Thông tin tài liệu
thuvienhoclieu.com DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia A.Bài tốn Bài 1: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 2: Tìm số dư phép chia biểu thức: ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 3: Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 4: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 5: Tìm số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 Bài 6: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 cho đa thức x + 10 x + 21 b) Cho A = n + 10n + n + 98n − 6n − 26 B = + n − n Chứng minh với n ∈ ¢ thương phép chia A cho B bội số Bài 7: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + x + x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x − x + x − chia hết cho x + 3 2 Bài 8: Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia f(x) cho ( x + 1)( x + 1) Bài 9: Tìm dư chia x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + cho x − 100 Bài 10: Tìm đa thức dư chia đa thức x − x 51 + cho x − thuvienhoclieu.com cho thuvienhoclieu.com B HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Ta có: P( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 ( )( ) = x + 10 x + 16 x + 10 x + 24 + 2008 Đặt t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) , Biểu thức P ( x) viết lại P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2008 = t − 2t + 1993 Do chia t − 2t + 1993 cho t ta có số dư 1993 Bài 2: Tìm số dư phép chia biểu thức: ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Đặt P( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2012 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2012 Đặt x + 10 x + 21 = t Ta có: P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2012 = t − 2t + 1997 Vậy số dư phép chia 1997 Bài 3: Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 cho đa thức x + 10 x + 21 Lời giải Ta có: P( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2010 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2010 Đặt t = x + 10 x + 21, biểu thức P ( x) viết lại: P( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2010 = t − 2t + 1995 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Do chia t − 2t + 1995 cho t ta có số dư 1995 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 cho đa Bài 4: Tìm số dư phép chia biểu thức thức x + 10 x + 21 Lời giải P ( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2015 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) Đặt , biểu thức P ( x) viết lại P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) = t − 2t + 2000 Do chia t − 2t + 2000 cho t ta có số dư 2000 Bài 5: Tìm số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 Lời giải Ta có: ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = = ( x + 12 x + 27 ) ( x + 12 x + 35 ) + 2033 x + 12 x + 30 = t , ta Đặt có: ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = ( t − 3) ( t + ) + 2033 = t + 2t − 15 + 2033 = t ( t + ) + 2018 Vậy ta có ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 = ( x + 12 x + 30 ) ( x + 12 x + 32 ) + 2018 Vậy số dư phép chia ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) + 2033 cho x + 12 x + 30 2018 Bài 6: a)Tìm số dư phép chia đa thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 cho đa thức x + 10 x + 21 b)Cho A = n + 10n + n + 98n − 6n − 26 B = + n − n Chứng minh với n ∈ ¢ thương phép chia A cho B bội số Lời giải a) Ta có: P ( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2017 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2017 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) , biểu thức P ( x) viết lại: Đặt thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) = 2017 = t − 2t + 2002 Do chia t − 2t + 2000 cho t ta có số dư 2002 b) Thực phép chia , ta được: Thương A chia cho B n − 6n + 11n − Ta có: n3 − 6n + 11n − = n3 − n + 12n − 6n − = ( n − 1) n ( n + 1) + ( 2n − n − 1) Vì ( n − 1) n ( n + 1) Và ( 2n − n − 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho ⇒ Thương phép chia A cho B bội số Bài 7: a) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + cho x + x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x − x + x − chia hết cho x + Lời giải a) Đặt f ( x ) = ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + Ta có: A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 15 ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + 3 + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + 12 ) + − 15 = ( x + x + 12 ) ( x + x + 10 ) − Vậy số dư phép chia f ( x ) cho x + x + 12 −6 b) Thực phép chia đa thức B = x − x + x − cho C = x + , ta được: Đa thức thương: x − 2; đa thức dư: x − Suy : x − x + x − = ( x + 3) ( x − ) + x − Do BM ( x + 3) ⇔ ( x − 1) M( x + 3) Vì x ≠ vs (1) x ≠ −1 nên: thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com ( 1) ⇒ ( x − 1) ( x + 1) Mx + ⇒ ( 16 x − 1) M( x + 3) ⇒ 16 ( x + 3) + 49M( x + 3) ⇒ 49M( x + 3) Vì x + ≥ nên xảy hai trường hợp sau: • x + = 49, khơng có giá trị thỏa mãn x = 2(tm) •x2 + = ⇒ x2 = ⇔ x = −2(tm) Vậy x = ±2 Bài 8: Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x + dư x + Tìm phần dư chia f(x) cho ( x + 1)( x + 1) Lời giải Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia x + dư => f(-1) = 2 Do bậc đa thức chia ( x + 1)( x + 1) nên đa thức dư có dạng ax + bx + c Gọi thương q(x).Theo định nghĩa phép chia cịn dư, ta có : f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a Mà f(x) chia cho x + dư x + b = ⇒ c − a = (1) ⇒ Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = (2) Do ta có : b = b = b = c − a = ⇔ c − a = ⇔ c = a − b + c = a + c = a = x + 2x + Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: Bài 9: Tìm dư chia x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + cho x − Lời giải Đặt f ( x ) = x 2015 + x1945 + x1930 − x − x + thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Gọi thương chia Ta có: f ( x ) cho x − Q ( x), dư ax + b f ( x ) = ( x − 1) Q( x) + ax + b Đẳng thức với x nên - f = a + b ⇔ a + b = (1) Với x = ta ( ) f −1 = −a + b ⇔ −a + b = Với x = −1 ta được: ( ) Từ (1) (2) suy (2) a = 1, b = , Dư phải tìm x + 100 Bài 10: Tìm đa thức dư chia đa thức x − x 51 + cho x − Lời giải Gọi đa thức dư phép chia Khi ta có: ax + b x100 − x51 + = ( x − 1) H ( x ) + ax + b ( 1) Thay x = vào ( ) ta có: = a + b = a −b Thay x = −1 vào ( ) ta có: Từ suy (2) ( 3) a = 2; b = −2 Vậy số dư x − Dạng 2: Tìm Đa Thức f ( x) A.Bài tốn Bài 1: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 24, f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư Bài 2: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 22, f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư f x Bài 3: Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho x + dư 10, ( ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia cho x − thương −5x cịn dư Bài 4: Tìm đa thức chia cho f ( x ) , biết f ( x ) chia cho x + dư 5, f ( x) chia cho x + dư 7, f ( x ) ( x + 3) ( x + 5) thương 2x cịn dư B.Lời giải Bài 1: Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x ) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 24, f ( x) chia cho x − thương −5x dư thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Lời giải Giả sử f ( x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi : f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔ f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17 Do : f ( x) = ( x − ) ( −5 x) + x + 17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 47 x + 17 Bài : Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x + dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 22, f ( x) chia cho x − thương −5x dư Lời giải Giả sử f ( x) chia cho x − thương −5x cịn dư ax + b Khi đó: f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 22 2a + b = 22 a = ⇔ ⇔ f ( −2) = 10 −2a + b = 10 b = 16 Do đó: f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 16 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x ) = −5 x + 23 x + 16 f x Bài 3: Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho x + dư 10, ( ) chia cho x − dư 26, f ( x ) chia cho x − thương −5x dư Lời giải Giả sử f ( x ) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com f ( ) = 26 2a + b = 26 a = ⇔ ⇔ f ( −2 ) = 10 −2a + b = 10 b = 18 Do f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Vậy đa thức f ( x ) cần tìm f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Bài 4: Tìm đa thức chia cho f ( x ) , biết f ( x ) chia cho x + dư 5, f ( x) chia cho x + dư 7, f ( x ) ( x + 3) ( x + 5) thương 2x dư Lời giải f ( x ) = ( x + 3) A ( x ) + f ( x) = ( x + 5) B( x) + f ( x) = ( x + 3)( x + 5).2 x + mx + n Từ suy : f ( −3) = ⇒ −3m + n = f ( −5 ) = ⇒ −5m + n = Tìm m = −1; n = Thay vào ta có đa thức f ( x ) = x + 16 x + 29 x + Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức A.Bài tốn Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = Bài 2: Cho đa thức F ( x) = x + ax + b (với a, b ∈ ¡ ) Biết đa thức F ( x) chia cho x − dư 12, F ( x) chia cho x + dư −6 Tính giá trị biểu thức: B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) Bài 3: Cho a + b + c = a + b + c = Tính S = a + b Bài 4:Đa thức 2 f ( x) = 4x3 + ax + b 3 chia hết cho đa thức 2012 + c 2013 x − 2;x + Tính 2a − 3b Bài 5: Đa thức P ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P (5) = Q = P ( −2 ) + P ( ) Hãy tính giá trị biểu thức Bài 6: Đa thức f ( x ) = x + ax + b chia hết cho đa thức x − 2; x + Tính 2a − 3b thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Q x = x + x − Gọi Bài 7: Cho hai đa thức P ( x ) = x − x + x + 1, ( ) nghiệm Bài Tính P( x) Tính giá trị x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Q ( x1 ) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) : Đa thức bậc có hệ số cao thỏa mãn f ( 1) = 5; f ( ) = 11; f ( 3) = 21 f ( −1) + f ( 5) Bài 9: Cho đa thức P ( x) = x − x − 16 x + m a) Tìm m để P ( x) chia hết cho x + b) Với m vừa tìm câu a, tìm số dư chia P( x) cho 3x − phân tích thừa số bậc 1.2) Cho đa thức P( x ) = x + ax + bx + cx + dx + e Biết P(1) = 1; P (2) = 4; P (3) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P (7)? Bài 10: Cho a + b + c = 3abc với 3 a, b, c ≠ a b c P = + ÷ + ÷ + ÷ b c a Tính giá trị biểu thức M N 32 x − 19 + = Bài 11: Cho x + x − x − x − Tính M N ? B.Lời giải Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + - 8x2 + 8x + với x = Lời giải Thay x + ta có A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + – (x + 1)x2 + (x+1)x + = x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 + – x3 – x2 + x2 + x + = x + = +1 = Bài 2: Cho đa thức F ( x) = x + ax + b (với a, b ∈ ¡ ) Biết đa thức F ( x) chia cho x − dư 12, F ( x) chia cho x + dư −6 Tính giá trị biểu thức: B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) Lời giải Gọi thương phép chia F ( x) cho x − x + P ( x) Q ( x) Suy x + ax + b = ( x − 2) P ( x ) + 12 (1) x3 + ax + b = ( x + 1)Q ( x ) − (2) thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Thay x = vào (1) ta có + a + b = 12 ⇔ 2a + b = ⇔ 6a + 3b = 12 Thay x = −1 vào (2) ta có −1 − a + b = −6 ⇔ −a + b = −5 ⇔ −5a + 5b = 25 ⇒ B = (6 a + 3b − 11)(26 − 5a + 5b) = 1.1 = Bài 3: Cho a + b + c = a + b + c = Tính S = a + b 2 3 + c 2013 2012 Lời giải a + b + c = a3 + b3 + c3 = ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1] ⇒ a + b3 + c3 − ( a + b + c ) = a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) ≤ ⇒ a + b3 + c3 ≤ ⇒ a; b; c nhận hai giá trị ⇒ b 2012 = b ; c 2013 = c ⇒ S = a + b 2012 + c 2013 = Bài 4: Đa thức f ( x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức x − 2;x + Tính 2a − 3b Lời giải Đa thức f(x) = 4x3 + ax + b chia hết cho đa thức nên: x − 2;x + f ( 2) = ⇒ 32 + 2a + b = 0(1) f(−1) = ⇒ −4 − a + b = (2) Từ ta tìm a = −12;b = −8 ( 1) ( 2) Vậy 2a − 3b = Bài 5: Đa thức P ( x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P (5) = Q = P ( −2 ) + P ( ) Hãy tính giá trị biểu thức Lời giải Ta có: Nên P ( x)M ( x − 1), ( x − 3) , ( x − ) P ( x ) có dạng P ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x + a ) Khi đó: P (−2) + 7.P(6) = ( −3) ( −5 ) ( −7 ) ( −2 + a ) + 7.5.3.1 ( + a ) = −105.( −2 + a ) + 105.( + a ) = 105.( − a + + a ) = 840 Bài 6: Đa thức f ( x ) = x + ax + b chia hết cho đa thức x − 2; x + Tính 2a − 3b Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Cho f ( x) = ax + bx + c với Chứng tỏ với n ∈ ¥ * a, b, c số thỏa mãn 13a + b + 2c = f ( −2 ) f ( 3) ≤ (x Bài 8: Chứng minh rằng: m + x n + 1) mn − ) M chia hết cho x + x + ( x7 + x2 + Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 9: Chứng minh khơng có giá trị tự nhiên n để giá trị biểu thức 2n3 − 3n + n + chia hết cho giá trị biểu thức n − n A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 Bài 10: Chứng tỏ đa thức: với giá trị biến x không âm B.Lời giải Bài 1: Chứng minh rằng: f ( x) = ( x + x + 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho g ( x) = x − x Lời giải Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm x = 0; x = f (0) = ( −1) Ta có 2018 + 12018 − = nghiệm f(x) Suy f ( x) chứa thừa số x Ta có : f (1) = ( 12 + − 1) 2018 + ( 12 − + 1) 2018 − = ⇒ x =1 nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung f(x) chia hết cho x( x – 1) Vậy f ( x ) = ( x + x + 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho g ( x ) = x − x Bài 2:Chứng minh: a) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Lời giải a) F = ( x + x − 1) 2018 + ( x − x + 1) 2018 −2 chia hết cho ( x − 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta có : F = ( x + x − 1) Xét x = Vậy, 2018 + ( x − x + 1) r = ( 12 + − 1) F = ( x + x − 1) 2018 2018 2018 − = ( x − 1) Q ( x ) + r + ( 12 − + 1) + ( x − x + 1) 2018 −2 2018 −2= chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N G = x8 n + x n + = x8 n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) Ta có: (1) x n + x n + = x n + x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( ) Mặt khác, Từ (1) (2) suy G = x8 n + x n + = ( x n + x n + 1) ( x n − x n + 1) ( x n − x n + 1) 8n 4n 2n n Vậy, G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Bài 3: Chứng minh rằng: 95 94 93 a) Đa thức M = x + x + x + + x + x + chia hết cho đa thức N = x 31 + x30 + x 29 + + x + x + x3 x2 x P ( x ) = 1985 + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên b) Đa thức Lời giải 95 94 93 a) Ta có: M = x + x + x + + x + x + = x 64 ( x31 + x 30 + + x + x + 1) + x 32 ( x 31 + x 30 + + x + x + 1) + ( x 31 + x 30 + + x + x + 1) = ( x 31 + x30 + + x + x + 1) ( x 64 + x 32 + 1) (x M 31 + x 30 + + x + x + 1) Vậy, M MN (đpcm) b)Ta có: P ( x ) = 1985 x3 x2 x + 1979 + = ( 661x + 989 x + x ) + ( ( x − 1) x ( x + 1) + 3x.x ( x + 1) ) 661x3 + 989 x + x ∈ Z x − 1) x ( x + 1) + 3x ( x + 1) x ∈ Z Với , cịn ( số ngun chia hết cho Từ suy P ( x) có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 4: Chứng minh n + 17 n chia hết cho với n ∈ ¢ thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải n3 + 17n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n Vì n ( n − 1) ( n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, ( 2,3) = nên chia hết cho 18nM , suy điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh với số nguyên a a + 5a chia hết cho Lời giải a + 5a = a − a + 6a = a ( a − 1) + 6a = a ( a − 1) ( a + 1) + 6a Vì a (a − 1)( a + 1) tích số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho mà ( 2,3) = nên a ( a − 1) ( a + 1) chia hết cho 6a chia hết cho Nên a + 5a chia hết cho Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M Bài 6: Chứng minh rằng: với n ∈ ¥ * Lời giải Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) 3 = n3 + ( n3 + 3n + 3n + 1) + ( n3 + 6n + 12n + ) = ( n3 + 3n + 5n + 3) Đặt C = n + 3n + 5n + = n + n + 2n + 2n + 3n + 3 2 = n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) + ( n + 1) Ta thấy Và n ( n + 1) ( n + ) chia hết cho 3( tích số tự nhiên liên tiếp) ( n + 1) M ⇒ C chia hết cho Nên Q = 3C chia hết cho Bài 7: Cho f ( x) = ax + bx + c với Chứng tỏ a, b, c số thỏa mãn 13a + b + 2c = f ( −2 ) f ( 3) ≤ thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải f ( −2 ) = 4a − 2b + c; f ( 3) = 9a + 3b + c Có f ( −2 ) + f ( 3) = 13a + b + 2c = nên: Hoặc: f ( −2 ) = f ( 3) = ⇒ f ( −2 ) f ( 3) = (1) Hoặc : f ( −2 ) f ( 3) hai số đối ⇒ f ( −2 ) f ( 3) < (2) Từ ( 1) ( ) f ( −2 ) f ( 3) ≤ (x Bài 8: Chứng minh rằng: m + x n + 1) mn − ) M chia hết cho x + x + ( Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Lời giải Đặt m = 3k + r với 0≤r ≤2 ; n = 3t + s với ≤ s ≤ ⇒ x m + x n + = x k + r + x3t + s + = x k x r − x r + x 3t x s − x s + x r + x s + = x r ( x 3k − 1) + x s ( x 3t − 1) + x r + x s + (x Ta thấy: (x Vậy m 3k − 1) M ( x2 + x + 1) (x 3t − 1) M ( x2 + x + 1) + x n + 1) M ( x + x + 1) ⇔ ( x r + x s + 1) M ( x2 + x + 1) với ≤ r, s ≤ ⇔ r = s = ⇒ m = 3k + n = 3t + r = s = ⇒ m = 3k + n = 3t + ⇔ mn − = ( 3k + ) ( 3t + 1) − = 9kt + 3k + 6t = ( 3kt + k + 2t ) mn − = ( 3k + 1) ( 3t + ) − = 9kt + 6k + 3t = ( 3kt + 2k + t ) ⇒ ( mn − ) M 3, Điều phải chứng minh Áp dụng: m = 7, n = ⇒ mn − = 12M ⇒ ( x + x + 1) M ( x + x + 1) ⇒ ( x + x + 1) : ( x + x + 1) = x + x + x + x + n để giá trị biểu thức Bài 9: Chứng minh khơng có giá trị tự nhiên 2n3 − 3n + n + chia hết cho giá trị biểu thức n − n Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chia 2n − 3n + n + cho n − n dư 3 Vì n − n = n ( n − 1) 2 số chẵn nên n ( n − 1) ∉Ư(3) A = ( x + 1) + ( x + 1) + 21( x + 1) − x − 31 Bài 10: Chứng tỏ đa thức: với giá trị biến x không âm Lời giải A = y + y + 21 y − y − 30 = = ( y − 1) ( y + ) ( y + ) ( y + ) Đặt x + = y , ta có: Khi đó, A = x ( x + 3) ( x + ) ( x + ) ≥ với giá trị x (Đpcm ) Dạng 5: Xác định số A.Bài toán 3 Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm đa thức bậc ba dư P ( x) , biết chia P ( x) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) P ( −1) = −18 f k = k + 2k + 15 g k = k +3 Bài 2:Tìm tất số tự nhiên k để đa thức ( ) chia hết cho ( ) Bài 3:Xác định số hữu tỉ a b cho: a) x + chia hết cho x + ax + b ; ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho f x = x + ax + b Bài 4:Xác định hệ số hữu tỉ a b cho ( ) chia hết cho g ( x ) = x2 − x + Bài 5: Tìm số nguyên a b để đa thức A( x) = x − x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + 2 Bài 6: Tìm a, b cho f ( x) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − f ( x ) = x − x − 3x − chia hết cho x Bài 7: Tìm giá trị nguyên để đa thức g ( x) = x + x + Bài 8: Cho đa thức f ( x ) = x − x + 3x − Với giá trị nguyên x giá trị đa 2 thức f ( x) chia hết cho giá trị đa thức x + ( 21x − x3 + x + x + a ) M( x − x − ) Bài 9: Tìm giá trị a để thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 10: Tìm a nguyên để a − 2a + a − chia hết cho a + 3 2 B biết A = 10 x − x − B = x − Bài 11: Tìm giá trị nguyên x để AM Bài 12: a) Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − b) Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố Bài 13: Tìm tất số nguyên n cho: 4n3 + n + chia hết cho 2n + n + h = 2; h ( ) = Bài 14: Cho đa thức h( x ) bậc 4, hệ số bạ cao 1, biết ( ) ; h ( ) = 17; h ( −3) = 10 Tìm đa thức h ( x) Bài 15: Cho đa thức A = ax + bx + c Xác định hệ số b biết chia A cho x − , chia A cho x + có số dư x − a ) ( x − 10 ) + Bài 16: Với giá trị a b đa thức ( phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên x − 16 A = x Bài 17: Tìm đa thức A, biết x + x Bài 18: Tìm tất số nguyên dương n cho n +2 ước số n + 206 Bài 19: ( ) x3 x2 − − 36x a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Dựa vào kết chứng minh : ( ) A = n3 n2 − − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n − x − 2x A= + − : 2 ÷ − x + x − x x −1 Bài 20: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=A c) Tìm x để Bài 21: Đa thức P ( x ) = 1985 A nhận giá trị nguyên x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 22: Cho biểu thức E= a3 a2 a + + 24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên B.Lời giải 3 Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z b) Tìm đa thức bậc ba dư P ( x) , biết chia P ( x) cho ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) P ( −1) = −18 Lời giải 3 a) Gọi thương phép chia A = x + y + z + kxyz cho đa thức x + y + z Q , ta có : x + y + z + kxyz = ( x + y + z ) Q Đẳng thức với x, y , z nên với x = 1, y = 1, z = −2 ta có: 13 + 13 + ( −2 ) + k ( −2 ) = ( + − ) Q ⇒ −6 − 2k = ⇒ k = −3 3 3 Vậy, A = x + y + z + kxyz chia hết cho đa thức x + y + z k = −3 b) Từ đề suy Do đó, P ( x) − P ( x) − chia hết cho chia hết cho ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) P ( x ) − = m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Đặt Suy Vậy, P x với m ∈ Q ( ( ) có bậc ba ) P ( x ) = + m ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) Theo giả thiết P ( −1) = −18 ( x − 1) , cho ( x − ) , cho ( x − 3) , với m ∈ Q −18 = + ( −2 ) ( −3) ( −4 ) m ⇒ m = P ( x ) = + ( x − 1) ( x − ) ( x − ) f k = k + 2k + 15 g k = k +3 Bài 2:Tìm tất số tự nhiên k để đa thức ( ) chia hết cho ( ) Lời giải ĐKXĐ: k ≠ −3 Áp dụng định lí Bézout: Số dư Để f ( x) f ( x) chia cho chia hết cho g ( x) g ( x) f ( −3) = −27 + 18 + 15 = k ∈{ 0;3} 6Mk + , suy Bài 3:Xác định số hữu tỉ a b cho: a) x + chia hết cho x + ax + b ; ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải a) x + chia hết cho x + ax + b ; Ta có: x4 + = x4 + 4x2 + − 4x2 = ( x2 + 2x + 2) ( x2 − x + 2) Do đó, để x + chia hết cho x + ax + b a = ±2, b = ( x − 1) b) ax + bx + chia hết cho ( x − 1) thương có dạng ( ax + cx + 1) Ta có ax + bx + chia hết cho ax + bx3 + = ( x − x + 1) ( ax + cx + 1) Ta viết: Tính (x với x − x + 1) ( ax + cx + 1) = ax + cx + x − 2ax − 2cx − x + ax + cx + = ax + ( c − 2a ) x + ( − 2c + a ) x + ( −2 + c ) x + Khi đó, ax + bx + = ax + ( c − 2a ) x + ( − 2c + a ) x + ( −2 + c ) x + Đồng thức hai vế, ta với x b = c − 2a a = 1 − 2c + a = ⇔ b = −4 −2 + c = c = Vậy, a = 3, b = −4 Bài 4:Xác định hệ số hữu tỉ a b cho g ( x ) = x2 − x + f ( x ) = x + ax + b chia hết cho Lời giải Phép chia hết f ( x ) = x + ax + b h ( x ) = x + cx + b cho g ( x ) = x2 − x + Ta viết x + ax + b = ( x − x + 1) ( x + cx + b ) Ta có: (x có đa thức thương dạng với x − x + 1) ( x + cx + b ) = x + c x + bx − x − cx − bx + x + cx + b = x + ( c − 1) x3 + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b Suy x + ax + b = x + ( c − 1) x + ( b − c + 1) x + ( −b + c ) x + b với x Đồng thức hai vế, ta được: c − = 0, b − c + = a , − b + c = Suy a = b = c = Vậy, a = b = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 5: Tìm số nguyên a b để đa thức A( x) = x − 3x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Lời giải Ta có: A( x) = B ( x).( x − 1) + ( a − 3) x + b + B ( x) Để A( x )M a − = a = ⇔ b + = b = −4 Bài 6: Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − 2 Lời giải Ta có: g ( x ) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) g x = x2 + x − Vì f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức ( ) Nên tồn đa thức q ( x) cho f ( x ) = g ( x).q ( x) ⇒ ax + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − ( ) Với x = −2 ⇒ 2a − b + = ( ) Thay ( 1) vào ( ) ta có: a = −4 b = −2 Bài : Tìm giá trị nguyên x để đa thức f ( x) = x3 − x − x − 1chia hết cho g ( x) = x + x + Lời giải Thực phép chia x − 3x − x − cho x + x + Ta thương Để 2 x − 4, dư f ( x ) Mg ( x ) 3Mx + x + mà x + x + > nên x2 + x + = x = −1; x = ⇔ x + x + = x = 1; x = −2 Vậy x ∈ { 0; −1;1; −2} f ( x ) Mg ( x ) f ( x ) = x − x + 3x − Với giá trị nguyên x giá trị đa Bài 8: Cho đa thức thức f ( x) chia hết cho giá trị đa thức x + Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chia f ( x) cho x + thương x − dư x + 2 Để f ( x ) chia hết cho x + x + chia hết cho x + ⇒ ( x + ) ( x − ) chia hết cho x + ⇒ x − chia hết cho x + ⇒ x + − chia hết cho x + 2 ⇒ chia hết cho x + mà x + ≥ ⇒ x + ∈ { 3;6} ⇒ x ∈ { ±1; ±2} Thử lại ta thấy Vậy với x = 1; x = −2 thỏa mãn x = 1; x = −2 f ( x) chia hết cho x + ( 21x − x3 + x + x + a ) M( x − x − ) Bài 9: Tìm giá trị a để Lời giải Thương: x − x + 15 dư: a + 30 Phép chia hết nên a + 30 = ⇒ a = −30 Bài 10: Tìm a nguyên để a − 2a + a − chia hết cho a + 3 2 Lời giải Thực phép chia a − 2a + a − cho a + kết quả: 2 a3 − 2a + 7a − = ( a + 3) ( a − ) + ( 4a − 1) Để phép chia hết 4a − phải chia hết cho a + ( 4a − 1) M( a + 3) ⇒ ( 4a − 1) ( 4a + 1) M ( a + ) ( a ∈ ¢ ⇒ 4a + ∈ ¢ ) ⇒ ( 16a − 1) M ( a + 3) ⇒ 49M ( a + 3) Tìm a, thử lại kết luận a ∈ { −2;2} B biết A = 10 x − x − B = x − Bài 11: Tìm giá trị nguyên x để AM Lời giải A 10 x − x − = = 5x + + 2x − 2x − Xét B thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ∈ ¢ ⇒ 7M ( x − 3) B x − với x ∈ ¢ AM Mà Ư(7)= { −1;1; −7;7} ⇒ x ∈ { 5; −2;2;1} AMB Bài 12: a) Tìm a, b cho f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x) = x + x − b) Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố Lời giải a) Ta có: g ( x) = x + x − = ( x − 1) ( x + ) Vì f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − 2 f ( x) = g ( x ) q ( x ) Nên tồn đa thức q ( x ) cho ⇒ ax + bx + 10 x − = ( x + ) ( x − 1) q( x) Với x = ⇒ a + b + = ⇒ b = − a − Với x = −2 ⇒ 2a − b + = Thay (1) vào (2), ta có: b) Ta có: (1) (2) a = 2; b = a + = ( a − 2a + ) ( a + 2a + ) Vì a ∈ ¢ ⇒ a − 2a + ∈ ¢; a + 2a + ∈ ¢ 2 a + 2a + = ( a + 1) + ≥ 1∀a Có: a − 2a + = ( a − 1) + ≥ 1(∀a ) a + 2a + = a = 1(tm) ⇔ a − a + = a = −1(tm) Vậy a + số nguyên tố Bài 13: Tìm tất số nguyên n cho: 4n3 + n + chia hết cho 2n + n + Lời giải 4n + n + = 2n − + 2 2n + n + Ta có: 2n + n + Vì n số nguyên nên 2n − số nguyên Do để 4n + n + chia hết cho 2n + n + 2n + n + phải ước số 1 1 7 2 n + n + = n + n + = n + ÷ + > 2 16 Mặt khác: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Do đó: 2n + n + = 2n + n + = 2n + n + = 2 n = n = −1 n = Giải trường hợp suy ra: h = 2; h ( ) = Bài 14: Cho đa thức h( x) bậc 4, hệ số bạ cao 1, biết ( ) ; h ( ) = 17; h ( −3) = 10 Tìm đa thức h( x) Lời giải g = 2; g ( ) = 5; g ( ) = 17; g ( −3 ) = 10 Xét g ( x ) = x + 1có ( ) Ta có f ( x) = h( x) − g ( x) f ( x) bậc hệ số x f ( 1) = f ( ) = f ( ) = f ( −3) ⇒ f ( x) = ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x + 3) ⇒ f ( x) = ( x − x + ) ( x − x − 12 ) = x − x3 − x + 34 x − 24 ⇒ h( x) = x − x − x + 34 x − 23 Vậy h( x ) = x − x − x + 34 x − 23 Bài 15: Cho đa thức A = ax + bx + c Xác định hệ số b biết chia A cho x − , chia A cho x + có số dư Lời giải Giả sử A = ax + bx + c = ( x − 1) P + R (1) A = ax + bx + c = ( x + 1) Q + R (2) Cho x = từ ( ) ta có: a + b + c = R Cho x = −1 từ ( ) ta có: a − b + c = R Do : a + b + c = a − b + c ⇔ 2b = ⇒ b = x − a ) ( x − 10 ) + Bài 16: Với giá trị a b đa thức ( phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Lời giải Giả sử : ( x − a ) ( x − 10 ) + = ( x − m ) ( x − n ) ( m, n ∈ ¢ ) ⇔ x − ( a + 10 ) x + 10a + = x − ( m + n ) x + mn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com m + n = a + 10 ⇔ mn = 10a + Khử a ta có: mn = 10 ( m + n − 10 ) + ⇔ mn − 10m − 10n + 100 = ⇔ m( n − 10) − 10( n − 10) = m − 10 = m − 10 = −1 a = 12 & ⇒ n − 10 = n − 10 = − m , n a = Vì ngun ta có: x − 16 A = x Bài 17: Tìm đa thức A, biết x + x Lời giải A= x ( x − 16 ) x + 2x = x ( x − ) ( x + ) x( x − 2)( x + 2) = = 4( x − 2) = x − x ( x + 2) x ( x + 2) Bài 18: Tìm tất số nguyên dương n cho n +2 ước số n + 206 Lời giải n6 + 206 n6 + + 198 n + 206 ⇔ ∈¢ ⇔ ∈¢ n +2 n2 + n + ước số ⇔ n + 2n + + Điều nảy xảy 198 ∈¢ n2 + ước nguyên dương 198 = 2.3 11 gồm: n2 + 2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 Từ ta tìm n ∈ { 1;2;3;4;8;14} Bài 19: ( ) x3 x2 − − 36x a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Dựa vào kết chứng minh : ( ) A = n3 n2 − − 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ( ) ( ) 2 a) x3 x2 − − 36x = x x3 − 7x − 36 ( )( ) ( )( ) = x x3 − 7x − x3 − 7x + = x x3 − x − 6x − x3 − x − 6x + = x ( x + 1) ( x − 1) ( x − 3) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 3) b) Theo phần a ta có: ( ) A = n3 n2 − − 36n = ( n − 3) ( n − 2) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) Đây tích số ngun liên tiếp nên có 2, bội 3, bội 5, bội Mà ( 2,3,5,7) = 1nên A M( 2.3.5.7) ⇒ A M210 − x − 2x A= + − : 2 ÷ − x + x − x x −1 Bài 20: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=A c) Tìm x để A nhận giá trị nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x ≠ ±1; x ≠ + x + ( − x ) − ( − x ) x2 − A= ÷ − x2 − 2x −2 x − = = − x2 − 2x − x b) A nguyên, mà x nguyên nên 2M( − x ) , từ tìm x = 1( ktm) x = 0(tm) Vậy x = c) Ta có: A = A ⇔ A ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < Kết hợp với điều kiện : Bài 21: Đa thức −1 ≠ x < P ( x ) = 1985 2 x3 x2 x + 1979 + có giá trị nguyên với x số nguyên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải x3 x2 x P ( x ) = 1985 + 1979 + Ta có: = ( 661x + 989 x + x ) + ( ( x − 1) x ( x + 1) + 3x.x ( x + 1) ) 661x + 989 x + x ∈ Z x − 1) x ( x + 1) + 3x ( x + 1) x ∈ Z Với , cịn ( số nguyên chia hết cho Từ suy P ( x) có giá trị nguyên với x số nguyên Bài 22: Cho biểu thức E= a3 a2 a + + 24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị ngun Lời giải Vì a số tự nhiên chẵn nên a = 2k , k ∈ N a a a 8k 4k 2k 2k + 3k + k k ( k + 1) ( 2k + 1) E= + + = + + = = = 24 12 24 12 6 Do Ta có: k ( k + 1) M2 ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M2 Ta cần c/m: k ( k + 1) ( 2k + 1) M3 Thật vậy: k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n, n ∈ N ⇒ k M3 ( 2k + = ( 3n + 1) + = 6n + 3M k k + 1) ( 2k + 1) M3 + Nếu k = 3n + 1, n ∈ N ⇒ ( k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n + 2, n ∈ N ⇒ k + = 3n + 3M3 ( Mà Vậy, ( 2,3) = ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M6 E= a3 a2 a + + 24 12 có giá trị nguyên với a số tự nhiên chẵn thuvienhoclieu.com Trang ... 20 18 + ( x − x + 1) r = ( 12 + − 1) F = ( x + x − 1) 20 18 20 18 20 18 − = ( x − 1) Q ( x ) + r + ( 12 − + 1) + ( x − x + 1) 20 18 −2 20 18 −2= chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia. .. x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho x + x + , với n ∈ N Lời giải a) F = ( x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho... + x + 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho g ( x) = x − x Bài 2: Chứng minh: a) F = ( x + x − 1) 20 18 + ( x − x + 1) 20 18 −2 chia hết cho ( x − 1) 8n 4n 2n n b) G = x + x + chia hết cho
Ngày đăng: 12/10/2022, 19:54
Xem thêm:
