PHƯƠNG TRÌNH đưa về DẠNG ax + b = 0

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = A Lý thuyết Cách giải: Ta thực theo bước sau - Quy đồng mẫu hai vế khử mẫu - Thực phép tính chuyển vế đưa dạng ax + b = - Giải phương trình - Kết luận Chú ý kiến thức liên quan - Các đẳng thức đáng nhớ - Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Các quy tắc đổi dấu B Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi để giải số phương trình đơn giản Cách giải: Thực quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, đẳng thức, quy đồng mẫu thức….để biến đổi phương trình dạng ax + b = Bài 1: Giải phương trình sau a) c) x − = x + 12 b) x − + 3x = d) 3x − + x = − x 10 x + 6x + = 1+ 12 Lời giải a) x − = 3x + 12 ⇔ x = 16 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm b) S = { 4} 3x − + x = − x ⇔ 5x = 15 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 3} c) x − + 3x −7 = ⇔ x − = + 12 x ⇔ x = −14 ⇔ x = 4 Vậy phương trình có tập nghiệm d)  −7  S =  4  10 x + 6x + 30 x + 36 24 x + 32 59 = 1+ ⇔ = + ⇔ x = 59 ⇔ x = 12 36 36 36 Vậy phương trình có tập nghiệm  59  S =  6 Bài 2: Giải phương trình sau a) c) 4x − = x + b) x − + 3x = d) 10 x − 12 − x = + x 7x −1 16 − x + 2x = Lời giải a) x − = x + ⇔ x = 12 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm b) 10 x − 12 − x = + x ⇔ x = 18 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm c) S = { 3} x − + 3x = ⇔ 10 x − = + x ⇔ x = 14 Vậy phương trình có tập nghiệm d) S = { 4} S = { 14} x −1 16 − x + 2x = ⇔ 35 x − + 60 x = 96 − x ⇔ 101x = 101 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1} Bài 3: Giải phương trình sau a c (1 − x) + ( x + 2) = x( x − 3) − b (1 − x) = 3x( x − 3) + ( x − 1) d (1 − x)3 + ( x − 2)3 = −3( x − 1) (1 + x)3 + (1 − x)3 = 6( x + 1) Lời giải (1 − x) + ( x + 2) = x( x − 3) − ⇔ x = a Vậy phương trình có tập nghiệm  −3  S =  2 (1 − x) + ( x − 2) = −3( x − 1) ⇔ x = b Vậy phương trình có tập nghiệm c −3 4 S =  3 (1 − x) = x( x − 3) + ( x − 1) ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm (1 + x)3 + (1 − x)3 = 6( x + 1) ⇔ x = d Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 0} −1  −1  S =  3 Bài 4: Giải phương trình sau a c 3x − x − − 3x + = b 2x − x − 4x + − = − 17 d x−4 x 2−x − x+3= − ( x − 1)( x + 5) ( x + 2)( x + 5) ( x − 1)( x + 2) − = 12 Lời giải a 3x − x − − 3x + = ⇔ 48 x − 16 = ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm 1  S =  3 x−4 x 2− x x − 12 12 x 36 x − x − x+3= − ⇔ − + = − ⇔ x − 12 − 12 x + 36 = x − + x 12 12 12 12 12 b ⇔x= −28 15 Vậy phương trình có tập nghiệm  −28  S =   15  Bài 5: 3x − − x + 7x = 15 +1− x 15 5x + Giải phương trình sau: Lời giải 3x − − x + 7x 3x − 3x − − x  3− x  = 15 +1 − x ⇔ 5x + = 3 + x ÷+ 15 ( − x ) ⇔ x + = + x + 15 15 5 5  15  5x + 5x + 3x − − x = + x + 15 ⇔ 25 x + x − = − x + 30 x + 75 ⇔ x = −78 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −78} Bài 6: Tìm giá trị m để m+ x x + m −1 x − − x+5 = − (1) 3 a phương trình: có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình: x +1 x + x + + + = 3(2) 4 b phương trình x 4x + + 80 = x có nghiệm gấp 18 lần nghiệm phương trình: 6m − x = 2(8m − x) Lời giải a) x +1 x + x + x + x + 3x + 36 + + =3⇔ + + = ⇔ 13 x = 13 ⇔ x = 12 12 12 12 Vì phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình (2) nên nghiệm phương trình (1) x=6 x=6 Thay vào phương trình (1) m+6 + m −1 − m+6 5+m −7 −1 = − ⇔ = ⇔ 3m + 18 = 25 + 5m ⇔ 2m = −7 ⇔ m = 3 m= Vậy −7 giá trị cần tìm Bài 7: Giải phương trình sau a x + 2(4 x + 1) 3x + 2( x + 1) + 11x + = + 12 x+ b c 2(3 − x) − 3x 7x + + x − 4( x − 1) 5 +2 − = 14 24 12 8( x + 22) − 45 6( x + 12) 2( x + 50) x + 35 + = x + 149 + Lời giải ⇔ b x + 2(3 − x) x − 4( x − 1) 35 x + 10 + − x x + x + 32 x + 19 − = + ⇔ − = + 70 24 60 70 24 60 ta được: ⇔ x = −2 (mẫu thức chung = 840) Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔ c S = { −2} 8( x + 22) 5(7 x + 149) + 6( x + 12) 9( x + 35) + 2( x + 50) − = ⇔ x = −24 45 45 45 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −24} Dạng 2: Giải số phương trình đặc biệt Cách giải: Xét phuương trình ẩn x, có dạng: x + a x + c x + e x + g a + b = c + d = e + f = g + h = k + = + b d f h  a − b = c − d = e − f = g − h = k Bước 1: Cộng phân thức với -1 Bước 2: Quy đồng tử phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung Chú ý: Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy toán ta cộng trừ số thích hợp Bài 8: Giải phương trình sau a c e x+2 x+3 x+4 x+5 + = + b x + x + x + x +1 + = + d x − 12 x − 10 x − x − + = + 21 23 25 27 x + 19 x + 13 x + x + + = + x − 342 x − 323 x − 300 x − 273 + + + = 10 15 17 19 21 Lời giải ⇔ a x+2 x+3 x+4 x+5 1 1 +1+ +1 = +1+ + ⇔ ( x + 9)( + − − ) = ⇔ x = −9 7 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −9} x − 12 x − 10 x −8 x−6 1 1 −1+ −1 = −1+ − ⇔ ( x − 33)( + − − ) = ⇔ x = 33 21 23 25 27 21 23 25 27 ⇔ b Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔ c x+7 x+5 x+3 x +1 1 1 +2+ +2= +2+ + ⇔ ( x + 13)( + − − ) = ⇔ x = −13 6 Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔ d S = { −13} x + 19 x + 13 x+7 x +1 + 3+ +3 = +3+ + ⇔ x = −28 Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔( e S = { 33} S = { −28} x − 342 x − 323 x − 300 x − 273 − 1) + ( − 2) + ( − 3) + ( − 4) = ⇔ x = 357 15 17 19 21 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 357} Bài 9: Giải phương trình sau a c x + 81 x + 82 x + 84 x + 85 + = + 19 18 16 15 b x − 22 x − 21 x − 20 x − 19 + + + =4 10 11 − x + 12 − x + 13 − x + 15 − x + 16 + = + Lời giải a) x + 81 x + 82 x + 84 x + 85 1 1 1 + = + ⇔ ( x + 100 )  + − − ÷ = ⇔ x = −100 19 18 16 15  19 18 16 15  Vậy phương trình có tập nghiệm b) S = { −100} x − 22 x − 21 x − 20 x − 19 1 1  + + + = ⇔ ( x − 30 )  + + + ÷ = ⇔ x = 30 10 11  10 11  Vậy phương trình có tập nghiệm c) S = { 30} − x + 12 − x + 13 − x + 15 − x + 16 1 1 1 + = + ⇔ ( 19 − x )  + − − ÷ = ⇔ x = 19 7 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 19} Dạng 3: Giải phương trình cách đặt ẩn phụ Cách giải: Tùy thuộc vào phương trình mà ta lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù hợp để làm giảm phức tạp phương trình cho Bài 10: Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ a 3x − − x − = + (3x − 1) 2+ c x + 6( x + 1) − x − ( x + x + 1) − = b x − 2x − − − (2 − x) = ( x − 1) − d 2( x − 1) + (2 x − 2) = Lời giải t = 3x − ⇒ a Đặt t 2t −4 + = + t ⇒ t = −5 ⇒ x = Vậy phương trình có tập nghiệm b Đặt c S = { −1} x − 2x − x − 2( x − 2) − − (2 − x) = ⇔ + − + ( x − 2) = 6 t = x −2 ⇒ 2+ Đặt t 6t − 5t t = x +1 ⇒ t2 − = ⇒ t = ⇒ x = −1 Vậy phương trình có tập nghiệm 2+  −4  S =  3  t 2t −3 − + t = ⇒ + 3t − 4t + 5t = ⇔ 4t = −6 ⇔ t = ⇒ x = 2− = 2 Vậy phương trình có tập nghiệm ( x − 1) − d ⇔t− 1 S =  2 2( x − 1) + (2 x − 2) 2( x − 1) + 2( x − 1) 2t + 2t = ⇔ ( x − 1) − = ⇔t− = 3 2t + 2t −3 = ⇔ 6t − 4t = + 6t ⇔ t = ⇒ x = 1− ⇒ x = 4 Vậy phương trình có tập nghiệm 1 S =  4 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Giải phương trình sau a x + = 3x − b x − + 2x = − x c 2x + x−7 = 1+ d x+3 1− x +1 = Lời giải a) x + = 3x − ⇔ x = ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm b) S = { 2} 2x + x −7 −23 = 1+ ⇔ 10 x + 15 = 20 + x − 28 ⇔ x = −23 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm d) x − + 2x = − x ⇔ 4x = ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm c) S = { 1}  −23  S =    x+3 1− x −19 +1 = ⇔ x + + 12 = − x ⇔ x = −19 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm  −19  S =    Bài 2: Giải phương trình sau a c ( x + 1) + ( x − 1) = x( x + 1) − b (1 + x)3 − ( x − 2) = 9( x − 1) x+ x − x + − 3x + = d Lời giải a) ( x + 1) + ( x − 1) = x( x + 1) − ⇔ x + = x + x − ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 4} 10 2( x − 1) x 1+ = + 12 ( ) (1 + x)3 − ( x − 2)3 = 9( x − 1) ⇔ + x + x + x − x − x + 12 x − = x − 18 x + b) ⇔ −9 x + = −18 x + ⇔ x = c) Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 0} x − 3x + − 3x −3 + = ⇔ x − + x + = − x ⇔ 13 x = −3 ⇔ x = 13 Vậy phương trình có tập nghiệm  −3  S =   13  Bài 3: Giải phương trình sau a c 18 − x 17 − x 16 − x 15 − x + = + b x + 81 x + 82 x + 83 x + 84 x + 85 x + 86 + + = + + 19 18 17 16 15 14 d x − 30 x − 28 x − 26 + + = −6 10 20 − x 22 − x 24 − x 26 − x + = + Lời giải a 18 − x 17 − x 16 − x 15 − x 1 1 + = + ⇔ (23 − x)( + − − ) = ⇔ x = 23 8 Vậy phương trình có tập nghiệm b x − 30 x − 28 x − 26 1 + + = −6 ⇔ ( x − 10)( + + ) = ⇔ x = 10 10 10 Vậy phương trình có tập nghiệm c S = { 23} S = { 10} x + 81 x + 82 x + 83 x + 84 x + 85 x + 86 + + = + + ⇔ x = −100 19 18 17 16 15 14 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −100} 11 d 20 − x 22 − x 24 − x 26 − x + = + ⇔ x = 14 Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 14} Bài 4: Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ a 3x − − x − = + (3x − 1) ( x + 1) − b x + 5( x + 1) − = Lời giải a) 3x − − x x − ( x − 1) − = + (3x − 1) ⇔ + = + (3 x − 1) 2 Đặt ⇔ t = 3x − ⇒ ta được: t 2t −4 + = + t ⇔ 5t + 4t = + 10t ⇔ t = −5 ⇒ x − = −5 ⇔ x = −4 ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm t = x +1 ⇒ t − b) Đặt  −4  S =  3  t 5t − = ⇔ 6t − 2t = 5t − ⇔ t = ⇒ x + = ⇔ x = Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 0} 12 ... b x + x + x + x +1 + = + d x − 12 x − 10 x − x − + = + 21 23 25 27 x + 19 x + 13 x + x + + = + x − 342 x − 323 x − 300 x − 273 + + + = 10 15 17 19 21 Lời giải ⇔ a x+2 x+3 x+4 x+5 1 1 +1 + +1 =. .. phương trình có tập nghiệm ⇔ c x+7 x+5 x+3 x +1 1 1 +2 + +2 = +2 + + ⇔ ( x + 13)( + − − ) = ⇔ x = −13 6 Vậy phương trình có tập nghiệm ⇔ d S = { −13} x + 19 x + 13 x+7 x +1 + 3+ +3 = +3 + + ⇔ x = −28... nghiệm phương trình: x +1 x + x + + + = 3(2) 4 b phương trình x 4x + + 80 = x có nghiệm gấp 18 lần nghiệm phương trình: 6m − x = 2(8m − x) Lời giải a) x +1 x + x + x + x + 3x + 36 + + =3 ⇔ + + = ⇔