MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH  Bài tiểu luận môn Triết học MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI GV: TS Nguyễn Ngọc Khá TS Nguyễn Chương Nhiếp HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số và lí thuyết số TP. HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC 2 LỜI CẢM ƠN 2 I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC 4 1.Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực 4 2.Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học 6 3.Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học 8 II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 9 1.Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học 9 2.Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học 10 3.Toán học là công cụ của nhận thức 11 III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG 12 1. “Cấu trúc” trong toán học 12 2.Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học 13 3.Sự phủ định của phủ định trong toán học 15 4.Bất biến và vạn biến trong toán học 16 LỜI CẢM ƠN 2 Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Chương Nhiếp và thầy Nguyễn Ngọc Khá vì những bài giảng triết học của các thầy đã truyền cảm hứng cho tôi thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận dụng triết học vào việc học tập của bản thân. Tôi xin được cảm ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham khảo rất có giá trị trong việc khơi gợi niềm say mê học tập của thế hệ trẻ, trong đó có tôi. Trần Thị Hiếu Nghĩa Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời sống. Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực. Mối quan hệ này được vận dụng như thế nào để những người học toán (nói riêng) nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm. Trong bài viết ngắn này, 3 chúng ta sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống. I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của toán học. Triết học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng nhằm định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học. Đây là quan niệm rất kinh điển mà ta không bàn thêm về tính đúng đắn của nó. Sau đây chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học. 1. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người. Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế giới khách quan. Qua từng thời kì lịch sử toán học đã phát triển các đối tượng của nó liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng trong thực tiễn. Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián tiếp, xuất phát từ thực tiễn. Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng vẫn tồn tại. Ví dụ: • Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học sinh mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được. Ta thấy rằng dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu khác nhau nhưng bản chất là như nhau. • Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong ly (hình trụ tròn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây bị võng xuống, Đối với hình học, C. Mác và Ăngghen cho rằng: “Các kết quả của hình học không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem 832, [2]) * Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 4 * Xem trang 832 tài liệu số 2 Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn. Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm đa tạp, khái niệm hàm số: • Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ. Khi đó vì bình gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy. Như vậy ở đây ta có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi điểm trên bình có vùng hoa văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phôi) với một vùng trên tờ giấy (không gian Euclide 2 chiều). • Khi in tranh Đông Hồ, người ta đem bản khắc gỗ bức tranh được phủ mực in lên tờ giấy thì ta có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi điểm trên bản gỗ với một điểm trên tờ giấy. Đó là một biểu hiện thực tiễn của khái niệm hàm số. Qua việc quan sát cẩn thận thực tiễn thì tư duy toán học cũng sâu sắc hơn và còn có thể phát hiện ra những kiến thức toán học mới, có thể là mới đối với bản thân thôi cũng là điều có ích vì đó là cơ sở ban đầu cho các phát minh toán học. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng tìm được một mô hình cho các đối tượng toán học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng toán học là tính trừu tượng rất cao. Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng toán học, chúng được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ). Toán học chỉ quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng. Các khái niệm, tính chất trong toán học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất và tính đúng đắn của các mệnh đề toán học được chứng minh theo tư duy logic từ tính đúng đắn của các mệnh đề chứ không qua sự kiện thực tiễn. Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của toán học, nhất là từ khi các kí hiệu toán học phát huy được sức mạnh của nó. Với các kí hiệu toán học người ta có thể trình bày những vấn đề toán học mà không dùng đến sự liên hệ thực tế nào. Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu. Mặc dù, tính trừu tượng của toán học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ thực tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn. Nhiều khái niệm toán học là kết quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp. Ví dụ: khái niệm “metric” (metric là một ánh xạ) xuất phát từ khoảng cách thông thường. Trên không gian được trang bị metric này, người ta xây dựng các khái niệm “tập mở”, “tập đóng”, “ánh xạ liên tục”,… Không chỉ các đối tượng toán học mới có nguồn gốc từ thực tiễn mà những quy luật logic trong toán học cũng xuất phát từ thực tiễn. Chúng đã được rút ra qua 5 rất nhiều sự kiện thực tế. Chẳng hạn, tính chất bắc cầu trong toán học đã đúng trong “rất nhiều” sự kiện thực tiễn. Ở đây nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa nhưng hiện tại nó vẫn đang đúng. Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để và trước sau gì cũng không liên quan đến thực tiễn) như dùng các kí hiệu (không thể hiện cho bất cứ cái gì trong thực tế) và nêu ra những quy tắc, định lí, tính chất hoàn toàn không có trong thực tế nhưng điều này không giúp ích gì lắm cho sự phát triển của toán học bởi vì nó hoàn toàn thiên về việc tưởng tượng (mọi thứ đều phải tưởng tượng vì nếu không tưởng tượng mà dùng những suy luận như lâu nay vẫn dùng thì lại quay về thực tế). Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết là không thể thành điều có thể thì cũng là vận dụng quy luật phủ định. Một công trình mà về bản chất không liên quan gì đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) thì cũng khó phát triển lâu dài. Toán học cũng phát triển do những yêu cầu nội tại của nó. Điều này không mâu thuẫn với quan điểm thực tế là cơ sở của lí luận vì bên cạnh quan điểm này, chủ nghĩa duy vật biện chứng còn khẳng định tính độc lập tương đối của lí luận và khả năng đi trước thực tế của lí luận. Sự phát triển này xuất phát từ những mâu thuẫn nội tại trong toán học, tính trừu tượng ngày càng cao của tư duy toán học, Hình học Lobachevsky là một ví dụ. Trong việc dạy toán, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách trình bày kiến thức toán học. Ví dụ: học sinh mới học toán cần có những liên hệ thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt. Khi lên các lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư duy trừu tượng vì không phải lúc nào cũng tìm được mô hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương đối với thực tiễn) và đó cũng là việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu các tri thức toán học cao cấp hơn. 2. Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn. Các công trình toán học, xét cho cùng, sẽ được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách để thực tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức toán học. Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một công trình toán học là khả năng ứng dụng vào đời sống. Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp, dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy trường hợp. Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị thực tiễn ở một mức nào đấy). 6 Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ: • Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay không bằng cách tìm ra được một mô hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả của mình. Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản ví dụ, ta thường cố gắng tìm một mô hình thực tế (đúng) mà trái với điều được phát biểu. • Trong “thuật toán khái quát hóa” mà giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nêu ra để phát triển khả năng học toán của học sinh (xem [4]) thể hiện quan điểm “thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học”. Bước thứ 6 và 7 trong thuật toán đó là tìm ví dụ để làm rõ một phỏng đoán: nếu ví dụ là sai thì bác bỏ phỏng đoán; nếu ví dụ là đúng thì củng cố thêm khả năng phỏng đoán là đúng. Một điểm có thể thấy là trong các chứng minh toán học, nếu tìm thấy một mô hình trong thực tế trái với lí luận thì lí luận bị sai nhưng nếu ta chỉ ra rất nhiều điều đúng trong thực tế thì chưa chứng minh được lí luận là đúng. Ta không thể nói 3 n n− chia hết cho 3 vì với n bằng 1, 2, 3,…, 1000 thì 3 n n− chia hết cho 3. Đó là do tính đặc thù của toán học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể. Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau. Điều này dễ nhận thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau. Nhiều kết quả của toán học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác. Tuy ta vẫn thấy có những công trình toán học chưa được ứng dụng gì trong thực tiễn hiện tại nhưng nó đã được chứng minh là đúng đắn bằng lí luận toán học thì có thể là do nó đã phát triển nhanh quá mức mà con người chưa thể ứng dụng được (thực tiễn chưa kiểm tra được hoặc những người khác chưa nhận ra được) chứ không hẳn nó sai và tách khỏi thực tiễn hoàn toàn. Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc đầu sự ra đời của nó bị cho là quái gở nhưng về sau nó được đánh giá là một phát minh rất quan trọng. Điều này cho ta một luận điểm quan trọng trong nhận thức toán học: “Một lí thuyết toán học, dù kì quặc đến đâu, cũng có quyền tồn tại nếu nó đứng vững về mặt toán học, nghĩa là nó phù hợp với logic; logic lại không phải từ trên trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là phù hợp với thực tiễn, nếu không phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn trong tương lai. Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực tiễn trong tương lai mà hiện nay chưa ai biết.” (xem 873, [4]) 7 Trong toán học cần đào sâu, lật đi lật lại vấn đề, không nên nghĩ rằng cái gì thực tiễn đã kiểm nghiệm đúng là không còn gì để làm nữa. Điều này nghĩa là luôn luôn học hỏi, tìm tòi để hoàn thiện hơn tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, không nên quá tin tưởng vào điều gì. Ví dụ: trước đây người ta đã chứng minh được sự tồn tại của hạt vật chất nhỏ nhất (lúc đó người ta nghĩ rằng nó là nhỏ nhất) là nguyên tử. Nếu như người ta chấp nhận, không có một sự “nghi ngờ khoa học” nào thì ta không thể biết rằng nguyên tử còn có thể chia nhỏ nữa. Hoặc nếu nghĩ rằng hình học Euclide đã đủ để biểu thị mọi mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian thì đã không có thêm hình học Lobachevsky, hình học siêu phi Euclide. Chính sự nghi ngờ và tò mò khoa học đã dẫn đến nhiều phát minh toán học. 3. Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để nghiên cứu toán học. Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó? Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật. Phương pháp luận duy vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học. Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với sự hình thành và phát triển của toán học. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong việc nhận thức toán học. Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán học trên cơ sở phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc ngẫu nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội thông qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối lập.” (xem 73, [4]) Từ việc hiểu nguồn gốc của các phát minh toán học, những người ở thế hệ sau có thể tiếp tục phát triển toán học. Cụ thể là các học sinh, sinh viên, những ai yêu thích toán học có thể tận dụng được công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật trong việc nghiên cứu toán học của mình. Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều thầy cô giáo dạy toán đã nghiên cứu các vấn đề Triết học trong toán học để tìm ra phương pháp học toán, dạy toán và nghiên cứu toán. Ở nước ta có thể kể đến là giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn, người đã có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề triết học và toán học cùng những ứng dụng trong nghiên cứu, giảng dạy và đời sống. Ông rất quan tâm đến mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, ông đã tìm hiểu và vận dụng rất thành công mối liên hệ này và phép biện chứng duy vật trong việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán. Tác phẩm 8 Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học của giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn là tài liệu rất có giá trị trong việc học và dạy toán. (xem [5]) Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi không nhận ra. Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học và trong các hoạt động thường ngày. II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên. Ngược lại các phát minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng. 1. Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao. Toán học có các đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng. Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao. Vì thế mà tính đúng đắn của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể nào. Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các ngành khoa học khác. Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về mặt lượng của các đối tượng khác nhau. Do đó, toán học cung cấp tri thức cho những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả. Cơ học và thiên văn học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy. Toán học được sử dụng trong sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến. Ngay cả trong các lĩnh vực tưởng chừng như không dùng đến toán học như văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng góp của toán học. Ví dụ: • Trong văn học, khảo sát khả năng xuất hiện từ ngữ nào đó trong văn chương để tìm hiểu phong cách của tác giả hoặc ý đồ nghệ thuật của tác giả. • Trong ngôn ngữ học, người ta sử dụng tri thức toán học để giải mã ngôn ngữ của người cổ xưa hay nghiên cứu ngôn ngữ của một vùng nào đó. Chẳng hạn: từ ngữ đó tương ứng với từ nào trong ngôn ngữ hiện dùng và một khi nó tương ứng với từ đó thì không thể hoặc ít có khả năng tương ứng với từ khác (sử dụng tri thức về ánh xạ). 9 • Trong hội họa, người ta từng khảo sát rất nhiều bức họa đẹp thì thấy bố cục của chúng tuân theo “tỉ lệ vàng”. Hoặc trong kĩ thuật dệt tranh thì người ta phóng bức tranh to ra, chia tranh thành các ô vuông rất nhỏ rồi dệt theo từng ô, ô được dệt tương ứng số 1, ô không dệt tương ứng với số 0. Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng toán học và các lĩnh vực của đời sống luôn thâm nhập vào nhau. Toán học lấy mặt lượng và quan hệ số lượng của các sự vật, hiện tượng trong các lĩnh vực khác làm đối tượng nghiên cứu của mình. Sau đó những tri thức toán học phục vụ trở lại các lĩnh vực khác. Điều này giúp cho toán học và các khoa học khác cùng phát triển. Toán học không chỉ đơn thuần cung cấp tri thức về mặt số lượng cho các lĩnh vực khác mà nó còn cung cấp tri thức về phương pháp, cách thức tư duy có thể vận dụng vào các khoa học khác. Ví dụ: tri thức về xác suất thống kê được áp dụng vào ngành y rất hiệu quả. Người ta đã vận dụng tri thức này để chọn đối tượng nào đem khảo sát thì cho kết quả tốt, tính toán khả năng bệnh di truyền xảy ra,… Tất nhiên sự ứng dụng là linh hoạt vì thế kiến thức và cách tư duy của toán học cần được hiểu rõ để vận dụng chính xác, hiệu quả. Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp. Vì thế việc học toán và nhất là các phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đối với mọi người. 2. Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất của sự vật hiện tượng. Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định): Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức. Nó giúp cho lập luận được chính xác, chặt chẽ hơn. Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển logic biện chứng. “Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên, thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” ( xem 606, [1]) Ví dụ: Nhà toán học Godel đã chứng minh được rằng trừ hai hệ hình thức đơn giản là toán mệnh đề và toán tân từ (và các hệ hình thức tương đương với chúng) là đầy đủ (tức không xảy ra nghịch lí) còn các hệ hình thức phức tạp hơn (hệ tiên đề về số học, về tập hợp, ) đều không thể trở thành hệ đầy đủ (nếu ta bổ sung thêm các tiên đề để khắc phục nghịch lí thì lại có một nghịch lí khác xảy ra). 10 [...]... toán học được dùng để nghiên cứu vật lí lượng tử Toán học được xem như là công cụ để nhận thức triết học Trước đây, toán học chưa được xem trọng, người ta chỉ xem việc học các môn tự nhiên là để nhận thức được triết học Và bởi mối quan hệ mật thiết giữa triết học và toán học mà nhiều nhà toán học đồng thời là nhà triết học: Cantor, Descartes, D’Alembert, Các nhà toán học. .. một nguyên lí mạnh đến thế nào cũng không suy ra được mọi hiện tượng của thế giới khách quan Nghĩa là công cụ nhận thức thế giới không thể duy nhất lí trí mà còn phải có thực tiễn Trong từng giai đoạn phát triển của triết học, toán học, trực tiếp hoặc gián tiếp, đã có nhiều đóng góp quan trọng cho sự phát triển của triết học 3 Toán học là công cụ của nhận thức Toán học. .. triết học cũng đánh giá cao vai trò của toán học trong việc nhận thức thế giới Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học Ông cho rằng Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học 11... ngày và trong các ngành khoa học Toán học chứa đựng trong bản thân nó những hoạt động lí trí, của lập luận trừu tượng Toán học đóng góp vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức nên tư duy có lí luận chính xác, chặt chẽ Do đó nó góp phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG Trong mục... triết học thể hiện trong toán học và việc vận dụng chúng trong việc học toán và trong nhận thức như thế nào 1 “Cấu trúc” trong toán học Vấn đề “cấu trúc” trong toán học đã được các nhà toán học quan tâm từ cuối thế kỉ XIX đến nay Sự ra đời của của cấu trúc toán học không chỉ đơn thuần là đánh dấu sự xuất hiện của một khái niệm toán học mới... một nội dung toán học thì toán học càng dễ được áp dụng vào trong thực tiễn Nhân nói về nội dung và hình thức trong toán học, chúng ta đề cập đến vấn đề “chủ quan và khách quan trong nghiên cứu toán học Những gì đề bài cho là khách quan Những gì chúng ta được tùy chọn là chủ quan Nếu việc ta chọn là đúng (trong lí luận toán học) so với đề bài... Triết học trong khoa học tự nhiên, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu (tập 1), ĐHSP Hà Nội, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001 [5] Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu (tập 2), ĐHSP Hà Nội, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001 [6] Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên. .. đặt nó trong mối liên hệ với các sự vật hiện tượng xung quanh, trong toàn thể 2 Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học Trong toán học, nội dung là các tính chất xác định đối tượng toán học, còn hình thức là phương thức tồn tại của đối tượng (như kí hiệu, mô hình, cách diễn đạt đối tượng,…) Nội dung và hình thức trong toán học cũng...Đây là một minh chứng cho một nguyên lí của nhận thức luận: quá trình tìm kiếm chân lí không có giới hạn cuối cùng, không đạt đến tuyệt đối cuối cùng Điều này có nghĩa là ta không thể xây dựng một lí thuyết nào có thể giải thích và bao quát được toàn bộ thế giới hiện thực, tuy vẫn không ngừng xây dựng được những lí thuyết ngày càng mạnh, càng bao quát được nhiều phương diện của thế giới hiện thực... toán học trong đời sống trong vô vàn các hoạt động cần đến toán học và tư duy logic của con người Con người cần có tư duy chính xác, chặt chẽ trong các hoạt động thường ngày và trong thời đại tin học cũng cần phải biết sử dụng những công cụ do toán học sản sinh ra như máy vi tính, các phần mềm tin học, … Tư duy logic đóng vai trò rất quan trọng trong . mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống. I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH  Bài tiểu luận môn Triết học MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN