PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

ƠN TẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH A Lý thuyết Phương trình dạng: Mở rộng:  A( x) = A( x).B( x) = ⇔   B( x) =  A1 ( x) =  A ( x) = A1 ( x) A2 ( x) An ( x) = ⇔     An ( x ) = Giải phương trình đưa dạng tích: - Chuyển tất hạng tử sang vế trái để vế phải - Phân tích vế trái thành nhân tử - Giải phương trình thu Chú ý: Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm, phương trình bậc nghiệm B Bài tập Dạng 1: Giải phương trình tích Cách giải: Áp dụng cơng thức  A( x) = A( x).B( x) = ⇔   B( x) = Bài 1: Giải phương trình sau a ( 3x − ) ( x + 1) = b c (x ) + ( x − 1) = ( x + ) ( x + 3) ( x − ) = Lời giải n có khơng n a)  x= 3 x − =  ⇔ ( 3x − ) ( x + 1) = ⇔   x +1 =  x = −1 Vậy phương trình có tập nghiệm (x  2 S = −1;   3 ) + ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = b) Vậy phương trình có tập nghiệm c) Vậy phương trình có tập nghiệm 1  S =  2 ( x + 3) ( x + 3) ( x − 5) = ⇔ x ∈ −3;  −3  ;5   −3   S = −3; ;5   Bài 2: Giải phương trình sau ( x − 1) a x − 10 x + 12 + ( x − 1) − ( x − 1) x = 10 b ( x − 3) ( x + 1) ( − x ) ( x + ) = x + 4x  − ÷=   ( x + )  c 3x + x −  − ÷= 12   ( x + 3)  d Lời giải ( x − 1) a) x − 10 x + 12  x − 10 x + 12  + ( x − 1) − ( x − 1) x = ⇔ ( x − 1)  + − x ÷= 10 6  10  ⇔ ( x − 1) ( 15 x − 30 + 15 x + 60 − 30 x ) = ⇔ x − = ⇔ x = 2 Vậy phương trình có tập nghiệm 1  S =  2 ( x − 3) ( x + 1) ( − x ) ( x + ) = ⇔ x ∈ 7;3;  b) Vậy phương trình có tập nghiệm −1   2 −1   S = 7;3;  2  x + 4x  − ÷ = ⇔ ( x + ) ( x + 15 − x ) = ⇔ x ∈ { −7;3}   ( x + )  c) Vậy phương trình có tập nghiệm d) S = { −7;3}   ⇔ ( x + ) ( x + 21 − x + 3) = ⇔ ( x + ) ( x + 24 ) = ⇔ x ∈ − ; −3   Vậy phương trình có tập nghiệm   S =  − ; −3   Dạng : Đưa phương trình tích dạng đơn giản Cách giải: Ta thực theo bước sau - Biến đổi phương trình cho dạn phương trình tích - Áp dụng công thức:  A( x) = A( x).B ( x) = ⇔   B( x) = Bài 1: Giải phương trình sau a c x(3 x − 2) − ( x + 1)(3x − 2) = b ( x + 1)(3 − x) + x = d Lời giải ( x − 2)( x − x + 5) = x − x 3x − x − = a b x = ⇔ (3 x − 2)( x − 1) = ⇔  x =  Vậy phương trình có tập nghiệm x = ⇔ ( x − 2)( −3 x + 5) = ⇔   x = −5  ⇔ (3 − x)( c x = x +1 − 1) = ⇔  x =1  2 S = 1;   3 Vậy phương trình có tập nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm  −5  S =  2;   3 S = { 1;3} x = 3x − x − = ⇔ ( x − 1)(3x + 1) = ⇔   x = −1  d Vậy phương trình có tập nghiệm  −1  S = 1;   3 Bài 2: Giải phương trình sau a c ( x − 1) + ( x − 3) ( x − 1) = b ( x + 1) ( − x ) + x = d ( x − 5) ( x + ) = x − x x2 − 5x + = Lời giải a) Ta có  x = 2 x − + x − x − = ⇔ x − x − + x − = ⇔ x − x − = ⇔ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )  x =  Vậy phương trình có tập nghiệm 1 4 S = ;  2 3 4 b) x = ( x − 5) ( x + ) = x − x ⇔ ( x − 5) ( x + ) = x ( x − ) ⇔ ( x − 5) ( x + ) = ⇔   x = −4 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 5; −4} x =1 ( x + 1) ( − x ) + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( − x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( − x ) = ⇔  x=  c) Vậy phương trình có tập nghiệm d)  1 S = 1;   2 x = x − x + = ⇔ ( x − ) ( x − 3) = ⇔  x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 2;3} Bài 3: Phân tích vế trái thành nhân tử giải phương trình sau a c e x3 − 3x + = b x + x3 − x + x − = d ( x + 1) ( x + 2) + ( x − 1) ( x − 2) = 12 f x3 + x − = x + x + x + 5( x + 1) = x − x3 − x + x + = Lời giải a b c x = ⇔ ( x − 1) ( x + 2) = ⇔   x = −2 Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = S = { 1; −2} Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1;} ⇔ x + x3 + x + x + x + = ⇔ ( x + x + 1)( x + 5) = ⇔ x ∈∅ Vậy phương trình vô nghiệm d x =1 ⇔ ( x − 1)( x + 3)( x − x + 1) = ⇔   x = −3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1; −3} ⇔ x + 10 x − 12 = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x − 6) = ⇔ x = e Vậy phương trình có tập nghiệm f S = { 1} ⇔ x − x + x3 − x − x + x − x + = ⇔ ( x − 1)(6 x + x − x − 1) = −1 ⇔ ( x − 1)( x + 1)(6 x − x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x + 1)(2 x − 1)(3x + 1) = ⇒ x ∈ {1;-1; ; } Bài 4: Cho phương trình x2 − m = ( 2m + 1) ( m − 1) x 16 Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x=4 Lời giải Vì x=4 nghiệm nên thay vào phương trình ta  −3  − m = ( 2m + 1) ( m − 1) ⇔ ( − m ) ( 4m + 3) = ⇔ m ∈ 1;   4 Bài 5: Tìm giá trị tham số a để phương trình − a − t = 2a ( a + ) 5−t nhận t =3 làm nghiệm Lời giải Thay t =3 vào phương trình ta được: −1   − a − = 2a ( a + ) ⇔ 2a ( a + ) + a + = ⇔ ( a + ) ( 2a + 1) = ⇔ a ∈ −2;  2  Dạng 3: Đưa phương trình tích cách sử dụng đẳng thức Cách giải: Ta thực theo hai bước sau có: Bước 1: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ cách hợp lý đưa phương trình cho dạng phương trình tích  A( x) = A( x).B( x) = ⇔   B ( x) = Bước 2: Áp dụng công thức: Bài 1: Giải phương trình sau a ( x − 2) b ( ( )( ) x2 + x − x + = x − + ( x − 1) − x c = ( x + 3) ) =0 d x3 = ( x + 1) − ( x + 1) + Lời giải ( x − 2) = ( x + 3) a)  x = −5 ⇔ ( − x − ) ( x + 1) = ⇔   x = −1  x = −  x + x − x + = ⇔ x + 3x − = ⇔   x = ( b) )( ) d) )( ) x = x − + ( x − 1) − x = ⇔ ( x − 1) ( x + 3) = ⇔   x = −3 ( c) ( ) x3 x3 2 x  = ( x + 1) − ( x + 1) + ⇔ = ( x + − 1) ⇔ x  − 1÷ = ⇔ x ∈ { 0; 2} 2 2  Bài 2: Giải phương trình sau ( x − 3) a c − ( x + 2) = b ( x − ) ( x + 1) + x = ( x + 1) x + = ( x + 1) ( x − ) d 3 = x2 + x + Lời giải ( x − 3) a) b) c) −1   x−3  x −   − ( x + 2) = ⇔  − x − ÷ + x + ÷ = ⇔ x ∈ −7;  3     ( x − ) ( x + 1) + x = ⇔ ( x − ) ( x + + x + ) = ⇔ x ∈ { 2; −1} ( ) x3 + = ( x + 1) ( x − ) ⇔ ( x + 1) x − x + − x + = ⇔ x ∈ { −1; ±2} ( x + 1) d) =x ( x + 1) + 2x +1 ⇔ 3 2  x +1  = ( x + 1) ⇔ ( x + 1)  − ÷ = ⇔ x ∈ { −1; 2}   Bài 3: Giải phương trình sau a c ( x + 1) − ( 1− x) = ( x + 1) b x + 3x + x + = d − ( x + 1) = x3 + 3x + 3x + = Lời giải ( x + 1) ( a) Cách khác: ( x + 1) b) c) ) ( ) − ( − x ) = ⇔ x +3 x + 3x + − − x + 3x + x = ⇔ x x + = ⇔ x = ( x + 1) − ( − x ) = ⇔ ( x + 1) = ( − x ) ⇔ x + = − x ⇔ x = 3 − ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + 1) −  = ⇔ ( x + 1) ( x − ) ( x + ) = ⇔ x ∈ { −4; −1; 2}   x3 + x + x + = ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + 1) + 3 = ⇔ x = −1   ( ) x + 3x + x + = ⇔ ( x ) + ( x + 1) = ⇔ ( 3x + 1) x + = ⇔ x = 3 d) −1 Bài 4: Giải phương trình sau a ( x + 2) + ( x + 1) = b ( x − 2) − ( x − 2) = c x − x + 11x − = d x − x + 12 x − = Lời giải a) ( x + 3) ( x + ) 2 − ( x + ) ( x + 1) + ( x + 1)  = ⇔ ( x + 3) ( x + x + − x − x − + x + x + 1) =  ( ) ( ) ⇔ ( x + 3) x + x + − x − 3x − + x + x + = ⇔ ( x + 3) x + x + = ⇔ x = ( x − 2) b) c) d) −3 2 − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x − ) −  = ⇔ ( x − ) ( x − x ) = ⇔ x ∈ { 0; 2; 4}   x3 − x + 11x − = ⇔ x ∈ { 1; 2;3} x − x + 12 x − = ⇔ x = Dạng 4: Đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp khác Cách giải: Phát giống nhau, tương đồng phương trình đặt ẩn phụ để đơn giản phương trình Bài 1: Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ a c ( x − x) − 4( x − x) + = b ( x − x) + 5( x − x) + = d (2 x + 1) − x − = ( x − x − 1)( x − x ) − = Lời giải a Đặt t = x − x ⇒ t − 4t + = ⇔ (t − 2) = ⇔ t = ⇒ x − x = ⇔ x = −1; x =  x = −1 t = −1  t = 2x +1 ⇒ t − t − = ⇔  ⇔ x = t = 2  a Đặt c d ( x − x) + 5( x − x) + = ⇔ t + 5t + = ⇔ t ∈ { −2; −3} ⇔ x ∈{1;2} ( x − x − 1)( x − x ) − = ⇔ ( t − 1) t − = ⇔ t − t − = ⇔ t ∈ { −1; 2} ⇔ x ∈ {-1;2} Bài 2: Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ a c ( x − x) + 2( x − x) + = (x )( ( − 2x ) b ) + 2x + x2 + 2x + = d + x − 10 = ( ) x ( x − 1) x − x + − = Lời giải ( x − x) + 2( x − x) + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 ⇒ x − x = −1 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = a) b) ( − 2x ) + x − 10 = ⇔ ( − x ) − ( − x ) − = ⇔ t − 2t − = ⇔ t − 2t + = 2 7  ⇔ ( t − 1) = 32 ⇔ t ∈ { −2; 4} ⇔ x ∈  ;  2 2 c) (x )( ) + x + x + x + = ⇔ ( t + ) t = ⇔ t + 2t − = ⇔ t ∈ { 1; −3} ⇔ x ∈ { 0; 2} Bài 3: Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ a c (2 x − x + 1) − 3(2 x − x − 3) − 16 = b ( x − 1).x.( x + 4)( x + 5) − 84 = ( x − x + 1)4 − 10 x ( x − x + 1) + x = Lời giải a b c  x = 0; x =   x − 3x =  y = −1 ⇔ y − 3( y − 4) − 16 = ⇔ ( y + 1)( y − 4) = ⇔  ⇔ ⇔ y =  x = −1; x =  x − 3x − =  vonghiem  y = −7 ⇔ ( x + x )( x + x − 5) − 84 = ⇔ y − y − 84 = ⇔  ⇔ ⇔ x ∈ {2;-6}  y = 12  x + x − 12 = t = x ( x − x + 1) − x = ⇔ t − 10 x 2t + x = ⇔ (t − x )(t − x ) = ⇔  ⇔  2 2 t = x ( x − x + 1) − x = 10 +) +) ( x − x + 1) − x = ⇔ ( x − 1)2 ( x + 1) = ⇔ x =  x = −1 ( x − x + 1) − x = ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − 2) − 3 = ⇔  x = ± BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải phương trình sau a x + (2 x + 5)( x − 10) − =0 x − x = x − 3x c b 2 d (4 x − 1)( x + 5) = x − 25 x x( x + 3)3 − ( x + 3) = Hướng dẫn giải x ∈{ a c -5 21 ; } 2 x ∈ {-5; b x ∈ {3;0; } x ∈{ d -4 } -5 −7 ; } 2 Bài 2: Giải phương trình sau a c ( x − 1) = (2 x + 5) b x + = −2 x ( x + 2) d Lời giải 11 ( x − 3)3 = x2 − x + 4x2 + 8x − = x ∈ {-6; a c −4 } b x = −2 d x ∈{2;4} -5 x ∈{ ; } 2 Bài 3: Giải phương trình sau a x4 + x2 + 6x − = b x − 3x3 + x − x + = Lời giải a b ⇔ x − x3 + x3 − x + x − x + x − = ⇔ ( x − 1)( x + 2)( x − x + 4) = ⇒ x ∈ {1;-2} ⇔ ( x − 1)( x − 3)( x + x + 3) = ⇔ x ∈ {1;3} Bài 4: Giải phương trình sau a c ( x − x) − 6( x − x) + = b ( x + 3)2 ( x + x + 1) = d (4 x − 5) + 7(4 x − 5) − = x(8x − 1)(8 x − x + 2) − 126 = Lời giải a c x ∈ {-1;3} b -3 x ∈{ ; } x ∈{ x = {-6;0} d 12 -7 ;1} ... phương trình tích dạng đơn giản Cách giải: Ta thực theo bước sau - Biến đổi phương trình cho dạn phương trình tích - Áp dụng công thức:  A( x) = A( x).B ( x) = ⇔   B( x) = Bài 1: Giải phương trình. .. Dạng 3: Đưa phương trình tích cách sử dụng đẳng thức Cách giải: Ta thực theo hai bước sau có: Bước 1: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ cách hợp lý đưa phương trình cho dạng phương trình tích  A( x)... Vậy phương trình có tập nghiệm d)  1 S = 1;   2 x = x − x + = ⇔ ( x − ) ( x − 3) = ⇔  x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 2;3} Bài 3: Phân tích vế trái thành nhân tử giải phương trình