Tài liệu chia sẻ Đề thi minh họa và đề thi chính thức Kỳ thi đánh giá năng lực Công an nhân dân năm 2022 của Bộ công an. Tài liệu có đề xuất Hướng dẫn giải chi tiết của các đề trên để các thầy cô, các em học sinh thuận lợi trong việc ôn tâp·
BÀI THI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÔNG AN NHÂN DÂN NĂM 2022 Phần tự luận: TOÁN Thầy:Lê Quang Hải Câu I y = x3 − x2 + [ −1;2] 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: −4 x + 12 y= d : y = 2x + m x +1 2) Cho hàm số có đồ thị (C), đường thẳng Chứng minh d cắt (C) hai điểm phân biệt với giá trị tham số m z − z = + 15i Câu II 1) Tìm số phức z thỏa mãn 3x + f ( x) = x + 3x + 2) Tìm nguyên hàm hàm số Câu III 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I (1;2) đường thẳng d: y = 3x – 4y + 10 = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d x y −1 z − d: = = 1 −2 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu 2 ( S ) : x + y + z − 2x + 6z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho giao tuyến (P) (S) đường tròn có bán kính nhỏ A = { 12; ;20} Câu IV 1) Cho tập hợp gồm 20 số nguyên dương Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập A Tính xác suất để tích hai số chọn số chia hết cho · BAC = 1200 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, , AB = AC = a Tam giác SAB vuông B, tam giác SAC vng C, góc hai mặt 600 phẳng (SAB) (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) Chứng minh HB vng góc với AB tính thể tích khối chóp S.ABC theo a π Câu V 1) Tính tích phân x sinx I =∫ dx x sin x + cos x 2) Cho số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn : x x2 y log ( x + y ) + = log + x2 y P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 + x2 y -Hết Hướng dẫn đáp án Câu I 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x3 − x2 + [ −1;2] Giải + Tập xác định: D=¡ Ta có: y ' = x − 12 x x = ∈ ( −1;2 ) y ' = ⇔ 3x − 12 x = ⇔ x = ∉ ( −1;2 ) y ( −1) = −2 y ( −1) = y ( ) = −11 y = −11 Vậy [ −1;2] x = y= −4 x + 12 x +1 d : y = 2x + m 2) Cho hàm số có đồ thị (C), đường thẳng Chứng minh d cắt (C) hai điểm phân biệt với giá trị tham số m Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm: x ≠ −1 Với điều kiện: ta có ThS Lê Quang Hải −4 x + 12 = 2x + m x +1 htps:toanc3.online.com −4 x + 12 = 2x + m x +1 ⇔ −4 x + 12 = ( x + 1) ( x + m ) ⇔ −4 x + 12 = x + x + mx + m ⇔ x + ( m + ) x + m − 12 = 0(*) d cắt (C) hai điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác -1 tức 2.(−1)2 + (m + 6).(−1) + m − 12 ≠ ∆ = ( m + ) − 2.4 ( m − 12 ) > −16 ≠ ⇔ m − 4m + 132 > Ta thấy hệ với giá trị m Vậy d cắt (C) hai điểm phân biệt với giá trị tham số m (đpcm) Câu II 1) Tìm số phức z thỏa mãn z − z = + 15i Giải Gọi số phức cần tìm z = a + bi a, b ∈ ¡ , i = −1 Suy z = a − bi Theo ta có: z − z = + 15i ⇔ a + bi − 2a + 2bi = + 15i ⇔ −a + 3bi = + 15i −a = a = −2 ⇔ ⇔ 3b = 15 b = Vậy số phức cần tìm z = −2 + 5i f ( x) = 2) Tìm nguyên hàm hàm số 3x + x2 + 3x + Giải 3x + = − x + 3x + x + x + Ta có: ThS Lê Quang Hải (Xem lại phương pháp đồng hệ số) htps:toanc3.online.com 3x + dx = dx − ∫ x + 3x + ∫ x + ∫ x + 1dx d ( x + 2) d ( x + 1) = 4∫ −∫ x+2 x +1 = 4ln x + − ln x + + C Câu III 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I (1;2) đường thẳng d: y = 3x – 4y + 10 = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d Giải R = d ( I ,d ) = Theo ta có: Bán kính đường trịn (C) Vậy phương trình đường trịn (C) cần tìm là: ( x -1) d: 3.1 − 4.2 + 10 32 + ( −4 ) = =1 + ( y - 2) = x y −1 z − = = 1 −2 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu 2 ( S ) : x + y + z − 2x + 6z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho giao tuyến (P) (S) đường trịn có bán kính nhỏ Giải (S) có tâm I(1;0;-3) bán kính R=4 Phương trình tham số d : x = t y =1+ t z = − 2t Gọi K hình chiếu I d (K cố định) uur uu r K ( t ;1 + t ;3 − 2t ) ; IK = ( t − 1;1 + t ;6 − 2t ) ; ud = ( 1;1; −2 ) uur uu r IK ⊥ ud ⇔ 1( t − 1) + 1( + t ) − ( − 2t ) = ⇔ t = uur K ( 2;3; −1) ; IK = ( 1;3;2 ) ; IK = 14 Ta có : ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com < IK 0, ∀t > t ln Suy f(t) đồng biến Ta : ( 0;+∞ ) ( *) ⇔ + Do 1 P= + = x y x = x2 − + Vậy P = 2 − ThS Lê Quang Hải (x + − 1) x2 x x = x2 ⇔ y = y x −1 x4 − x2 + = x2 2 ≥ x −2=2 2−2 x2 x x= 42 ; y= đạt : 2 −1 htps:toanc3.online.com BỘ CƠNG AN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài thi đánh giá Tuyển sinh CAND năm 2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Họ tên: …………………… Số báo danh: ………………………………… Câu 1 Tìm cực trị hàm số y = x4 − x2 + y = x3 + 3x − 2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 3 x1 + x2 + x3 = −27 x1 , x2 , x3 điểm thỏa mãn Câu 2z + ( + i ) z = Tìm mơ đun số phức z biết Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) biết F ( 0) = ln − Câu d : m ( x − 1) + 2x − f ( x) = x e thỏa mãn ( C ) : x + y − x + y − 23 = Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn phương trình tiếp tuyến (C) điểm A( -2; 3) d1 : Viết x −1 y +1 z − = = Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng , x y z−2 d2 : = = ( P ) : x + y + z − = M ∈ d1 , N ∈ d −1 mặt phẳng Lấy MN / / ( P ) cho Tìm độ dài nhỏ MN? Câu Xếp nữ, nam thành dãy hàng ngang Tính xác suất để có nữ ngồi cạnh nhau? ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 10 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, G trọng tâm tam giác ABC Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung 450 điểm AG Góc mặt phẳng (AA’B’B) với mặt đáy Tính VABC A ' B ' C ' Câu I= π ∫ − Tính tích phân ( x − 1) tan xdx π cos x x+ y log ÷+ x = y − x + 5y Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn Tìm m thỏa x+ y y−x x e = me −e mãn -HẾT GỢI Ý ĐÁP ÁN BÀI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH CAND 2022 Câu 1 Tìm cực trị hàm số Giải D=¡ • Tập xác định: y ' = x3 − x • • y = x4 − x2 + y '' = 12 x − Ta có: x = y ' = ⇔ x3 − x = ⇔ x = ± y ''( ) = −8 < yCD = nên x = điểm cực đại, y '' ± = 16 > yCT = −2 ( ) x=± nên điểm cực tiểu, d : m ( x − 1) + y = x + 3x − 2 Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 3 3 x1 , x2 , x3 x1 + x2 + x3 = −27 điểm thỏa mãn Giải • Phương trình hồnh độ giao điểm ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 11 x3 + x − = m ( x − 1) + ⇔ x3 + x − m ( x − 1) − = ⇔ x3 − x + ( x − 1) − m ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + x + − m ) = ( *) x1 , x2 , x3 Gọi nghiệm phương trình (*) Khơng tính tổng qt x1 = 1; x2 , x3 x2 + 4x + − m = nghiệm phương trình x2 + x3 = −4 x2 x3 = − m Khi đó, theo Định lí Vi-et ta có • Theo ta có x13 + x23 + x33 = −27 ⇔ x23 + x33 = −28 • ⇔ ( x2 + x3 ) (( x + x ) 2 ) − 3x2 x3 = −28 ⇔ ( −4 ) ( 16 − ( − m ) ) = −28 ⇔ + 3m = ⇔ m = Câu 2z + ( + i ) z = Tìm mơ đun số phức z biết Giải a, b ∈ ¡ , i = −1 z = a − bi z = a + bi Gọi số phức cần tìm suy Theo ta có: z + ( + i ) z = ⇔ ( a − bi ) + ( + i ) ( a + bi ) = ⇔ 3a − b + ( a − b ) i = 3a − b = a = ⇔ ⇔ a − b = b = z = 12 + 12 = Vậy số phức z = 1+ i ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 12 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) biết F ( 0) = ln − 2x − f ( x) = x e thỏa mãn Giải Giả sử x F ( x) 2 x x ÷ −1 e −x = ∫ x dx = ∫ ÷ − e ÷.dx = + e − x + C e ÷ e ln − 2 ÷ 1 e F ( ) = + e0 + C = +1+ C = ⇔ C = −1 ln − ln − ln − Theo ta có: x 2 ÷ e F ( x ) = + e− x − ln − Vậy: Câu ( C ) : x + y − x + y − 23 = Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn phương trình tiếp tuyến (C) điểm A( -2; 3) Giải ( C ) : x + y − x + y − 23 = Vì nên đường trịn (C) có tâm I (1;-1) Gọi đường thẳng (d) tiếp tuyến đường tròn (C) điểmuurA( -2; 3) đường thẳng AI ( 3; −4 ) (d) nhận véctơ làm véctơ pháp tuyến Do phương trình tiếp tuyến (d) ( x + ) − ( y − 3) = x − y + 18 = hay ThS Lê Quang Hải Viết htps:toanc3.online.com 13 d1 : Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng x y z−2 d2 : = = −1 ( P ) : x + y + z − = mặt phẳng độ dài nhỏ MN? Giải Lấy d1 x −1 y +1 z − = = M ∈ d1 , N ∈ d cho , MN / / ( P ) Tìm d2 Ta có phương trình tham số x = + 2t x = s d1 : y = −1 + 3t d2 : y = −s z = + t z = + s r n ( 1;1;1) Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) M ( + 2t ; −1 + 3t;2 + t ) , N ( s; − s;2 + s ) M ∈ d1 , N ∈ d Vì uuuu gọi r ⇒ MN ( −1 − 2t + s;1 − 3t − s; −t + s ) Vì MN / / ( P ) uuuu rr MN n = nên (−1 − 2t + s) + (1 − 3t − s) + (−t + s ) = ⇔ −6t + s = ⇔ s = 6t hay uuuu r MN = ( −1 + 4t ;1 − 9t ;5t ) uuuu r 2 ⇔ MN = MN = ( −1 + 4t ) + ( − 9t ) + ( 5t ) = − 8t + 16t + − 18t + 81t + 25t 2 13 75 = 122t − 26t + = 122 t − ÷ + 122 122 75 122 t= 13 122 Vậy MN nhỏ Câu Xếp nữ, nam thành dãy hàng ngang Tính xác suất để có nữ ngồi cạnh nhau? Giải ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 14 n ( Ω ) = P14 = 14! Số phần tử không gian mẫu: Gọi A biến cố “ xếp nữ ngồi cạnh nhau” A biến cố “ xếp khơng có nữ ngồi cạnh nhau” Bước xếp nam thành hàng ngang có P8 = 8! cách Bước xếp nữ: nam có vách ngăn cách xếp nữ chỉnh hợp A96 chập phần tử có (cách) n A = 8! A9 8! A96 4 139 P A = = ⇒ P ( A) = − = 14! 143 143 143 suy Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, G trọng tâm tam giác ABC Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trùng với trung 450 điểm AG Góc mặt phẳng (AA’B’B) với mặt đáy Tính VABC A ' B ' C ' ( ) ( ) Giải Gọi H hình chiếu A’ mp(ABC) VABC A ' B ' C ' = SVABC A ' H Ta có: 2a ) ( SVABC = = a2 Diện tích tam giác ABC: (đvdt) HM ⊥ AB Gọi N trung điểm AB, kẻ góc mp(AA’B’B) ·A ' MH = 450 ·A ' MH mp(ABC) góc , suy , suy tam giác A’HM tam giác vuông cân H, suy MH = A’H ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 15 Trong mp (ABC), xét tam giác ABC cạnh 2a 1 2a a a MH = GN = CN = = A' H = 6 3 Ta có suy a VABC A ' B 'C ' = a = a3 Vậy (đvtt) Câu I= π ∫ − Tính tích phân Giải I= π cos x π ( x − 1) tan xdx ∫ − ( x − 1) tan xdx cos x π (1) Đặt t = − x ⇔ dt = −dx π π π π x = − ⇒t = ,x = ⇒ t = − 6 6 − π π ( −t − 1) tan ( −t ) dt = ( −t − 1) tan I =−∫ ∫π cos 2t cos ( −2t ) π − t dt = π ∫ − ( − x − 1) tan x dx π cos x (2) Cộng (1) (2) ta π 2I = ∫ π − I= π ∫ − tan x ( + tan x ) π − Đặt −2 tan x dx ⇔ I = cos x − tan x π ∫ π − − tan x dx cos x cos x = Do − tan x + tan x nên dx t = tan x ⇔ dt = ( + tan x ) dx x=− π π ⇒t =− ,x = ⇒ t = 6 3 ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 16 I= − −t ∫ 1− t dt = − ∫ dt = ∫ 1 − ÷ 1− t − 1 1 1 − + t + − t ÷÷dt 3 1+ t +1 = t − ln = − ln ÷ 3 −1 1− t − x+ y log ÷+ x = y − x + y Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn mãn e3 x+ y = me3 y − x − e x Tìm m thỏa Giải Với x,y > ta có x+ y log ÷+ x = y − x + y x + 5y x + 5y ⇔ log ( x + y ) + 3( x + y ) = log )(*) ÷+ 3( f ( t ) = log t + 3t ⇒ f ' ( t ) = Xét hàm số + > 0, ∀t > t.ln Vậy hàm số f(t) đồng biến khoảng ( 0;+∞ ) x+ y= Như (*) có nghiệm x + 5y ⇔x= y e3 x+ y = me3 y − x − e x ⇔ e x + e x = me x ⇔ m = e x + Vậy Đặt ex s = e x ⇒ s > 1, ∀x > g ( s ) = s2 + Xét hàm số g ' ( s ) = 2s − s khoảng ( 1;+∞ ) 2s3 − 1 = ; g '( s ) = ⇔ s = 2 s s Bảng biến thiên ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com 17 s g'(s) g(s) Suy +∞ + +∞ 3 2 m>2 ThS Lê Quang Hải htps:toanc3.online.com ... −1 htps:toanc3.online.com BỘ CƠNG AN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài thi đánh giá Tuyển sinh CAND năm 2022 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút khơng kể thời gian giao đề Họ tên: …………………… Số báo danh: …………………………………... số thực dương x,y thỏa mãn Tìm m thỏa x+ y y−x x e = me −e mãn -HẾT GỢI Ý ĐÁP ÁN BÀI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH CAND 2022 Câu 1 Tìm cực trị hàm số Giải D=¡ • Tập xác định: y ' = x3 − x • • y = x4... thay đổi thỏa mãn : x x2 y log ( x + y ) + = log + x2 y P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 + x2 y -Hết Hướng dẫn đáp án Câu I 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x3 − x2 + [ −1;2] Giải + Tập xác định: