ dài nhóm đường chéo nhau) Một lục giác có đường chéo nhóm đường chéo có loại độ dài khác (hình vẽ) Xét đa giác có 20 cạnh Hỏi nhóm đường chéo có loại độ dài khác nhau? Giải Xét đường chéo xuất phát từ đỉnh Ta chọn đỉnh đánh số 1, đỉnh theo chiều kim đồng hồ đánh số 2,3,… Đường chéo ngắn đường chéo nối đỉnh với đỉnh Đường chéo dài đường chéo nối đỉnh với đỉnh 11 Từ ta có loại độ dài khác 10.5 Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cạnh ABC  DBE Hãy tính ABC Giải Ta có: DBE     ABC    B1  B2    ABC 1 2 Vì EA  AB  EAB cân  E2  B1  B1  90  Vì CB  CD   B2  90  EAB BCD Thay vào 1 ta được: 90  EAB BCD  90   ABC 2  EAB  ABC  BCD  360 Tổng góc ngũ giác 540  CDE  DEA  540  360  180 D1  E1  90  CDE DEA  90   90  AD  CE 2 Mặt khác EAD cân E, CDE cân D mà AD  CE nên AD CE cắt trung điểm đường  AEDC hình bình hành  AC  DE  AB  BC  CA  ABC  ABC  60 Vậy ABC  60 10.6 Cho ngũ giác ABCDE có cạnh A  B  C a) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân b) Chứng minh ngũ giác ABCDE ngũ giác Giải a) ABC BCD có AB  BC ; ABC  BCD ; BC  CD  ABC  BCD  c.g c   AC  BD ABD ACD có AB  DC ; AC  DB ; AD chung  ABD  ACD  c.g c   BAD  CDA  BAH  CDK  BH  CK  BC // CD  ABCD hình thang cân b) Chứng minh tương tự câu a, ta có ABCE hình thang cân Ta có: ABC cân  BAC  BCA ,mà A  C  CAE  ACD  AEC  CDA  c.g c   ACDE hình thang cân (Chứng minh tương tự câu a) Ta có: AB // CK (ABCD hình thang cân) BC // AK (ABCE hình thang cân) mà: AB  BC Suy ABCK hình thoi  A1  C1  C2 ACDE hình thang cân  C2  E1  E1  C1  C1  C3  ABC  CDE  ABC  CDE Chứng minh tương tự, ta được: BAE  AED Do đó: A  B  C  D  E AB  BC  CD  DE  EA  gt   ABCDE ngũ giác 10.7 Cho ngũ giác ABCDE, gọi M, N,P,Q trung điểm cách cạnh AB, BC, CD, EA I, J trung điểm MP, NQ Chứng minh IJ song song với ED IJ  Giải ED Nối CE, gọi K trung điểm CE Ta có QK đường trung bình tam giác ACE suy QK // AC QK  AC M,N trung điểm AB BC Ta có MN đường trung bình tam giác ABC, suy MN //AC MN= AC Từ ta có: MN //QK MN=QK  MNKQ hình bình hành  M, J , K thẳng hàng MJ=JK Xét MKP có I, J trung điểm MP MK Ta có IJ đường trung bình tam giác MKP  IJ //PK IJ= PK 1 Xét tam giác CDE, PK đường trung bình  PK //DE PK= DE   Từ 1   suy ra: IJ //DE IJ= ED 10.8 Cho lục giác ABCDEF Gọi A , B  , C  , D , E  , F  trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh ABCDEF lục giác Giải Nhận thấy AAF ; BAB ; ABC ; DCD ; EDE ; FEF ; (c.g.c)  AB  BC  CD  DE  EF  FA 1 BAB có BA  BB  BAB cân  BAB   BB A  B 180  B  30 Tương tự, AAF ta có: AAF   AF A  30  BAF  180  AAF  BAB  120 Chứng minh tương tự ta được: ABC  BCD  CDE  DEF  EFA  120   Từ 1   , suy điều phải chứng minh 10.9 Cho lục giác lồi ABCDEF có cặp cạnh đối AB DE, BC EF, CD AE vừa song song vừa Lục giác ABCDEF có thiết lục giác hay không? Giải Lục giác ABCDEF không thiết phải lục giác Thật vậy: ● Trên mặt phẳng lấy điểm O tùy ý, vẽ tia OA, OC, OE cho độ dài đoạn OA, OC, OE đôi khác độ lớn góc AOC, COE, EOA đơi khác ● Vẽ hình bình hành OABC, OCDE, OAFE ta có lục giác lồi ABCDEF Rõ ràng AB //CD , AB=ED , BC//EF , BC  EF , CD//FA , CD=FA ABCDEF lục giác 10.10 Chứng minh ngũ giác lồi ln tìm ba đường chéo có độ dài ba cạnh tam giác Giải Giả sử AD đường chéo lớn ngũ giác ABCDE Gọi O giao điểm AC BD Xét tam giác AOD có AD  OA  OD Mà OA  AC ; OD  BD  AD  AC  BD Mặt khác: AC  AD , BD  AD nên AD, AC, BD độ dài ba cạnh tam giác 10.11 Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đường chéo Giải Áp dụng tính chất quan hệ cạnh tam giác, ta có: AB  BC  CD  DE  EA   AN  NB    BP  PC    CQ  QD   DK  KE    EM  MA 1 Mặt khác: AN  PC  AC ; BP  DQ  BD ; CQ  KE  CE ; DK  MA  DA ; EM  NB  EB   Từ 1   suy điều phải chứng minh Nhận xét Những toán bất đẳng thức, bạn nên đưa bất đẳng thức tam giác 10.12 Muốn phủ kín mặt phẳng đa giác cho hai đa giác kề có chung cạnh Hỏi đa giác nhiều cạnh? Giải Gọi đa giác có n cạnh để xếp đa giác khơng có khe hở thì: 360  n   180  360n n  n  180  2n n   2n   n   n   n 3;4;6 Vậy đa giác có nhiều cạnh 10.13 Cho lục giác ABCDEF có tất góc nhau, cạnh đối không Chứng minh BC  EF  DE  AB  AF  CD Ngược lại có đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện ba hiệu khác chúng lập lục giác có góc Giải Theo giả thiết A  B  C  D  E  F     180  120 Giả sử BC  EF , DE  AB , AF  CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với DE, qua E kẻ đường thẳng song song với FA, chúng cắt tạo thành tam giác PQR Ta có ABCP hình bình hành nên APC  B  120 suy QPR  60 Tương tự PRQ  60 , PQR đều, PR  PQ  QR , tức là: BC  EF  DE  AB  AF  CD Ngược lại giả sử có đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DE1 , EF1 , FA1 thỏa mãn điều kiện BC1  EF1  DE1  AB1  AF1  CD1  a Dựng tam giác PQR với cạnh a Đặt tia QP, RQ, PR đoạn thẳng tương ứng đoạn thẳng lớn cặp AB1 DE1 , CD1 FA1 , EF1 BC1 Dựng thêm hình bình hành, từ ta xác định lục giác cần tìm 10.14 Chứng minh lục giác bất kì, ln tìm đỉnh cho ba đường chéo xuất phát từ đỉnh lấy làm ba cạnh tam giác Giải Xét đường chéo dài lục giác Trường hợp Trường hợp đường chéo dài chia lục giác thành môt ngũ giác tam giác Giả sử đường chéo dài lục giác AE, chia lục giác thành ngũ giác tam giác Nếu ba đường chéo từ đỉnh A không độ dài ba cạnh tam giác AC  AD  AE 1 Ta chứng minh ba đường chéo kẻ từ đỉnh E thỏa mãn tính chất Gọi I giao điểm EB AC; K giao điểm EC AD Ta có: AI  AK  AC  AD , kết hợp với 1 suy AI  AK  AE   Ta lại có: AI  IE  AK  KE  AE , kết hợp với   suy IE  KE  AE  3 Mặt khác, EB  EC  EI  EK nên từ  3 suy EB  EC  AE Vậy EA, EB, EC làm thành ba cạnh tam giác Trường hợp Trường hợp đường chéo dài lục giác chia lục giác thành hai tứ giác Giả sử AD đường chéo dài lục giác, chia lục giác thành hai tứ giác Nếu ba đường chéo xuất phát từ đỉnh A khơng ba cạnh tam giác thì: AC  AE  AD   Gọi I, K giao điểm hai đường chéo tứ giác ADEF ABCD Từ   suy ra: AI  AK  AE  AC  AD  5 Ta lại có: AI  ID  AK  DK  AD Kết hợp với  5 suy DI  DK  AD Do DB  DF  DA Vậy DA, DB, DF làm thành ba cạnh tam giác 10.15 Cho lục giác ABCDEG có tất cạnh A  C  E  B  D  G Chứng minh cặp cạnh đối lục giác song song với Giải Tổng góc lục giác ABCDEG là:    180  4.180  720 , theo giả thiết ta có: A  B  C  D  E  G  360 Dựng góc EDK  ABC DK  BC  EDK  ABC  c.g c   EK  AC 1 Từ EDK  CDE  AGE  360 suy CDK  AGE  CDK  AGE  c.g c   CK  AE   Từ 1   suy ACKE hình bình hành ACD  DCK  CAE  180 mà DCK  GAE nên ACD  GAE  CAE  180  CD // AG Tương tự chứng minh, ta được: AB // DE BC // EG ... giác  n   180  Vì tổng góc góc ngồi đa giác có số đo 470 58, 5 nên ta có:  n   180     470 58, 5 (  số đo góc ngồi đa giác với 0    180  )   n   180     216. 280   78, 5  n ... có: ADB  ADC     180     180   120  DAB  DBA  30  1 08? ??  DAC  DCA  36 Suy ra: BDC  360  120  1 08? ??  132 Ta có: BDC  DB  DC  cân D Do DBC  DCB  180   132  24 Suy... góc đa giác 2570 nên:  n   180   A  2570  A   n   180   2570 Vì 0  A  180     n   180   2570  180   16 5  n  17 Vì n  N  n  17 18 18 Vậy đa giác có 17 cạnh 10.3