MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  Bài tiểu luận mơn Triết học MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI GV: TS Nguyễn Ngọc Khá TS Nguyễn Chương Nhiếp HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số lí thuyết số TP HỒ CHÍ MINH THÁNG 01 NĂM 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN I - VAI TRỊ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC 1.Toán học kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực 2.Thực tiễn tiêu chuẩn chân lí tốn học 3.Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT 1.Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học .9 2.Tốn học góp phần điều chỉnh hồn thiện nguyên tắc Triết học 10 3.Toán học là công cụ của nhận thức 11 III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TỐN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG 12 “Cấu trúc” toán học .12 2.Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức toán học 13 3.Sự phủ định phủ định toán học 15 4.Bất biến vạn biến toán học 16 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Chương Nhiếp và thầy Nguyễn Ngọc Khá vì những bài giảng triết học của các thầy đã truyền cảm hứng cho thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận dụng triết học vào việc học tập của bản thân Tôi xin được cảm ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham khảo rất có giá trị việc khơi gợi niềm say mê học tập của thế hệ trẻ, đó có Trần Thị Hiếu Nghĩa Triết học tốn học đóng vai trị quan trọng lĩnh vực đời sống Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực Mối quan hệ vận dụng để người học tốn (nói riêng) nghiên cứu tốn học hiệu người (nói chung) nhận thức giới sâu sắc để phục vụ cho tồn phát triển xã hội vấn đề đáng quan tâm Trong viết ngắn này, đề cập đến mối liên hệ triết học toán học số khía cạnh có ích việc nhận thức toán học vài vận dụng đời sống I - VAI TRỊ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC Triết học có tác động lớn đối hình thành phát triển tốn học Triết học cung cấp giới quan khoa học phương pháp luận vật biện chứng nhằm định hướng cung cấp công cụ nhận thức cho phát triển toán học Đây quan niệm kinh điển mà ta khơng bàn thêm tính đắn Sau khai thác vài khía cạnh cần thiết việc nhận thức toán học Toán học kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực Tốn học hình thành phát triển nhu cầu thực tế người Toán học nghiên cứu tương quan số lượng dạng không gian giới khách quan Qua thời kì lịch sử tốn học phát triển đối tượng liên tục phong phú nhờ vận động không ngừng vật tượng thực tiễn Hầu hết đối tượng toán học, khơng trực tiếp gián tiếp, xuất phát từ thực tiễn Dù cho người có khám phá hay khơng chúng tồn Ví dụ: • Các số tương ứng với lượng vật thực tế lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, thêm học sinh vào số tương ứng 36, 37 Ta thấy rằng dù các số tự nhiên đời ở những nơi khác thế giới, được kí hiệu khác bản chất là • Các đối tượng hình học đường trịn, elip, hyperbol, parabol tương ứng với hình ảnh thực tế mặt trăng, mặt nước ly (hình trụ trịn) nghiêng, bóng đèn dầu hắt lên tường, sợi dây bị võng xuống, Đối với hình học, C Mác Ăngghen cho rằng: “Các kết hình học khơng phải khác thuộc tính tự nhiên đường, bề mặt vật thể, tổ hợp chúng mà đại phận có tự nhiên từ lâu trước loài người xuất hiện” (xem 832, [2])* *Điều Xem trang i liệu số này832 tàđược nhà sư phạm ứng dụng việc dạy toán cho học sinh, từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm que tính, dùng hình ảnh nhà mô mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta liên hệ với thực tế vấn đề toán học để dễ dàng nắm bắt Một ví dụ trực quan để nắm bắt khái niệm đa tạp, khái niệm hàm sớ: • Người ta cần khảo sát họa tiết bình gốm cổ Khi bình gốm khơng phẳng nên ta khơng thể in lượt tất họa tiết lên tờ giấy ta in phần họa tiết bình gốm lên mặt giấy Như ta xem bề mặt bình gốm đa tạp chiều điểm bình có vùng hoa văn chứa điểm tương ứng (đồng phơi) với vùng tờ giấy (không gian Euclide chiều) • Khi in tranh Đơng Hồ, người ta đem khắc gỗ tranh phủ mực in lên tờ giấy ta có tương ứng 1-1 điểm gỗ với điểm tờ giấy Đó biểu thực tiễn khái niệm hàm số Qua việc quan sát cẩn thận thực tiễn tư tốn học sâu sắc cịn phát kiến thức tốn học mới, thân thơi điều có ích sở ban đầu cho các phát minh toán học Tuy nhiên, khơng phải lúc ta tìm mơ hình cho đối tượng tốn học, vì: đặc điểm đặc trưng đối tượng tốn học tính trừu tượng cao Tính trừu tượng thể trước hết qua đối tượng tốn học, chúng trừu xuất từ vật, tượng thực tiễn vật, tượng cụ thể (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ) Toán học quan tâm đến tương quan số lượng dạng không gian chúng Các khái niệm, tính chất tốn học trình bày cho đối tượng trừu xuất tính đắn mệnh đề toán học chứng minh theo tư logic từ tính đắn mệnh đề không qua kiện thực tiễn Tính trừu tượng ngày cao với trình độ phát triển toán học, từ kí hiệu tốn học phát huy sức mạnh Với kí hiệu tốn học người ta trình bày vấn đề tốn học mà không dùng đến liên hệ thực tế Điều thể mạnh mẽ việc nhóm Bourbaki muốn trình bày tất kiến thức tốn học dạng các tiên đề, kí hiệu Mặc dù, tính trừu tượng toán học cao chúng bắt nguồn từ thực tiễn cuối phục vụ cho thực tiễn Nhiều khái niệm toán học là kết quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế trừu tượng hóa nhiều tầng lớp Ví dụ: khái niệm “metric” (metric là một ánh xạ) xuất phát từ khoảng cách thông thường Trên không gian được trang bị metric này, người ta xây dựng các khái niệm “tập mở”, “tập đóng”, “ánh xạ liên tục”,… Không chỉ các đối tượng toán học mới có nguồn gốc từ thực tiễn mà những quy luật logic toán học cũng xuất phát từ thực tiễn Chúng đã được rút qua rất nhiều sự kiện thực tế Chẳng hạn, tính chất bắc cầu toán học đã đúng “rất nhiều” sự kiện thực tiễn Ở nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa hiện tại nó vẫn đúng Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để trước sau khơng liên quan đến thực tiễn) dùng kí hiệu (khơng thể cho thực tế) nêu quy tắc, định lí, tính chất hồn tồn khơng có thực tế điều khơng giúp ích cho phát triển tốn học hoàn toàn thiên việc tưởng tượng (mọi thứ phải tưởng tượng khơng tưởng tượng mà dùng suy luận lâu dùng lại quay thực tế) Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết khơng thể thành điều vận dụng quy luật phủ định Một công trình mà chất khơng liên quan đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) khó phát triển lâu dài Tốn học phát triển yêu cầu nội Điều không mâu thuẫn với quan điểm thực tế sở lí luận bên cạnh quan điểm này, chủ nghĩa vật biện chứng khẳng định tính độc lập tương đối lí luận khả trước thực tế lí luận Sự phát triển xuất phát từ mâu thuẫn nội tốn học, tính trừu tượng ngày cao tư tốn học, Hình học Lobachevsky ví dụ Trong việc dạy tốn, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách trình bày kiến thức tốn học Ví dụ: học sinh học tốn cần có liên hệ thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt Khi lên lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư trừu tượng khơng phải lúc tìm mơ hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương thực tiễn) việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu tri thức toán học cao cấp Thực tiễn tiêu chuẩn chân lí tốn học Từ chỗ tốn học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đắn kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn Các cơng trình tốn học, xét cho cùng, người sử dụng để nhận thức cải tạo giới, cách để thực tiễn kiểm tra lại tính đắn tri thức toán học Một tiêu chuẩn để xét giá trị cơng trình tốn học khả ứng dụng vào đời sống Tất nhiên, việc ứng dụng trực tiếp hay gián tiếp, hình thức nào, lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi khác tùy trường hợp Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ cho việc cải tạo giới người (ngay phát triển tư duy, phục vụ cho nội toán học có giá trị thực tiễn mức đấy) Vận dụng điều việc học toán sao? Sau số ví dụ: • Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra làm tập hay khơng cách tìm mơ hình thực tế thể suy luận kết Hoặc chứng minh khẳng định sai cách tìm phản ví dụ, ta thường cố gắng tìm mơ hình thực tế (đúng) mà trái với điều phát biểu • Trong “thuật tốn khái qt hóa” mà giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn nêu để phát triển khả học tốn học sinh (xem [4]) thể quan điểm “thực tiễn tiêu chuẩn chân lí tốn học” Bước thứ thuật tốn tìm ví dụ để làm rõ mợt đốn: ví dụ sai bác bỏ đốn; ví dụ củng cố thêm khả đốn Một điểm thấy chứng minh tốn học, tìm thấy mơ hình thực tế trái với lí luận lí luận bị sai ta nhiều điều thực tế chưa chứng minh lí luận Ta khơng thể nói n − n chia hết cho vì với n bằng 1, 2, 3,…, 1000 thì n − n chia hết cho Đó tính đặc thù toán học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể Thực tiễn kiểm tra tính đắn lí thuyết tốn học hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác Điều dễ nhận thấy vật, tượng đa dạng phong phú, toán học xuất phát từ thực tiễn nên mang nhiều nội dung, đặc điểm khác Nhiều kết tốn học khơng thời điểm thời điểm khác Tuy ta thấy có cơng trình tốn học chưa ứng dụng thực tiễn chứng minh đắn lí luận tốn học phát triển nhanh mức mà người chưa thể ứng dụng (thực tiễn chưa kiểm tra người khác chưa nhận được) khơng hẳn sai tách khỏi thực tiễn hồn tồn Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc đầu đời bị cho quái gở sau đánh giá phát minh quan trọng Điều cho ta luận điểm quan trọng nhận thức toán học: “Một lí thuyết tốn học, dù kì quặc đến đâu, có quyền tồn đứng vững mặt tốn học, nghĩa phù hợp với logic; logic lại từ trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; phù hợp với logic phù hợp với thực tiễn, khơng phải thực tiễn ngày thực tiễn tương lai Những lí thuyết kì quặc lí thuyết phù hợp với thực tiễn tương lai mà chưa biết.” (xem 873, [4]) Trong toán học cần đào sâu, lật lật lại vấn đề, khơng nên nghĩ thực tiễn kiểm nghiệm khơng cịn để làm Điều nghĩa luôn học hỏi, tìm tịi để hồn thiện tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, không nên tin tưởng vào điều Ví dụ: trước người ta chứng minh tồn hạt vật chất nhỏ (lúc người ta nghĩ nhỏ nhất) nguyên tử Nếu người ta chấp nhận, khơng có “nghi ngờ khoa học” ta khơng thể biết ngun tử cịn chia nhỏ Hoặc nghĩ hình học Euclide đủ để biểu thị mối quan hệ đối tượng khơng gian khơng có thêm hình học Lobachevsky, hình học siêu phi Euclide Chính nghi ngờ tò mò khoa học dẫn đến nhiều phát minh toán học Triết học cung cấp cơng cụ để nhận thức Tốn học Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư người Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào đầu óc người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã hội và tư người Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để nghiên cứu toán học Vậy công cụ đó là gì? Tại lại cần đến công cụ đó? Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng vật Phương pháp luận vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng tự nhiên, xã hội và tư người Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng vật đối với sự hình thành và phát triển của toán học Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng vật việc nhận thức toán học Ông đã chỉ nguồn gốc của các phát minh toán học sở phép biện chứng vật: “ Mọi phát minh tốn học khơng phải việc ngẫu nhiên mà bước nhảy vọt tất yếu kết thúc q trình tích lũy xã hội thơng qua cá nhân hay tập thể kết đấu tranh hai mặt đối lập.” (xem 73, [4]) Từ việc hiểu nguồn gốc của các phát minh toán học, những người ở thế hệ sau có thể tiếp tục phát triển toán học Cụ thể là các học sinh, sinh viên, những yêu thích toán học có thể tận dụng được công cụ hữu ích là phép biện chứng vật việc nghiên cứu toán học của mình Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều thầy giáo dạy tốn nghiên cứu vấn đề Triết học tốn học để tìm phương pháp học toán, dạy toán nghiên cứu tốn Ở nước ta kể đến giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn, người có nhiều cơng trình nghiên cứu vấn đề triết học toán học ứng dụng nghiên cứu, giảng dạy đời sống Ông quan tâm đến mối liên hệ tốn học với thực tiễn, ơng tìm hiểu vận dụng thành công mối liên hệ phép biện chứng vật việc học tập, giảng dạy nghiên cứu toán Tác phẩm Tải FULL (file word 18 trang): bit.ly/2Ywib4t Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu tốn học giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn tài liệu có giá trị việc học dạy toán (xem [5]) Trong đời sống thường ngày vận dụng quy luật triết học vào nhận thức toán học vận dụng tư toán học để nhận thức vấn đề sống mức độ hiệu khác nhau, nhiều khơng nhận Do đó, việc nghiên cứu triết học cho chủ động việc nắm bắt vận dụng quy luật triết học nhận thức toán học các hoạt động thường ngày II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT Quan điểm vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên Ngược lại phát minh toán học củng cố cho quan điểm vật biện chứng Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học Toán học cung cấp cho triết học tri thức mặt số lượng hình thức khơng gian vật, tượng ở mức chính xác rất cao Tốn học có đối tượng tương quan số lượng dạng không gian vật, tượng Toán học nghiên cứu đặc điểm của các đối tượng này bằng những phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao Vì thế mà tính đúng đắn của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể nào Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các ngành khoa học khác Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về mặt lượng của các đối tượng khác Do đó, toán học cung cấp tri thức cho những lĩnh vực khác của đời sống ngày càng hiệu quả Cơ học và thiên văn học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy Toán học được sử dụng sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến Ngay cả các lĩnh vực tưởng chừng không dùng đến toán học văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng góp của toán học Ví dụ: • Trong văn học, khảo sát khả xuất hiện từ ngữ nào đó văn chương để tìm hiểu phong cách của tác giả hoặc ý đồ nghệ thuật của tác giả • Trong ngơn ngữ học, người ta sử dụng tri thức toán học để giải mã ngôn ngữ của người cổ xưa hay nghiên cứu ngôn ngữ của một vùng nào đó Chẳng hạn: từ ngữ đó tương ứng với từ nào ngôn ngữ hiện dùng và một nó tương ứng với từ đó thì không thể hoặc ít có khả tương ứng với từ khác (sử dụng tri thức về ánh xạ) Tải FULL (file word 18 trang): bit.ly/2Ywib4t • Trong hội họa, người ta từng khảo sát rất nhiều bức họa đẹp thì thấy bố cục của chúng tuân theo “tỉ lệ vàng” Hoặc kĩ thuật dệt tranh thì người ta phóng bức tranh to ra, chia tranh thành các ô vuông rất nhỏ rồi dệt theo từng ô, ô được dệt tương ứng số 1, ô không dệt tương ứng với số Qua các ví dụ ta thấy rằng toán học và các lĩnh vực của đời sống thâm nhập vào Toán học lấy mặt lượng và quan hệ số lượng của các sự vật, hiện tượng các lĩnh vực khác làm đối tượng nghiên cứu của mình Sau đó những tri thức toán học phục vụ trở lại các lĩnh vực khác Điều này giúp cho toán học và các khoa học khác cùng phát triển Toán học không chỉ đơn thuần cung cấp tri thức về mặt số lượng cho các lĩnh vực khác mà nó còn cung cấp tri thức về phương pháp, cách thức tư có thể vận dụng vào các khoa học khác Ví dụ: tri thức về xác suất thống kê được áp dụng vào ngành y rất hiệu quả Người ta đã vận dụng tri thức này để chọn đối tượng nào đem khảo sát thì cho kết quả tốt, tính toán khả bệnh di truyền xảy ra,… Tất nhiên sự ứng dụng là linh hoạt vì thế kiến thức và cách tư của toán học cần được hiểu rõ để vận dụng chính xác, hiệu quả Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp Vì thế việc học toán và nhất là các phương pháp toán học, tư toán học rất cần thiết đới với mọi người Tốn học góp phần điều chỉnh hoàn thiện nguyên tắc Triết học Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp phản ánh đắn chất vật tượng Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định): Toán học góp phần vào sự hình thành sở của logic hình thức Nó giúp cho lập luận được chính xác, chặt chẽ Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư khoa học, giúp phát triển logic biện chứng “Mỗi lần có phát minh vạch thời đại, lĩnh vực khoa học tự nhiên, chủ nghĩa vật khơng tránh khỏi thay đổi hình thức nó.” ( xem 606, [1]) Ví dụ: Nhà tốn học Godel chứng minh trừ hai hệ hình thức đơn giản tốn mệnh đề tốn tân từ (và hệ hình thức tương đương với chúng) đầy đủ (tức khơng xảy nghịch lí) cịn hệ hình thức phức tạp (hệ tiên đề số học, tập hợp, ) trở thành hệ đầy đủ (nếu ta bổ sung thêm tiên đề để khắc phục nghịch lí lại có nghịch lí khác xảy ra) 10 ... Trong viết ngắn này, đề cập đến mối liên hệ triết học toán học số khía cạnh có ích việc nhận thức tốn học vài vận dụng đời sống I - VAI TRỊ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC Triết học có tác động lớn... cơng trình nghiên cứu vấn đề triết học toán học ứng dụng nghiên cứu, giảng dạy đời sống Ông quan tâm đến mối liên hệ toán học với thực tiễn, ơng tìm hiểu vận dụng thành công mối liên hệ phép biện... việc học dạy tốn (xem [5]) Trong đời sống thường ngày vận dụng quy luật triết học vào nhận thức toán học vận dụng tư toán học để nhận thức vấn đề sống mức độ hiệu khác nhau, nhiều khơng nhận