HSG toan 8 dang 11 DA THUC VA TINH CHIA HET

28 3 0
 HSG toan 8 dang 11 DA THUC VA TINH CHIA HET

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

thuvienhoclieu.com DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia A.Bài tốn Bài 1: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 2: Tìm số dư phép chia biểu thức: ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 3: Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 4: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 5: Tìm số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 Bài 6: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 cho đa thức x + 10 x + 21 b) Cho A = n + 10n + n + 98n − 6n − 26 B = + n − n Chứng minh với n ∈ ¢ thương phép chia A cho B bội số Bài 7: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + x + x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x − x + x − chia hết cho x + 3 2 Bài 8: Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia f(x) cho ( x + 1)( x + 1) Bài 9: Tìm dư chia x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + cho x − 100 Bài 10: Tìm đa thức dư chia đa thức x − x 51 + cho x − thuvienhoclieu.com cho thuvienhoclieu.com B HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Ta có: P( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 ( )( ) = x + 10 x + 16 x + 10 x + 24 + 2008 Đặt t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) , Biểu thức P ( x) viết lại P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2008 = t − 2t + 1993 Do chia t − 2t + 1993 cho t ta có số dư 1993 Bài 2: Tìm số dư phép chia biểu thức: ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Đặt P( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2012 Đặt x + 10 x + 21 = t Ta có: P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2012 = t − 2t + 1997 Vậy số dư phép chia 1997 Bài 3: Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Ta có: P( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2010 Đặt t = x + 10 x + 21, biểu thức P ( x) viết lại: P( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2010 = t − 2t + 1995 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Do chia t − 2t + 1995 cho t ta có số dư 1995 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 cho đa Bài 4: Tìm số dư phép chia biểu thức thức x + 10 x + 21 Lời giải P ( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2015 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) Đặt , biểu thức P ( x) viết lại P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) = t − 2t + 2000 Do chia t − 2t + 2000 cho t ta có số dư 2000 Bài 5: Tìm số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 Lời giải Ta có: ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = = ( x + 12 x + 27 ) ( x + 12 x + 35 ) + 2033 x + 12 x + 30 = t , ta Đặt có: ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = ( t − 3) ( t + ) + 2033 = t + 2t − 15 + 2033 = t ( t + ) + 2018 Vậy ta có ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = ( x + 12 x + 30 ) ( x + 12 x + 32 ) + 2018 Vậy số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 2018 Bài 6: a)Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 cho đa thức x + 10 x + 21 b)Cho A = n + 10n + n + 98n − 6n − 26 B = + n − n Chứng minh với n ∈ ¢ thương phép chia A cho B bội số Lời giải a) Ta có: P ( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2017 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) , biểu thức P ( x) viết lại: Đặt thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) = 2017 = t − 2t + 2002 Do chia t − 2t + 2000 cho t ta có số dư 2002 b) Thực phép chia , ta được: Thương A chia cho B n − 6n + 11n − Ta có: n3 − 6n + 11n − = n3 − n + 12n − 6n − = ( n − 1) n ( n + 1) + ( 2n − n − 1) Vì ( n − 1) n ( n + 1) Và ( 2n − n − 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho ⇒ Thương phép chia A cho B bội số Bài 7: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + cho x + x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x − x + x − chia hết cho x + Lời giải a) Đặt f ( x ) = ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + Ta có: A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 15 ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + 3 + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + 12 ) + − 15 = ( x + x + 12 ) ( x + x + 10 ) − Vậy số dư phép chia f ( x ) cho x + x + 12 −6 b) Thực phép chia đa thức B = x − x + x − cho C = x + , ta được: Đa thức thương: x − 2; đa thức dư: x − Suy : x − x + x − = ( x + 3) ( x − ) + x − Do BM ( x + 3) ⇔ ( x − 1) M( x + 3) Vì x ≠ vs (1) x ≠ −1 nên: thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com ( 1) ⇒ ( x − 1) ( x + 1) Mx + ⇒ ( 16 x − 1) M( x + 3) ⇒ 16 ( x + 3) + 49M( x + 3) ⇒ 49M( x + 3) Vì x + ≥ nên xảy hai trường hợp sau: • x + = 49, khơng có giá trị thỏa mãn  x = 2(tm) •x2 + = ⇒ x2 = ⇔   x = −2(tm) Vậy x = ±2 Bài 8: Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia f(x) cho ( x + 1)( x + 1) Lời giải Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x + dư => f(-1) = 2 Do bậc đa thức chia ( x + 1)( x + 1) nên đa thức dư có dạng ax + bx + c Gọi thương q(x).Theo định nghĩa phép chia cịn dư, ta có : f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a Mà f(x) chia cho x + dư x + b =  ⇒ c − a = (1) ⇒ Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = (2) Do ta có :  b = b = b =     c − a = ⇔ c − a = ⇔   c = a − b + c = a + c =     a =  x + 2x + Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: Bài 9: Tìm dư chia x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + cho x − Lời giải Đặt f ( x ) = x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Gọi thương chia Ta có: f ( x ) cho x − Q ( x), dư ax + b f ( x ) = ( x − 1) Q( x) + ax + b Đẳng thức với x nên - f = a + b ⇔ a + b = (1) Với x = ta ( ) f −1 = −a + b ⇔ −a + b = Với x = −1 ta được: ( ) Từ (1) (2) suy (2) a = 1, b = , Dư phải tìm x + 100 Bài 10: Tìm đa thức dư chia đa thức x − x 51 + cho x − Lời giải Gọi đa thức dư phép chia Khi ta có: ax + b x100 − x51 + = ( x − 1) H ( x ) + ax + b ( 1) Thay x = vào ( ) ta có: = a + b = a −b Thay x = −1 vào ( ) ta có: Từ suy (2) ( 3) a = 2; b = −2 Vậy số dư x − Dạng 2: Tìm Đa Thức f ( x) A.Bài tốn Bài 1: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 24, f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư Bài 2: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 22, f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư f x Bài 3: Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho x + dư 10, ( ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia cho x − thương −5x cịn dư Bài 4: Tìm đa thức chia cho f ( x ) , biết f ( x ) chia cho x + dư 5, f ( x) chia cho x + dư 7, f ( x ) ( x + 3) ( x + 5) thương 2x cịn dư B.Lời giải Bài 1: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 24, f ( x) chia cho x − thương −5x dư thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Lời giải Giả sử f ( x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi : f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có:   f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔   f (−2) = 10  −2a + b = 10 b = 17  Do : f ( x) = ( x − ) ( −5 x) + x + 17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 47 x + 17 Bài : Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 22, f ( x) chia cho x − thương −5x dư Lời giải Giả sử f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư ax + b Khi đó: f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có:  f (2) = 22 2a + b = 22 a = ⇔ ⇔   f ( −2) = 10 −2a + b = 10 b = 16 Do đó: f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 16 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x ) = −5 x + 23 x + 16 f x Bài 3: Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho x + dư 10, ( ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia cho x − thương −5x dư Lời giải Giả sử f ( x ) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com  f ( ) = 26 2a + b = 26 a = ⇔ ⇔     f ( −2 ) = 10 −2a + b = 10 b = 18 Do f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Vậy đa thức f ( x ) cần tìm f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Bài 4: Tìm đa thức chia cho f ( x ) , biết f ( x ) chia cho x + dư 5, f ( x) chia cho x + dư 7, f ( x ) ( x + 3) ( x + 5) thương 2x dư Lời giải f ( x ) = ( x + 3) A ( x ) + f ( x) = ( x + 5) B( x) + f ( x) = ( x + 3)( x + 5).2 x + mx + n Từ suy : f ( −3) = ⇒ −3m + n = f ( −5 ) = ⇒ −5m + n = Tìm m = −1; n = Thay vào ta có đa thức f ( x ) = x + 16 x + 29 x + Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức A.Bài tốn Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = Bài 2: Cho đa thức F ( x) = x + ax + b (với a, b ∈ ¡ ) Biết đa thức F ( x) chia cho x − dư 12, F ( x) chia cho x + dư −6 Tính giá trị biểu thức: B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) Bài 3: Cho a + b + c = a + b + c = Tính S = a + b Bài 4:Đa thức 2 f ( x) = 4x3 + ax + b 3 chia hết cho đa thức 2012 + c 2013 x − 2;x + Tính 2a − 3b Bài 5: Đa thức P ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P (5) = Q = P ( −2 ) + P ( ) Hãy tính giá trị biểu thức Bài 6: Đa thức f ( x ) = x + ax + b chia hết cho đa thức x − 2; x + Tính 2a − 3b thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Q x = x + x − Gọi Bài 7: Cho hai đa thức P ( x ) = x − x + x + 1, ( ) nghiệm Bài Tính P( x) Tính giá trị x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Q ( x1 ) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) : Đa thức bậc có hệ số cao thỏa mãn f ( 1) = 5; f ( ) = 11; f ( 3) = 21 f ( −1) + f ( 5) Bài 9: Cho đa thức P ( x) = x − x − 16 x + m a) Tìm m để P ( x) chia hết cho x + b) Với m vừa tìm câu a, tìm số dư chia P( x) cho 3x − phân tích thừa số bậc 1.2) Cho đa thức P( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e Biết P(1) = 1; P (2) = 4; P (3) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P (7)? Bài 10: Cho a + b + c = 3abc với 3 a, b, c ≠  a  b  c  P =  + ÷ + ÷ + ÷  b  c  a  Tính giá trị biểu thức M N 32 x − 19 + = Bài 11: Cho x + x − x − x − Tính M N ? B.Lời giải Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = Lời giải Thay x + ta có A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + – (x + 1)x2 + (x+1)x + = x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 + – x3 – x2 + x2 + x + = x + = +1 = Bài 2: Cho đa thức F ( x) = x + ax + b (với a, b ∈ ¡ ) Biết đa thức F ( x) chia cho x − dư 12, F ( x) chia cho x + dư −6 Tính giá trị biểu thức: B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) Lời giải Gọi thương phép chia F ( x) cho x − x + P ( x) Q ( x) Suy x + ax + b = ( x − 2) P ( x ) + 12 (1) x3 + ax + b = ( x + 1)Q ( x ) − (2) thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Thay x = vào (1) ta có + a + b = 12 ⇔ 2a + b = ⇔ 6a + 3b = 12 Thay x = −1 vào (2) ta có −1 − a + b = −6 ⇔ −a + b = −5 ⇔ −5a + 5b = 25 ⇒ B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) = 1.1 = Bài 3: Cho a + b + c = a + b + c = Tính S = a + b 2 3 + c 2013 2012 Lời giải a + b + c = a3 + b3 + c3 = ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1] ⇒ a + b3 + c3 − ( a + b + c ) = a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) ≤ ⇒ a + b3 + c3 ≤ ⇒ a; b; c nhận hai giá trị ⇒ b 2012 = b ; c 2013 = c ⇒ S = a + b 2012 + c 2013 = Bài 4: Đa thức f ( x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x − 2;x + Tính 2a − 3b Lời giải Đa thức f(x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức nên: x − 2;x + f ( 2) = ⇒ 32 + 2a + b = 0(1) f(−1) = ⇒ −4 − a + b = (2) Từ ta tìm a = −12;b = −8 ( 1) ( 2) Vậy 2a − 3b = Bài 5: Đa thức P ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P (5) = Q = P ( −2 ) + P ( ) Hãy tính giá trị biểu thức Lời giải Ta có: Nên P ( x)M ( x − 1), ( x − 3) , ( x − ) P ( x ) có dạng P ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x + a ) Khi đó: P (−2) + 7.P(6) = ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −2 + a ) + 7.5.3.1 ( + a ) = −105.( −2 + a ) + 105.( + a ) = 105.( − a + + a ) = 840 Bài 6: Đa thức f ( x ) = x + ax + b chia hết cho đa thức x − 2; x + Tính 2a − 3b Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Cho f ( x) = ax + bx + c với Chứng tỏ với n ∈ ¥ * a, b, c số thỏa mãn 13a + b + 2c = f ( −2 ) f ( 3) ≤ (x Bài 8: Chứng minh rằng: m + x n + 1) mn − ) M chia hết cho x + x + ( x7 + x2 + Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 9: Chứng minh khơng có giá trị tự nhiên n để giá trị biểu thức 2n3 − 3n + n + chia hết cho giá trị biểu thức n − n A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 Bài 10: Chứng tỏ đa thức: với giá trị biến x không âm B.Lời giải Bài 1: Chứng minh rằng: f ( x) = ( x + x + 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho g ( x) = x − x Lời giải Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm x = 0; x = f (0) = ( −1) Ta có 2018 + 12018 − = nghiệm f(x) Suy f ( x) chứa thừa số x Ta có : f (1) = ( 12 + − 1) 2018 + ( 12 − + 1) 2018 − = ⇒ x =1 nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung f(x) chia hết cho x( x – 1) Vậy f ( x ) = ( x + x + 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho g ( x ) = x − x Bài 2:Chứng minh: a) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Lời giải a) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có : F = ( x + x − 1) Xét x = Vậy, 2018 + ( x − x + 1) r = ( 12 + − 1) F = ( x + x − 1) 2018 2018 2018 − = ( x − 1) Q ( x ) + r + ( 12 − + 1) + ( x − x + 1) 2018 −2 2018 −2= chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N G = x8 n + x n + = x8 n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) Ta có: (1) x n + x n + = x n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( ) Mặt khác, Từ (1) (2) suy G = x8 n + x n + = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( x n − x n + 1) 8n 4n 2n n Vậy, G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Bài 3: Chứng minh rằng: 95 94 93 a) Đa thức M = x + x + x + + x + x + chia hết cho đa thức N = x 31 + x30 + x 29 + + x + x + x3 x2 x P ( x ) = 1985 + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên b) Đa thức Lời giải 95 94 93 a) Ta có: M = x + x + x + + x + x + = x 64 ( x31 + x 30 + + x + x + 1) + x 32 ( x 31 + x 30 + + x + x + 1) + ( x 31 + x 30 + + x + x + 1) = ( x 31 + x30 + + x + x + 1) ( x 64 + x 32 + 1) (x M 31 + x 30 + + x + x + 1) Vậy, M MN (đpcm) b)Ta có: P ( x ) = 1985 x3 x2 x + 1979 + = ( 661x + 989 x + x ) + ( ( x − 1) x ( x + 1) + 3x.x ( x + 1) ) 661x3 + 989 x + x ∈ Z x − 1) x ( x + 1) + 3x ( x + 1) x ∈ Z Với , cịn ( số ngun chia hết cho Từ suy P ( x) có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 4: Chứng minh n + 17 n chia hết cho với n ∈ ¢ thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải n3 + 17n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n Vì n ( n − 1) ( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, ( 2,3) = nên chia hết cho 18nM , suy điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh với số nguyên a a + 5a chia hết cho Lời giải a + 5a = a − a + 6a = a ( a − 1) + 6a = a ( a − 1) ( a + 1) + 6a Vì a (a − 1)( a + 1) tích số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho mà ( 2,3) = nên a ( a − 1) ( a + 1) chia hết cho 6a chia hết cho Nên a + 5a chia hết cho Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M Bài 6: Chứng minh rằng: với n ∈ ¥ * Lời giải Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) 3 = n3 + ( n3 + 3n + 3n + 1) + ( n3 + 6n + 12n + ) = ( n3 + 3n + 5n + 3) Đặt C = n + 3n + 5n + = n + n + 2n + 2n + 3n + 3 2 = n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) + ( n + 1) Ta thấy Và n ( n + 1) ( n + ) chia hết cho 3( tích số tự nhiên liên tiếp) ( n + 1) M ⇒ C chia hết cho Nên Q = 3C chia hết cho Bài 7: Cho f ( x) = ax + bx + c với Chứng tỏ a, b, c số thỏa mãn 13a + b + 2c = f ( −2 ) f ( 3) ≤ thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải f ( −2 ) = 4a − 2b + c; f ( 3) = 9a + 3b + c Có f ( −2 ) + f ( 3) = 13a + b + 2c = nên: Hoặc: f ( −2 ) = f ( 3) = ⇒ f ( −2 ) f ( 3) = (1) Hoặc : f ( −2 ) f ( 3) hai số đối ⇒ f ( −2 ) f ( 3) < (2) Từ ( 1) ( ) f ( −2 ) f ( 3) ≤ (x Bài 8: Chứng minh rằng: m + x n + 1) mn − ) M chia hết cho x + x + ( Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Lời giải Đặt m = 3k + r với 0≤r ≤2 ; n = 3t + s với ≤ s ≤ ⇒ x m + x n + = x k + r + x3t + s + = x k x r − x r + x 3t x s − x s + x r + x s + = x r ( x 3k − 1) + x s ( x 3t − 1) + x r + x s + (x Ta thấy: (x Vậy m 3k − 1) M ( x2 + x + 1) (x 3t − 1) M ( x2 + x + 1) + x n + 1) M ( x + x + 1) ⇔ ( x r + x s + 1) M ( x2 + x + 1) với ≤ r, s ≤ ⇔ r = s = ⇒ m = 3k + n = 3t + r = s = ⇒ m = 3k + n = 3t + ⇔ mn − = ( 3k + ) ( 3t + 1) − = 9kt + 3k + 6t = ( 3kt + k + 2t ) mn − = ( 3k + 1) ( 3t + ) − = 9kt + 6k + 3t = ( 3kt + 2k + t ) ⇒ ( mn − ) M 3, Điều phải chứng minh Áp dụng: m = 7, n = ⇒ mn − = 12M ⇒ ( x + x + 1) M ( x + x + 1) ⇒ ( x + x + 1) : ( x + x + 1) = x + x + x + x + n để giá trị biểu thức Bài 9: Chứng minh khơng có giá trị tự nhiên 2n3 − 3n + n + chia hết cho giá trị biểu thức n − n Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chia 2n − 3n + n + cho n − n dư 3 Vì n − n = n ( n − 1) 2 số chẵn nên n ( n − 1) ∉Ư(3) A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 Bài 10: Chứng tỏ đa thức: với giá trị biến x không âm Lời giải A = y + y + 21 y − y − 30 = = ( y − 1) ( y + ) ( y + ) ( y + ) Đặt x + = y , ta có: Khi đó, A = x ( x + 3) ( x + ) ( x + ) ≥ với giá trị x (Đpcm ) Dạng 5: Xác định số A.Bài toán 3 Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm đa thức bậc ba dư P ( x) , biết chia P ( x) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) P ( −1) = −18 f k = k + 2k + 15 g k = k +3 Bài 2:Tìm tất số tự nhiên k để đa thức ( ) chia hết cho ( ) Bài 3:Xác định số hữu tỉ a b cho: a) x + chia hết cho x + ax + b ; ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho f x = x + ax + b Bài 4:Xác định hệ số hữu tỉ a b cho ( ) chia hết cho g ( x ) = x2 − x + Bài 5: Tìm số nguyên a b để đa thức A( x) = x − x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + 2 Bài 6: Tìm a, b cho f ( x) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − f ( x ) = x − x − 3x − chia hết cho x Bài 7: Tìm giá trị nguyên để đa thức g ( x) = x + x + Bài 8: Cho đa thức f ( x ) = x − x + 3x − Với giá trị nguyên x giá trị đa 2 thức f ( x) chia hết cho giá trị đa thức x + ( 21x − x3 + x + x + a ) M( x − x − ) Bài 9: Tìm giá trị a để thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 10: Tìm a nguyên để a − 2a + a − chia hết cho a + 3 2 B biết A = 10 x − x − B = x − Bài 11: Tìm giá trị nguyên x để AM Bài 12: a) Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − b) Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố Bài 13: Tìm tất số nguyên n cho: 4n3 + n + chia hết cho 2n + n + h = 2; h ( ) = Bài 14: Cho đa thức h( x ) bậc 4, hệ số bạ cao 1, biết ( ) ; h ( ) = 17; h ( −3) = 10 Tìm đa thức h ( x) Bài 15: Cho đa thức A = ax + bx + c Xác định hệ số b biết chia A cho x − , chia A cho x + có số dư x − a ) ( x − 10 ) + Bài 16: Với giá trị a b đa thức ( phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên x − 16 A = x Bài 17: Tìm đa thức A, biết x + x Bài 18: Tìm tất số nguyên dương n cho n +2 ước số n + 206 Bài 19: ( ) x3 x2 − − 36x a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Dựa vào kết chứng minh : ( ) A = n3 n2 − − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n − x  − 2x  A= + − : 2 ÷ − x + x − x   x −1 Bài 20: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=A c) Tìm x để Bài 21: Đa thức P ( x ) = 1985 A nhận giá trị nguyên x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 22: Cho biểu thức E= a3 a2 a + + 24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên B.Lời giải 3 Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm đa thức bậc ba dư P ( x) , biết chia P ( x) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) P ( −1) = −18 Lời giải 3 a) Gọi thương phép chia A = x + y + z + kxyz cho đa thức x + y + z Q , ta có : x + y + z + kxyz = ( x + y + z ) Q Đẳng thức với x, y , z nên với x = 1, y = 1, z = −2 ta có: 13 + 13 + ( −2 ) + k ( −2 ) = ( + − ) Q ⇒ −6 − 2k = ⇒ k = −3 3 3 Vậy, A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z k = −3 b) Từ đề suy Do đó, P ( x) − P ( x) − chia hết cho chia hết cho ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) P ( x ) − = m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Đặt Suy Vậy, P x với m ∈ Q ( ( ) có bậc ba ) P ( x ) = + m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Theo giả thiết P ( −1) = −18 ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) , với m ∈ Q −18 = + ( −2 ) ( −3) ( −4 ) m ⇒ m = P ( x ) = + ( x − 1) ( x − ) ( x − ) f k = k + 2k + 15 g k = k +3 Bài 2:Tìm tất số tự nhiên k để đa thức ( ) chia hết cho ( ) Lời giải ĐKXĐ: k ≠ −3 Áp dụng định lí Bézout: Số dư Để f ( x) f ( x) chia cho chia hết cho g ( x) g ( x) f ( −3) = −27 + 18 + 15 = k ∈{ 0;3} 6Mk + , suy Bài 3:Xác định số hữu tỉ a b cho: a) x + chia hết cho x + ax + b ; ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải a) x + chia hết cho x + ax + b ; Ta có: x4 + = x4 + 4x2 + − 4x2 = ( x2 + 2x + 2) ( x2 − x + 2) Do đó, để x + chia hết cho x + ax + b a = ±2, b = ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho ( x − 1) thương có dạng ( ax + cx + 1) Ta có ax + bx + chia hết cho ax + bx3 + = ( x − x + 1) ( ax + cx + 1) Ta viết: Tính (x với x − x + 1) ( ax + cx + 1) = ax + cx + x − 2ax − 2cx − x + ax + cx + = ax + ( c − 2a ) x + ( − 2c + a ) x + ( −2 + c ) x + Khi đó, ax + bx + = ax + ( c − 2a ) x + ( − 2c + a ) x + ( −2 + c ) x + Đồng thức hai vế, ta với x b = c − 2a a =   1 − 2c + a = ⇔ b = −4 −2 + c = c =   Vậy, a = 3, b = −4 Bài 4:Xác định hệ số hữu tỉ a b cho g ( x ) = x2 − x + f ( x ) = x + ax + b chia hết cho Lời giải Phép chia hết f ( x ) = x + ax + b h ( x ) = x + cx + b cho g ( x ) = x2 − x + Ta viết x + ax + b = ( x − x + 1) ( x + cx + b ) Ta có: (x có đa thức thương dạng với x − x + 1) ( x + cx + b ) = x + c x + bx − x − cx − bx + x + cx + b = x + ( c − 1) x3 + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b Suy x + ax + b = x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b với x Đồng thức hai vế, ta được: c − = 0, b − c + = a , − b + c = Suy a = b = c = Vậy, a = b = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 5: Tìm số nguyên a b để đa thức A( x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Lời giải Ta có: A( x) = B ( x).( x − 1) + ( a − 3) x + b + B ( x) Để A( x )M a − = a = ⇔  b + = b = −4 Bài 6: Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − 2 Lời giải Ta có: g ( x ) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) g x = x2 + x − Vì f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức ( ) Nên tồn đa thức q ( x) cho f ( x ) = g ( x).q ( x) ⇒ ax + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − ( ) Với x = −2 ⇒ 2a − b + = ( ) Thay ( 1) vào ( ) ta có: a = −4 b = −2 Bài : Tìm giá trị nguyên x để đa thức f ( x) = x3 − x − x − 1chia hết cho g ( x) = x + x + Lời giải Thực phép chia x − 3x − x − cho x + x + Ta thương Để 2 x − 4, dư f ( x ) Mg ( x ) 3Mx + x + mà x + x + > nên  x2 + x + =  x = −1; x = ⇔   x + x + =  x = 1; x = −2 Vậy x ∈ { 0; −1;1; −2} f ( x ) Mg ( x ) f ( x ) = x − x + 3x − Với giá trị nguyên x giá trị đa Bài 8: Cho đa thức thức f ( x) chia hết cho giá trị đa thức x + Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chia f ( x) cho x + thương x − dư x + 2 Để f ( x ) chia hết cho x + x + chia hết cho x + ⇒ ( x + ) ( x − ) chia hết cho x + ⇒ x − chia hết cho x + ⇒ x + − chia hết cho x + 2 ⇒ chia hết cho x + mà x + ≥ ⇒ x + ∈ { 3;6} ⇒ x ∈ { ±1; ±2} Thử lại ta thấy Vậy với x = 1; x = −2 thỏa mãn x = 1; x = −2 f ( x) chia hết cho x + ( 21x − x3 + x + x + a ) M( x − x − ) Bài 9: Tìm giá trị a để Lời giải Thương: x − x + 15 dư: a + 30 Phép chia hết nên a + 30 = ⇒ a = −30 Bài 10: Tìm a nguyên để a − 2a + a − chia hết cho a + 3 2 Lời giải Thực phép chia a − 2a + a − cho a + kết quả: 2 a3 − 2a + 7a − = ( a + 3) ( a − ) + ( 4a − 1) Để phép chia hết 4a − phải chia hết cho a + ( 4a − 1) M( a + 3) ⇒ ( 4a − 1) ( 4a + 1) M ( a + ) ( a ∈ ¢ ⇒ 4a + ∈ ¢ ) ⇒ ( 16a − 1) M ( a + 3) ⇒ 49M ( a + 3) Tìm a, thử lại kết luận a ∈ { −2;2} B biết A = 10 x − x − B = x − Bài 11: Tìm giá trị nguyên x để AM Lời giải A 10 x − x − = = 5x + + 2x − 2x − Xét B thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ∈ ¢ ⇒ 7M ( x − 3) B x − với x ∈ ¢ AM Mà Ư(7)= { −1;1; −7;7} ⇒ x ∈ { 5; −2;2;1} AMB Bài 12: a) Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − b) Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố Lời giải a) Ta có: g ( x) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) Vì f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − 2 f ( x) = g ( x ) q ( x ) Nên tồn đa thức q ( x ) cho ⇒ ax + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − Với x = −2 ⇒ 2a − b + = Thay (1) vào (2), ta có: b) Ta có: (1) (2) a = 2; b = a + = ( a − 2a + ) ( a + 2a + ) Vì a ∈ ¢ ⇒ a − 2a + ∈ ¢; a + 2a + ∈ ¢ 2 a + 2a + = ( a + 1) + ≥ 1∀a Có: a − 2a + = ( a − 1) + ≥ 1(∀a )  a + 2a + =  a = 1(tm) ⇔  a − a + =  a = −1(tm)  Vậy a + số nguyên tố Bài 13: Tìm tất số nguyên n cho: 4n3 + n + chia hết cho 2n + n + Lời giải 4n + n + = 2n − + 2 2n + n + Ta có: 2n + n + Vì n số nguyên nên 2n − số nguyên Do để 4n + n + chia hết cho 2n + n + 2n + n + phải ước số  1 1 7  2 n + n + =  n + n +  =  n + ÷ +  > 2  16    Mặt khác: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Do đó: 2n + n + = 2n + n + = 2n + n + = 2 n =  n = −1  n = Giải trường hợp suy ra:  h = 2; h ( ) = Bài 14: Cho đa thức h( x) bậc 4, hệ số bạ cao 1, biết ( ) ; h ( ) = 17; h ( −3) = 10 Tìm đa thức h( x) Lời giải g = 2; g ( ) = 5; g ( ) = 17; g ( −3 ) = 10 Xét g ( x ) = x + 1có ( ) Ta có f ( x) = h( x) − g ( x) f ( x) bậc hệ số x f ( 1) = f ( ) = f ( ) = f ( −3) ⇒ f ( x) = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x + 3) ⇒ f ( x) = ( x − x + ) ( x − x − 12 ) = x − x3 − x + 34 x − 24 ⇒ h( x) = x − x − x + 34 x − 23 Vậy h( x ) = x − x − x + 34 x − 23 Bài 15: Cho đa thức A = ax + bx + c Xác định hệ số b biết chia A cho x − , chia A cho x + có số dư Lời giải Giả sử A = ax + bx + c = ( x − 1) P + R (1) A = ax + bx + c = ( x + 1) Q + R (2) Cho x = từ ( ) ta có: a + b + c = R Cho x = −1 từ ( ) ta có: a − b + c = R Do : a + b + c = a − b + c ⇔ 2b = ⇒ b = x − a ) ( x − 10 ) + Bài 16: Với giá trị a b đa thức ( phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Lời giải Giả sử : ( x − a ) ( x − 10 ) + = ( x − m ) ( x − n ) ( m, n ∈ ¢ ) ⇔ x − ( a + 10 ) x + 10a + = x − ( m + n ) x + mn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com m + n = a + 10 ⇔ mn = 10a + Khử a ta có: mn = 10 ( m + n − 10 ) + ⇔ mn − 10m − 10n + 100 = ⇔ m( n − 10) − 10( n − 10) =  m − 10 =  m − 10 = −1  a = 12 & ⇒  n − 10 = n − 10 = − m , n   a = Vì ngun ta có: x − 16 A = x Bài 17: Tìm đa thức A, biết x + x Lời giải A= x ( x − 16 ) x + 2x = x ( x − ) ( x + ) x( x − 2)( x + 2) = = 4( x − 2) = x − x ( x + 2) x ( x + 2) Bài 18: Tìm tất số nguyên dương n cho n +2 ước số n + 206 Lời giải n6 + 206 n6 + + 198 n + 206 ⇔ ∈¢ ⇔ ∈¢ n +2 n2 + n + ước số ⇔ n + 2n + + Điều nảy xảy 198 ∈¢ n2 + ước nguyên dương 198 = 2.3 11 gồm: n2 + 2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 Từ ta tìm n ∈ { 1;2;3;4;8;14} Bài 19: ( ) x3 x2 − − 36x a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Dựa vào kết chứng minh : ( ) A = n3 n2 − − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ( ) ( ) 2 a) x3 x2 − − 36x = x  x3 − 7x − 36   ( )( ) ( )( ) = x x3 − 7x − x3 − 7x + = x x3 − x − 6x − x3 − x − 6x + = x ( x + 1) ( x − 1) ( x − 3) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 3) b) Theo phần a ta có: ( ) A = n3 n2 − − 36n = ( n − 3) ( n − 2) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) Đây tích số ngun liên tiếp nên có 2, bội 3, bội 5, bội Mà ( 2,3,5,7) = 1nên A M( 2.3.5.7) ⇒ A M210 − x  − 2x  A= + − : 2 ÷ − x + x − x x −1   Bài 20: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=A c) Tìm x để A nhận giá trị nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x ≠ ±1; x ≠  + x + ( − x ) − ( − x )  x2 − A= ÷ − x2   − 2x −2 x − = = − x2 − 2x − x b) A nguyên, mà x nguyên nên 2M( − x ) , từ tìm  x = 1( ktm)   x = 0(tm) Vậy x = c) Ta có: A = A ⇔ A ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < Kết hợp với điều kiện : Bài 21: Đa thức −1 ≠ x < P ( x ) = 1985 2 x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải x3 x2 x P ( x ) = 1985 + 1979 + Ta có: = ( 661x + 989 x + x ) + ( ( x − 1) x ( x + 1) + 3x.x ( x + 1) ) 661x + 989 x + x ∈ Z x − 1) x ( x + 1) + 3x ( x + 1) x ∈ Z Với , cịn ( số nguyên chia hết cho Từ suy P ( x) có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 22: Cho biểu thức E= a3 a2 a + + 24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị ngun Lời giải Vì a số tự nhiên chẵn nên a = 2k , k ∈ N a a a 8k 4k 2k 2k + 3k + k k ( k + 1) ( 2k + 1) E= + + = + + = = = 24 12 24 12 6 Do Ta có: k ( k + 1) M2 ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M2 Ta cần c/m: k ( k + 1) ( 2k + 1) M3 Thật vậy: k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n, n ∈ N ⇒ k M3 ( 2k + = ( 3n + 1) + = 6n + 3M k k + 1) ( 2k + 1) M3 + Nếu k = 3n + 1, n ∈ N ⇒ ( k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n + 2, n ∈ N ⇒ k + = 3n + 3M3 ( Mà Vậy, ( 2,3) = ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M6 E= a3 a2 a + + 24 12 có giá trị nguyên với a số tự nhiên chẵn thuvienhoclieu.com Trang ... 20 18 + ( x − x + 1) r = ( 12 + − 1) F = ( x + x − 1) 20 18 20 18 20 18 − = ( x − 1) Q ( x ) + r + ( 12 − + 1) + ( x − x + 1) 20 18 −2 20 18 −2= chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia. .. x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Lời giải a) F = ( x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho... + x + 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho g ( x) = x − x Bài 2: Chứng minh: a) F = ( x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho

Ngày đăng: 12/10/2022, 19:54

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan