CHUYÊN ĐỀ HSG: CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CƠ NHIỆT

Bài tập cơ nhiệt là bài tập trong phần nhiệt nhưng trong bài giải lại kết hợp cả phần cơ học. Là loại bài tập hay và khó của chương trình Vật lí lớp 10. Loại bài tập này thường có mặt trong đề thi học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực, Olympic quốc tế...

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH HÀ GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ GIANG CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CƠ NHIỆT Tác giả : Nguyễn Toàn Thắng Trường THPT Chuyên Hà Giang Bài tập nhiệt tập phần nhiệt giải lại kết hợp phần học Là loại tập hay khó chương trình Vật lí lớp 10 Loại tập thường có mặt đề thi học sinh giỏi cấp, Olympic khu vực, Olympic quốc tế I Kiến thức bổ trợ 1) Khí lí tưởng: Chất khí được coi khí lí tưởng có thể bỏ qua tương tác phân tử khí kể đến tương tác chúng va chạm với với thành bình ( khí lí tưởng khí tn theo định luật BơilơMariốt Sáclơ) 2) Thông số xác định trạng thái - Một vật nhóm vật, bao gồm số hạt lớn hạt (nguyên tử phân tử) gọi hệ vĩ mô - Trạng thái hệ vĩ mô được đặc trưng số đại lượng vật lí gọi thơng số trạng thái Ví dụ: áp suất p, thể tích V nhiệt độ tuyệt đối T thông số trạng thái lượng khí đó - Phân biệt hai loại thơng số: + Thơng số ngồi: xác định vật bao quanh hệ; thể tích V lượng khí thơng số ngồi, nó phụ thuộc kích thước bình chứa khí; + Thơng số trong: đặc trưng cho hệ xét, áp suất p, nhiệt độ T lượng khí 3) Đạo hàm, vi phân, tích phân a) Đạo hàm điểm: Cho hàm số x0   a; b  Nếu tồn tại giới hạn ( hữu hạn) đạo hàm hàm số y  f  x y  f  x lim xác định khoảng (a; b) f  x   f  x0  x  x0 x  x0 tại điểm x0 kí hiệu f '  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 giới hạn đó được gọi f  x0  ' ( y '  x0  ), tức b) Vi phân: Cho hàm số x   a; b  y  f  x y  f  x xác định khoảng (a; b) có đạo hàm tại f ' x dx Giả sử dx số gia x Ta gọi tích   vi phân hàm số df x tại x với số gia dx , kí hiệu   dy, tức là: c) Tích phân: Cho f  x dy  df  x   f '  x  dx hàm số liên tục y đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm   đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; f x y  f  x b b] ) hàm số f  x  f ( x) dx , ký hiệu: a b Ta ký hiệu: F ( x ) a  F (b )  F ( a ) b f ( x)dx F ( x) O b a F (b)  F (a) xa xb Hình Vậy: a Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] b  f ( x) dx a diện tích S hình thang cong ( hình 1) giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a; x = b b  f ( x) dx Vậy: S = a 4) Định lí động Wđ2 – Wđ1 = A với A công ngoại lực II- Kiến thức Các đẳng trình + Quá trình đẳng nhiệt: T = const, pV = const + Q trình đẳng tích: V = const , p  const T V  const T + Quá trình đẳng áp : p = const, Phương trình trạng thái khí lí tưởng ( phương trình Clappêrơn ) : pV  const T p1V1 p2V2  T T2 hay ( áp dụng cho lượng khí có khối lượng khơng đổi) Phương trình Clappêrơn - Menđêlêép (phương trình C -M ): x pV  nRT  m RT  ( áp dụng cho lượng khí có khối lượng thay đổi ) đó: n: số mol khí (g/mol); m: khối lượng khí (g);  : khối lượng mol chất khí; p: áp suất khí ( Pa) ; V: thể tích khí ( m3 ), T: nhiệt độ tuyệt đối (K) R: số khí, R = 8,31J/mol.K Nguyên lý I nhiệt động lực học ( NĐLH ): 4.1 Nội dung: Độ biến thiên nội hệ tổng đại số nhiệt lượng công mà hệ nhận được U  Q  A 4.2 Biểu thức: đó: U : độ biến thiên nội hệ; Q, A: giá trị đại số 4.3 Quy ước: + Q > 0; A > 0: hệ nhận nhiệt lượng, nhận công + Q < 0; A < 0: hệ nhả nhiệt lượng, sinh công - Nếu xét q trình vơ nhỏ : dU =  Q +  A Áp dụng nguyên lý I NĐLH trình biến đổi trạng thái khí lí tưởng: U  nCV (T2  T1 )  5.1 Biểu thức độ biến thiên nội năng: CV: nhiệt dung mol đẳng tích chất cấu tạo nên vật 5.2 Công thực trình biến đổi m CV (T2  T1 )  ' + Công nguyên tố thực trình biến đổi nhỏ: A  pdV A'  V2  pdV p M Vậy : + Công xác định theo đồ thị p -V ( hình 2): Cơng có giá trị diện tích phần gạch chéo N đồ thị ( hình thang cong MNPQ) giới hạn ' Hình đường biểu diễn trình biến đổi trục A  S MNPQ ' hoành OV, V= V1; V = V2 Dấu A dương Q P V nếu chiều từ M đến N chiều kim đồng hồ O V2 V1 chu vi hình thang cong + Cơng q trình đẳng nhiệt: Xét lượng khí lí tưởng có nhiệt độ khơng đổi T biến đổi theo q trình cân từ trạng thái có áp suất p1, thể tích V1 đến trạng thái có áp suất p2, thể tích V2 V1 ' Lượng khí khơng tăng nhiệt độ, sinh công A : A'  V2  pdV V1 ' Để tính A phải thay p dấu tích phân biểu thức nó tính theo V Biết pV  p1V1  p2V2 khí lí tưởng tuân theo định luật Bôi-lơ - Ma-ri-ốt: pV p 1 V V2 A'  p1V1  V dV  p1V1 ln V V1 A'  p2V2 ln V2 V1 V ta có: Vậy: hay + Công thực trình đoạn nhiệt: Quá trình đoạn nhiệt: Là q trình biến đổi trạng thái khí đó khí khơng nhận nhiệt khơng nhả nhiệt cho vật xung quanh ( tức không trao đổi nhiệt với mơi trường bên ngồi ): Q = ; ta có: A = U Theo nguyên lí I NĐLH ta có: A' = - A = - U = - nCV ( T2 - T1 ) = nCV ( T1 - T2 ) (a) i R CV  R    , p1V1 = nRT1, p2V2 = nRT2 với n số mol khí, biết: pV  p V A'  1 2  1 Công A có thể viết lại sau: (b) A'  p1V1  T2  1      T1  nếu tính theo nhiệt độ: (c) Chú ý: Ba công thức (a), (b), (c) có thể dùng trình đoạn nhiệt bất kì, có thể khơng cân Nếu q trình đoạn nhiệt cân cơng A' cịn được tính sau:  1 p1V1   V1   1     A      V2     ' 5.3 Áp dụng nguyên lí I NĐLH q trình biến đổi trạng thái khí lí tưởng: 5.3.1 Q trình đẳng tích: ( hình ) V = const  A = 0; Q = U Trong q trình đẳng tích, nhiệt lượng mà khí nhận được dùng làm tăng nội khí 5.3.2 Quá trình đẳng áp : ( hình ) p = const  A = - A' = - p.V = - p( V2 - V1)  Q = U + A' ( A' cơng mà khí sinh ra) Trong trình đẳng áp, phần nhiệt lượng mà khí nhận vào được dùng để làm tăng nội khí, phần cịn lại biến thành cơng mà khí sinh Hình Hình 5.3.3 Quá trình đẳng nhiệt : ( hình 5) T = const ; U =  Q = U - A = - A , thay - A = A' Vậy: Q = A' Trong q trình đẳng nhiệt, tồn nhiệt lượng mà khí nhận được chuyển hết sang cơng mà khí sinh 5.3.4 Q trình đoạn nhiệt: Khí khơng trao đổi nhiệt lượng Hình với mơi trường bên ngồi: Q = Vậy: A = U 5.3.5 Chu trình: ( hình ) trình mà trạng thái cuối trùng với trạng thái đầu Chu trình cân có thể được biểu diễn đồ thị p - V đường cong khép kín Sau thực chu trình, khí trở trạng thái ban đầu I Theo nguyên lí I NĐLH: U  Q  A  Q  A ' = tổng đại số nhiệt lượng nhận được Q = tổng đại số cơng sinh * Chu trình Các - nơ: để thuận lợi việc vận dụng ngun lí I II NĐLH, người ta khảo sát chu trình biến đổi đặc biệt gọi chu trình Các-nơ Hình Chu trình Các-nơ chu trình gồm có hai trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai trình đoạn nhiệt Khái niệm nhiệt dung, nhiệt dung riêng 6.1 Nhiệt dung vật: Là đại lượng vật lý có giá trị nhiệt lượng cần cung cấp cho vật để nhiệt độ nó tăng thêm 10 6.2 Nhiệt dung riêng chất đại lượng vật lý có giá trị nhiệt lượng cần truyền cho đơn vị khối lượng chất nói chung đơn vị khối lượng khí nói riêng đó để làm tăng nhiệt độ nó thêm 10: C dQ dT 6.3 Nhiệt dung mol chất đại lượng vật lý có giá trị nhiệt lượng cần truyền cho 1mol chất nói chung mol khí nói riêng để nhiệt độ C dQ dT nó tăng lên 10 6.4 Nhiệt dung mol đẳng tích đẳng áp + Nhiệt dung mol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho mol chất khí để  dQ  CV     const dT  V nhiệt độ tăng lên độ điều kiện thể tích không đổi: Theo nguyên lý I ta có: Vậy: CV  Q  dU  A  dU dU i dT i  R  R dT dT ( i số bậc tự ) Hình + Nhiệt dung mol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho mol chất khí để  dQ  CP     const dT  P nhiệt độ tăng lên độ điều kiện áp suất không đổi: Ta có: Q  dU  A CP  dU  A dU A i dV    R p dT dT dT dT dV R i2  CP  R dT p Theo phương trình C -M, ta có: Vậy : 6.5 Mối quan hệ nhiệt dung riêng đẳng tích đẳng áp: Theo nguyên lý I NĐLH cho 1mol khí q trình đẳng áp ta có : dU  Q = Cp.dT; dU = Cv.dT;  A = pdV Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + dV p dT  Q  A (1) (2) dV p dT Mặt khác ta có: pV= RT hay pdV = RdT Vậy : =R Từ (1) ta có: Cp = Cv + R hay Cp - CV = R : hệ thức May - e Cp CV ( Nếu khí tn theo phương trình C - M có nhiệt dung mol tuân theo hệ thức May - e ) + Hằng số Poat -xong:  Cp CV = i2 i Với khí đơn nguyên tử, i = ;   Với khí lưỡng ngun tử, i =     Với khí đa nguyên tử, i = Mối quan hệ thơng số trạng thái q trình đoạn nhiệt Có -  A = - dU hay pdV + nCVdT =  n dV RT V dT CV T + + nCV dT = dV RV =0 Lấy tích phân hai vế ta có:  CV dT T  +R dV V  ln T     1 ln V = const hay CV ln T  R ln V = const = const   1 pV  const hay T V  const Nguyên lý thứ II nhiệt động lực học 8.1 Động nhiệt: thiết bị biến đổi nhiệt lượng sang công 8.2 Nội dung nguyên lý: - Cách phát biểu thứ nhất: Nhiệt không tự nó truyền từ vật sang vật nóng - Cách phát biểu thứ hai: Không thể thực được động vĩnh cửu loại hai ( nói cách khác, động nhiệt khơng thể biến đổi tồn nhiệt lượng nhận được thành công) H A Q1  Q2  Q1 Q1 8.3 Hiệu suất động nhiệt: đó: Q1: nhiệt lượng nhận từ nguồn nóng; Q2: nhiệt lượng tác nhân truyền cho nguồn lạnh H max  T1  T2 T1 : hiệu suất chu trình Các-nơ - Với động nhiệt lý tưởng: đó: T1: nhiệt độ nguồn nóng, T2: nhiệt độ nguồn lạnh II- Phương pháp giải: Phân tích tượng tốn Tìm quy luật biến đổi trạng thái lượng khí cần xét Kết hợp với kiến thức có liên quan để thành lập hệ phương trình đủ *Chú ý: - Phân tích kỹ tượng toán sử dụng kiến thức kết hợp với kiến thức học có liên quan để giải toán - Khi sử dụng nguyên lý I NĐLH cần rõ loại khí (đơn nguyên tử hay lưỡng nguyên tử), trình trao đổi nhiệt (nhận nhiệt, nhả nhiệt không trao đổi nhiệt) để sử dụng kiến thức cho dạng tập III - Các dạng tập cụ thê Bài ( Trích Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học Vật lí phân tử ) Cho hình trụ gồm hai phần tiết diện khác đặt thẳng đứng (hình 7) Giữa hai pít-tơng khối lượng m1 m1, m2 có khối khơng khí khối lượng m, tiết diện pít-tơng S1, S2 Các pít-tơng nối với cứng, nhẹ dài l nằm vị trí cách mức phân chia hình trụ thành hai phần đường kính khác Khi nhiệt độ hình trụ m2 tăng lượng T pít- tơng xê dịch khoảng Hình ? Hướng dẫn giải: - Ban đầu pít-tơng nằm cân hợp lực (trọng lực pít-tơng, áp lực khí bên bên ngồi pít-tơng gây ra) - Khi nhiệt độ tăng áp suất khí hình trụ tăng S 1> S2 nên pít-tơng dịch chuyển lên đoạn l, nó dừng lại có cân lực - Gọi p, p0 áp suất khơng khí bên bên ngồi pít- tơng Khi pít- tơng cân ta có : (m1 + m2)g + p0(S1 - S2) = p(S1 - S2) (m1  m2 ) g  p0 ( S1  S 2) ) S1  S Suy p = - Khi nhiệt độ tăng thêm T, áp suất pít-tơng tăng làm nó dịch lên phía đoạn l Khi cân áp suất bên lại p nên trình coi đẳng áp : V V1 V l ( S1  S )    T T1 T T m V mR mRT RT    l  T p ( S1  S2 )  p Mặt khác : pV =  mRT l    (m1  m2 ) g  p0 ( S1  S ) Cuối ta có : Bài ( Trích Bồi dưỡng HSG Vật lí THPT - Nhiệt học Vật lí phân tử ) Một mol khí lí tưởng đơn nguyên tử được giữ xilanh cách nhiệt nằm ngang pít-tơng P cách nhiệt hình Pít-tơng P gắn vào đầu lò xo L, lò xo L nằm dọc theo trục xilanh, đầu lò xo L gắn vào cuối xilanh Trong xilanh ngồi phần chứa khí chân khơng Ban đầu giữ cho píttơng P vị trí lị xo khơng bị biến dạng, đó khí xilanh có áp suất p = kPa nhiệt độ T1= 308K P Thả cho pít-tơng chuyển động thấy L khí giãn ra, đến trạng thái cân cuối p1, T1 thể tích khí gấp đơi thể tích ban đầu Tìm nhiệt độ T2 áp suất khí p2 đó Hình Hướng dẫn giải: - Pít-tơng xilanh cách nhiệt, nên biến đổi trạng thái khí đoạn nhiệt Vì có chênh lệch áp suất lượng khí xét chân khơng xi lanh nên gây tượng giãn nở khí Do đó pít-tơng P bị đẩy sang phải - Gọi tiết diện pít-tơng S - Theo ngun lý I NĐLH : Q = ( q trình giãn khí đoạn nhiệt, không thuận nghịch)  U   A (*) ( khí sinh cơng) , mà U = Cv T= R(T2- T1) Cơng mà khí sinh làm nén lị xo đoạn x cơng lực đàn hồi nên có: A=2 kx2 - Mặt khác pít- tơng trạng thái cân ta có: p 2S = kx V2 = 2x.S  x= Từ đó V2 2S :A=2 Thay A = 2 kx = k.x.x = p2S.x ( p2V2 = nRT2, n= 1mol) =2 p2S V2 2S =4 p2.V2 =4 RT2 RT2 vào (*) ta có: R(T2- T1) = -4 RT2  T2 = Theo phương trình trạng thái khí lí tưởng ta có:  p2  T1 = 264K p1V1 p2V2  T1 T2 p1 T2 7.6   3kPa T1 2.7 Bài ( Trích Tuyển tập Olympic 30-4 lần thứ XVI năm 2010) Một xilanh cách nhiệt chứa mol khí H mol khí He ngăn cách với vách ngăn AB Một pit-tông P cách nhiệt di động làm thay đổi thể tích khí chứa xilanh ( hình ) Vách ngăn di động, dẫn nhiệt lí tưởng, có nhiệt dung khơng đáng kể Thể tích ban đầu khí H2 khí He V0 Nhiệt độ ban đầu hai khí T Hình Nén pít-tơng chậm để thực q trình thuận nghịch giảm thể tích khí xilanh từ 2V0 đến V0 1) Áp suất khí biến đổi thế nào? 2) Tính cơng nén khí? Hướng dẫn giải: 1) Xét q trình đó thể tích V hai mol khí biến đổi nhỏ dV Công sinh là: dA = pdV, nhiệt nhận được : dQ = Theo nguyên lí I NĐLH: dU = - dA (1)    5 dU  CVH  CVHe dT   R  R dT  4RdT 2  2 Mặt khác: Theo phương trình C - M: pV = 2RT ( n = 2mol) dA = pdV Do đó: dU = 4RdT = 2d( pV ) = 2pdV + 2Vdp 2pdV + 2Vdp = -pdV (2) dp dV  pdV  2Vdp      pV  const p V Từ (1) (3) 2RT0 Khi thể tích biến đổi từ V0 = 2V đến V1 = V áp suất biến đổi từ p0 = V0 đến p1:  V0  p1  p0    p0 2  2,83 p0  V1  2) Tính cơng nén khí: ta có: A' = - A = U = 4R T với T = T1 - T0 1  V0  T1  T0    T0 2  1, 414T0  V1  nên A' = 4R 0,414T0 = 1,66RT0 * Nhận xét : Sự biến đổi trạng thái khí ba tập có liên quan đến tượng học, cần phải phân tích kỹ tượng toán sử dụng kiến thức phương trình trạng thái khí lí tưởng, phương trình C-M, nguyên lí NĐLH kết hợp với kiến thức học có liên quan để giải toán Bài (Trích trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu- An Giang đề đề nghị thi HSG ĐBSCL - Năm học 2008 – 2009) B Trong xy lanh thẳng đứng, thành cách nhiệt có hai pith tông: pit-tông A nhẹ (trọng lượng có thể bỏ qua) dẫn nhiệt, pitA tơng B nặng cách nhiệt (hình 10) Hai pit-tơng đáy xylanh tạo h thành hai ngăn, ngăn chứa mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử có chiều cao h = 0,5m Ban đầu hệ trạng thái cân nhiệt Hình 10 Làm cho khí nóng lên thật chậm cách cho khí (qua đáy dưới) nhiệt lượng Q = 100J Pit-tông A có ma sát với thành bình khơng chuyển động, pit-tơng B chuyển động khơng ma sát với thành bình Tính lực ma sát tác dụng lên pit-tông A Hướng dẫn giải  Gọi: · nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ sau hệ T0 T1 · p0 áp suất ban đầu hệ  Xét ngăn : · Khí tăng nhiệt độ đẳng áp từ T0 đến T1, thể tích nó tăng từ V0 đến V1 : V1  V0 T1 T0  A p0V0  T1  T0   R  T1  T0  T0 0 0 · Công A khí sinh :  Xét ngăn dưới: Khí nóng đẳng tích từ T0 đến T1 áp suất tăng từ p0 đến p1: A  P V V p1  Áp dụng nguyên lý I cho hệ: T1 p0 T0 U  Q  A  Q  R  T1  T0  b/ Nhiệt dung riêng chất đại lượng vật lý có giá trị nhiệt lượng cần truyền cho đơn vị khối lượng chất nói chung đơn vị khối lượng khí nói riêng đó để làm tăng nhiệt độ nó thêm 10 c= c/ Nhiệt dung kmol chất đại lượng vật lý có giá trị nhiệt lượng cần truyền cho 1kmol chất nói chung kmol khí nói riêng để nhiệt độ nó tăng lên 10 C= d/ Nhiệt dung kmol đẳng tích đẳng áp + Nhiệt dung kmol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho kmol chất khí để nhiệt độ tăng lên độ điều kiện thể tích khơng đổi: CV = Theo nguyên lý I ta có: dQ = dU+ dA = dU V= const Vậy CV = = + Nhiệt dung kmol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho kmol chất khí để nhiệt độ tăng lên độ điều kiện áp suất không đổi: Cp = Ta có: dQ Theo M-C ta có: = dU+ dA Cp p = const = = Vậy Cp = e/ Mối quan hệ nhiệt dung riêng đẳng tích đẳng áp: Theo nguyên lý cho 1mol khí q trình đẳng áp ta có : dQ = dU + dA (1) dQ = Cp.dT; dU = CV.dT; dA = pdV Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + p (2) Mắt khác ta có: pV= RT pdV = RdT p Vậy từ (1) ta có: Cp = Cv + R =R + Hằng số Poatxong:  = = 7/ Công thực q trình biến đổi + Cơng ngun tố thực trình biến đổi nhỏ: dA = pdV Vậy A = + Công xác định theo đồ thị pOV: Cơng có giá trị diện tích phần hình phẳng giới hạn đường biểu diễn trình biến đổi trục hoành p OV M N A= SMNPQ O Q P V + Cơng q trình đẳng nhiệt: dA = pdV-> A = = p1V1 = p2V2 + Quá trình đoạn nhiệt: Là trình biến đổi trạng thái khí đó khí khơng trao đổi nhiệt lượng với mơi trường bên ngồi: Q = ; ta có: A = U + Công thực trình đoạn nhiệt: Ta có dA = - dU A = T1) = nCVT1(1- = -n =-n (T2 - ) Mắt khác có  = Vậy A = n (1) Mối quan hệ thông số trạng thái trình đoạn nhiệt Có dA = - dU hay pdV + nCVdT =  n RT + nCV dT = CV + =0 Lấy tích phân hai vế ta có: CV +R = hay lnT + lnV-1 = hay T.V-1 = const const II Lý thuyết động học động lực học Định luật II Newton: F = ma điều kiện cân chất điểm: = Các lực học: - Trọng lực : P = mg - Lực ma sát: Fms=  N - Lực đàn hồi: F = K l pV = Khối tâm vật rắn : điểm được coi mang toàn khối lượng vật n n  mi xi Công thức xác định khối tâm vật rắn : xG  i 1 M n  mi yi ; yG  i 1 M  mi zi ; zG  i 1 M   xG  P xdp     rG   r dp   yG  ydp P P   z  zdp G  P  Nếu vật rắn phân bố liên tục HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài Một bình có thể tích V chứa mol KLT có cài van bảo hiểm xilanh(có kích thước nhỏ so với bình) có pittơng diện tích S, giữ lị xo có độ cứng k Khi nhiệt độ khí T pittơng cách lỗ khí đoạn L Nhiệt độ khí tăng tới giá trị T2 khí ngồi? HD: Khi nhiệt độ bình tăng áp suất khí bình tăng theo tác dụng lực vào pittơng, đẩy pittơng sang phải, đồng thời pittơng cịn chịu tác dụng lực đần hồi Khí pittơng đến cửa khí nghĩa áp lực tăng áp suất gây thắng lực đàn hồi làm pittông được quãng đường S KT sử dụng: Điều kiện lực để pittông dịch chuyển được, ph M-C cho biến đổi trạng thái khí pittơng Giải: Vì thể tích xilanh nhỏ có thể bỏ qua nên L coi biến đổi trạng thái khí bình đẳng tích Để khí ngồi (p2- p1)S  k.L p2- p1 k.L/S (1) p1: áp suất ban đầu; p2: áp suất khí tăng nhiệt độ Dấu “ = ” xảy khí bắt đầu ngồi Mặt khác theo pt M-C ta có: p2 = RT2/V; p1 = RT1/V (2) Từ (1) (2) suy ra: T2 - T1  k.L.V/SR T2  T1+ k.L.V/SR Bài Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử được giữ xilanh cách nhiệt nằm ngang pittông P cách nhiệt Pittông P gắn vào đầu lò xo L, lò xo L nằm dọc theo trục xilanh, đầu lò xo L gắn vào cuối xilanh Trong xilanh phần chứa khí chân khơng Ban đầu giữ cho pittơng P vị trí lị xo khơng bị biến dạng, đó khí xilanh có áp suất p = 7kPa nhiệt độ T1= 308K Thả cho pittơng chuyển động thấy P khí giãn ra, đến trạng thái cân cuối L thể tích khí gấp đơi thể tích ban p1, T1 đầu Tìm nhiệt độ T2 áp suất khí p2 đó Giải: Vì xilanh pittơng cách nhiệt nên biến đổi trạng thái khí xi lanh đoạn nhiệt TT đầu : p1 = 7kPa, T1 = 308K, V1= V0 TT sau : p2 = ? , T1 = ? , V1= 2V0 Gọi tiết diện pittơng S chiều dài phần xikanh chứa khí ban đầu h Do nhiệt độ tăng nên nội khí biến đổi lượng: U = Cv T= R(T2- T1) Cơng mà khí sinh làm nén lị xo đoạn x cơng lực đàn hồi nên có: A= kx2 Theo nguyên lý I NĐLH ta có: U = -A (1)  R(T2- T1) = Mặt khác pittông trạng thái cânbằng ta có: p2S = kx Và V2 = 2x.S vật x = V2/2S Từ đó có A = kx2 = Thay vào (1) ta có: k.x.x = R(T2- T1) = p2S.x= p2S RT2 T2 = = p2.V2 = kx2 RT2 T1 = 264K Theo pttt ta có: Vậy p2 = p1= 3kPa 2l Bài Một bình hình trụ trịn nằm ngang, dài 2l Một pitong mỏng khơng dẫn nhiệt ngăn bình thành hai phần Mỗi phần chứa n mol KLT nhiệt k k độ T Hai lò xo chưa biến dạng nối pitong với hai đầu bình có độ cứng k Phần khí bên phải hấp thụ n,T n,T nhiệt lượng Q làm cho pitong dịch chuyển sang trái khoảng x = l/2 Hãy tính nhiệt lượng Q’ được truyền cho phần khí bên trái HD: Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp Q mà nhiệt lượng phần khí bên trái được truyền Q’ Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ Q – Q’ = A + U Với U: Tổng độ biến thiên nội hệ= n R.T A cơng mà khí thực độ dự trữ thế lị xo= KT: cơng lực đàn hồi+ điều kiện cân pitong+ nguyên lý I NDLH Giải Khi phần khí bên phải hấp thụ nhiệt lượng pitong từ vị trí giữa, ban đầu di chuyển khoảng cách y Gọi áp suất bình phải lúc đó p 2, áp suất bình bên trái đó p1 Pitong cân khi: (p2-p1)S – 2ky = (1) Xét dịch chuyển nhỏ pitong : y, đó tổng công mà hệ thực hiện: W= p2yS- p1yS (bên phải sinh công, bên trái nhận công) Hay (p2 - p1)yS = 2ky (2) Như cơng mà khí thực thế dự trữ lò xo Khi x = l/s W= (3) Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp Q mà nhiệt lượng phần khí bên trái được truyền Q’ Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ Q – Q’ = A + U Với U : tổng độ biến thiên nội hai phần khí U = n R.T Vì khí bên trái biến đổi đẳng nhiệt nên T: Độ tăng nhiệt độ phần khí bên phải Từ phương trình trạng thía KLT ta có: Áp suất khí bên phải: P = phần bên trái : p’ = Ta có: p = p’ + Fdh/S hay = + suy T= 2T+ Vậy Q’ = Q – 3nRT Bài Trong bình hình trụ thẳng đứng, thành xung quanh cách nhiệt, có hai pittơng: pít tơng A nhẹ ( trọng lượng có thể bỏ qua ) dẫn nhiệt, pít tơng B nặng cách nhiệt Hai pít tơng tạo thành hai ngăn bình ( xem hình vẽ Mỗi ngăn chứa mol khí lý tưởng lưỡng nguyên tử có chiều cao h = 0,5m Ban đầu hệ trạng h thái cân nhiệt Làm cho khí bình nóng lên thật chậm cách truyền cho khí ( qua đáy ) nhiệt h lượng Q = 100J Pít tơng A có ma sát với thành bình khơng chuyển động, pít tơng B chuyển động khơng có ma sát với thành bình Tính lực ma sát tác dụng lên pít tơng A Biết nội U mol khí lý tưởng lưỡng nguyên tử lý tưởng phụ thuộc vào nhiệt độ T khí theo cơng thức ( R số lý tưởng ) HD: Khí phía biến đổi đẳng áp, khí phía biến đổi đẳng tích, pitong A đứng yên nên Fms+ pB= pA từ đó tìm được Fms Giải: Gọi nhiệt độ ban đầu hệ T0, nhiệt độ sau T Áp suất khí hai ngăn ban đầu p0 Áp suất cuối ngăn dưới: p1= po , thể tích cuối ngăn trên:V1= Vo Độ tăng thể tích ngăn trên: V = Vo.( – 1) B A Công sinh ra: A = p0 V = R (T1-T0) Độ tăng nội năng: U = 2CV (T1-T0) =5 R (T1-T0) Theo nguyên lý I: Q = U+ A hay 6R (T1-T0)= 100 Lực ma sát tác dụng lên A: F = Q/6h = 33,3N Bài Có xi lanh hình vẽ, xi lanh có pitong có thể chuyển động không ma sát đồng thời chia xi lanh thành hai phần A B Phía xi lanh nối với phần C thông qua ống nhỏ có khóa K điều khiển Pitong được nối với thành xilanh lò xo, pitong nằm sát thành xilanh lị xo khơng biến dạng Lúc đầu khóa K đóng, B có chứa lượng khí định, A C chân không, bề cao phần B l 1= 0,1m thể tích B C lực lò xo tác dụng lên pitong trọng lượng pitong Sau đó mở khóa K đồng thời lật ngược hệ lại Tính chiều cao l2 phần B pitong cân Các lực tác dụng vào pitong : trọng lực P, Áp lực khơng khí phần B ; lực đàn hồi lò xo Fdh - Khi K đóng A * Gọi p1 áp suất khí phần B Fdh Điều kiện cân pitong : f A B l1 K C C Fdh Hay P+ Fdh= f 2kl1= p1.S B B l1 - Khi K mở lật ngược xi lanh : P Gọi p2 áp suất ngăn B+ C K Pitong cân : P+ f’ = Fdh hay f kl1 + p2.S= kl2 A P C Khí biến dổi đẳng nhiệt nên ta có : l1 P1V1= p2V2 hay : Vậy l2= l1 = 0,17m Bài Trong bình kín B có chứa hỗn hợp khí ơxi hêli Khí bình có thể thơng với mơi trường bên ngồi ống có khố K ống hình chữ U hai đầu để hở, đó có chứa thuỷ ngân (áp kế thuỷ ngân hình vẽ) Thể tích khí ống chữ U nhỏ khơng đáng kể so với thể tích bình Khối khí bình cân nhiệt với mơi trường bên ngồi áp suất cao nên chênh lệch mức thuỷ ngân hai nhánh chữ U h = 6,2 cm Người ta mở khoá K cho khí bình thơng với bên ngồi đóng lại Sau thời gian đủ dài để hệ cân nhiệt trở lại với mơi trường bên ngồi thấy độ chênh lệch l1 l1 L2 mức thuỷ ngân hai nhánh h' 2,2cm Cho O = 16; He = Hãy xác định tỷ số khối lượng ôxi hêli có bình Tính nhiệt lượng mà khí bình nhận được q trình nói Biết số mol khí cịn lại bình sau mở khố K n = 1; áp suất nhiệt độ môi trường lần lượt p 10 N / m ; T0 300K , khối   13 , g / cm lượng riêng thuỷ ngân ; gia tốc trọng trường g 10m / s Giải Lúc chưa mở khố K, khí có áp suất p0 : T0 p1 nở đoạn nhiệt có áp suất (1) 1   p1  p0  gh T1 p 1   Khi mở khố K, khí giãn T1  p1    T0  p  , suy 1   Khi đóng khố, q trình đẳng tích Khi cân khí có áp suất nhiệt độ T1  p p0 T1 gh2   1  T0 p2 p  gh2  p0 Ta có:  gh2 1  p0  Từ (1) (2) ta được:  1  (1   ) gh  p0 p  p0  gh2   ( 2)      gh1   1   (3)  p    h 1   h2  h1     h1  h2  1,55 Thay số ta tính được: Xét mol hỗn hợp, gọi hệ số mol He x, số mol tích He 3R/2, H2 H2  x 0,68 Từ y Nhiệt dung mol đẳng 5R/2 Nhiệt dung mol đẳng áp He 5R/2, 7R/2, nên ta hệ phương trình: Giải ta được H2 x  y 1 2,5 Rx  3,5Ry 1,55 1,5 Rx  2,5 Ry (5) đó ta tính được: m H 1  x 32g  3,8 m He x4 g (4) 2).Tính nhiệt lượng: Q trình biến đổi trạng thái khí đẳng tích Nhiệt dung mol đẳng tích hỗn hợp khí CV  R   , ta có: Q = nCV(T0- T2)=nCVT0(1- T2/T0) = n n = Bài  nRgh2T0 RT0  p0 1     1  p0  gh2    1 p0 135,6 J m1 m2 Một ống nghiệm có khối lượng m1đặt chân không Trong ống nghiệm có n mol KLT đơn nguyên tử khối lượng mol µ Khối khí được giữ nút nhỏ có khối lượng m 2(chiều dày khơng đáng kể) vị trí chia ống thành hai phần thể tích Ống nghiệm được đặt nằm ngang mặt phẳng bóng loáng nút được giải phóng khỏi ống nghiệm Tìm vận tốc ống nghiệm thời điểm nút vừa thoát khỏi ống ? bỏ qua trao đổi nhiệt, ma stá giứa nút ống nghiệm, động lượng nút trước thoát khỏi ống Bài HD: Chuyển động nút ống trình giãn nở đoạn nhiệt khí ống gây nên TT đầu: p0, V0, T0 Tt sau: p, V = 2V0, T PT đoạn nhiệt: TV-1= T0 V0-1=> T = T0/22/3(= 5/3) Độ biến thiên nội khí: U= (1) Cơng A = v1: vận tốc ống khí lúc nút bắn ra; v2: vận tốc nút bắn Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có: v2= A = (2) Do A = - U nên từ (1) (2) ta có: = Vậy v1= Bài Một bình kín hình trụ nằm ngang chứa đầy khí lý tưởng Khoảng cách hai đáy bình l Ban đầu nhiệt độ khí đồng T áp suất khí p0 Sau đó người ta đưa nhiệt độ đáy lên T 0+T.( T m pdV pdV p S dx T R.T  dm    (a  ) M RT R(T0  ax) R(T0  ax) T0 l  PV T0  T ln Rt T0 (1) Phương trình trạng thái cho khí nhiệt độ T0 áp suất P0: P0 V  P V m R.T0  m  M RT0 (2) P0V  P.V T0  T  ln R T R  T T0 Từ (1 ) ( ) suy ra: T P0 T0  P  T   ln  T    T  T  T    T  T0  ln1    T0  T0  T0   Vì  P  P0  1 T  P0 1  T T0  1 T0    b Gọi xG khoảng cách từ đáy có nhiệt độ T đến khối tâm G lượng khí Khi nhiệt độ khí đồng = T dm xG   x m  xG  với PS RT0 => dm  P dv RT = P S SR xG  l Khi đáy có nhiệt độ T 0+T thì: dx x T0  T l l xdx T x 1 T0 l  T a T l Với ta có l l l xdx dx dx      ax a a.1  ax  l   ln mn1  al  a a l2 = T0 T  T0  T       ln1  1    T T     T  T  T  T     ln1    T  T0  T0  T0   T    T0   Lấy phép tính gần đến  T  T         T0  T0     1 T T    xG l   P  P0 1  T0    12 T0 PS T  xG  l mRT0 T    với Như vậy, tăng nhiệt độ đáy lên T0+T khối tâm chuyển dời l T xG  12 T0 phía đáy có nhiệt độn T khơng đổi đoạn Bài Khí lý tưởng chứa tong chai lớn thể tích V Một ống thủy tinh tiết diện ngang A chứa viên bi lắp vừa khít với chai , áp suất cân chai cao áp suất khí p có trọng lượng viên bi Nếu viên bi bị kéo khổi vị trí cân khoảng nhỏ nó dao động điều hịa (bỏ qua ma sát ) Nếu trạng thái chất khí biểu diễn q trình đoạn nhiệt chuẩn tĩnh, tìm tần số dao động viên bi HD: Khi kéo cầu khỏi vị trí cân đoạn nhỏ có chênh lêch áp suất nên có lực tác dụng kéo cầu vị trí cân q trình tiếp theo giống vật dao động điều hòa KT sử dụng: Lập phương trình vi phân chứng minh vật dao động điều hịa Giải: pttt cho chất khí pV = const hay = (1) MẶt khác ta có: lực tác dụng vào bi làm nó dao động F = Adp Độ dịch chuyển bi x = dV/A Vậy từ ta có: Adp = - A2 (2)với p = p0+ mg/A Đặt k =A2 (2) được viết lại dạng: F = -kx Vậy bi dao động điều hòa với tần số : f = Bài 10 Một pitong nặng có diện tích S thả xuống tự đẩy khí từ bình hình trụ thể tích V qua lỗ nhỏ đãy vào bình có thể tích, thơng số trạng th khí ban đầu hai bình giá trị điều kiện tiêu chuẩn Hỏi pitong có khối lượng cực tiểu để nó có thể đẩy hết khí khỏi bình thứ Xác định Mmin nếu khí bình khí lưỡng nguyên tử bình pitong cách nhiệt tốt HD: pitong đẩy được hết khí bình lực pitong áp suất khí gây lớn lực áp suất khí bình gây tại thời điểm mà khí đượn dồn sang bình cịn lại Khí bình được nén đoạn nhiệt từ thể tích 2V đến thể tích V TTđầu: p02V = nRT0 (1); TT sau: p1V = nRT1 (2); Công thực lên pitong: A = Mg + p0S = (Mg+ p0S) (3) Theo nguyên lý I: A’+ U = hay A = - 0,5inR(T1- T0) (4) Từ 1,2, ta có: A = - (p1- p0).V (5) Từ ta có : (Mg+ p0S) = (p1- p0).V Vậy p1= 2p0 + (6) Để pitong có thể đẩy hết khí sang bình p1S  Mg+ p0S(7) Coi khí bình khí lưỡng ngun tử i = M  S Bài 11 Một lượng khí được giữ xi lanh k P0 pittong nhẹ tiết diện S có thể chuyển động không ma sát Pitong nối với đáy xi lanh dây cao su Ban đầu khí xi lanh có áp suất p0 Pitong cách đáy khoảng l0 Truyền nhiệt lượng cho khí xi lanh với tốc độ khơng đổi nhiệt độ khí tăng theo thời gian Tìm đọ cứng k dây cao su Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu truyền nhiệt , thời điểm T nhiệt độ khí là: T = T0+ αt (α: Hằng số) Bỏ qua khối lượng pitong áp suất khí xi lanh: p = p0+ x: Độ dịch chuyển P, độ giãn dây cao su S Theo PTTT ta có: k (1) Cơng mà khí thực hiện: A = + p0Sx Tốc độ truyền nhiệt không đổi nội tăng nên theo nguyên lý I x NĐLH: suy dx/dt = (2) Từ (1) (2) ta có: klo= p0S => k = poS/l0 Bài 12 Một xi lanh hình vẽ (h.3) chứa khí lý tưởng, được đóng kín pittơng khối lượng M, tiết diện S, có thể chuyển động xilanh Lúc đầu giữ pittơng vị trí cho áp suất bình áp suất khí bên ngồi Thành xilanh pittơng cách nhiệt Bng pittơng, pittơng chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí Hình cuối có độ cao h so với đáy xilanh Tuy nhiên, trước đạt đến vị trí cân này, pittơng thực dao động nhỏ Giả sử giai đoạn pittông dao động nhỏ, q trình biến đổi khí thuận nghịch, tính chu kỳ dao động nhỏ đó HD: Do pitong xi lanh cách nhiệt nên khí biến đổi đoạn nhiệt KT: phương trình DLH viết cho pitong phương trình đoạn nhiệt cho khí Bài Khi cân pittơng nằm cách đáy h khí xy lanh có áp suất p1: Mg p1 = p0 + S Khi pittơng vị trí có li độ x khí có áp suất p Vì q trình đoạn nhiệt nên: p(Sh  Sx )  p1 (Sh )  (1),  tỷ số nhiệt dung đẳng áp đẳng tích        p1 1   x  h 1 x      p = p1  h  Nếu bỏ qua lực ma sát pittơng thành bình thì: x x   p S  p 1   S  Mg Mx"   p1 S Mx"  x"  p S x h h  Mh Dao động điều hoà với tần số góc: P0  (Mg  p S) Mh Bài 13 Một bình hình trụ cách nhiệt được phân làm hai ngăn pitong nhệ Pitong có khả truyền nhiệt yếu có thể trượt khơng ma sát dọc theo thành bình Biết ngăn bình có có chứa 10gam hêli nhiệt độ 500K, cịn ngăn có chứa 3gam khí Hidro nhiệt độ 400K Hỏi nhiệt độ trung bình hệ cân áp suất thay đổi lần ? Xác định nhiệt dung khí lúc đầu q trình cân nhiệt độ Bỏ qua nhiệt dung pitong bình HD: Kí hiệu V1, T1, p1, V’1, T’1, p’1, V2, T2, p2, V’2, T’2, p’2 thông số hai khí trạng thái đầu trạng thái cuối, V0 thể tích bình Áp suất hai khí ln Khi hệ cân nhiệt ta có: T’1= T’2= T Từ phương trình trạng thái điều kiện cân pitong: p1V1= n1RT1 p2V2= n2RT2 với p1= p2 V2= V0- V1 tìm được V1= V0; V1’=V0 Do xi lanh cách nhiệt nên ta có: U1+ U2= hay n1CV1(T – T1) = n2CV2(T – T2) Suy T = = 450Kcung từ pttt ta tìm được p1/p1’ = 36/37; CV1= CV2 Do xi lanh cách nhiệt nên dU1= -dU2 hay dT1= -dT2 Xét trạng thái gần trạng thái đầu ta có: p1 = p2 hay : => (1) (do n1T1V2= n2T2V1) Theo nguyên lý I NDLH ta có:C1 = CV1 + p suy C1= R Bài 14 Xi lanh có tiết diện S = 100cm2 với pittông p vách ngăn V làm chất cách nhiệt Nắp K vách mở áp suất bên phải lớn áp suất bên trái Ban đầu phần bên trái xi lanh có chiều dài l = 1,12m chứa m1 = 12g khí Hêli, phần bên phải có chiều dài l = 1,12m chứa m2 = 2g K P0 khí Hêli nhiệt độ hai bên T0 = 273K Ấn từ từ pittông sang trái, ngừng chút nắp mở V đẩy pittơng tới sát vách V Tìm cơng thực H.4 biết áp suất khơng khí bên ngồi P0 = 10 N/m nhiệt dung riêng đẳng tích đẳng áp Hêli bằng: Cv =3,15.103J/(kg độ); Cp = 5,25.103( J/kg.độ) HD: Công lực tác dụng lên pitong áp suất po thực làm tăng nội chất khí bị nén đoạn nhiệt: A= U = cv(m1+ m2)(T- T0) với T nhiệt độ sau khí nén Tìm T để tìm được A Lúc đầu áp suất bên trái lớn áp suất bên phải lên K chưa mở Khí bên phải bị nén đoạn nhiệt thể tích giảm đến V nhiệt độ khí lúc T áp suấ p2 nắp mở lúc hai lượng khí trộn vào có nhiệt T Khi đó nội bên giảm bên tăng độ thay đổi nhau: cVm1(T2-T0)= cVm2(T1-T2) từ đó ta tìm được T2 Sau đó khối khí m1+ m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V = V0+ V1 xuốngV0 v nhiệt độ tăng từ T2 đến nhiệt độ cuối T từ đó tìm được T Mặt khác ta có A = A1+ A2 với A2 = po.S.l cơng áp suất ngồi thực từ đó tìm được A1 cơng lưc ngoại thưc m1 R.T0 μ lS lớn áp suất bên phải vách Lúc đầu áp suất khí bên trái P1 = m R.T0 μ lS P2 = Khối khí bên phải bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V0 = lS xuống V1, áp suất nó tăng lên đến P1 : P2V0 = P1 V1  V1  P2  = V0  P1 1     m2     m1   = V0 (1)  m2  P1V1   T0 m P V   Khi đó nhiệt độ bên phải: T1 = = T0 1   (2) Sau nắp K mở hai khí hồ trộn vào có nhiệt độ T2: Cvm1(T2- T0) = Cvm2(T1 - T0)   m1   m  γ  T0 1   m1T0  m 2T1 m1  m   m1      T2 = m1  m = (3) Sau đó lượng khí m = m1 + m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V = V0 + V1 đến V0 , nhiệt độ tăng từ T2 đến T, ta có : T V0g -1 = T2(V0 + V1)g -1 (4) Thay (1) (3) vào (4) ta được:  V0  V1     V0  γ 1   m1.T0   m  γ    1  m1  m   m1     γ T = T2 (5) Công lực tác dụng lên pittông áp suất khí P0 thực làm tăng nội chất khí bị nén đoạn nhiệt A= A1 + A2 = U = Cv(m1 + m2) (T- T0) (6), với A1 = P0S.l Thay (5) vào (6), thay số vào ta được A2 = 3674 (J) Tài liệu tham khảo Tạp chí vật lý tuổi trẻ Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi phần nhiệt học Đề thi học sinh giỏi quốc gia tuyển tập đề thi olympic vật lý 30-4 Một số tư liệu đồng nghiệp ... GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CƠ NHIỆT Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật lý Trường THPT Chuyên Lào Cai A Cơ sở lý thuyết I Lý thuyết nhiệt nhiệt động... 3674 (J) Tài liệu tham khảo Tạp chí vật lý tuổi trẻ Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi phần nhiệt học Đề thi học sinh giỏi quốc gia tuyển tập đề thi olympic vật lý 30-4 Một số tư liệu đồng nghiệp... học sinh lớp chuyên tập 2, NXB Giáo Dục, năm 1998 [ ] Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2009, 2010 [ ] Lê Văn Thông- Nguyễn Văn Thoại , Giải tốn chun đề Vật lí 10 Dùng cho HSG, trường chuyên, khiếu