Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề 2 TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1 QUY TẮC ĐẾM A LÝ THUYẾT 1 Qui tắc cộng Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B c.
Chủ đề TỔ HỢP – XÁC SUẤT §1 QUY TẮC ĐẾM A LÝ THUYẾT Qui tắc cộng Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Qui tắc nhân Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực B BÀI TẬP Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 cách Có số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, viết chữ số 0, 1, 2? ĐS: Có 2.37 – = 4374 – = 4373 (số) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả mãn: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29 §2 HỐN VỊ A LÝ THUYẾT Giai thừa: n! = 1.2.3…n n! = (n–1)!n Qui ước: 0! = n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n p)! Định ngĩa Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! B BÀI TẬP Giải phương trình: a) P2.x2 – P3.x = b) Px Px 1 Px 1 ĐS: a) x = –1; x = b) x = 2; x = Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ 118 Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hốn vị phần tử trên? ĐS: Với i, j 1,2,3,4,5,6,7 , số số mà chữ số j hàng thứ i 6! Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12 7 Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a/ 86400 b/ 2903040 Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a/ 34560 b/ 120960 Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 10 Có đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề? ĐS: 26336378880000 11 Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 12 Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau? b/ Tập tập không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29! 13 Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần? ĐS: 3360 14 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 5880 15 Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số cịn lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu: a/ chữ số xếp kề nhau? b/ Các chữ số xếp tuỳ ý? ĐS: a/ 120 b/ 3024 §2 CHỈNH HỢP A LÝ THUYẾT Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank n(n 1)(n 2) (n k 1) n! (n k )! Công thức cho trường hợp k = k = n Khi k = n Ann = Pn = n! B BÀI TẬP Giải phương trình sau: a) An3 20n ĐS: a) n = Tìm n N cho: a) Pn2 Ann14 P3 210 b) An3 An2 = 2(n + 15) c) An2 A22n 42 b) n = c) n = b) 2( An3 An2 ) = Pn+1 c) 2Pn An2 Pn An2 12 ĐS: a) n = b) n = c) n = 2; 3 Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? A63 cách ĐS: Có A10 Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – khơng Hỏi có vectơ? ĐS: A42 = 12 vectơ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) A64 b) 6.A53 3.5 A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde Nếu a = có A64 số Nếu a a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e có cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại có A53 cách chọn Có A64 4.5.A53 = 1560 số Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu: a/ Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ mơn) b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số ĐS: a/ 55440 b/ 120 Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau? ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345 d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1? ĐS: a/ 312 b/ 24 c/ d/ 120 ; 480 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a/ n số chẵn? b/ Một ba chữ số phải 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a/ 3000 b/ 2280 a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số (HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320 a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số ĐS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980 a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a/ 3024 b/ 36960 §3 TỔ HỢP A LÝ THUYẾT Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk Số tổ hợp chập k n phần tử: n! k !(n k )! Qui ước: Cn0 = Tính chất: Cn0 Cnn Cnk Cnnk Cnk Cnk11 Cnk1 n k k 1 Cnk Cn k Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank k !Cnk Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): + Khơng thứ tự Cnk + Có thứ tự Ank B BÀI TẬP Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp Tính: A= 23 C25 13 C15 C74 C73 C84 A32 B= 6 P2 C10 C10 C11 3C10 ĐS: A = – 165,B = Rút gọn biểu thức sau: S= Cnn C2nn C3nn Q = Cn1 ĐS: S= Cn2 Cn1 k (3n)! (n!)3 P= Cnk Cnk 1 n Pn2 Ank Pnk 10 C15 2C15 C15 10 C17 Cnn Cnn1 P = (n+1)(n+2) + Q= n(n 1) Chứng minh hệ thức sau: a) Cnk Cnpkk Cnp C pk (k p n) Chứng minh hệ thức sau: a) Cnm1 Cnm1 2Cnm Cnm21 n r b) Cnr Cnr 11 b) Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk 3 Cnk3 (3 k n) Cnk 1 Cnk Cnk1 ĐS: Sử dụng tính chất: Chứng minh hệ thức sau: a) Cr0 Cqp Cr1.Cqp1 Crp Cq0 Crpq b) (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cnn )2 C2nn c) C20p C22p C24p C22pp C21 p C23p C22pp1 c2 p1 d) Cn1 Cn2 Cn3 (1) p Cnp (1) p Cnp1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p d) Sử dụng Cnr Cnr 11 Cnr 1 , với r lẻ nhân vế với –1 Giải phương trình sau: a) An4 An31 Cnn4 1 24 b) x x x 23 C4 C5 C6 c) Cxx 1 Cxx 2 Cxx 3 Cxx 10 1023 ĐS: a) n = b) x = c) x = 10 Giải phương trình bất phương trình: a/ Cxx12 2Cx31 7( x 1) b/ Ax3 Cxx 2 14 x c/ Ax5 Cxx25 336 d/ e/ Cn41 Cn31 An22 f/ g/ 2Cx21 Ax2 30 h/ 2x C28 x 4 C24 Cnn13 An41 225 52 14P3 A2 x Ax2 Cx3 10 x ĐS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x = e/ n 10, n N f/ x 6, n N g/ x = h/ x = 3, x = Dạng Bài tập số tổ hợp, chỉnh hợp Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: Đề gồm câu lý thuyết tập: C42 C61 36 Đề gồm câu lý thuyết tập: C41 C62 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ ĐS: a) C40 C15 b) C25 4 C25 C15 e) C40 2 C15 c) C25 2 C15 C25 C15 C25 C15 C25 d) C25 10 Cho điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ĐS: 20 ; 10 11 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 12 Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150 13 Từ 20 người, chọn đồn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 14 Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó: a/ Có bơng hồng đỏ? b/ Có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ? ĐS: a/ 112 b/ 150 15 Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) 16 Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) 17 Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần cịn chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) 18 Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974 b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Dạng Bài tập hình học 19 Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đơi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành? ĐS: Số giao điểm: Cn2 n(n 1) Số tam giác: Cn3 n(n 1)(n 2) 20 Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 21 Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo ấy? ĐS: a) Cn2 n n n = b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (không phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 22 Cho đa giác lồi có n-cạnh (n , b 3) a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c/ Có giao điểm đường chéo? ĐS: a/ n(n 3) ; n b/ (n 2)(n 1)n c/ n(n 1)(n 2)(n 3) 24 23 Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 24 Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) 25 Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? ĐS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D) 26 Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng a/ Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường khơng qua A hay B? b/ Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ; §4 NHỊ THỨC NEWTON A LÝ THUYẾT Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: (a b)n n Cnk ank bk k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk Cnk 1 Cnk Cnk1 5) Cn0 Cnn , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: Cn0 Cn1 Cnn 2n (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 (1)n Cnn B BÀI TẬP Dạng Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: 10 a) x x 12 b) x x c) x x 1 d) x x ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 12 13 a/ Tìm hệ số x y khai triển (2 x 3y)25 b/ Tìm số hạng khai triển ( x3 xy)15 13 b) T8 6435x 31.y7 , T9 6435x 29 y8 ĐS: a) 313.212.C25 Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng đa thức: P( x ) (1 x )9 (1 x)10 (1 x)14 ta đa thức: P( x ) a0 a1x a2 x a14 x14 Hãy xác định hệ số a9? ĐS: a9 3003 Cho đa thức P( x) (1 x) 2(1 x)2 3(1 x)3 20(1 x)20 viết dạng: P( x ) a0 a1x a2 x a20 x 20 Tìm hệ số a15? ĐS: a15 400995 Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức: ĐS: a) C52 3.2 60 15 1 Tìm số hạng thứ khai triển x x 3 Dạng Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Tính tổng sau: a/ S1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn b/ S2 Cn0 Cn2 Cn4 c/ S3 Cn1 Cn3 Cn5 d/ S4 Cn0 2Cn1 22 Cn2 2k Cnk 2n Cnn e/ S5 Cn0 22 C n2 24 Cn4 ĐS: a/ 2n b/ 2n-1 d/ 3n e/ c/ 2n-1 3n (1)n 2 Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x2 + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển ĐS: a = 210 (HV hành QG, 2000) Tính tổng sau: 10 11 C11 C11 C11 C11 C11 a/ S1 C11 (ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D) 16 315 C16 314 C16 C16 (ĐHBK Hà Nội, 98) b/ S2 316 C16 16 ĐS: a/ 1024 b/ Chứng minh hệ thức sau: C20n C22n C24n C22nn C21n C23n C25n C22nn1 a/ Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có khơng? b/ 10.C21n 102.C22n 103.C23n 102 n1C22nn1 102 n 81n C20n C22n 32 C24n 34 C22nn 32 n 22 n1.(22n 1) (ĐH Hàng Hải, 2001) c/ Tính giá trị biểu thức: A = 22n C20n 22n2 C22n 20 C22nn B = 22n1C21n 22n3 C23n 21C22nn1 2n 2n ĐS : Ta có : (2x+1) = k 0 2n 2x C2kn x Mặt khác, (2x–1)2n = Từ suy ra: A = C2kn k 0 nk n k n 1 , Thay x = ta A + B = 32n = 9n k 1 Thay x = ta A – B = B= n 1 Chứng minh đẳng thức sau: a) Cn0 6Cn1 62 Cn2 6n Cnn 7n 17 41.316.C17 417 C17 717 b) 317 C17 ĐS: a) Khai triển (1+x)n = Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n ; thay x = b) Khai triển (3x+4)17; thay x = §5 XÁC SUẤT A LÝ THUYẾT Biến cố Không gian mẫu : tập kết xảy phép thử Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A Biến cố không: Biến cố chắn: Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A B = Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất Xác suất biến cố: P(A) = n( A) n( ) P(A) 1; P() = 1; P() = Qui tắc cộng: Nếu A B = P(A B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P( A ) = – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) B BÀI TẬP Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn ĐS: a) n() = 36 n(A) = P(A) = 36 b) c) Một lớp học có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn a) Tính xác suất để chọn em học mơn b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn không môn Văn C72 ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17 P(AB) 25 C83 b) 25 Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm ĐS: a) b) Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh ĐS: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh ĐS: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ ĐS: , người thứ hai Tính xác suất để thú bị bắn trúng Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: bóng tốt b) bóng tốt Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi mơn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen 10 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái 11 Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình 12 Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a Số số lẻ b Số chia hết cho c Số chia hết cho ... người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a/ 2974 b/... khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh ĐS: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ ĐS: , người thứ hai Tính xác suất để thú bị bắn trúng Một hộp bóng... chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm ĐS: a) b) Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố