MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH



Bài tiểu luận môn Triết học

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

GV: TS Nguyễn Ngọc Khá

TS Nguyễn Chương Nhiếp

HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa

Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số và lí thuyết số

TP HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

LỜI CẢM ƠN 3

I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC 4

1 Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực 4

2 Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học 6

3 Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học 8

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 9

1 Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học 9

2 Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học 10

3 Toán học là công cụ của nhận thức 11

III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG 13

1 “Cấu trúc” trong toán học 13

2 Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học 13

3 Sự phủ định của phủ định trong toán học 15

4 Bất biến và vạn biến trong toán học 16

TÀI LIỆU 18

2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Chương Nhiếp và thầy Nguyễn Ngọc Khá vì những bài giảng triết học của các thầy đã truyền cảm hứng cho tôi thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận dụng triết học vào việc học tập của bản thân

Tôi xin được cảm ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham khảo rất có giá trị trong việc khơi gợi niềm say mê học tập của thế hệ trẻ, trong đó có tôi

Trần Thị Hiếu Nghĩa

Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời sống Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực Mối quan hệ này được vận dụng như thế nào để những người học toán (nói riêng) nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm Trong bài viết ngắn này, chúng ta sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống

I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC

Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của toán học Triết học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng nhằm định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học Đây là quan niệm rất kinh điển mà ta không bàn thêm về tính đúng đắn của nó Sau đây chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học

1 Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực

Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế giới khách quan Qua từng thời kì lịch sử toán học đã phát triển các đối tượng của nó liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng trong thực tiễn Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián tiếp, xuất phát từ thực tiễn Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng vẫn tồn tại Ví dụ:

 Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học sinh mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được Ta thấy rằng

dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu khác nhau nhưng bản chất là như nhau

 Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong

ly (hình trụ tròn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây

bị võng xuống,

Đối với hình học, C Mác và Ăngghen cho rằng:

“Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng

mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem

832, [2])*

4

* Xem trang 832 tài liệu số 2

Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm

các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,

Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn

đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm

đa tạp, khái niệm hàm số:

 Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ Khi đó vì bình gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy

Như vậy ở đây ta có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi điểm trên bình có vùng hoa văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phôi) với một vùng trên tờ giấy (không gian Euclide 2 chiều)

 Khi in tranh Đông Hồ, người ta đem bản khắc gỗ bức tranh được phủ mực in lên tờ giấy thì ta có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi điểm trên bản gỗ với một điểm trên tờ giấy Đó là một biểu hiện thực tiễn của khái niệm hàm số

Qua việc quan sát cẩn thận thực tiễn thì tư duy toán học cũng sâu sắc hơn và còn có thể phát hiện ra những kiến thức toán học mới, có thể là mới đối với bản thân thôi cũng là điều có ích vì đó là cơ sở ban đầu cho các phát minh toán học

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng tìm được một mô hình cho các đối tượng toán học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng toán học là tính trừu tượng rất cao Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng toán học, chúng được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ) Toán học chỉ quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng Các khái niệm, tính chất trong toán học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất

và tính đúng đắn của các mệnh đề toán học được chứng minh theo tư duy logic từ tính đúng đắn của các mệnh đề chứ không qua sự kiện thực tiễn

Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của toán học, nhất là

từ khi các kí hiệu toán học phát huy được sức mạnh của nó Với các kí hiệu toán học người ta có thể trình bày những vấn đề toán học mà không dùng đến sự liên hệ thực tế nào Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu

Mặc dù, tính trừu tượng của toán học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ thực tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn Nhiều khái niệm toán học là kết quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp Ví dụ: khái niệm “metric” (metric là một ánh xạ) xuất phát từ khoảng cách thông

thường Trên không gian được trang bị metric này, người ta xây dựng các khái niệm

“tập mở”, “tập đóng”, “ánh xạ liên tục”,…

Không chỉ các đối tượng toán học mới có nguồn gốc từ thực tiễn mà những quy luật logic trong toán học cũng xuất phát từ thực tiễn Chúng đã được rút ra qua rất nhiều sự kiện thực tế Chẳng hạn, tính chất bắc cầu trong toán học đã đúng trong

“rất nhiều” sự kiện thực tiễn Ở đây nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa nhưng hiện tại nó vẫn đang đúng

Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để và trước sau gì cũng không liên quan đến thực tiễn) như dùng các kí hiệu (không thể hiện cho bất

cứ cái gì trong thực tế) và nêu ra những quy tắc, định lí, tính chất hoàn toàn không có trong thực tế nhưng điều này không giúp ích gì lắm cho sự phát triển của toán học bởi vì nó hoàn toàn thiên về việc tưởng tượng (mọi thứ đều phải tưởng tượng vì nếu không tưởng tượng mà dùng những suy luận như lâu nay vẫn dùng thì lại quay

về thực tế) Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết là không thể thành điều có thể thì cũng là vận dụng quy luật phủ định Một công trình mà về bản chất không liên quan gì đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) thì cũng khó phát triển lâu dài Toán học cũng phát triển do những yêu cầu nội tại của nó Điều này không mâu thuẫn với quan điểm thực tế là cơ sở của lí luận vì bên cạnh quan điểm này, chủ nghĩa duy vật biện chứng còn khẳng định tính độc lập tương đối của lí luận và khả năng đi trước thực tế của lí luận Sự phát triển này xuất phát từ những mâu thuẫn nội tại trong toán học, tính trừu tượng ngày càng cao của tư duy toán học, Hình học Lobachevsky là một ví dụ

Trong việc dạy toán, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách trình bày kiến thức toán học Ví dụ: học sinh mới học toán cần có những liên hệ thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt Khi lên các lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư duy trừu tượng vì không phải lúc nào cũng tìm được mô hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương đối với thực tiễn) và đó cũng là việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu các tri thức toán học cao cấp hơn

2 Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học

Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn Các công trình toán học, xét cho cùng, sẽ được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách

để thực tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức toán học

Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một công trình toán học là khả năng ứng dụng vào đời sống Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp,

6

dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy trường hợp Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị thực tiễn ở một mức nào đấy)

Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ:

 Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay không bằng cách tìm ra được một mô hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả của mình Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản

ví dụ, ta thường cố gắng tìm một mô hình thực tế (đúng) mà trái với điều được phát biểu

 Trong “thuật toán khái quát hóa” mà giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nêu ra để phát triển khả năng học toán của học sinh (xem [4]) thể hiện quan điểm “thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học” Bước thứ 6 và 7 trong thuật toán đó là tìm ví dụ để làm rõ một phỏng đoán: nếu ví dụ là sai thì bác bỏ phỏng đoán; nếu ví dụ là đúng thì củng cố thêm khả năng phỏng đoán là đúng Một điểm có thể thấy là trong các chứng minh toán học, nếu tìm thấy một mô hình trong thực tế trái với lí luận thì lí luận bị sai nhưng nếu ta chỉ ra rất nhiều điều đúng trong thực tế thì chưa chứng minh được lí luận là đúng Ta không thể nói

3

n  n chia hết cho 3 vì với n bằng 1, 2, 3,…, 1000 thì n 3  nchia hết cho 3 Đó là

do tính đặc thù của toán học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể

Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau Điều này dễ nhận thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau Nhiều kết quả của toán học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác

Tuy ta vẫn thấy có những công trình toán học chưa được ứng dụng gì trong thực tiễn hiện tại nhưng nó đã được chứng minh là đúng đắn bằng lí luận toán học thì có thể là do nó đã phát triển nhanh quá mức mà con người chưa thể ứng dụng được (thực tiễn chưa kiểm tra được hoặc những người khác chưa nhận ra được) chứ không hẳn nó sai và tách khỏi thực tiễn hoàn toàn Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc đầu sự ra đời của nó bị cho là quái gở nhưng về sau nó được đánh giá là một phát minh rất quan trọng Điều này cho ta một luận điểm quan trọng trong nhận thức toán học:

“Một lí thuyết toán học, dù kì quặc đến đâu, cũng có quyền tồn tại nếu nó đứng

vững về mặt toán học, nghĩa là nó phù hợp với logic; logic lại không phải từ trên trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là phù hợp

với thực tiễn, nếu không phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn trong tương lai Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực tiễn trong tương lai mà hiện nay chưa ai biết.” (xem 873, [4])

Trong toán học cần đào sâu, lật đi lật lại vấn đề, không nên nghĩ rằng cái gì thực tiễn đã kiểm nghiệm đúng là không còn gì để làm nữa Điều này nghĩa là luôn luôn học hỏi, tìm tòi để hoàn thiện hơn tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, không nên quá tin tưởng vào điều gì Ví dụ: trước đây người ta đã chứng minh được sự tồn tại của hạt vật chất nhỏ nhất (lúc đó người ta nghĩ rằng nó là nhỏ nhất) là nguyên tử Nếu như người ta chấp nhận, không có một sự “nghi ngờ khoa học” nào thì ta không thể biết rằng nguyên tử còn có thể chia nhỏ nữa Hoặc nếu nghĩ rằng hình học Euclide đã đủ để biểu thị mọi mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian thì đã không có thêm hình học Lobachevsky, hình học siêu phi Euclide Chính sự nghi ngờ và tò mò khoa học đã dẫn đến nhiều phát minh toán học

3 Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học

Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để nghiên cứu toán học Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó?

Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật Phương pháp luận duy vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy con người Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với sự hình thành và phát triển của toán học

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong việc nhận thức toán học Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán học trên cơ sở

phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc ngẫu

nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội thông qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối lập.” (xem 73, [4])

Từ việc hiểu nguồn gốc của các phát minh toán học, những người ở thế hệ sau có thể tiếp tục phát triển toán học Cụ thể là các học sinh, sinh viên, những ai yêu thích toán học có thể tận dụng được công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật trong việc nghiên cứu toán học của mình

Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều thầy cô giáo dạy toán đã nghiên cứu các vấn đề Triết học trong toán học để tìm ra phương pháp học toán, dạy toán và nghiên cứu toán Ở nước ta có thể kể đến là giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, người đã có nhiều

8

công trình nghiên cứu về vấn đề triết học và toán học cùng những ứng dụng trong nghiên cứu, giảng dạy và đời sống Ông rất quan tâm đến mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, ông đã tìm hiểu và vận dụng rất thành công mối liên hệ này và phép biện chứng duy vật trong việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán Tác phẩm

Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học của

giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn là tài liệu rất có giá trị trong việc học và dạy toán (xem [5])

Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi không nhận ra Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học

và trong các hoạt động thường ngày

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ

PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT

Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên Ngược lại các phát minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng

1 Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học

Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao Toán học có các đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao Vì thế mà tính đúng đắn của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể nào Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các ngành khoa học khác

Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về mặt lượng của các đối tượng khác nhau Do đó, toán học cung cấp tri thức cho những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả Cơ học và thiên văn học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy Toán học được sử dụng trong sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến Ngay cả trong các lĩnh vực tưởng chừng như không dùng đến toán học như văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng góp của toán học Ví dụ:

 Trong văn học, khảo sát khả năng xuất hiện từ ngữ nào đó trong văn chương

để tìm hiểu phong cách của tác giả hoặc ý đồ nghệ thuật của tác giả

 Trong ngôn ngữ học, người ta sử dụng tri thức toán học để giải mã ngôn ngữ của người cổ xưa hay nghiên cứu ngôn ngữ của một vùng nào đó Chẳng

hạn: từ ngữ đó tương ứng với từ nào trong ngôn ngữ hiện dùng và một khi nó tương ứng với từ đó thì không thể hoặc ít có khả năng tương ứng với từ khác (sử dụng tri thức về ánh xạ)

 Trong hội họa, người ta từng khảo sát rất nhiều bức họa đẹp thì thấy bố cục của chúng tuân theo “tỉ lệ vàng” Hoặc trong kĩ thuật dệt tranh thì người ta phóng bức tranh to ra, chia tranh thành các ô vuông rất nhỏ rồi dệt theo từng

ô, ô được dệt tương ứng số 1, ô không dệt tương ứng với số 0

Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng toán học và các lĩnh vực của đời sống luôn thâm nhập vào nhau Toán học lấy mặt lượng và quan hệ số lượng của các sự vật, hiện tượng trong các lĩnh vực khác làm đối tượng nghiên cứu của mình Sau đó những tri thức toán học phục vụ trở lại các lĩnh vực khác Điều này giúp cho toán học và các khoa học khác cùng phát triển

Toán học không chỉ đơn thuần cung cấp tri thức về mặt số lượng cho các lĩnh vực khác mà nó còn cung cấp tri thức về phương pháp, cách thức tư duy có thể vận dụng vào các khoa học khác Ví dụ: tri thức về xác suất thống kê được áp dụng vào ngành y rất hiệu quả Người ta đã vận dụng tri thức này để chọn đối tượng nào đem khảo sát thì cho kết quả tốt, tính toán khả năng bệnh di truyền xảy ra,… Tất nhiên sự ứng dụng là linh hoạt vì thế kiến thức và cách tư duy của toán học cần được hiểu rõ để vận dụng chính xác, hiệu quả

Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp Vì thế việc học toán và nhất là các phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đối với mọi người

2 Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học

Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh

và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất

của sự vật hiện tượng

Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định): Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức Nó giúp cho lập luận được chính xác, chặt chẽ hơn

Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển logic biện chứng

“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên, thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” ( xem 606, [1])

10