Đang tải... (xem toàn văn)
Chương này cung cấp những khái niệm và kí hiệu logic thường dùng, củng cố và mở rộng hiểu biết ban đầu về lí thuyết tập hợp đã được học ở lớp dưới. Từ đó góp phần hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận diễn đạt các vấn đề một cách chính xác, tạo cơ sở để học tốt các nội dung Toán học khác.Tài liệu này cung cấp các kiến thức cần nhớ, ví dụ, bài tập vận dung
Chương Mệnh đề tập hợp Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - Kết nối tri thức sống www.toanc3.online Trang Chương Mệnh đề tập hợp Kết nối tri thức sống CHƯƠNG MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Mệnh đề • Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai • Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P • Mệnh đề "Khơng phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P • Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q • Mệnh đề "Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q; – Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q • Mệnh đề "P Q" gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh để P ⇒ Q Q ⇒ P Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu ∀ ∃ • "∀x ∈ X, P(x)" “Với x thuộc tập X cho P(x)” • "∃x ∈ X, P(x)" “Tồn x thuộc tập X cho P(x)” • Mệnh đề phủ định mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x) " Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp B VÍ DỤ Ví dụ Trong câu đây, câu mệnh đề? Câu mệnh đề, xác định tính đúng, sai mệnh đề? a) Hình vng có hai đường chéo b) Hà Nội thủ đô Việt Nam c) Năm 2022 năm nhuận d) Hôm trời đẹp quá! e) f) Lời giải Những câu a, b, c, f mệnh đề Câu a, b, c mệnh đề Câu f mệnh đề sai Câu d câu cảm thán, mệnh đề Câu e không xác định tính - sai, khơng phải mệnh đề (câu e mệnh đề chứa biến) Ví dụ Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a 106 hợp số; b Tổng số đo ba góc tam giác 180° Lời giải a Mệnh đề phủ định mệnh đề “106 hợp số” mệnh đề “106 hợp số” b Mệnh đề phủ định mệnh đề “Tổng số đo ba góc tam giác 180°” mệnh đề “Tổng số đo ba góc tam giác khơng 180°” Ví dụ Cho hai mệnh đề sau: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành” Q: “Tứ giác ABCD có AB // CD AB = CD” Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề đảo mệnh đề Lời giải Mệnh đề P ⇒ Q “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có AB // CD AB = CD” Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P Mệnh đề Q ⇒ P “Nếu tứ giác ABCD có AB // CD AB = CD tứ giác ABCD hình bình hành” C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Trong câu đây, câu mệnh đề? a) Số 11 số chẵn b) Bạn có chăm học khơng ? c) Huế thành phố Việt Nam Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Chương Mệnh đề tập hợp d) 13 số nguyên tố e) f) g) h) i) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) a) Kết nối tri thức sống 2− 5 b) ∃x ∈ R, x > x c) ∀n ∈ N , n > n 2 d) ∀x∈ R, x − x = 1> Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R Tìm x để P(x) mệnh đề đúng: a) P( x) :" x − 5x + = 0" b) P ( x ) :" x − 5x + = 0" c) P ( x ) :" x − 3x > 0" d) a) b) c) d) P( x) :" x + x + > 0" Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: Số tự nhiên n chia hết cho cho Số tự nhiên n có chữ số tận Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa Số tự nhiên n có ước số n Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau? Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp a) ∀x ∈ R : x > b) ∃x ∈ R : x > x c) ∃x ∈ Q : x − = d) ∀x ∈ R : x − x + > Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều a) b) c) d) e) f) g) a) b) c) d) kiện đủ": Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với Nếu hai tam giác chúng có diện tích Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": Một tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vuông Một tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù Một số chia hết cho chia hết cho cho CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề đúng? A Nếu a ≥ b a2 ≥ b2 B Nếu a chia hết cho a chia hết cho C Nếu em chăm em thành cơng D Nếu tam giác có góc 600 tam giác Câu câu sau mệnh đề? A + = B x2 +1 > C 2– < D + x = 3 Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề đúng: A B C D π số hữu tỉ Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba Bạn có chăm học khơng? Con thấp cha Mệnh đề " ∃x ∈ R, x = 3" phát biểu lời A Bình phương số thực B Có số thực mà bình phương C Chỉ có số thực có bình phương D Nếu x số thực x2=3 Kí hiệu X tập hợp cầu thủ x đội tuyển bóng rổ, P(x) mệnh đề chứa biến “ x cao 180cm” Mệnh đề " ∀x ∈ X , P( x)" khẳng định rằng: A Mọi cầu thủ đội tuyển bóng rổ cao 180cm B Trong số cầu thủ đội tuyển bóng rổ có số cầu thủ cao 180cm C Bất cao 180cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ D Có số người cao 180cm cầu thủ đội tuyển bóng rổ Cách phát biểu sau dùng để phát biểu mệnh đề: A => B Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp A Nếu A B B A kéo theo B C A điều kiện đủ để có B D A điều kiện cần để có B Mệnh đề phủ định mệnh đề: “Mọi động vật di chuyển” A Mọi động vật không di chuyển B Mọi động vật đứng yên C Có động vật khơng di chuyển D Có động vật di chuyển Phủ định mệnh đề “ Có số vơ tỷ số thập phân vơ hạn tuần hồn ” mệnh đề A Mọi số vô tỷ số thập phân vơ hạn tuần hồn B Có số vô tỷ số thập phân vô hạn khơng tuần hồn C Mọi số vơ tỷ số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn D Mọi số vô tỷ số thập phân tuần hoàn Cho mệnh đề A = “ ∀x ∈ R, x − x + < ” Mệnh đề phủ định A 2 A ∀x ∈ R, x − x + > B ∀x ∈ R, x − x + > C ∃ x∈R mà x2 – x +70 với x” A Tồn x cho x + x + > B Tồn x cho x + x + ≤ C Tồn x cho x + x + = D Tồn x cho x + x + < Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “ ∃x : x + x + số nguyên tố” 11 A ∀x : x + x + số nguyên tố C ∀x : x + x + hợp số B ∃x : x + x + hợp số D ∃x : x + x + số thực Phủ định mệnh đề " ∃x ∈ R,5 x − x = 1" A “∃x ∈ R, 5x – 3x2 ≠ 1” B “∀x ∈ R, 5x – 3x2 = 1” C “∀x ∈ R, 5x – 3x2 ≠ 1” D “∃x ∈ R, 5x – 3x2 ≥ 1” 13 Cho mệnh đề P(x): " ∀x ∈ R, x + x + > 0" Mệnh đề phủ định mệnh đề P(x) 2 A " ∀x ∈ R, x + x + < 0" B " ∀x ∈ R, x + x + ≤ 0" 12 2 C " ∃x ∈ R, x + x + ≤ 0" D " ∃ x ∈ R, x + x + > 0" 14 Mệnh đề sau mệnh đề sai? ∀ n ∈ N n ≤ n A : B ∃n ∈ N : n = n 2 C ∀x ∈ R : x > D ∃x ∈ R : x > x 15 Mệnh đề sau đúng? B ∀x ∈ Ν : x M3 A ∀x ∈ R : x > C ∃x ∈ R : x < D ∃x ∈ R : x > x 16 Mệnh đề sau đúng? A ∀n ∈ N, n + không chia hết cho B ∀x ∈ R, /x/ < ⇔ x < C ∀x ∈ R, (x – 1)2 ≠ x – D ∃n ∈ N, n2 + chia hết cho 17 Mệnh đề sau mệnh đề sai? A ∃ x ∈ Q, 4x2 –1 = B ∀n∈ N, n2 > n C ∃ x∈ R, x > x2 D ∀n∈N, n2 +1 không chia hết cho Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Chương Mệnh đề tập hợp 18 Mệnh đề sau đúng? Kết nối tri thức sống A “∀x∈R, x>3 ⇒ x2>9” B “∀x∈R, x>–3 ⇒ x2> 9” C “∀x∈R, x >9 ⇒ x>3” D “∀x∈R, x2>9 ⇒ x> –3” 19 Mệnh đề sau mệnh đề sai? M A ∀n ∈ N, n ⇒ n M2 B ∀n ∈ N, n2 M6 ⇒ n M6 C ∀n ∈ N, n2 M3 ⇒ n M3 D ∀n ∈ N, n2 M9 ⇒ n M9 20 Cho n số tự nhiên, mệnh đề sau đúng? ∀ A n,n(n+1) số phương B ∀ n,n(n+1) số lẻ C ∃ n,n(n+1)(n+2) số lẻ D ∀ n,n(n+1)(n+2)là số chia hết cho 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? B π < ⇔ π < 16 A −π < −2 ⇔ π < D 23 < ⇒ −2 23 > −2.5 22 Cho x số thực, mệnh đề sau đúng? 2 A ∀x, x > ⇒ x > ∨ x < − B ∀x, x > ⇒ − < x < 2 C ∀x, x > ⇒ x > ± D ∀x, x > ⇒ x ≥ ∨ x ≤ − C 23 < ⇒ 23 < 2.5 23 Mệnh đề sau đúng? A ∀x ∈ N ,n2–1 bội số B ∃x ∈ Q ,x2=3 n C ∀x ∈ N ,2n+1 số nguyên tố D ∀x ∈ N , ≥ n + 24 Mệnh đề sau mệnh đề sai? A Hai tam giác chúng đồng dạng có góc B Một tứ giác hình chữ nhật chúng có góc vng C Một tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại D Một tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 600 25 Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề có mệnh đề đảo đúng? A Nếu a b chia hết cho c a+b chia hết cho c B Nếu tam giác diện tích C Nếu a chia hết cho a chia hết cho D Nếu số tận số chia hết cho 26 Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo sai? A Tam giác ABC cân tam giác có hai cạnh B a chia hết cho a chia hết cho C ABCD hình bình hành AB song song với CD D ABCD hình chữ nhật A= B= C = 900 27 Mệnh đề sau mệnh đề sai? A n số lẻ n2 số lẻ B n chia hết cho tổng chữ số n chia hết cho C ABCD hình chữ nhật AC = BD D ABC tam giác AB = AC có góc 600 28 Mệnh đề sau mệnh đề sai? A ABCD hình chữ nhật ⇒ tứ giác ABCD có ba góc vng B ABC tam giác ⇔ A = 600 C Tam giác ABC cân A ⇒ AB = AC D Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ⇒ OA = OB = OC = OD * Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp 29 Mệnh đề sau đúng? A Đường trịn có tâm đối xứng có trục đối xứng B Hình chữ nhật có hai trục đối xứng C Tam giác ABC vng cân ⇔ A = 450 D Hai tam giác vuông ABC A’B’C’ có diện tích ⇔ ∆ABC = ∆A ' B ' C ' 30 Cho tam giác ABC cân A, I trung điểm BC Mệnh đề sau đúng? A ∃M ∈ AI , MA = MC B ∀M , MB = MC C ∀M ∈ AB, MB = MC D ∃M ∉ AI , MB = MC 31 Biết A mệnh đề sai, B mệnh đề Mệnh đề sau ? A B ⇒ A B B ⇔ A C A ⇔ B D B ⇒ A 32 mệnh đề đúng? A 33 A 48 34 mệnh đề sai? A P(0) 35 Với giá trị thực x mệnh đề chứa biến P(x) = “x – 3x + = 0” B C – D – Với giá trị n, mệnh đề chứa biến P(n)=”n chia hết cho 12” đúng? B C D 88 Cho mệnh đề chứa biến P(x) = “với x ∈ R, x ≥ x ” Mệnh đề sau B P(1) C P() D P(2) Với giá trị thực x mệnh đề chứa biến P(x)= “x – 5x + = 0” mệnh đề đúng? A B Th.S Lê Quang Hải C - ✆ 0815.699451 - D www.toanc3.online Trang Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp §2 TẬP HỢP Tập hợp • Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa A TĨM TẮT LÍ THUYẾT • Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc {…} + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp • Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ Tập hợp – Tập hợp A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ) • + A ⊂ A, ∀A + ∅ ⊂ A, ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C A = B ⇔ ( A ⊂ B vaøB ⊂ A ) • Một số tập tập hợp số thực N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R • • • Khoảng: Đoạn: ( a; b) = { x ∈ R a < x < b} ; ( a; +∞) = { x ∈ R a < x} ; ( −∞; b) = { x ∈ R x < b} [a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b} { } { } Nửa khoảng: [a; b ) = x ∈ R a ≤ x < b ; (a; b] = x ∈ R a < x ≤ b ; [a; +∞ ) = { x ∈ R a ≤ x} ; (−∞; b] = { x ∈ R x ≤ b} Các phép tốn tập hợp { x x∈ A vàx∈ B} Th.S Lê• Quang Hải - ✆ 0815.699451A ∩- B ⇔www.toanc3.online Trang Giao hai tập hợp: • • Hợp hai tập hợp: A ∪ B ⇔ { x x∈ A hoaë c x∈ B} 10 Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp B VÍ DỤ Ví dụ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Mệnh đề sai? Lời giải thích kết luận đưa a Tập rỗng tập tập hợp; b Nếu X = {a; b} a ⊂ X; c Nếu X = {a; b} {a; b} ⊂ X Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang 10 11 Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp Lời giải a Theo quy ước ta có tập rỗng tập tập hợp nên mệnh đề “Tập rỗng tập tập hợp” mệnh đề b Nếu X = {a; b} phần tử a thuộc tập hợp X Do mệnh đề “Nếu X = {a; b} a ⊂ X” mệnh đề sai c Một tập hợp tập tập hợp Do mệnh đề “Nếu X = {a; b} {a; b} ⊂ X” mệnh đề Ví dụ Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) (4; 7) ∩ (-1; 3); b) (-2; 1] ∩ (-∞; 1); c) (-2; 6) \ (3; 10); d) (-3; 5] \ [2; 8) Lời giải a) (4; 7) ∩ (-1; 3) = ∅ Do ta khơng biểu diễn tập hợp (4; 7) ∩ (-1; 3) trục số b) (-2; 1] ∩ (-∞; 1) = (-2; 1) Ta có hình biểu diễn tập hợp (-2; 1) trục số sau: c) (-2; 6) \ (3; 10) = (-2; 3] ∪ (3; 6) \ (3; 10) = (-2; 3] Ta có hình biểu diễn tập hợp (-2; 3] trục số sau: d) (-3; 5] \ [2; 8) = (-3; 2) ∪ [2; 5] \ [2; 8) = (-3; 2) Ta có hình biểu diễn tập hợp (-3; 2) trục số sau: Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang 11 12 Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp Ví dụ Trong vấn 56 người việc họ thường làm vào ngày nghỉ cuối tuần, có 24 người thích tập thể thao, 15 người thích câu cá 20 người khơng thích hai hoạt động a Có người thích chơi thể thao thích câu cá? b Có người thích câu cá chơi thể thao? c Có người thích câu cá, khơng thích chơi thể thao? Lời giải Sử dụng biểu đồ Ven để giải a Trong số 56 người vấn, có 20 người khơng thích hai hoạt động nên số người thích chơi thể thao thích câu cá là: 56 – 20 = 36 (người) Vậy có 36 người thích chơi thể thao thích câu cá b Trong số 56 người vấn, có 24 người thích tập thể thao, 15 người thích câu cá nên số người thích câu cá chơi thể thao là: 24 + 15 - 36 = (người) Vậy có người thích câu cá chơi thể thao c Trong 15 người thích câu cá có người thích thêm hoạt động thể thao nên số người thích câu cá, khơng thích chơi thể thao là:15 - = 12 (người) Vậy có 12 người thích câu cá, khơng thích chơi thể thao C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: { x ∈ R (2 x − 5x + 3)( x − x + 3) = 0} a A = { x ∈ R ( x − 10 x + 21)( x − x) = 0} b B = { x ∈ R (6 x − x + 1)( x − 5x + 6) = 0} c C = 2 2 d D = { x ∈ Z x − x + = 0} Trong tập hợp sau đây, tập tập rỗng: a A = { x ∈ Z x < 1} b B = { x ∈ R x − x + = 0} { x ∈Q x c C = { x ∈Q x d D = − x + = 0} − = 0} e F = { x ∈ R x − x + = 0} Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: a A = { 1, 2} b B = { x ∈ R x − x + = 0} Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang 12 13 Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp Trong tập hợp sau, tập tập tập nào? a A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng b A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập tam giác vuông; D = Tập tam giác vuông cân Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A với: a A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4} c A = Tập ước số 12, B = Tập ước số 18 x ∈ Z (5 x − 3x )( x − x − 3) = 0} { { } x ∈ Z x < d A = ,B= Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A biểu diễn trục số? a A = [–4; 4], B = [1; 7] b A = [–4; –2], B = (3; 7] c A = (–∞; –2], B = [3; +∞) d A = [3; +∞), B = (0; 4) TRẮC NGHIỆM Cho tập hợp A, mệnh đề sau sai? ∈ { A} A A ∈ A B ∅ ⊂ A C A ⊂ A D A Các kí hiệu sau dùng để viết mệnh đề “7 số tự nhiên”: A ⊂ N B ∈ N C < N D ≤ N Kí hiệu sau dùng để viết mệnh đề “ số hữu tỉ” A Ô B Ô C ¤ D không trùng với ¤ Điền dấu x vào thích hợp? A e ⊂ {a;d;e} Đúng Sai B {d} ⊂ {a;d;e} Đúng Sai Cho tập hợp A = {1, 2, {3, 4}, x, y} Xét mệnh đề sau (I) ∈ A (II) { ; } ∈ A (III) { a , , b } ∉ A Mệnh đề sau đúng? A Chỉ I B I, II C II, III D I, III Mệnh đề sau tương đương với mệnh đề “A ≠ ∅”? A ∀ x : x ∈ A B ∃ x : x ∈ A C ∃ x : x ∉ A D ∀ x : x ⊂ A x ∈ ¡ x − 5x + = Các phần tử tập hợp X = 3 1; 0} 1} { { A X = B X = C X = D X = { } { } x ∈ ¡ x2 + x +1 = Các phần tử tập hợp: X = { 0} { ∅} A X = B X = C X = ∅ D X = k + k ∈ Z , k ≤ 2} Số phần tử tập hợp A = { A B C D Th.S Lê Quang Hải - ✆ 0815.699451 - www.toanc3.online Trang 13 14 Kết nối tri thức sống Chương Mệnh đề tập hợp 10 Hãy ghép ý cột trái với ý cột phải có nội dung thành cặp? a x ∈ [1;4] b x ∈ (1;4] c x ∈ (4;+ ∞ ) d x ∈ (– ∞ ;4] 1) ≤ x
