Đề thi môn phương pháp tính và lời giải năm 2008 - 2009

đề thi và lời giải chi tiết môn phương pháp tính

Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 1) Dùng cho các lớp: Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề) Câu 1: (2 điểm) Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình: 04x2xf(x) 4  biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá -2 10 . Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số f(x) thoả mãn: x i 0 2 3 5 f(x i ) 1 3 2 5 Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x); tính f(4). Câu 3: (2 điểm) Cho bảng giá trò hàm x i 7 8 9 10 11 12 13 f(x i ) 7,4 8,4 9,1 9,4 9,5 9,5 9,4 Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và x là: 2 cxbxaf(x)y  . Câu 4: (2 điểm) Cho hàm   xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y 1 0,990 0,962 0,917 0,862 0,800 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,735 0,671 0,609 0,555 0,500 Tính tích phân:   1 0 )( dxxfI theo công thức hình thang và công thức Simson. Câu 5: (2 điểm) Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel         18x5x x 14x x5x 10x x x5 321 321 321 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV (Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi) TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 1, Năm học 2008 – 2009 Câu Lời giải Điểm 1 2 3 -Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm dương   7,1 ;1x  f(1) = - 5 < 0; f(1,7) = 0,952 > 0. - Chính xác hoá nghiệm: Bảng kết quả: a n b n         ii iii ii afbf afab ax      i xf 1 1,7         588,1 1f7,1f 1f17,1 1x 1       0817,0588,1f  1,588 1,7         639,1 588,1f7,1f 588,1f588,17,1 588,1x 2       0051,0639,1f  1,639 1,7         642,1 639,1f7,1f 639,1f639,17,1 639,1x 3       0016,0642,1f  1,642 1,7         643,1 642,1f7,1f 642,1f642,17,1 642,1x 3       004,0643,1f  > 0 Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10 -2 là: 64,1x  . W(x)=x(x-2)(x-3)(x-5)                             5x30 5 3x)6( 2 2x6 3 30x 1 5x3x2xxxL 3 1x 15 62 x 6 13 x 10 3 23  . f(4) 15 31 14. 15 62 4. 6 13 4. 10 3 23  . Tính tích phân I theo công thức hình thang:     109876543210 1 0 yyyyyyyyyy2y 2 h dx)x(fI       5,0555,0609,0671,0735,08,0862,0917,0962,099,021 2 1,0  785,0  . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.   1 0 )( dxxfI         975318642100 yyyyy4yyyy2yy 3 h          555,0671,08,0917,099,04609,0735,0862,0962,025,01 3 1,0  0,5 1,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV 4 5 786,0  . Lập bảng số: k x k (x k ) 2 (x k ) 3 (x k ) 4 y k x k y k (x k ) 2 y k 1 7 49 343 2401 7,4 51,8 362,6 2 8 64 512 4196 8,4 67,2 537,6 3 9 81 729 6561 9,1 81,9 737,1 4 10 100 1000 10000 9,4 94,0 940,0 5 11 121 1331 14641 9,5 104,5 1149,5 6 12 144 1728 20736 9,5 114,0 1368,0 7 13 169 2197 28561 9,4 122,2 1588,6 ∑ 70 728 7840 87096 62,7 635,6 6683,4 Từ đó ta có hệ phương trình sau:         4,668387096840b7 28a7 6,635840c7 b7280a7 7,6228c7 0b7 a7 Giải hệ phương trình trên ta thu được: a = 2,12; b = 1,10 c = - 0,04 Vậy hàm bậc hai cần tìm có dạng:   2 x04,0x10,112,2xf  . Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:         6,3 x2,0x2,0x 8,2x2,0 x2,0x 0,2x2,0x2,0 x 213 312 321 Ta có: x = Bx + g, với:             0 0,2- 2,0 0,2- 0 2,0 0,2- 0,2- 0 B ,            6,3 8,2 0,2 g . Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính: 4,02,02,00b 3 1j j1    ; 4,02,002,0b 3 1j j2    ; 4,002,02,0b 3 1j j3    ; 14,0}4,0 ;4,0 ;4,0{MaxbMax 3 1j ij i    (thoả mãn điều kiện hội tu)ï. p dụng phương pháp Gauss - Siedel Chọn   0;0;0 0 x  ta có bảng kết quả sau: i x  x 1 x 2 x 3 1 x  2,00 2,80 3,60 2 x  0,72 1,68 2,64 3 x  1,136 2,128 3,120 4 x  0,950 1,949 2,947 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV Vậy nghiệm của hệ phương trình: x 1 = 0,950; x 2 =1,949; x 3 = 2,947. TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009 Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 2) Dùng cho các lớp: Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề) Câu 1: (2 điểm) Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình: 07x2xf(x) 3  biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá -3 10 . Câu 2: (2 điểm) Cho hàm số f(x) thoả mãn x i 1 2 3 4 f(x i ) 2 3 4 5 Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x), tính f(5). Câu 3: (2 điểm) Cho bảng giá trò hàm x i 19 22 25 28 32 35 f(x i ) 0,660 0,367 0,223 0,140 0,084 0,060 Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và x là: bxaf(x)y    . Câu 4: (2 điểm) Cho hàm   xfy dưới dạng bảng sau: x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 y 1,0000 0,9801 0,9211 0,8253 0,6967 Tính tích phân:   8,0 0 dx)x(fI theo công thức hình thang và công thức Simson. Câu 5: (2 điểm) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:         20x10x2 x2 27x x10x2 33x x x10 321 321 321 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV (Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi) TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 2, Lớp Năm học 2008-2009 Câu Lời giải Điểm 1 2 3 -Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm   2;1x f(1) = - 4 < 0; f(2) = 5 > 0. - Chính xác hoá nghiệm: Bảng kết quả: n a n b n        2 nn ba f 0 1,0 2,0 f(1,5) =3,375+3-7= - 0,625 < 0 1 1,5 2,0 f(1,75) = 5,359+3,5-7=1,859 > 0 2 1,5 1,75 f(1,625)=4,291+3,25-7=0,541> 0 3 1,5 1,625 f(1,563)=3,818+4,689-7=- 0,056 < 0 4 1,563 1,625 f(1,594)= 4,050+3,188-7=0,238> 0 5 1,563 1,594 f(1,579)= 3,937+3,158-7=0,095> 0 6 1,563 1,579 f(1,571)=3,877+3,142-7=0,019> 0 7 1,563 1,571 f(1,567)=3,848+3,134-7=-0,018<0 8 1,567 1,571 f(1,569)=3,863+3,138-7=0,001 Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10 -3 là: 569,1x  . W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)                            4 x6 5 3x2 4 2x2 3 61x 2 4x3x2x1xx 3 L 1 x   . f(5) = 5+1 = 6. Lập bảng số: k x k (x k ) 2 y k x k y k 1 19 361 0,660 12,5 2 22 484 0,367 8,1 3 25 625 0,223 5,6 4 28 784 0,140 3,9 5 32 1024 0,084 2,7 6 35 1225 0,060 2,1 ∑ 161 4503 1,500 34,9 Từ đó ta có hệ phương trình sau: 0,5 1,5 0,5 1,0 0,5 1,0 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thơng Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV 4 5      897,34b4503 161a 534,1 161b a6 Giải hệ phương trình trên ta thu được: a = 1,176; b = - 0,034 Vậy hàm bậc nhất cần tìm có dạng:   x034,0176,1xf  . Tính tích phân I theo công thức hình thang:     43210 8,0 0 yyyy2y 2 h dx)x(fI       6967,08253,09211,09801,021 2 2,0  715,0  . Tính tích phân I theo công thức công thức Simson.   8,0 0 dx)x(fI         31240 yy4y2yy 3 h          8253,09801,049211,026967,01 3 2,0  717,0  . Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:         0,2 x2,0x2,0x 7,2x1,0 x2,0x 3,3x1,0x1,0 x 213 312 321 Ta có: x = Bx + g, với:             0 0,2- 2,0 0,1- 0 2,0 0,1- 0,1- 0 B ,            0,2 7,2 3,3 g . Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính: 2,01,01,00 3 1 1   j j b ; 3,01,002,0 3 1 2   j j b ; 4,002,02,0 3 1 3   j j b . 14,0}4,0;3,0;2,0{ 3 1    MaxbMax j ij i thoả mãn điều kiện hội tụ. p dụng phương pháp Gauss - Siedel Chọn   0;0;0 0 x  ta có bảng kết quả sau: i x  x 1 x 2 x 3 1 x  3,3 2,7 2,0 2 x  2,83 1,84 0,8 3 x  3,036 2,054 1,066 4 x  2,998 1,986 0,982 5 x  3,003 2,002 1,003 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 Upload by wWw.kenhdaihoc.com - Kênh Thông Tin - Học Tập - Gải Trí Cho HS-SV 6 x  3,000 1,999 0,999 7 x  3,000 2,000 1,000 8 x  3,000 2,000 1,000 Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: x 1 =3,000; x 2 =2,000; x 3 =1,000.