(SKKN HAY NHẤT) về phép nghịch đảo trong hình học phẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI MỞ ĐẦU 1) Mục đích: Cung cấp thêm cơng cụ mạnh để giải tốn hình học phẳng 2) Các ví dụ minh họa 3) Phần tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện Hy vọng với số ví dụ lượng tập vừa đủ có tác dụng tốt cho em học sinh Việc tìm tịi dạng tốn dùng phép nghịch đảo cơng việc địi hỏi say mê chịu khó tinh thần ham học Trong trình bày đề tài, chắn khơng thể khơng thiếu xót,rất mong đóng góp Thầy Cơ để viết hồn chỉnh Xin chân thành cảm ơn GV PHẠM ĐỨC MINH LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I) Các định nghĩa: a) Góc đường thẳng đường trịn: góc đường thẳng d đường trịn (O) góc d tiếp tuyến  (O) giao điểm M (O) d  d  d Khi d (O) khơng có điểm chung d tiếp tuyến (O) góc d (O) b) Góc hai đường trịn: Cho hai đường trịn (O) (O’).Góc hai đường trịn (O) (O’) góc hai tiếp tuyến giao điểm (O) (O’) d d’  Nếu hai đường trịn tiếp xúc góc chúng c) Hai đường tròn (O) (O’) gọi trực giao hai tiếp tuyến điểm chung vng góc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com M D O’ O C B A * OO’2 = R2 + R’2 * PO /(O’)= R2; PO’ /(O )= R’2 * (ABCD) = – II) PHÉP NGHỊCH ĐẢO: 1) Định nghĩa:Cho điểm O cố định số thực k  Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu: f = N Ok NOk : M M'  OM.OM'  k 2) Tính chất: * Nok (M)  M'  N ok (M')  M Ta ghi: Nok : M  M' * N ok (N ok (M))  M nên Nok Nok phép đồng * Đường tròn nghịch đảo:Xét Nok : M M'  Nếu k > M M’ nằm phía với O Khi N ok : O; k   O; k  Đường tròn (O; k ) gọi đường tròn nghịch đảo qua N ok : tập hợp điểm bất động phép nghịch đảo Chứng minh: Lấy điểm M (O; k ) N ok : M  M '  OM.OM '  k  OM '  k  M '  O; k  M  M’ O LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Phép nghịch đảo N ok biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo thành k O O’ M M’ Chứng minh: Xét đường tròn nghịch đảo (O; k ) đường tròn (O’) trực giao với (O) M điểm tùy ý (O’) Nok : M M'  OM.OM'  k Giả sử OM cắt (O’) M’’ Ta có:PO/ (O’) = OM.OM''    k  k  OM.OM'  M'  M'' (đpcm) * N ok : A A' B B' A'B'  k AB OA.OB Chứng minh: * Nếu O,A,B không thẳng hàng: OA.OA '  OB.OB'  k nên A,A’,B,B’ đồng viên  OAB OB'A'  k A'B' OA' OA' OA.OA'   A'B'  AB  AB  AB AB OB OB OA.OB OA.OB A’ A O B B’ O A A’ B B’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Nếu O, A, B thằng hàng: OA.OA'  OB.OB'  (OB  BA)(OB'  B'A')  OB.OB'    OB.B'A '  OB'.BA  BA.B'A '   B'A ' OB  BA  OB'.AB  A'B'   k OB'.AB OB.OB' k  AB   AB  A'B'  AB OA.OB OA OA.OB OA.OB Chú ý:Khẳng định N Ok : AB A 'B' sai 3)Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường thẳng qua cực nghịch đảo (d) qua O  N ok : d d Chứng minh:Lấy điểm M tùy ý (d) M'  NOk (M)  OM.OM'  k  O,M,M' thẳng hàng  M'  (d) O M M’ d b)Qua phép nghịch đảo, ảnh đường thẳng không qua cực nghịch đảo đường tròn qua cực nghịch đảo (d) không qua O  Nok : d (C) qua O Chứng minh:Gọi A hình chiếu vng góc O lên (d) A'  N Ok (A) Lấy điểm M tùy ý (d) M'  NOk (M)  OM.OM'  k  OA.OA'  bốn điểm M, M’, A, A’ đồng viên  MAA'  MM'A'  900  M' thuộc đường trịn đường kính OA’ M’ M’ M O A A A’ O1 O’ O A’ O’ O1 M ( k > 0) (k < 0) Cách xác định tâm đường tròn (C): LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi O’ tâm (C), suy O’ trung điểm OA’ O1 điểm đối xứng O qua (d) Ta có: OO1.OO'  2OA OA'  OA.OA'  k  O'  NOk (O1) 4) Ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường tròn qua cực nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịch đảo vng góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo tâm đường tròn cho (C) qua O  Nok : (C) d không qua O d  OO1 Chứng minh: Gọi A điểm đối xứng với O qua tâm O1 B ảnh A qua N Ok M điểm tùy ý (C) N = N Ok (M).Ta có: OM.ON  k  OA.OB  bốn điểm A,B,M,Nđồng viên  AMN  ABN  900  N thuộcđường thẳng d qua B vng góc với OA d M N O O1 B A b) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường trịn khơng qua cực nghịch đảo đường trịn không qua cực nghịch đảo (C)(I;R) không qua O  Nok : (C) (C')(I';R ') không qua O Chứng minh: Lấy điểm M tùy ý (C), OM cắt (C) N N’ Ta có:O/(C)  OM.ON  p Suy ảnh (C) qua N Op (C) Gọi M’ ảnh M qua N Ok M M’ N O I I’ (C) (C’) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  OM.OM'  k  OM' k  ON p k p O suy M’ ảnh N qua phép vị tự V k p O Đảo lại M’ ảnh N qua V OM '  k k ON  OM.OM '  OM ON  k suy p p M’ ảnh M qua N Ok Vậy ảnh (C’) (C) qua N ảnh (C) qua V với p = O /( C ) đường tròn k p O k O 5)Phép nghịch đảo bảo tồn góc đường thẳng đường trịn; góc hai đường trịn III.Các ví dụ: 1) Cho đường trịn (O) đường kính BC điểm A nằm (O), AB cắt (O) C’ AC cắt (O) B’, BB’ cắt CC’ H Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) ( M, N tiếp điểm ) Chứng minh: M, N, H thẳng hàng Giải:Hiển nhiên H trực tâm tam giác ABC Ta có: AM2 = AN2 = AB.AC'  AB'.AC  AH.AK  k  N kA : K  H;M ; N  N mà K, M,N thuộc đường trịn đường kính OA  (KMN) qua cực A  N kA : (KMN)  đường thẳng HMN Vậy: H,M,N thẳng hàng OK B C H H M N B’ C’ A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Gọi B’,C’lần lượt hình chiếu B C lên AC, AB Chứng minh tiếp tuyến (O) A song song với B’C’ AO vng góc với B’C’ Giải: Hiển nhiên bốn điểm B,C, B’,C’ đồng viên nên AB.AC'  AB'.AC  k  N kA : B'  C;C'  B  N kA biến đường trịn (ABC)  (O) thành đường thẳng B’C’.Theo tính chất B’C’ vng góc với OA Gọi d tiếp tuyến (O) A suy d vng góc với OA nên d // B’C’ A d B’ C’ B O C 3) Cho đường trịn (O) đường kính AB có I điểm cố định thuộc đoạn AB ( I  A,B) Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (O) P, Q ( d  AB) AP, AQ cắt tiếp tuyến (O) B M, N Chứng minh đường tròn (AMN) qua điểm cố định tâm (AMN) nằm đường thẳng cố định Giải: Tam giác vuông ABM, ABN có BP, BQlà đường cao: AB2 = AP.AM  AQ.AN k  N kA : P  M;Q  N , suy đường thẳng PQ không qua cực A biến thành đường tròn (AMN) mà PQ qua I cố định nên (AMN) qua I’ = N kA (I) cố định * Do (AMN) qua A I’ cố định nên tâm (AMN) nằm đường trung trực AI’ cố định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com N Q A B I P M 4) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao BD, CE.P giao điểm DE AM.Biết AM  BC Chứng minh P trung điểm AM Giải:Gọi N giao điểm AM đường tròn (ABC) * B,E,D,C đồng viên nên AE.AB  AD.AC  k  NkA : B  E;C  D  (ABC) biến thành đường thẳng DE  NkA : N  P  AN.AP  k *M /( ABC ) BC2 BC BC  MN  MN  = MB.MC  MA.MN  2 *B,E,D,C nội tiếp đường tròn tâm M A/(M) = AM  BC  AP(AM  MN)  AM  A  AE.AB  k  AN.AP BC2 BC2  E B BC  AP   AM  P trung điểm AM D P C M N LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O1).Đường tròn (O) qua A, C cắt AB, AC K, N Giả sử (ABC) (KBN) cắt B, M Chứng minh: OMB  900 Giải: Gọi (O2) đường trịn (KBN) Ta có: PB /(O) = BK.BA  BN.BC  k A  K  N kB : C  N  (ABC) biến thành NK mà BO1  (O1) nên BO1  NK BO  BO  có OO2  KN nên BO1//OO2(1) (BNK)  AC N kB :  mà BO2  (O2) nên BO2  AC, BO  BO  2 có OO1  AC nên BO2 // OO1 (2) Từ (1) (2) suy BO1OO2 hình bình hành.Gọi I tâm BO1OO2 suy I trung điểm O1O2 mà O1O2  BM nênOM  BM hay OMB  900 A O K O1 M B O2 N C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 6)Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự Đường tròn (AC) (BD) cắt X,Y.Đường thẳng XY cắt BC Z.P điểm đường thẳng XY khác với Z CP cắt (AC) C M BP cắt (BD) B N.Chứng minh: AM, DN, XY đồng qui Giải: Gọi O1 O2 tâm (AC) (BD) Ta có XY trục đẳng phương (O1) (O2)  P /( o1 ) P /( O2 ) X  Y AM  (PA'C)    PX.PY  PM.PC  PN.PB  k  N : C  M   ND  (PD'B) B  N XY  XY   k P với A '  NkP (A) D'  N kP (D) Để chứng minh AM,ND, XY đồng qui ta chứng minh XY trục đẳng phương (PA’C) (PD’B) * Ta có: A,A’,C,M đồng viên nên PA'C  900  PZC  Z  (PA'C) D,D’,B,N đồng viên nên PD'B  900  PZB  Z  (PD'B)  PZ trục đẳng phương (PA’C) (PD”B) hay XY trục đẳng phương (PA’C) (PD”B) hay AM,DN,XY đồng qui Y A O1 B Z P M C O2 D A’ X N LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Các tập luyện tập: 7) Cho đường tròn (O) hai dây cung AA’, BB’ vng góc với điểm P cố định đường tròn (O) H chân đường vng góc kẻ từ P đến AB a.Chứng minh: PH qua trung điểm A’B’ PH.PI khơng đổi b Đường trịn (C) qua A,P tiếp xúc với (O) A; Đường tròn (C’) qua A’,P tiếp xúc với (O) A’.(C) cắt (C’) M.Tìm tập hợp điểm M 8) Cho ba đường trịn (C),(C1 ),(C2 ) (C1 ),(C2 ) tiếp xúc với (C) B (C1 ),(C2 ) tiếp xúc D.Tiếp tuyến chung (C1),(C2)cắt (C) A E Đường thẳng AB cắt (C1 ) điểm thứ hai M, đường thẳng AC cắt (C2 ) điểm thứ hai N Chứng minh: 1   DA DE MN 9) Cho bốn đường tròn phân biệt (Ci ) i=1,2,3,4 Hai đường trịn (C1 ),(C3 ) tiếp xúc ngồi P hai đường tròn (C2 ),(C4 ) tiếp xúc P Gọi A,B,C,D giao điểm thứ hai (C1 ),(C2 ); (C2 ),(C3 ); (C3 ),(C4 );(C4 ),(C1 ) Chứng minh: AB.BC PB2  AD.DC PD2 10) Cho đườngtròn (O;R)tiếp xúc với đường thẳng d điểm H cố định M,N hai điểm di động d cho HM HN  k ( k > không đổi ) Từ M, N vẽ hai tiếp tuyến MA,NB với (O) (A, B tiếp điểm khác H) a) Chứng minh (OMN) qua hai điểm cố định b) Chứng minh AB qua điểm cố định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường tròn qua cực nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịch đảo vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo tâm đường tròn...  M'  (d) O M M’ d b)Qua phép nghịch đảo, ảnh đường thẳng không qua cực nghịch đảo đường trịn qua cực nghịch đảo (d) khơng qua O  Nok : d (C) qua O Chứng minh:Gọi A hình chiếu vng góc O lên... Chú ý:Khẳng định N Ok : AB A 'B' sai 3)Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường thẳng qua cực nghịch đảo (d) qua O  N ok : d d Chứng minh:Lấy điểm M tùy ý (d) M'