Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính và một số phương pháp giải

Bài viết trình bày lý thuyết tổng quan về phương trình tích phân Fredholm và phương pháp phân giả Adomian, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp phân giả cải tiến để giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính, phương trình có thành phần nhiễu, đồng thời đưa ra một số ví dụ cụ thể minh họa cho nội dung lý thuyết đã trình bày.

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM TUYẾN TÍNH VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI FREDHOLM'S LINEAR INTEGRAL EQUATIONS AND SEVERAL SOLUTION METHODS ThS Vũ Thị Vân Đại Học Hàng Hải Việt Nam Email:vuvan315@vimaru.edu.vn Ngày tòa soạn nhận báo:02/12/2020 Ngày phản biện đánh giá: 17/12/2020 Ngày báo duyệt đăng: 28/12/2020 Tóm tắt: Phương trình tích phân cơng cụ hữu ích nhiều lĩnh vực nên quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay khơng chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,… Trong đó, phương trình tích phân Ferdholm quan tâm lớn có tầm quan trọng nhiều nhánh khoa học, kinh tế cơng nghệ Trong phần này, tác giả trình bày lý thuyết tổng quan phương trình tích phân Fredholm phương pháp phân giả Adomian, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp phân giả cải tiến để giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính, phương trình có thành phần nhiễu, đồng thời đưa số ví dụ cụ thể minh họa cho nội dung lý thuyết trình bày Từ khóa: Phương trình tích phân, phương trình tích phân Fredholm tuyến tính, phương pháp phân giả Adomian, phương pháp xấp xỉ liên tiếp,phương pháp phân giả cải tiến Summary: Integral equations are a useful tool in many fields, and should be studied in many different aspects such as the existence of solutions, solution approximation, correction or non-correction, normalization, In which, Ferdholm's integral equations are of great interest and are of great importance in many branches of science, economics and technology In this section, the author presents the general theory of Fredholm integral equations and Adomian dummy equations, successive approximation method, improved dummy differential method to solve linear Fredholm's integral equations, equations have noise components, and give some specific examples to illustrate the theoretical content presented Key words: Integral equations, linear Fredholm integral equations, Adomian dummy method, successive approximation method, improved pseudo-differential method TẠP CHÍ KHOA HỌC 31 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ Adomian dummy method, successive approximation method, improved pseudo-differential method Lý thuyết phương trình tích phân Fredholm tuyến tính 1.1 Định nghĩa phương trình tích phân Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm đặt dấu tích phân Chẳng hạn, u= ( x) f ( x) + tìm u ( x ) thỏa hàm β ( x) ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , (1) α ( x) mãn phương trình K ( x, t ) gọi nhân phương trình, α ( x ) , β ( x ) cận, f ( x ) tất hàm cho trước = u ' ( x ) xu ( x ) , x ≥ 0, ( ) Ví dụ Xét tốn giá trị ban đầu  Phương trình (2)  u ( ) = 1, ( 3) dễ ràng giả phương pháp tách biến, nghiệm u ( x ) = e x Tuy nhiên tích phân hai vế dựa vào điều kiện (3), ta x x 0 ∫ u ( t )dt = ∫ 2tu ( t ) dt Phương trình tương đương với u ( x ) = = f ( x ) 1,= K ( x, t ) 2t phương trình (6), x + ∫ 2tu ( t )dt , (6) Trong 1.2 Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính Dạng chuẩn tắc phương trình tích phân Fredholm b f ( x ) u= ( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x, t ≤ b, ( ) K ( x, t ) , f ( x ) , λ , a, b cho a trước Phương trình (7) phương trình tuyến tính Khi f ( x ) = 0, ( ) trở thành b 0, ( ) gọi f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt = a phương trình tích phân Fredholm loại b Khi f ( x ) = 1, ( ) trở thành = u ( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , ( ) gọi phương trình tích phân Fredholm loại hai a 1.3 Các định lý Fredholm 1.3.1 Định lý thứ Fredhome Định lý Fredholm: Phương trình Freedholm khơng 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ g= ( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt Trong hàm f ( s ) g ( t ) lấy tích phân được, có nghiệm g ( s ) = f ( s ) + λ ∫ Γ ( s, t ; λ ) f ( t ) dt D ( s, t ; λ ) / D ( λ ) Trong đó: Γ ( s, t; λ ) = Với D ( λ ) ≠ hàm phân hình của biến phức λ , tỷ số hai hàm nguyên ∞ D ( s= , t ; λ ) K ( s, t ) + ∑ p =1 ( −λ ) p ∫ ∫ p! ∞ D (λ )= 1+ ∑ Và : xác ( −λ ) p =1 p! p ∫ định chuỗi:  s, x1 , x p  K dx dx p  t , x , x  1 p    x1 , x p  ∫ K  dx dx p  x , x  p  Cả hai hội tụ với giá trị λ Đặc biệt, nghiệm phương trình g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt đồng với Ví dụ 1: Ước lượng giải thức cho phương trình tích phân: g ( s ) = f ( s ) + λ ∫ ( s + t ) g ( t ) dt Nghiệm phương trình: Trong  ∞ ( −λ ) p  C p ( s, t )  ∑  p =0 p !  Γ ( s, t , λ ) =  ∞ ( −λ ) p  cp  ∑  p =0 p !  Cp (1) cp xác ( 2) định hệ thức  s1 , s2 s p  c p = ∫ ∫ K  ds ds p  s , s s  1 p   C p ( s, t ) c p K ( s, t ) − p ∫ K ( s, x ) C p −1 ( x, t ) dx = Ta có: TẠP CHÍ KHOA HỌC 33 QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ c0 = 1, C0 ( s, t= ) K ( s, t=) ( s + t ) ( 3) c p = ∫ C p −1 ( s, s ) ds Như vậy: ( 4) = C p c p K ( s, t ) − p ∫ K ( s, x ) c p −1 ( x, t ) dx ( 5) 1 s + t ) − st − ( 0 1 −1 1  1 c2 = ∫  s − s −  ds =− , C2 ( s, t ) =6 ( s + t ) − 2∫ ( s + x )  ( x + t ) − xt −  dx =0 c1 = ∫ 2sds = 1, C1 ( s, t ) = ( s + t ) − ∫ ( s + x )( x + t ) dx = Vì C2 ( x, t ) triệt tiêu, theo ( ) hệ số Ck ck triệt tiêu Do đó, 2 ( s + t ) −  ( s + t ) − st − Γ ( s, t , λ ) = 1 λ  ( 6)  λ2  1− λ −    12    Ví dụ 2: Giải phương trình tích phân g ( s ) = s + λ ∫  st + ( st ) g ( t ) dt ( )  Trong trường hợp này: c0= C0=  ( s, t =) st + ( st ) 1 c1 ∫ ( s + s ) ds = 1 1  5 1 2  1   C1 ( s, t ) =  st + ( st )  − ∫  sx + ( sx )   xt + ( xt )  dt = st + ( st ) −  st + ts  6 3  0    1 1  = c2 ∫  s + s − s = ds C = 3  75  Và tất hệ số bị triệt tiêu Giá trị giải thức là: 1    2 st + ( st ) −  st + ( st ) −  s.t + s t   λ 3    Γ ( s, t , λ ) =   1− λ +  λ  150  Nghiệm g ( s ) sinh sử dụng hệ thức ( 4.2.23) g (s) = ( ) 150 s + λ 60 s − 75s + 21λ s λ − 125λ + 150 (8) (9) π + λ ∫ sin ( s + t )  g ( t ) dt (10 ) Ví dụ 3: Giải phương trình tích phân g ( s ) = Giải Đối với hạch 34 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ c0 = C0 ( s, t ) = sin ( s + t ) π c1 = ∫ sin ( 2s ) ds = − π cos ( s − t ) C1 ( s, t ) =− ∫ sin ( s + x ) sin ( x + t ) = π 1 c2 = − ∫ π cos 0ds = − π 2 π 1 C2 = − π sin ( s + t ) + 2∫ π sin ( s + x ) cos ( x − t ) dx = 2 sin ( s + t ) + πλ cos ( s − t ) Do đó, giải thức là: Γ ( s, t , λ ) = (11) 2 1− π λ π 1.3.2 Định lý Fredholm thứ Định lý thứ Fredholm không λ nghiệm phương trình D ( λ ) = Chúng ta có hạch tách rời, phương trình nhất: g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt Có nghiệm khơng tầm thường Nó mong đợi hạch hàm khả tích tùy ý sau có hàm phổ giá trị riêng hàm riêng biệt tương ứng Định lý thứ Fredholm để nghiên cứu vấn đề Định lý thứ Fredholm: Nếu λ0 = bội số m hàm D ( λ ) phương trình g ( s ) = λ0 ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt Có nhiều m nghiệm độc lập tuyến tính  s, s1 , , sh −1 , s, sh +1 , , sr  ; gi ( s ) = Dr  i 1, , r λ0 = , tr   t , t1 , 1≤ r ≤ m Không đồng Bất kì nghiệm phương trình tổ hợp tuyến tính nghiệm 1.3.3 Định lý Fredholm thứ Trong phân tích định lý Fredholm , chứng minh phương trình khơng : g= ( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt (1) Có nghiệm cung cấp D ( λ ) ≠ Định lý thứ Fredholm liên quan đến việc nghiên cứu phương trình g ( s ) = λ ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt D ( λ ) = TẠP CHÍ KHOA HỌC 35 QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ Trong phần chúng tơi nghiên cứu khả (1) có nghiệm D ( λ ) = Trong thực tế, khác biệt đưa công thức rõ ràng cho nghiệm Về mặt định tính, thảo luận Nhớ lại rằng, chuyển vị ( liên hợp ) phương trình (1) : ψ= ( s ) f ( s ) + λ ∫ K ( t , s )ψ ( t ) dt ( 2) Rõ ràng chuỗi Fredholm D ( λ ) cho ( −λ )  x1 , x p  K  dx1 dx p tương tự cho phương trình p ! ∫ ∫  x1 , x p  p =1 chuyển vị, chuỗi thứ D ( t , s; λ ) thu từ ∞ D (λ )= 1+ ∑ p ( −λ )  s, x1 , x p  K  dx1 dx p cách thay đổi vai p ! ∫ ∫  t , x1 , x p  p =1 trị s t Điều có nghĩa hạch phương trình (1) phương ∞ D ( s= , t ; λ ) K ( s, t ) + ∑ p trình ( ) có giá trị riêng Hơn nữa, giải thức ( ) là: D ( t , s; λ ) Γ ( t , s; λ ) = D (λ ) ( 3) Và đó, nghiệm ( ) là: ψ= ( s ) f ( s ) + λ ∫  D ( t , s; λ ) / D ( λ ) f ( t ) dt ( 4) Với điều kiện λ không giá trị riêng Rõ ràng không hạch chuyển vị có giá trị riêng hạch ban đầu, mà số r giá trị riêng Hơn nữa, tương ứng  s1 , , si −1 , s, si +1 , , sr  Dr  λ0  , tr  t , với phương trình Φ i ( s ) =  s1 , , si −1 , si , si +1 , , sr  Dr  λ0  , tr   t1 , i = 1, 2, , r hàm riêng phương trình chyển vị cho giá trị riêng λ0 sau:  s1 , , sr  Dr  λ0  t t t t t , , , , , , i i r 1 − +  ψ i (t ) =   s1 , , sr  Dr  λ0   t1 , , ti −1 , ti , ti +1 , , tr  ( 5) Trong đó, giá trị ( s1 , , sr ) ( t1 , , tr ) chọn để mẫu số khơng bị triệt tiêu Thay r vị trí khác chuỗi công thức này, có hệ thống độc lập tuyến tính hàm 36 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ riêng r Nhớ Φ i trực giao với Ψ i với giá trị riêng khác Nếu nghiệm g ( s ) (1) tồn tại, sau nhân (1) phần tử Ψ k ( s ) hệ hàm số đề cập bên tăng tích phân thu được: ∫ f ( s ) Ψ ( s ) ds = ∫ g ( s ) Ψ ( s ) ds − λ ∫ ∫ K ( s, t ) g ( t ) Ψ ( s ) dsdt k k = k ) dt  ∫ g ( s ) ds Ψ ( s ) − λ ∫ K ( t , s ) Ψ ( t= k k (6) Trong số hạng ngoặc triệt tiêu Ψ k ( s ) hàm riêng phương trình chuyển vị Từ ( ) , thấy điều kiện cần để (1) có nghiệm số hạng không f ( s ) trực giao với nghiệm phương trình chuyển vị Ngược lại, điều kiện ( ) trực giao đủ cho tồn nghiệm Thật vậy, trình bày nghiệm rõ ràng trường hợp Với mục đích hàm H ( s, t; λ ) cần định nghĩa  s, s1 , , sr  λ0  Dr +1   t , t1 , , tr  theo giả thiết D λ ≠ r số H ( s, t ; λ ) = ( )  s, s1 , , sr  λ0  Dr   t , t1 , , tr  giá trị riêng λ0 Nếu điều kiện trực giao thỏa mãn hàm : g 0= ( s ) f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t; λ ) f ( t ) dt (7) nghiệm Thật vậy, thay giá trị cho g ( s ) (1) thu được: f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t ; λ ) f ( t ) dt = f ( s ) + λ0 ∫ K ( s, t ) Hoặc: ×  f ( t ) + λ0 ∫ H ( t , x; λ ) f ( x ) dx  dt   ∫ f ( t ) dt  H ( s, t; λ ) − K ( s, t ) − λ ∫ K ( s, x ) H ( x, t; λ ) dx  = (8) Bây giờ, thu phương trình r H ( s, t ; λ ) − K ( s, t ) − λ0 ∫ H ( s, x; λ ) K ( x, t ) dx = −∑ K ( sh , t ) Φ h ( s ) thu “chuyển vị” h =1 r H ( s, t ; λ ) − K ( s, t ) − λ0 ∫ K ( s, x ) H ( x, t ; λ ) dx = −∑ K ( s, th ) Ψ h ( t ) h =1 (9) Thay ( ) sử dụng điều kiện trực giao có đồng thức, khẳng định chứng minh TẠP CHÍ KHOA HỌC 37 QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ Sự khác biệt hai nghiệm (1) nghiệm phương trình Do đó, nghiệm tổng qt (1) là: g= ( s ) f ( s ) + λ0 ∫ H ( s, t; λ ) f ( t ) dt + ∑ Ch Φ h ( s ) (10 ) Định lý thứ Fredholm: Đối với phương trình khơng g= ( s ) f ( s ) + λ0 ∫ K ( s, t ) g ( t ) dt (11) Để có nghiệm trường hợp D ( λ0 ) = , điều kiện cần đủ hàm f ( s ) cho trực giao với tất hàm giá trị riêng Ψi ( s ) , i = 1, 2, , v phương trình chuyển vị tương ứng với giá trị riêng λ0 Nghiệm tổng quát có dạng:   s, s , s , , sr   λ0   g= ( s ) f ( s ) + λ0 ∫  Dr +1    t , t1 , , tr    s1 , s2 , , sr  λ0  Dr   t1 , ., tr  r × f ( t ) dt + ∑ Ch Φ h ( s ) (12 ) h =1 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 Định lý tồn nghiệm Trong chương ta nghiên cứu phương trình tích phân Fredolm loại b dạng u= ( x ) f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b; (1) a Định lý Đối với phương trình (1), K ( x, t ) thực, liên tục giới nội hình vng a ≤ ( x, t ) ≤ b tức K ( x, t ) ≤ M , a ≤ x, t ≤ b, f ( x ) liên tục với phương trình (1) có nghiệm miền a ≤ x ≤ b, λ M ( b − a ) < 1, ( 3) Ở đây,các phương trình xét giả thiết tồn nghiệm 2.2 Phương pháp phân giả Adomian Ta tìm nghiệm phương trình (1) dạng ∞ ∞ b ∞ n =0 n =0 a n =0 u ( x) = f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )∑ un ( t ) dt ∑ un ( x ) → ∑ un ( x ) = b b a a ↔ u0 ( x ) + u1 ( x ) + u2 ( x ) + = f ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u0 ( t ) dt + λ ∫ K ( x, t )u1 ( t ) dt + 38 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ Để xác định thành phần u ( x ) , ta xây dựng dãy b b b a a u0 ( x ) = f ( x ) , u1 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u0 ( t ) dt , u2 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u1 ( t ) dt , u3 ( x ) = λ ∫ K ( t , x )u2 ( t ) dt , a b Tổng quát u0 ( x ) = f ( x ) ; un +1 ( x ) = λ ∫ K ( x, t )un ( t ) dt , n ≥ a Ví dụ Giải phương trình u= x + ∫ x 2t 2u ( t ) dt ( x) 10 Giải u ( x) = u0 ( x ) = 9 x + ∫ x 2t 2u ( t ) dt → f ( x ) = x ; K ( x, t ) = x 2t ; 10 10 9 9 x ; u1 ( x ) = x → u ( x ) = x + x → u ( x ) = x 10 1000 10 1000 π Ví dụ Giải phương trình u ( x )= cos x + x + ∫ xtu ( t ) dt π Giải u ( x )= cos x + x + ∫ xtu ( t ) dt    6 → u0 ( x ) = cos x + x, u1 ( x ) =  −2 + π  x, u2 ( x ) = cos x  − π + π  x → u ( x ) =     Ví dụ Giải phương trình u ( x ) = e x − + ∫ tu ( t )dt Giải u ( x ) = e x − + ∫ tu ( t )dt → u0 ( x ) = e x − 1, u1 ( x ) = 1 , u2 ( x ) = 1 1  u ( x ) = e x − + 1 + + +  2  x u ( x) = e Ở đây, xét phương trình có thành phần nhiễu dạng b u ( x ) = f ( x ) + µ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) u ( t )dt , a 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) gọi nhiễu, thông thường 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝑥𝑥𝑥𝑥 )nhỏ 𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥) nhiều trị tuyệt đối TẠP CHÍ KHOA HỌC 39 QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ 𝜋𝜋𝜋𝜋 Ví dụ Giải phương trình 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + ∫0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 Giải Sử dụng phương pháp Adomian π u0 ( x ) =x cos x + x, uk +1 =∫ xuk ( t ) dt , u ( x ) =x cos x Nhiễu ±2x làm cho phận u0 ( x ) khơng 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝜋𝜋𝜋𝜋 Ví dụ Giải phương trình 𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = cos 𝑥𝑥𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + ∫0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑡𝑡𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑡𝑡 Giải Sử dụng phương pháp Adomian u0 ( x )= cos x − sin x + x − u0 ( x ) = cos x − sin x + x − u= ( x ) cos x − sin x π π x, uk +1= π ∫ xtu ( t ) dt , k ≥ 0, k −2 x + x, u1 ( x ) = π x+ π3 12 x− π4 48 x π Nhiễu ±2x ,  xuất u0 ( x ) u1 ( x ) làm cho nghiệm xác u= ( x ) cos x − sin x Ví dụ Giải phương trình u ( x )= Giải u0 ( x )= π π x − x + x tan −1 x, uk +1 = − ∫ xuk ( t ) dt , k ≥ 0, π u0 ( x )= π x − x + x tan −1 x − ∫ xu ( t )dt −1 π x − x + x tan −1 x, u1 ( x ) = x tan −1 x − x + x, u ( x ) = 2 π Nhiễu ±2x ,  xuất u0 ( x ) u1 ( x ) làm cho nghiệm xác u= ( x ) cos x − sin x 2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Xét phương trình Fredholm dạng tắc b u= ( x ) f ( x ) + ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b a 40 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ u0 ( x )   b Phương pháp  un ( x ) = f ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) un −1 ( t ) dt , n ≥ a  Sự khác hai phương pháp, phương pháp phân giả Adomian phương pháp xấp xỉ liên tiếp việc chọn u0 ( x ) Ví dụ Giải phương trình u ( x=) e x + e−1 ∫ u ( t ) dt Giải u0 ( x ) = 0, u1 ( x ) = e + e x −1 ∫ 0dt = e x , u2 ( x ) = e x + − e −1 Tiếp tục ta có u3 ( x ) = e x + − e−2 , un ( x ) = e x + − e−( n −1) , n ≥ ( ) u ( x ) = lim un ( x ) = lim e x + − e −( n −1) = e x + n →∞ n →∞ Ví dụ Giải phương trình u ( x )= x + λ ∫ xtu ( t )dt Giải u0 ( x ) = 0, u1 ( x ) = x, u2 ( x ) = x + u ( x) = λ x, u n ( x ) = x + λ x+ λ2 x + + 32 λ n −1 x 3n −1 x;0 < λ < λ −3 Ta nghiệm u ( x ) không phụ thuộc vào cách chọn u0 ( x ) Chẳng hạn chọn u0 ( x ) = x Ta u1 ( x ) =+ x λ x, u1 ( x ) =+ x 3 = u ( x) x, < λ < λ −3 λ x+ λ2 x , , un ( x ) =+ x λ x+ λ2 x + + λn n xn , 2.4 Phương pháp phân giả cải tiến Để tính tích phân giải phương trình (1) đơn giản hơn, người ta sử dụng f ( x ) f ( x ) + f1 ( x ) , phương trình phương pháp phân giả cải tiến sau: Viết = b (1) viết lại u ( x ) = f ( x ) + f ( x )1 + λ ∫ K ( x, t )u ( t ) dt , a ≤ x ≤ b a Ta tính tốn thành phần TẠP CHÍ KHOA HỌC 41 QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ f ( x ) f ( x ) + f1 ( x ) , Viết = b b a a = u0 ( x ) f= f1 ( x ) + λ ∫ K ( x, t )u0 ( t ) dt ; u2 ( x ) = λ ∫ K ( x, t )u1 ( t ) dt ( x ) ; u1 ( x ) b un +1 ( x ) = λ ∫ K ( x, t )un ( t ) dt , n ≥ a Ví dụ 1.Giải phương trình u ( x ) = e3 x − Giải u ( x ) = e3 x − 1 2e3 + 1) x + ∫ xtu ( t ) dt ( 1 ( 2e3 + 1) x + ∫ xtu ( t ) dt f0 ( x ) = e3 x ; f1 ( x ) = − ( 2e3 + 1) x → u0 ( x ) = e3 x , 1 0, u ( x ) = u1 ( x ) = − ( 2e3 + 1) x + ∫ xtet dt , u1 ( x ) = e3 x π Ví dụ 2.Giải phương trình u ( x=) sin −1 x +  − 1 x − ∫ xu ( t ) dt   Giải π π u ( x= ) sin −1 x +  − 1 x − ∫ xu ( t ) dt , f ( x ) = sin −1 x; f1 ( x ) =  − 1 x → u0 ( x ) = sin −1 x, 2  2  π  u1 ( x ) =  − 1 x − ∫ x sin −1 tdt ,= u1 ( x ) 0,= u ( x ) sin −1 x 2  π Ví dụ Giải phương trình u ( x )= sin x + cos x − x + − Giải u ( x )= sin x + cos x − x + π − 42 TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ∫ ( x − t )u ( t ) dt π sin x + cos x, u1 ( x ) = → u0 ( x ) = −2 x + TÀI LIỆU THAM KHẢO ∫ ( x − t )u ( t ) dt π /2 f0 ( x ) = sin x + cos x; f1 ( x ) = −2 x + u1= ( x ) 0, u= ( x ) sin x + cos x π /2 π + ∫ ( x − t )( sin t + cos t )dt , TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V.A.Xadovnitri, (2004), Lý thuyết toán tử (Bản tiếng Nga),Nhà xuất Đại học tổng hợp Lômô nô xôp [2] Abdul-Majid Wazwaz, (2015), A first course in integral equations,World scientific publishing Co Pte Ltd [3] Phương trình vi phân phương trình tích phân, Cấn Văn Tuất, NXB ĐHSP Hà Nội, 2006 [4] Linear integral Equations, Ran P.Kanwal, 1971 [5] Phan Văn Hạp, Hồng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh,(1996), Phương Pháp tính, NXB Khoa học kỹ thuật [6] Giải tích hàm, Hồng Tụy, NXB ĐHQG Hà Nội, 2013 TẠP CHÍ KHOA HỌC 43 QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ ... pseudo-differential method Lý thuyết phương trình tích phân Fredholm tuyến tính 1.1 Định nghĩa phương trình tích phân Phương trình tích phân phương trình mà hàm cần tìm đặt dấu tích phân Chẳng hạn, u= ( x)... + ∑ Ch Φ h ( s ) (12 ) h =1 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 Định lý tồn nghiệm Trong chương ta nghiên cứu phương trình tích phân Fredolm loại b dạng u=... = = f ( x ) 1,= K ( x, t ) 2t phương trình (6), x + ∫ 2tu ( t )dt , (6) Trong 1.2 Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính Dạng chuẩn tắc phương trình tích phân Fredholm b f ( x ) u= ( x ) f