PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ một SỐBÀI TOÁN cơ HỌC

Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN TR NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM NGUYỄNăTHỊ ăTHUăPH NG PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨ ăKHOAăḤCăTOANăHỌC TH́IăNGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đχ̣I HỌω THχI NGUYÊN TR NGăĐẠIăHỌCăS ăPHẠM NGUYỄNăTHỊ ăTHUăPH NG PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC ωhun nganh: TỐN GI I TÍωH M̃ ś: 60.46.01.02 LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨ ăKHOAăḤCăTOANăHỌC Ngươi hương dẫn khoa học: GS TSKHăHaăHuyăKhoai TH́IăNGUYÊNă- 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i M căl c Mởăđầu iii 1.ăăăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ăC PăC ăB̉N .1 1.1 Khái niệm phép biến hình b o giác .1 1.1.1 Đị nh nghĩ a 1.1.2 Phép biến hình thực b i hàm gi i tích 1.1.3 ψổ đề Schwarz 1.1.4 Nguyên lí đ́i x ng .2 1.2 Phép biến hình b o giác qua ś hàm sơ cấp .3 1.2.1 Phép biến hình tuyến tính .3 1.2.2 Phép biến hình nghịch đ o w = z 1.2.3 Phép biến hình Giucovski .6 2.ăăăB̀IăTÓNăTH MăPH NG 11 2.1 Phương trình chuyển động nước thấm .11 2.1.1 Khái niệm nước thấm 11 2.1.2 Vận t́c thấm 11 2.1.3 Định luật Darcy 13 2.1.4 Phương trình thấm 14 2.2 ψài toán thấm phẳng đồng chất 15 2.2.1 Thế vị ph c 15 2.2.2 Đư ng dòng đư ng 17 2.2.3 Điều kiện biên 18 2.2.3.1 ψiên không thấm .18 2.2.3.2 ψiên thấm 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.3.3 Biên rỉ .19 2.2.3.4 Đư ng b̃o hòa 20 3.ăăăPH D NGăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăB̀IăTÓNăTH MăCĨắP IăĆCăCƠNGăTR̀NHăTH YăLỢi.ă.ă .21 3.1 ψiến hình đa giác thành nửa mặt phẳng .21 3.1.1 M đầu .21 3.1.2 ωông th c Schwart – Christoffel 22 3.1.3 ψiến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng .23 3.1.4 Các hàm Jacobi 26 3.2 Thấm công trình th y lợi 28 3.2.1 Hình chữ nhật s c a tốn thấm có áp 28 3.2.2 Hộ đê phẳng lơp thâm sâu vô hạn .30 3.2.3 Hộ đê phẳng lơp thâm hữu hạn .33 3.2.4 Hộ đê phẳng lơp thâm hữu hạn co vach cư .37 PH NGăPHAPăBIÊNăHINHăBẢ OăGIACăTRONGăBAIăTOANăTHỂM KHÔNGăAP 43 4.1 Hàm Giucovski 43 4.2 Vách c̀ Giucovski 44 4.3 Thâm qua mang lươi co lọc đôi xưng 47 Kếtăluậnă 52 T̀IăLI UăTHAMăKH̉O 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii M ̉ ăĐỂU 1.ăLỦădoăchọnăđ ătƠi Khái niệm ánh x b o giác khái niệm quan trọng c a toán học phần lý thú c a lý thuyết hàm biến ph c ψài tốn b n khó c a lý thuyết ánh x b o giác tìm hàm chỉnh hình thực ánh x b o giác miền cho trước lên miền cho trước ψài tốn có ý nghĩa thực hành lớn, nhiên ngày ngư i ta chưa có phương pháp đ hiệu lực để gi i nó, nhiều trư ng hợp đơn gi n (nhưng đầy thú vị) tốn gi i nh hàm ś sơ cấp biến ph c Đặc biệt năm 2005, GS Darren ωrowdy đ̃ có cơng trình đột phá việc ánh x b o giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng ph c (công th c Schwart-Christoffel cho trư ng hợp đa liên), công cụ vô quan trọng cho tất c nhà toán học, kỹ sư nhà khoa học mún chiếu thơng tin hình kh́i ph c t p thành hình d ng đơn gi n hình trịn để dễ dàng việc phân tích Kết qu cịn sử dụng nhiều lĩnh vực khác, chẳng h n mô hình hóa trực quan hóa cấu trúc ph c t p c a hệ thần kinh Trong luận văn này, sử dụng công th c Schwart-ωhristoffel cho miền đơn liên Và trước ś kỹ thuật gi i tích giới sinh viên toán ng dụng dùng đến nhiều so với phương pháp chiếu b o giác, ví dụ phương pháp cổ điển để gi i toán học continuum, tĩnh điện, hay lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace Poission hai chiều, với mà tính chất phép biến hình b o giác nh hàm ś Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv sơ cấp biến ph c đ̃ gi i nhiều toán ng dụng trư ng tĩnh điện học chất lỏng, Xuất phát t̀ thực tế đó, sau tiến hành nghiên c u vài ng dụng c a phép biến hình b o giác, tơi đ̃ chọn đề tài với vài toán ng dụng phép biến hình b o giác đ̃ m rộng, mơ lên phần chuyển động c a dòng nước học chất lỏng 2.ăPh ngăphápănghiênăcứu Sưu tầm đọc tài liệu t̀ t p chí, giáo trình nước qúc tế có liên quan đến phép biến hình b o giác ng dụng c a phép biến hình b o giác chuyển động học T̀ đó, tìm hiểu m rộng để nghiên c u vấn đề c a đề tài 3.ăM căđíchăc aăluậnăvĕn Mục đích c a luận văn trình bày ś ng dụng c a phép biến hình b o giác ś lớp tốn quan trọng c a học, cụ thể tốn chuyển động c a nước ngầm cơng trình th y lợi T̀ giúp nhà nghiên c u, làm để xây dựng cơng trình th y lợi đ t chất lượng t́t 4.ăN iădungăc aăluậnăvĕn Luận văn gồm b́n chương Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình b o giác ś phép biến hình b o giác quan trọng gi i tích ph c Chương 2: Giới thiệu phương trình chuyển động nước thấm vấn đề liên quan vận t́c thấm, quy luật thấm T̀ đưa tốn thấm phẳng đồng chất Chương 3: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i tốn thấm có áp cơng trình th y lợi cách tìm hàm biến hình b o giác miền vị ph c lên miền thấm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v Chương 4: Trình bày ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i tốn thấm khơng áp cơng trình th y lợi Trong toán miền thấm chưa xác định nên ph i sử dụng hàm Giućpxki cho miền giá trị c a xác định Sau ta tìm hàm biến hình b o giác miền vị ph c lên miền xác định T̀ ta tìm quan hệ miền thấm hàm vị ph c Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Hà Huy Khối, người thầy hướng dẫn tận tình bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn lớp cao học K18B, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện mặt để giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên tháng 08 năm 2012 Tác gi Nguyễn Thị Thu Phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch ngă1 PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ă CỂPăC ăBẢN 1.1 KH́IăNI MăV̀ăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC 1.1.1 Đị nhănghĩ a: Một phep biên hinh được gọi la bảo giac nêu no co cac tinh chât sau: - ψ o tồn góc hai đư ng cong qua z (kể cả đợ lơn va hương) - ωó hệ ś co d̃n khơng đổi t i điểm đó, nghĩa đư ng cong qua z có hệ ś co d̃n qua phép biến hình Nếu phép biến hình b o giác t i điểm c a miền G gọi b o giác miền G 1.1.2.ăPhépăbiếnăhìnhăthựcăhi năbởiăhƠmăgi iătích: ωho hàm w = f(z) đơn diệp, gi i tích miền G Do ý nghĩa hình học c a f '(z) ta thấy phép biến hình thực b i hàm w = f(z) b o giác t i điểm mà f '(z)  Nếu xét lân cận nhỏ c a điểm z, phép biến hình b o giác phép đồng d ng tính chất b o tồn góc ωác góc tương ng hai hình Mặt khác xem hệ ś co d̃n khơng đổi tỉ ś hai c nh tương ng không đổi Ngược l i ngư i ta ch ng minh phép biến hình w = f(z) đơn diệp b o giác miền G hàm w = f(z) gi i tích G có đ o hàm f '(z)  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3.ăBổăđ ăSchwarz: Gi sử hàm f(z) gi i tích hình trịn | z | < R f(0) = Nếu | z |  M với z mà | z | < R ta có: f (z)  M z, R z R Mei z,  thực đẳng th c x y t i z1 với < | z | < R f (z)  R 1.1.4.ăNguyênălíăđ iăxứng: Trước hết ta th̀a nhận tính chất đặc biệt c a hàm biến ph c mà hàm biến ś thực không có, tính nhất, phát biểu sau: Giả sử hai hàm f(z) g(z) giải tích miền D thoả mãn f(z) = g(z) cung L nằm D, f(z) = g(z) tồn miền D Gi sử D1 D2 nằm kề có biên chung L x Hìnhă1.1 Gi sử f1(z) gi i tích D1 f2(z) gi i tích D2 Nếu f1(z) = f2(z) L ta gọi f2(z) thác triển gi i tích c a f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính c a hàm gi i tích f3(z) thác triển gi i tích c a f1(z) qua L sang miền D2 ta ph i có f3(z) = f2(z) D2 ωách nhanh để tìm thác triển gi i tích c a hàm cho trước áp dụng nguyên lí đ́i x ng sau đây: Giả sử biên miền D1 chứa đoạn thẳng L f1(z) biến bảo giác D1 lên B1 L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên B1 Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn thác triển giải tích f2(z) f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2 nằm đối xứng với B1 T hàm: D1  f1(z)  f(z)=  f1(z)= f (z) L  f (z) D2  biến bảo giác D thành B Nguyên lí đ́i x ng thư ng dùng để tìm phép biến hình b o giác hai miền đ́i x ng cho trước 1.2 PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăQUAăṂTăŚăH̀MăS ăC P 1.2.1 Phépăbiếnăhìnhătuyếnătính Xét hàm tuyến tính w = az + b đo a, b la cac ś ph c, a  Nếu a  a ei w = a ei z + b Phép biến hình tuyến tính b o giác tồn mặt phẳng ph c f '  z   a  vơi mọi z ฀ Hàm tuyến tính coi hợp c a hàm sau:   kz (k  a  0)   ei  (  Arga) w=+b Nếu biểu diễn điểm , , w mặt phẳng dựa vào ý nghĩa hình học c a phép nhân phép cộng ś ph c ta suy rằng: - Điểm  nhận t̀ điểm z phép co d̃n với hệ ś k Hìnhă1.2 - Điểm  nhận t̀ điểm  phép quay tâm O, góc quay  - Điểm w nhận t̀ điểm  phép tịnh tiến xác định b i vectơ biểu diễn ś ph c b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Đên điểm     1, ta lại quay quanh điểm một goc , log s̃ 1  biên thiên –i, tưc la z sẽ biên thiên  Ai A (i)   2 ' 2 ' Mặt khac xet miên thâm thi z biên thiên –Ti, nên ta co  A Ai 2T  Ti hay   2 ' '  Như vậy (3.49) s̃ thành Gi i theo  ta co   2 2T z arcth  '    2   '2 th đo ta lây dâu + hay – , tùy theo z Thay gia trị của đ́i với  ta co (3.50) (3.51) z 2T bên ph i hay bên trái c a trục o A tư (3.50) vào (3.48) ta sẽ co '   sin S S ,  '  cos 2T 2T (3.52)    cos S z S th  tan 2T 2T 2T 1  cos S  S th  tan 2T 2T 2T (3.53) Cho z  1 z   , vơi quy luật dâu ta sẽ co S  S 2  cos th 2  tan 2T 2T 2T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.54) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Theo mục 3.1 c a chương , toán thấm s̃ gi i ta biên được hinh chữ nhật bản của miên thê vị  lên nửa mặt phẳng  , cho cac đỉ nh ưng vơi cac điểm  , 5 ,  ,  Ta hãy viêt công thưc Schwart – ωhristoffel dươi dạng vi phân d  M d                   M d    2    1     1 Hìnhă3.11 Thay  ta đưa vao biên sô mơi u xac đị nh bởi sn 2u  sn  u,k   Ta co:  2   , k   2 cn u  cn  u,k    sn u   1  2  1  1 1  2  (3.55)  2     2 dn u  dn  u,k    k 2sn u   2   1  1   2 Lây vi phân của sn2u, theo (3.55) ta co 2snucnudnudu   2  2 d    2 2 đo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 du  1  1 1  2   vơi d    2    1     1   d (3.56) M 1  1 1  2  (3.57) 2.11,      = 0, theo miền thê vị đã chọn hinh đông thơi theo (3.55) snu = 0, tưc la u = Vậy tư (3.56) ta rut u t̀ (3.55) sn   M (3.58)   2    M   2 T i     2 mặt theo (3.55), sn mặt khac   Qi (hình 3.11) Vậy Q T i   5   , mặt theo      , tưc la   iK ' , M M M K'  (3.60) (3.55), sn    K  iK ' , mặt khac   H  Qi Vậy: M M Quan hệ   (3.59)    , tưc la M k H K (3.61) (3.59) trở sn K  2    H   2 (3.62) Đồng th i t̀ (3.60) (3.61) ta suy công thưc tinh lưu lượng: Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên HK ' K http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 ây K va K' ng với môđun k (3.55) Trong trương hợp đơi xưng la: 1     (hình 3.12), ta có: 1  2    cos k   1  S  S th  tan 2T 2T 2T Hìnhă3.12 Vơi quan hệ thê giữa k va  , ta có đẳng thưc Landen K '(k) K '()  K(k) 2K() lưu lượng co thể viêt Q HK '() 2K() Điêu ma ta co thể thây được băng cach biên miên thâm lên nửa mặt phẳng dươi băng phep biên đởi (3.53) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Ch PH ngă4 NGăPHAPăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăTRONGăB̀Iă TÓNăTH MăKHÔNGắP Đặc trưng c a chuyển động thấm khơng áp có mặt tự (hay gọi mặt b̃o hòa) So vơi chuyển động co ap, việc nghiên cưu cac bai toan thâm khơng ap phưc tạp nhi ều trư ng hợp có phần biên giới c a miền thấm chưa biết Đo chinh la mặt tự Phương phap giải cac bai tốn có áp tìm hàm biến hình b o giác miền vị ph c lên miền thấm Trong cac bai toan t hâm không ap phương phap biên hinh bảo giac trực tiêp thê không dung được nữa vi miên thâm chưa xac đị nh Để khăc phục khó khăn ngư i ta đưa hàm phụ cho miền giá trị c a hoàn toàn xac đị nh Sau đo ta tim hàm biến hình b o giác miên lên miên thê vị phưc Thông qua môi liên hệ đo ta tim được quan hệ giữa ham thê vị phưc va miên thâm Hơn thê nữa ta xac đị nh được phương trinh mặt tự Dươi la phương ph́p h̀m Giucovski cho bai toan 4.1 HƠmăGiucovski Ta thây giữa thê vận tôc va ap suât co môi liên hệ sau:  p       y  g  Tư đo suy   p    y g Ta đặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 1    y (4.1) Hàm 1 sai khác áp suất ś nhân Vì   x, y  y hàm điều hòa hàm 1 hàm điều hòa (theo cac biên x , y) Rõ ràng hàm 2    x (4.2)   1  i2    iz (4.3) hàm điều hòa liên hợp với 1 Do đo ham hàm gi i tích Hàm  hàm sai khác  một hăng sô nhân gọi la hàm Giucovski Ta xem xet đưa ham Giucovski được lợi gi? Vân đê ta quan tâm la cac mặt tự biên mặt tự co dạng Như đã biêt điêu kiện   y  const ψởi vậy điêu kiện biên của ham Giucovski mặt tự co dạng Re   1  const (4.4) Nhơ hệ thưc (4.4) mà nhiều trư ng hợp miền giá trị c a hàm Giucovski hoan toan xac đị nh Dươi ta đưa một vai thi dụ vê ham Giucovski 4.2 Váchăc̀ăGiucovski Gi sử vách bê tông thẳng đ ng ngập sâu đất với chiều sâu  Phía thượng lưu co nươc vơi chiêu sâu H Nươc thâm quanh cọc cư va dâng lên sau cọc cư đên đọ cao cach mặt đât một khoảng băng d va tạo mặt tự (hình 4.1) Trươc hêt ta xet cụ thể điêu kiện biên mặt tự Trên đo ap suât băng ap suât không va thương xem băng không Nêu co ap lực mao dẫn thi ap suât đo băn g –ghM, vơi h M độ cao nước nâng đát mao dẫn Khi đo điêu kiện biên mặt tự la Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 1    y  h M (4.5) Hìnhă4.1 Trên biên χψ la biên thâm ta co   H (4.6) Trên biên ψω la biên không thâm ta đặt   Trên đoạn χψ ta co Giucovski χψ co dạng (4.7)   H y = 0, nên điêu kiện đôi vơi ham 1    y  H (4.8) 2    x  (4.9) Vì dọc theo ψωD   0, x  nên đo ta co Nhơ cac điêu kiện biên (4.5), (4.8) (4.9) miên của ham Giucovski mặt phẳng  hoàn toàn xác định Đo la nửa giải hinh vẽ 4.2 Hìnhă4.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Phép biến hình b o giác miền  lên nửa mặt phụ  (như hinh vẽ 4.2) có d ng     iz   H  hM H  hM arcsin     (4.10) Miên thê vị phưc  góc vng hinh 4.2 Phép biến hình b o giác miền nửa mặt phẳng phụ có d ng   H  H  hM  d   (4.11) Việc tim cac biểu thưc (4.10) (4.11) dựa vao cac phep biên hinh b o giác c a hàm sơ cấp Khử  tư (4.10) (4.11) ta co phương trinh xác định z sau: iz  H  hM H  hM  arcsin  (4.12) H  hM  d     2 Lây đạo ham cac phương trinh (4.10) (4.11) theo  ta co d dz H  hM  i   d d   2 d   H  h M  d   d 2    1 ωhia tưng vê cac phương trinh ta co:  i dz 2 H  hM  d    H  h M  d (4.13) Hệ thưc (4.13) cho phep ta xac đị nh được vận tôc thâm: W i  H  h M  d    d  dz   H  h M  d     2  H  h M  (4.14) Tuy nhiên biểu thưc (4.14) có tham ś d cần xác định Để xa đị nh ta ý rằn g tại điểm ω la đâu mut cọc cư thi W = , tưc la Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dz  0, d  http://www.lrc-tnu.edu.vn 47  điểm c a  ng với ω Thay điêu kiện đo vao (4.13) ta xac đị nh được o sau:  H  hM  0       H  hM  d  (4.15) Mặt khac, t i điểm ω ta có z  i Vì t̀ (4.15) (4.12) ta suy  H  hM  d  4H  hM    H  hM   2 2 2H  hM  2H  hM  arcsin   H  hM  d (4.16) Hệ thưc (4.16) cho phep ta xac đị nh được d qua cac đại lượng đã biêt Bây giơ ta tim phương trinh xac đị nh mặt tự Tư (4.10) (4.11) ta có      h M       H   H  h M  d  cos  2  H  h M    (4.17) Dọc theo mặt tự ta có   y  h M ,   0,    ix  h M  ,   y  h M Thay những điêu kiện vao (4.17) ta tim được phương tri nh xac đị nh mặt tự sau: y  H  h M   H  h M  d  ch x 2H  hM  (4.18) Đo la phương trinh của một đương dây xich cô đị nh tại điểm z  id 4.3 Thơmăquaămangăl iăcoălọcăđôiăx ng Gi sử máng có d ng đơn gi n đo n thẳng năm ngang dai ψG Nói cách khác độ cao mực nươc kênh không kể ωó hai r̃nh nước nằm ngang đ́i x ng đ́i với máng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hìnhă4.3 48 kho ng cách t̀ r̃nh thoát nước đến máng T (hình 4.3) ψây giơ ta xet cac điêu kiện biên Vì χψω biên thấm nên φ = const Ta đặt   ABC (4.19) Vì ωD đư ng b̃o hòa (mặt tự ) nên đo co hai điêu kiện   const   y  const Ta đặt  Q   y  DC (4.20) ψiên DE la biên thâm nên đo   const Theo (4.20), t i điểm D ta có   T  Vậy ta co   T DE (4.21) ψiên EF la đương bão hoa, vậy   const   y  const Vì Dω ta đã đặt    Q hiệu ś c a hàm dòng  giữa EF va ωD phải băng Q nên DC   Q Vì t i E ta có   y  (suy tư (4.21)) tồn EF ta co   y  Vậy cac điêu kiện biên EF la  Q   y  (4.22) Do FGH la biên thâm va đo y = theo (4.22) t i điểm F   Do đo ta co   FGH (4.23) Do điều kiện biên t̀ (4.19) đến (4.23) dễ thây miên thê vị phưc la mợt hinh chữ nhật , cịn miền c a hàm Giu covski la nửa mặt phẳng (vì biên ta có 1    y  ) ωác miền c a ,  nửa mặt phẳ ng phụ  được chỉ rõ hinh 4.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Hìnhă4.4 Trước hết ta tìm quan hệ   Đó phép biến hình nửa mặt phẳng lên nửa mặt phẳng giữ nguyên điểm vô tận ωho nên hàm biến hình có d ng   a  b (4.24) Các hệ ś (4.24) ta s̃ xác định sau Vì miền  hình chữ nhật, theo kết qu đã biết biết  Qi   2K chương 3, hàm biến hình có d ng quen d 1   1  k   2  T (4.25) ś k s̃ xác định sau Tương tự chương 3, ta có ḿi quan hệ sau đ́i với lưu lượng thấm: Q 2TK 2TK(k)  K' K '(k) (4.26) Do biểu th c c a hàm Giucovski ta viết (4.24) d ng   iz  a  b (4.27) T i điểm K ta có  = z = Ti,   T Thay giá trị vào (4.27) ta có b = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 T i điểm E ta có   1, z  B Qi  Ti,   T  với ψ chiều rộng c a 2 kênh Thay giá trị vào (4.27) ta có a  Tóm l i ta có i  Q  B  i  Q  B     iz  (4.28) L Q T i điểm F ta có   , z  ,   i , với L kho ng cách ω k 2 F Thay giá trị vào (4.28) ta dễ dàng tìm hệ th c Q   B  kL  1 k (4.29) So sánh (4.29) với (4.26) ta có B L K  k  2(1  k) T T K' (4.30) T̀ ta xác định mơđun k đ̃ biết ψ, T L (cho L t c đ̃ định trước bề mặt rộng ph i tưới) xác định Q theo (4.26) ψây gi t̀ (4.25) (4.26) ta có   sn K '    T  iT (4.31) Thay (4.31) vào (4.28) ta s̃ có quan hệ cần tìm  z: iz    K '    T  i  Q  B  sn iT (4.32) ωúi để thiết kế lọc, ta h̃y tính kho ng cách ψG = l T i điểm l G ta có z  ,   i , 0 cần xác định Thay giá trị vào (4.32) ta thu K '  i  T  il i  i   Q  B  sn 2 iT Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (4.33) http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Mặt khác đ o hàm hai vế c a (4.32) theo  ta có i K '    T  dz i d  1   Q  B  sn d d iT (4.34) Vì t i điểm G vận t́c vô h n nên t̀ (4.34) suy  1  K '  i  T  K '  i  T  K' dn (4.35)  Q  B  cn 2 iT iT Phương trình (4.35) xác định cho ta  , t̀ (4.33) ta s̃ tính l Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Kếtăluận Luận văn đ̃ trình bày vấn đề sau: Khái niệm phép biến hình b o giác ś phép biến hình b o giác quan trọng gi i tích ph c ψài tốn thấm phẳng đồng chất phương trình chuyển động nước thấm ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i tốn thấm có áp cơng trình th y lợi cách tìm hàm biến hình b o giác miền vị ng dụng phép biến hình b o giác vào gi i tốn thấm khơng áp cơng trình th y lợi Trong toán miền thấm chưa xác định nên đ̃ sử dụng hàm Giucovski cho miền giá trị c a xác định Sau ta tìm hàm biến hình b o giác miền vị ph c lên miền xác định T̀ ta tìm quan hệ miền thấm hàm vị ph c Hơn ta xác định phương trình mặt tự (phần biên giới c a miền thấm chưa biết) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 TƠiăli uăthamăkh o Hà Huy Khoái, Bài giảng Giải tích phức, (Giáo trình cao học), 2012 Lê Bá Long, Sách hướng dẫn học tập Toán chun ngành, Đ i học bưu viễn thơng, 2006, 17 – 23 Hà Trần Phương, Bài giảng Hàm biến phức Mở đầu lý thuyết phân bố giá trị, (Giáo trình cao học), 2009 Lê Văn Thiêm, Các cơng trình khoa học tiêu biểu (Hà Huy Khối sưu tầm, tuyển chọn, giới thiệu), NXψ Giáo dục, 2007 Lê Văn Thiêm, Ngô Văn Lược, Lê Văn Thành, Bài toán thấm vấn đề rửa mặn, Tập san Toán lý, 1968 Palubarinova – Kochina, Lý thuyết chuyển động nước thấm, NXB KHKT, 1970 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... TR NGăĐẠI? ?HỌC? ?S ăPHẠM NGUYỄNăTHỊ ăTHUăPH NG PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC V̀ăṂTăŚăB̀IăTÓNăC ăḤC ωhun nganh: TỐN GI I TÍωH M̃ ś: 60.46.01.02 LUỆ̉NăVĔNăTHẠCăSĨ ăKHOAăḤCăTOAN? ?HỌC Ngươi hương... lớp toán quan trọng c a học, cụ thể toán chuyển động c a nước ngầm cơng trình th y lợi T̀ giúp nhà nghiên c u, làm để xây dựng cơng trình th y lợi đ t chất lượng t́t 4.ăN iădungăc aăluậnăvĕn Luận... PH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍCăV̀ăṂTăŚăH̀MăS ă CỂPăC ăBẢN 1.1 KH́IăNI MăV̀ăPH́PăBÍNăH̀NHăB̉OăGÍC 1.1.1 Đị nhănghĩ a: Một phep biên hinh được gọi la bảo giac nêu no co cac tinh chât sau: - ψ o tồn góc hai đư ng cong qua z (kể