(LUẬN án TIẾN sĩ) phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp

Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Trong không gian Hilbert thực H, với C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng, ta ký hiệu tớch vụ hướng hã, ãi và chuẩn tương ứng được xác định bởi kxk=p hx, xi với mọi x ∈ H Một dãy {x k } ⊂ H được gọi là hội tụ mạnh tới x ∗ ∈ H, ký hiệu x k → x ∗, nếu kx k − x ∗ k →0 khi k → ∞ Tương tự, dãy này cũng có thể hội tụ yếu tới x ∗, ký hiệu x k * x ∗, nếu hu, x k − x ∗ i →0 với mọi u ∈ H Mặc dù mọi dãy hội tụ mạnh đều hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng Tính chất Kadec-Klee cho thấy mối liên hệ quan trọng giữa hai loại hội tụ này.

{kx k k → kx ∗ k và x k * x ∗ }=⇒ x k → x ∗ Cho C 6= ∅, C ⊂ H Ánh xạ S : C → H được gọi là nửa đóng tại 0, nếu {x k } là một dãy trong C sao cho x k * x¯ và (I − S)(x k )→0, thì (I − S)(¯x) = 0.

Tập S được xác định là một tập con không rỗng trong không gian Euclide R n Một dãy {x k } thuộc R n được gọi là hội tụ tựa - Fejér đến S nếu với mỗi phần tử x ∈ S, tồn tại một k 0 ≥ 0 và một dãy {δ k } trong R+ thỏa mãn tổng P∞ k=0 δ k < ∞, đồng thời điều kiện kx k+1 −xk 2 ≤ kx k − xk 2 +δ k được đảm bảo cho mọi k ≥ k 0.

Theo định nghĩa của chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.

Bổ đề 1.1 ([5]) Với mỗi x, y ∈ H, ta có (i) kx − yk 2 =kxk 2 − kyk 2 −2hx − y, yi , (ii) ktx+ (1− t)yk 2 =tkxk 2 + (1− t)kyk 2 − t(1− t)kx − y k 2 , ∀t ∈[0,1].

Hình chiếu của một điểm x ∈ H trên C, ký hiệuP r C (x), là một điểm thuộc C và gần điểm x nhất, được xác định bởi

Hình 1.1: Phép chiếu của điểm x trên một tập lồi C.

Ví dụ 1.1 Cho C = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 2 1 +x 2 2 ≤ 1, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0} Hãy xác định phép chiếu P r C (x) với mọi x ∈R 2

Bằng hình vẽ, ta dễ dàng thấy rằng, với mỗi (x 1 , x 2 )∈R 2 , P r C (x) được xác định:

{(min{1, x 1 },0)} với x 1 ≥0, x 2 0, {(0,0)} vớix 1 ≤0, x 2 ≤0,

Hình 1.2: Hình minh hoạ Ví dụ 1.1.

Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.1 ([20], Theorem 3.14, Proposition 4.8) Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó,

(a) hx − P r C (x), y − P r C (x)i ≤0, ∀y ∈ C, x ∈ H; (b) hình chiếu P r C (x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất;

(c) kP r C (x)− P r C (y)k 2 ≤ hP r C (x)− P r C (y), x − yi, ∀x, y ∈ H (tính đồng bức);

(d) kP r C (x)− P r C (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tính không giãn).

Mệnh đề 1.2 ([53], Proposition 4.1) Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó,

(a) kx − P r C (x)k 2 ≤ kx − yk 2 − ky − P r C (x)k 2 , ∀x ∈ H, y ∈ C; (b) kP r C (x)− P r C (y)k 2 ≤ kx − yk 2 − kP r C (x)− x+y − P r C (y)k 2 , ∀x, y ∈ H; (c) kx − P r C (x − y)k 2 ≤ kyk, ∀x, y ∈ H;

(d) kz − P r C (x − y)k 2 ≤ kx − zk 2 −2hx − z, yi+ 5kyk 2 , ∀x, z ∈ C, y ∈ H.

Sau đây, chúng ta nhắc lại một số khái niệm trong không gian Hilbert thực

H. Giả sửC là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcHvà x 0 ∈ C. Khi đó tập

N C (x 0 ) ={ω ∈ H| hω, x − x 0 i ≤0, ∀x ∈ C} được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0 và tập −N C (x 0 ) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x 0 q N C (x 0 ) w C x 0

Hình 1.3: Nón pháp tuyến ngoài N C (x 0 ).

Ví dụ 1.2 ChoC là một tập con, lồi, đóng khác rỗng trong không gian R n Xét hàm chỉ trên C δ C (x 0 ) 

Giải Cho x 0 ∈ C Khi đó, δ C (x 0 ) = 0 và

Nếu f : H → R ∪ { +∞} là hàm lồi chính thường trên H, w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x nếu f(y) ≥ hw, y − xi+f(x), ∀y ∈ H.

Dưới vi phân của hàm f tại điểm x, ký hiệu là ∂f(x), bao gồm tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x Hàm f được xem là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f(x) khác rỗng Hơn nữa, f được coi là khả dưới vi phân trên tập lồi, đóng C ⊂ H nếu ∂f(x) cũng khác rỗng cho mọi x thuộc C.

Từ khái niệm nón pháp tuyến và dưới đạo hàm của hàm f, ta có Định lý 1.1: Giả sử C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong H, và f : H → R ∪ { +∞} là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C Khi đó, x 0 ∈ argmin f(x) với mọi x ∈ C khi và chỉ khi.

Trong không gian Euclide R^n, xét tập con C là lồi, đóng, khác rỗng và có song hàm f: C × C → R thỏa mãn điều kiện f(x, x) = 0 Tập dưới vi phân chệch theo biến thứ hai của hàm f tại điểm x ∈ C, ký hiệu ∂²f(x, x), được xác định một cách rõ ràng.

Một ánh xạ S :C → H, được gọi là

(a) không giãn, nếu kS(x)− S(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C;

(b) tựa không giãn, nếu Fix(S)6=∅ và kS(x)− x ∗ k ≤ kx − x ∗ k, ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S);

(c) tựa co, nếu Fix(S)6=∅ và tồn tại β ∈(0,1) thỏa mãn kS(x)− x ∗ k ≤ βkx − x ∗ k, ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S);

(d) nửa co, nếu Fix(S) 6=∅ và tồn tại β ∈[0,1) thỏa mãn kS(x)− x ∗ k 2 ≤ kx − x ∗ k 2 +βkx − S(x)k 2 , ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S);

(e) đóng yếu trên C nếu {x k } ⊂ C, x k * xvà S(x k ) * w thì w=S(x);

(f) liên tục yếu nếu x n * x, thì S(x n )* S(x).

Hàm f : H →R ∪ {±∞} được gọi là (a) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {x k } ⊂ C hội tụ mạnh đến x thì lim inf k→∞ f(x k ) ≥ f(x).

(b) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {x k } ⊂ C hội tụ mạnh đến x thì lim sup k→∞ f(x k )≤ f(x).

Hàm f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C nếu f nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C.

Ta nhắc lại một số bổ đề cơ bản được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của thuật toán trong các chương sau.

Bổ đề 1.2 ([89], Lemma 3.1) Cho A : H → H là toán tử β-đơn điệu mạnh và

L-liờn tục Lipschitz, λ ∈ (0,1] và à ∈(0, 2β L 2 ) Khi đú, ỏnh xạ T(x) = x − λàA(x) với mọi x ∈ H, thỏa mãn bất đẳng thức kT(x)− T(y)k ≤(1− λτ)kx − yk, ∀x, y ∈ H, với τ = 1−p

Bổ đề 1.3 ([52], Lemma 2.1) Cho {λ n } và {β n } là dãy không âm thỏa mãn

Khi đó, (i) Tồn tại dãy con {β n k } ⊂ {β n } thỏa mãn lim k→∞ β n k = 0.

(ii) Nếu {λ n } và {β n } thỏa mãn β n+1 − β n < θλ n , ∀θ > 0, thì {β n } thỏa mãn lim n→∞ β n = 0.

Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán bất đẳng thức biến phân

ChoC là tập con lồi và khác rỗng trong không gian Hilbert thực Hvà ánh xạ F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(F, C), được xác định bởi miền ràng buộc C và ánh xạ giá F Mục tiêu của bài toán này là tìm x ∗ ∈ C sao cho hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0, với mọi x ∈ C.

Bài toán nghiệm được ký hiệu là S(F, C), với hàm số được định nghĩa là f(x, y) = hF(x), y − xi cho mọi x, y thuộc C Do đó, bài toán VI(F, C) tương đương với bài toán EP(f, C) Trong trường hợp đặc biệt khi C = H, bài toán VI(F, C) có thể được diễn đạt dưới dạng phương trình F(x) = 0.

Một ánh xạ F :C → H được gọi là (a) γ-đơn điệu mạnh trên C với γ >0, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥ γkx − yk 2 , ∀x, y ∈ C;

(b) đơn điệu trên C, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥0, ∀x, y ∈ C;

(c) giả đơn điệu trên C, nếu hF(y), x − yi ≥0⇒ hF(x), x − yi ≥0, ∀x, y ∈ C;

(d) β-đơn điệu mạnh ngược trên C với β >0, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥ βkF(x)− F(y)k 2 , ∀x, y ∈ C;

(e) para-đơn điệu trên C, nếu F đơn điệu trên C và hF(x)− F(y), x − yi= 0⇒ F(x) =F(y), ∀x, y ∈ C;

(f) para-đơn điệu chặt trên S ⊂ C, nếu F giả đơn điệu trên C và

(g) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu kF(x)− F(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C.

Theo định nghĩa trên, nếu F là β-đơn điệu mạnh ngược thì F là L-liên tục Lipschitz với hằng số L= β 1 và đơn điệu trên C, và ta có quan hệ(a)⇒(b)⇒(c).

Trong trường hợp tổng quát, không phải lúc nào cũng đúng rằng một hàm đơn điệu cũng sẽ đơn điệu trên toàn bộ miền xác định Ví dụ, hàm F: C → R được xác định bởi F(x) = x^2 là một hàm giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên C = R Tuy nhiên, hàm này lại đơn điệu trên khoảng C = [0,1], nhưng không phải là đơn điệu mạnh.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI(F, C) được suy ra từ tính liên tục của F và điều kiện tập C là compact Ta có kết quả sau:

Khi tập C không có tính compact, định lý điểm bất động Brouwer không còn áp dụng Trong tình huống này, sự tồn tại nghiệm cho bài toán VI(F, C) có thể được chứng minh dựa vào tính đơn điệu mạnh và tính liên tục Lipschitz của hàm F.

Mệnh đề 1.3 Nếu F : C → H là β−đơn điệu mạnh trên C và L−liên tục Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh Chọn 0< à < 2β L 2 và xột ỏnh xạ T :C → C được xỏc định bởi

Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có: kT(x)− T(y)k 2 =kP r C (x − àF(x))− P r C (y − àF(y))k 2

=kx − yk 2 −2àhF(x)− F(y), x − yi+à 2 kF(x)− F(y)k 2

Do F liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên C, ta có kT(x)− T(y)k 2 ≤kx − yk 2 −2àβkx − yk 2 +à 2 L 2 kx − yk 2

(1− à(2β+àL 2 ) ∈[0,1). Vậy T :C → C là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất x ∗ ∈ C sao cho T(x ∗ ) =x ∗ Do đó, x ∗ ∈ S(F, C).

Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F, với C → R là hàm lồi và nửa liên tục dưới Bài toán tối ưu OP(F, C) tìm kiếm x ∗ ∈ C sao cho F(x ∗ ) ≤ F(y) với mọi y ∈ C Đặt f(x, y) = F(y)− F(x) cho mọi x, y ∈ C; x ∗ là nghiệm của bài toán OP(F, C) nếu và chỉ nếu x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).

Bài toán bù Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng,

C ∗ ={x ∈ H: hx, y i ≥0, ∀y ∈ C} là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục F : C → H Bài toán bù, ký hiệu CP(F, C) là bài toán tìm x ∗ ∈ C sao cho F(x ∗ ) ∈ C ∗ và hF(x ∗ ), x ∗ i= 0.

Với mọi x, y ∈ C, đặt f(x, y) =hF(x), y − xi Khi đó, bài toán CP(F, C) sẽ tương đương với bài toán EP(f, C).

Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng và khác rỗng, với ánh xạ đa trị T : C → 2^H nửa liên tục, sao cho T(x) là tập compact khác rỗng cho mọi x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu là MVI(T, C), đặt ra yêu cầu tìm x∗ ∈ C và w∗ ∈ T(x∗) sao cho ||w∗ - x∗|| ≥ 0, với mọi x ∈ C.

Với mỗi x, y ∈ C, đặt f(x, y) = max{hw, y − xi: w ∈ T(x)}.

Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán MVI(T, C) khi và chỉ khi x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).

Khi ánh xạ giá T của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(T, C) là đơn trị, bài toán này sẽ chuyển thành bài toán bất đẳng thức biến phân thông thường.

Bài toán điểm bất động

ChoC ⊂ H là một tập lồi, đóng và không rỗng, cùng với ánh xạ đơn trị F: C → C Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(F, C), nhằm tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ = F(x ∗ ) Đặt f(x, y) = h(x − F(x), y − x) với mọi x, y ∈ C, bài toán FP(F, C) tương đương với bài toán cân bằng EP(f, C).

Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị, ký hiệu MFP(F, C), là tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ ∈ F(x ∗ ) Ở đây, F : C → 2^H là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact và khác rỗng Đối với mọi x, y ∈ C, ta định nghĩa f(x, y) = max w∈F(x) hx − w, y − xi.

Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán MFP(F, C) khi và chỉ khi x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).

Bài toán điểm yên ngựa

Cho C 1 , C 2 ⊆ H là các tập con lồi, đóng và khác rỗng, với hàm g : C 1 × C 2 → R Điểm (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) được gọi là điểm yên ngựa của g nếu nó thuộc C = C 1 × C 2 và thỏa mãn điều kiện g(x ∗ 1 , y 2 ) ≤ g(x ∗ 1 , x ∗ 2 ) ≤ g(y 1 , x ∗ 2 ) cho mọi (y 1 , y 2 ) ∈ C 1 × C 2 Xét ánh xạ f : C × C → R với f(x, y) = g(y 1 , x 2 ) − g(x 1 , y 2), trong đó x = (x 1 , x 2 ) và y = (y 1 , y 2 ) Khi đó, điểm x ∗ = (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) là điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu g(x ∗ , y) ≥ 0 cho mọi y = (y 1 , y 2 ) ∈ C.

Như vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu những kết quả chính về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong bài toán cân bằng Mặc dù việc chứng minh các kết quả này không phải là mục tiêu chính của luận án, chúng tôi sẽ chỉ nêu ra những kết quả quan trọng liên quan đến tính chất của tập nghiệm.

Các kết quả này được chứng minh trong tài liệu tham khảo [24, 38, 48] Để trình bày các kết quả một cách hiệu quả, chúng ta sẽ xem xét một số giả thiết của song hàm f :C × C →R.

(A1) f(x, ) nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ C,

(A2) f(x, ) tựa lồi với mỗi x ∈ C, (A3) f(., y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C.

Theo định lý Ky Fan (Mệnh đề 1.4), cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H, cùng với song hàm f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A2) và (A3) Giả sử rằng ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

(ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W ⊂ C sao cho với mọi x ∈ C\W, tồn tại y ∈ W sao cho f(x, y) 0 sao cho f(x, y) +f(y, x) ≤ −γkx − yk 2 , ∀x, y ∈ C;

(b) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ x, y ∈ C và x 6=y sao cho f(x, y) +f(y, x)0 và c 2 >0 nếu f(x, y) +f(y, z)≥ f(x, z)− c 1 kx − yk 2 − c 2 ky − zk 2 , ∀x, y, z ∈ C.

Từ định nghĩa trên, ta suy ra mối quan hệ sau:

Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại nói chung là không đúng.

Chú ý rằng song hàm f : C × C → R được xác định bởi f(x, y) = hF(x), y − xi cho mọi x, y ∈ C Theo định nghĩa, có thể dễ dàng chỉ ra rằng tính đơn điệu của song hàm f tương ứng với tính đơn điệu của hàm giá F; cụ thể, nếu song hàm f đơn điệu mạnh, thì ánh xạ F cũng sẽ đơn điệu mạnh.

Mệnh đề 1.5 ([24], Proposition 4.2, [48], Proposition 2.1.16) (i) Nếuf đơn điệu chặt trên C, thì bài toán EP(f, C) có không quá một nghiệm.

(ii) Nếu f(x, ) là hàm lồi với mỗi x ∈ C, f thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3) và là đơn điệu mạnh trên C, thì bài toán EP(f, C) có duy nhất nghiệm.

Ánh xạ nghiệm

Gần đây, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu các thuật toán giải bài toán cân bằng EP(f, C), bao gồm thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán chiếu-dưới đạo hàm và kỹ thuật tìm kiếm theo tia Amijo Hầu hết các thuật toán này được xây dựng dựa trên nguyên lý điểm bất động của ánh xạ nghiệm S(x) P.L Combettes và S.A Hirstoaga đã giới thiệu ánh xạ nghiệm S r : H → C cho bài toán EP(f, C) với mỗi r > 0.

(1.2) Ở đây, song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau (i) f đơn điệu;

(ii) với mỗi x, y, z ∈ C, lim t→0 f(tz+ (1− t)x, y)≤ f(x, y);

(iii) với mỗi x ∈ C, y 7→ f(x, y) là hàm lồi và nửa liên tục dưới.

Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại y ∈ C thỏa mãn f(y, z) + 1 r hz − y, y − xi ≥0, ∀z ∈ C.

Hơn nữa, ánh xạ Sr:H → C được định nghĩa bởi (1.2) là ánh xạ đơn trị và thỏa mãn tính đơn điệu mạnh ngược kS r (x)− S r (y)k 2 ≤

Mọi x, y thuộc H, x ∗ thuộc C là nghiệm của bài toán EP(f, C) nếu và chỉ nếu nó là điểm bất động của ánh xạ S r Đặt f(x, y) là F(x), y − x với mọi x, y thuộc C, trong đó ánh xạ F: C → R n Do đó, bài toán cân bằng EP(f, C) có thể được diễn đạt dưới dạng bài toán VI(F, C).

Trong không gian EuclideR n, K Taji và M Fukushima đã giới thiệu ánh xạ nghiệm S : C → C cho bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Ánh xạ này được xác định cho mọi x thuộc C.

, ∀x ∈ C, ở đây G là ma trận vuông, xác định dương cấp n Khi đó, x ∗ ∈ C là nghiệm của bài toán VI(F, C) nếu và chỉ nếu x ∗ là điểm bất động của ánh xạ S(x).

Dựa trên ý tưởng của K Taji và M Fukushima, chúng tôi đề xuất một ánh xạ nghiệm S(x) để giải bài toán EP(f, C) trong không gian hữu hạn chiều R^n Bài viết cũng nghiên cứu tính co, tính không giãn và tính giả co chặt của ánh xạ này, với giả thiết rằng hàm f là đơn điệu, thông qua việc lựa chọn các tham số chính quy phù hợp.

Xét bài toán EP(f, C) thỏa mãn với mỗi x ∈ C, hàm f(x, ) là lồi và khả dưới vi phân trên C Ánh xạ nghiệm S(x) xác định bởi:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận vuông G xác định dương cấp n Bổ đề dưới đây chứng minh rằng nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C) tương đương với điểm bất động của ánh xạ nghiệm S(x).

Bổ đề 1.4 Xét bài toán EP(f, C), song hàm f(x, ) là lồi, khả dưới vi phân và ánh xạ S(x) được xác định bởi (1.3) Khi đó, x ∗ ∈ C là nghiệm của bài toán

EP(f, C) khi và chỉ khi x ∗ là điểm bất động của ánh xạ S(x).

Chứng minh Giả sử x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C) Vì G là ma trận vuông xác định dương cấp n, ta có y − x ∗ , G(y − x ∗ )

Theo điều kiện cân bằng f(x, x) = 0, nên x ∗ là nghiệm của bài toán min f(x ∗ , y) + 1

Ngược lại, giả sử x ∗ =S(x ∗ ) thì x ∗ là nghiệm của bài toán lồi mạnh min f(x ∗ , y) + 1

0∈ ∂f(x ∗ , ã)(x ∗ ) +N C (x ∗ ), ở đây N C (x ∗ ) là nón pháp tuyến ngoài tại điểm x ∗ trên C Vì vậy, ta có hw ∗ , x ∗ − xi ≥0, ∀x ∈ C, (1.4) với w ∗ ∈ ∂f(x ∗ , ã)(x ∗ ) Vỡ f(x ∗ , ) là hàm lồi trờn C nờn f(x ∗ , x)− f(x ∗ , x ∗ )≥ hw ∗ , x − x ∗ i , ∀x ∈ C (1.5)

Kết hợp (1.4), (1.5) và f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C, suy ra f(x ∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C Vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C).

Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.4, chúng tôi sẽ chứng minh tính tựa co và tựa không giãn của ánh xạ nghiệm S(x) thông qua các định lý tiếp theo, như đã trình bày trong nghiên cứu [CT2] Định lý 1.2 khẳng định rằng, với C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Euclide R^n, hàm f: C × C → R là γ-giả đơn điệu mạnh trên C, thỏa mãn điều kiện Lipschitz với các hằng số c1 > 0 và c2 > 0 Hơn nữa, f(x, ) là hàm lồi và khả vi phân trên C, từ đó cho phép chúng ta xét ánh xạ nghiệm cho mỗi x ∈ C.

2c 1 và γ > c 2, thì S là tựa co trên C với hằng số δ= √ 1

1+2λ(γ−c 2 ) Chứng minh Theo điều kiện của cực trị có điều kiện, thì

Mặt khác, theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có

0 =S(x)− x+λw 1 +w 2 , (1.6) trong đó w 1 ∈ ∂ 2 f(x, S(x)) và w 2 ∈ N C (S(x)) Theo định nghĩa nón pháp tuyến, ta có w 2 , y − S(x)

Kết hợp với (1.6), ta được x − S(x)− λw 1 , y − S(x)

≤0, ∀y ∈ C. Điều này tương đương với x − S(x), y − S(x)

Theo giả thiết, song hàm f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz với hằng sốc 1 >0 và c 2 >0 trên C và x ∗ ∈ C, x ∈ C, nên ta có f(x, x ∗ )− f(x, S(x))≤ f(S(x), x ∗ ) +c 1 kx − S(x)k 2 +c 2 kS(x)− x ∗ k 2 (1.11)

Vì x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng EP(f, C) với S(x) ∈ C, ta có f(x ∗ , S(x))≥0 Theo giả thiết, hàm f là γ-giả đơn điệu mạnh, dẫn đến f(S(x), x ∗ )≤ −γkS(x)− x ∗ k 2 Thay vào đó, ta có f(x, x ∗ )− f(x, S(x)) ≤ −γkS(x)− x ∗ k 2 +c 1 kx − S(x)k 2 +c 2 kS(x)− x ∗ k 2.

= −(γ − c 2)kS(x)− x ∗ k 2 +c 1 kx − S(x)k 2 Kết hợp điều này với (1.10), ta có x − S(x), x ∗ − S(x)

≤ kx − x ∗ k 2 , và do đó kS(x)− x ∗ k ≤ δkx − x ∗ k, với δ= √ 1

Chúng ta đã chứng minh tính tựa co của ánh xạ nghiệm S(x) trong bài toán cân bằng EP(f, C) với điều kiện f đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện Lipschitz Tuy nhiên, các điều kiện này phụ thuộc vào tham số γ, yêu cầu γ > 0 và γ > c² Do đó, chúng ta cần xem xét ánh xạ nghiệm.

Chúng ta có thể chứng minh tính tựa không giãn của ánh xạ nghiệm S(x) với giả thiết song hàm f giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện Lipschitz Định lý 1.3 khẳng định rằng, với C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Euclide R n, song hàm f: C × C → R giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện Lipschitz với các hằng số c 1, c 2 > 0, đồng thời f(x, ) là hàm lồi, khả vi dưới mọi x ∈ C, nếu λ thuộc khoảng (2c 1).

2) và γ > c 2 thì ánh xạ nghiệm S(x) được xác định bởi công thức (1.13) là tựa không giãn trên C. Chứng minh Theo điều kiện của cực trị có điều kiện, thì

(S(x)) +N C (S(x)). Theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có

0 =S(x)− x+λw 1 +w 2 , với w 1 ∈ ∂ 2 f(z x , S(x)) và w 2 ∈ N C (S(x)) Theo định nghĩa nón pháp tuyến thì w 2 , y − S(x)

Cho y =x ∗ ∈ C, bất đẳng thức (1.15) có dạng f(z x , x ∗ )− f(z x , S(x))≥ w 1 , x ∗ − S(x)

Vì x ∗ ∈Sol(f, C) nênf(x ∗ , y)≥0với mọi y ∈ C Mặt khác, theo giả thiết f là giả đơn điệu trên C nên f(y, x ∗ )≤0với mọi y ∈ C Do đó f(z x , x ∗ )≤0 Khi đó, theo (1.17) ta được

≥ λf(z x , S(x)) (1.18) Mặt khác, theo giả thiết, song hàm f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz nên f(z x , S(x))≥ f(x, S(x))− f(x, z x )− c 1 kx − z x k 2 − c 2 kz x − S(x)k 2 (1.19) Thay (1.19) vào (1.18), ta có

, nên ta có λ[f(x, y)− f(x, z x )]≥ hz x − x, z x − yi ∀y ∈ C.

=kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 − kS(x)− x ∗ k 2 , ta được kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 − kS(x)− x ∗ k 2

2), từ bất đẳng thức trên, ta được kS(x)− x ∗ k 2 ≤ kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 −2 z x − x, z x − S(x) +2λc 1 kx − z x k 2 + 2λc 2 kz x − S(x)k 2

= kx − x ∗ k 2 − kS(x)− z x k 2 − kz x − xk 2 +2λc 1 kx − z x k 2 + 2λc 2 kz x − S(x)k 2

Một số bài toán hai cấp

Bài toán cân bằng hai cấp

a Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng khác

Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực

H và f, g : C × C → R là các song hàm cân bằng xác định trên C Bài toán cân bằng hai cấp, ký hiệu BEP(f, g, C) được phát biểu như sau

Tìm x ∗ ∈Sol(f, C) thỏa mãn g(x ∗ , y)≥0, ∀y ∈Sol(f, C) (1.22) ở đó, Sol(f, C) là tập nghiệm của bài toán cân bằng

Bài toán BEP(f, g, C), theo hiểu biết của chúng tôi, được tác giả A Moudafi

Bài toán BEP(f, g, C) được xây dựng dựa trên thuật toán điểm gần kề cho lớp bài toán này, với các hàm f và g đơn điệu trên tập C Mặc dù có hình thức đơn giản, bài toán này mang tính tổng quát cao vì nó bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng khác Bên cạnh đó, tập ràng buộc của bài toán liên quan đến nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.

Trong không gian Hilbert thực H, bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu EVIP(g, F, C), được định nghĩa như sau

Tìm x ∗ ∈S(F, C) thỏa mãn g(x ∗ , x) ≥0, ∀x ∈S(F, C), (1.23) trong đó, song hàm g : C × C → R và S(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Tìm y ∗ ∈ C thỏa mãn hF(y ∗ ), y − y ∗ i ≥0, ∀y ∈ C, và F :C → H.

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

a Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khác

Trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ giá F, G:C → H dẫn đến bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu là BVI(F, G, C) Bài toán này yêu cầu tìm x ∗ ∈ S(G, C) sao cho F(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ S(G, C) Tập nghiệm S(G, C) chứa các nghiệm y ∗ ∈ C thỏa mãn hG(y ∗ ), x − y ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C Định nghĩa g(x, y) = hG(x), y − xi và f(x, y) = hF(x), y − xi cho mọi x, y ∈ C, ta thấy bài toán BVI(F, G, C) tương đương với bài toán BEP(f, g, C) Tập nghiệm của bài toán BVI(F, G, C) được ký hiệu là Ω.

Bài toán BVI(F, G, C) đã thu hút sự chú ý của nhiều tác giả trong thời gian gần đây, đặc biệt trong việc phát triển các thuật toán giải dựa trên tính đơn điệu của các ánh xạ giá F và G Tập ràng buộc trong bài toán này được xác định là tập nghiệm của bài toán cân bằng.

Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực

H Cho song hàm f : C × C → R và ánh xạ giá F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng, ký hiệu là VIEP(F, f, C), là bài toán tìm x ∗ ∈Sol(f, C) sao cho hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0, ∀x ∈Sol(f, C), (1.25) ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài toán cân bằng EP(f, C) tìmy ∗ ∈ C sao cho f(y ∗ , y) ≥0, ∀y ∈ C.

Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện cân bằng f(y, y) = 0 với mọi y ∈ C, và với mỗi x ∈ C, hàm f(x, y) là hàm lồi và khả vi theo biến y trên C Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có thể đặt f(x, y) = hF(x), y - xi, từ đó bài toán VIEP(F, f, C) trở thành bài toán BEP(f, g, C).

Trong trường hợp đặc biệt của bài toán VIEP(F, f, C) với F(x) = x − x₀, bài toán này tương đương với bài toán MNEP(f, C) Cụ thể, nó nhằm tìm giá trị tối thiểu của kx − x₀k với x thuộc tập hợp Sol(f, C), tức là xác định hình chiếu của điểm x₀ lên tập hợp Sol(f, C).

Một số thuật toán giải bài toán hai cấp

Thuật toán đạo hàm tăng cường

Thuật toán đạo hàm tăng cường là một phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu và liên tục Lipschitz Gần đây, trong nghiên cứu về việc phát triển thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, tác giả đã áp dụng thuật toán này bằng cách xây dựng các dãy lặp.

L 2 1 , các dãy số dương {δ k }, {λ k }, {α k }, {β k }, {γ k } và { k } thỏa mãn

P k=0 k < ∞,00.

Những nghiên cứu ban đầu về thuật toán xấp xỉ gắn kết được giới thiệu trong bài báo [79] Khi đó, dãy {x n } được xác định bởi:

Ánh xạ co g : H → H và ánh xạ không giãn S : C → H được xác định trong bối cảnh này Dựa trên các điều kiện đã cho cho dãy tham số {α n } và {r n }, tác giả đã chứng minh rằng dãy {x n } và {u n } hội tụ mạnh đến z = P r Fix(S) ∩ Sol(f, C) g(z).

Bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn VIFIX trong không gian Hilbert H là một vấn đề quan trọng trong toán học Nghiên cứu này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của các ánh xạ không giãn mà còn ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau Việc xác định tập điểm bất động và các điều kiện cần thiết cho bất đẳng thức biến phân là yếu tố then chốt trong việc giải quyết bài toán này.

Tìm x ∗ ∈Fix(T) sao cho h(I − V)(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0 với mọi x ∈Fix(T) là một bài toán quan trọng trong toán học, trong đó V là ánh xạ không giãn và I là ánh xạ đồng nhất Để giải quyết bài toán này, các thuật toán chủ yếu được phát triển dựa trên hai dạng dãy lặp: dạng ẩn và dạng hiện, được biểu diễn bởi công thức x k =tf(x k ) + (1− t)T(x k ) và x k+1 =λ k f(x k ) + (1− λ k )T(x k ) Trong đó, f là ánh xạ co trên C, t nằm trong khoảng (0,1) và {λ k } là một dãy số trong (0,1).

Khi đó, thuật toán xấp xỉ gắn kết giải bài toán VIFIX trong [54] được trình bày dưới dạng:

 x 0 ∈ C, x k+1 =λ k f(x k ) + (1− λ k )[α k V(x k ) + (1− α k )T(x k )], với f : C → C là ánh xạ co Khi đó, dãy {x k } hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán VIFIX.

Trong các thuật toán hiện tại, mỗi bước lặp yêu cầu giải bài toán cân bằng phụ, dẫn đến việc chỉ có được nghiệm xấp xỉ với song hàm đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu trên C, gây khó khăn trong tính toán Để khắc phục vấn đề này, chúng tôi đã kết hợp thuật toán xấp xỉ gắn kết với kỹ thuật dưới đạo hàm, nhằm phát triển một thuật toán mới giải quyết bài toán EVIP(g, F, C) và trình bày chi tiết sự hội tụ mạnh của các dãy lặp trong không gian Hilbert thực H.

Giả sử song hàm g và ánh xạ giá F thỏa mãn các điều kiện sau:

(D 1 ) g làρ-đơn điệu mạnh, g(x, ã) là hàm liờn tục yếu và lồi trờnC với mỗi x ∈ C,

∂ 2 g(x, ã)(x) là nửa liờn tục trờn và g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; (D 2 ) F :C → H là para-đơn điệu, đóng yếu và liên tục trên C; (D 3 ) Tập nghiệm S(F, C) ={¯x ∈ C: hF(¯x), y −¯xi ≥0, ∀y ∈ C} khác rỗng.

Thuật toán được mô tả chi tiết như sau.

Thuật toỏn 4.1 Lấy x 0 ∈ C, à ∈ (0,+∞), dóy cỏc số thực khụng õm {α k } và {λ k } thỏa mãn

Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tính dưới đạo hàm của hàm lồi w k ∈ ∂ 2 g(x k , x k ).

Bước 2 Tớnh d k =F(x k ) +α k w k , η k = max{à, kd k k} và x k+1 =P r C x k − λ η k k d k Nếux k+1 =x k , thì dừng thuật toán,x k là nghiệm của bài toán EVIP(g, F, C).

Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k+ 1.

Ta có thể dễ dàng kiểm tra điều kiện (4.2) thỏa mãn bởi λ k = 1 (k+ 1) λ , α k = 1

Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán EVIP(g, F, C) dừng lại ở Bước 2, nơi ta tính các dưới đạo hàm của hàm lồi, khả dưới vi phân w k ∈ ∂ 2 k f(x k , x k ) Tiếp theo, ta xác định các giá trị d k thông qua các dưới đạo hàm và lựa chọn các giá trị cho dãy tham số η k Kết quả là dãy lặp {x k} được xác định bằng phép chiếu trên tập C Nếu cần, ta quay lại Bước 1 để thực hiện các bước tương tự.

Hình 4.1: Hình minh hoạ Thuật toán 4.1.

Định lý hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 4.1 ta cần dùng một số bổ đề kỹ thuật sau.

Bổ đề 4.1 khẳng định rằng cho các dãy số thực không âm {a n }, {b n } và {c n } thỏa mãn điều kiện a n+1 ≤ (1 + b n )a n + c n với mọi n ≥ n 0, trong đó tổng ∑∞ n=n 0 b n và ∑∞ n=n 0 c n đều hội tụ Khi đó, giới hạn lim n→∞ a n tồn tại Nếu dãy {a n } có một dãy con hội tụ đến 0, thì giới hạn này sẽ là lim n→∞ a n = 0.

Bổ đề 4.2 khẳng định rằng cho dãy số thực không âm {a_n}, với mỗi số tự nhiên m, tồn tại số tự nhiên p ≥ m sao cho a_p ≤ a_{p+1} Định nghĩa n_0 là số tự nhiên thỏa mãn a_{n_0} ≤ a_{n_0 + 1} cho mọi n ≥ n_0 Ta đặt τ(n) = max{k ∈ N: n_0 ≤ k ≤ n, a_k ≤ a_{k+1}}.

Khi đó, {τ(n)} n≥n 0 là dãy không giảm thỏa mãn lim n→∞ τ(n) =∞ và a τ (n) ≤ a τ (n)+1 và a n ≤ a τ (n)+1 , ∀n ≥ n 0

Bổ đề 4.3 khẳng định rằng nếu φ là hàm số xác định trên C với biểu thức φ(ã) = hF(ã), ã − qi, trong đó q thuộc H và F: C → H là một hàm đơn điệu, đóng yếu trên C, đồng thời liên tục Lipschitz trên các tập con bị chặn của C, thì φ sẽ là nửa liên tục dưới yếu trên C.

Bổ đề 4.4 Cho dãy {x k } và {w k } sinh bởi bởi Thuật toán 4.1 Khi đó (i) kx k+1 − x k k ≤ λ k , ∀k ≥0;

(ii) Với mọi x ∗ ∈ S(F, C), kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − 2λ k η k hF(x k ), x k − x ∗ i − 2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i+ 5λ 2 k

Chứng minh (i) Theo tính chất không giãn của phép chiếu P r C , {x k } ∈ C và từ Bước 2 của Thuật toán 4.1 ta có kd k k ≤ η k Suy ra kx k+1 − x k k

(ii) Áp dụng tính chấtvi Bổ đề (1.2) cho x=x k ∈ C, z=x ∗ ∈ C và y = λ η k k d k ∈ H, và sử dụng x k+1 =P r C x k − λ η k k d k

2 Kết hợp bất đẳng thức cuối với kd k k ≤ η k , và d k =F(x k ) +α k w k , ta được kx k+1 − x ∗ k 2 ≤kx k − x ∗ k 2 −2 λ k η k hd k , x k − x ∗ i+ 5λ 2 k

Định lý 4.1 nêu rõ rằng nếu các giả thiết (D1)-(D3) được thỏa mãn, thì dãy {xk} do Thuật toán 4.1 sinh ra sẽ hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C).

Chứng minh Quá trình chứng minh định lý được chia thành các bước sau.

Bước 1 Chứng minh dãy {x k } bị chặn.

Với mỗi x ∗ ∈ S(F, C), ta có hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C Do tính đơn điệu của ánh xạ giá F, ta suy ra hF(x ∗ )− F(x k ), x ∗ − x k i ≥ 0 và {x k } ∈ C, từ đó dẫn đến hF(x k ), x k − x ∗ i ≥ 0 Kết hợp với bất đẳng thức (4.3), ta có kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − 2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i + 5λ 2 k Do đó, kx k+1 − x ∗ k 2 − 5 k.

X j=0 λ 2 j − 2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i. với mỗi k ≥1, đặt a k =kx k − x ∗ k 2 −5 k−1

Trong bài viết này, chúng ta xem xét một chuỗi {a_k} với điều kiện a_{k+1} - a_k + 2α_k λ_k η_k hx_k - x^* , w_k ≤ 0 cho mọi k ≥ 1 Giả sử tồn tại một chỉ số k_0 > 0 sao cho chuỗi {a_k} không tăng từ k ≥ k_0, điều này cho thấy {a_k} bị chặn trên bởi a_{k_0} với mọi k ≥ k_0, tức là a_k = kx_k - x^* k^2 - 5k - 1.

Sử dụng giả thiết (4.2) rằng P∞ k=0 λ 2 k < ∞, ta có kx k − x ∗ k 2 ≤5 k−1

Trường hợp 2 Theo Bổ đề 4.2, tồn tại một dãy con {τ k } thỏa mãn: a τ k < a τ k +1 và a k < a τ k +1 , ∀k ≥1 (4.5) Thay thế k=τ k trong (4.4) và sử dụng (4.5), ta được hx τ k − x ∗ , w τ k i ≤0.

Mặt khác, theo giả thiết hàm g(x, ) là hàm lồi và song hàmg có tính chất ρ-đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện cân bằng g(x, x) = 0, với mọi x ∈ C, ta có

Khi đó, với mọi w ∗ ∈ ∂ 2 g(x ∗ , x ∗ ), sử dụng giả thiết g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C, ta có ρkx τ k − x ∗ k 2 ≤ − g(x ∗ , x τ k )

≤kw ∗ kkx τ k − x ∗ k. Điều này chỉ ra rằng, dãy {x τ k } bị chặn và do đó dãy {a τ k } được xác định bởi a τ k = kx τ k − x ∗ k 2 −5 τ k −1

P k=0 λ 2 τ k cũng bị chặn Kết hợp với (4.5) suy ra dãy {a k } bị chặn Do đó, dãy {x k } bị chặn.

Bước 2 Với mỗi x ∗ ∈ S(F, C) và dãy {z k } bị chặn trong C thỏa mãn k→∞limhF(z k ), z k − x ∗ i= 0, (4.6)

Ta chứng minh bất kỳ điểm tụ yếu nào của dãy {z k } đều thuộc S(F, C).

Giả sử tồn tại dãy {z k j } ⊂ {z k } thỏa mãn z k j * zˆ∈ H, với C là tập lồi và đóng, dẫn đến ˆz ∈ C Áp dụng Bổ đề 4.3 cho q = x ∗, φ(x) = hF(x), x − x ∗ i và Giả thiết (D 2), ta suy ra rằng φ là hàm nửa liên tục dưới yếu trên C Do đó, ta có hF(ˆz), zˆ− x ∗ i = φ(z) ≤ lim inf j→∞ φ(z k j ) = lim inf j→∞ hF(z k j ), z k j − x ∗ i Với giả thiết ánh xạ F đơn điệu và x ∗ ∈ S(F, C), các kết quả trên được khẳng định.

Theo (4.6), ta có lim inf j→∞ hF(z k j ), z k j − x ∗ i= 0. Kết hợp với (4.7) và (4.8), ta được hF(ˆz),ˆz − x ∗ i= 0 Mặt khác, theo giả thiết F là para-đơn điệu và x ∗ ∈ S(F, C), nên ta suy ra zˆ∈ S(F, C).

Bước 3 Chứng minh với mọi x ∗ ∈ S(F, C), tồn tại γ >0 thỏa mãn hF(x k+1 ), x k+1 − x ∗ i − hF(x k ), x k − x ∗ i ≤ γλ k Thật vậy, theo Bổ đề 4.4 và tính liên tục Lipschitz của ánh xạ F, ta có hF(x k+1 ), x k+1 − x ∗ i − hF(x k ), x k − x ∗ i

≤ γλ k , ở đây γ = sup{kF(x k+1 )k+Lkx k − x ∗ k: k ≥1}. Bước 4 Chứng minh dãy x k hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x ∗ của bài toán EVIP(g, F, C).

Theo Bước 1, chúng ta đã chứng minh rằng dãy {x_k} bị chặn Nhờ tính liên tục Lipschitz của ánh xạ F trên C, dãy {F(x_k)} cũng bị chặn, dẫn đến việc dãy {w_k} cũng bị chặn theo giả thiết (D1) Tại đây, ta có d_k = F(x_k) + α_k.w_k và η_k = max{à, k d_k k}, do đó dãy {η_k} cũng bị chặn Điều này cho thấy tồn tại một hằng số δ > 0 sao cho à ≤ η_k ≤ δ, với mọi k ≥ 0 Cuối cùng, ta đặt b_j = kx_j - x*_k k^2 + j - 1.

X i=0 λ 2 i Theo (4.3) trong Bổ đề 4.4, ta có thể viết lại dạng tương đương như sau kx k+1 − x ∗ k 2 + k

Kéo theo, b k+1 ≤ b k − λ k η k hF(x k ), x k − x ∗ i −2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i (4.10) Xét hai trường hợp như sau:

Trường hợp 1 Giả sử tồn tại k 0 sao cho dãy {b k } là dãy không tăng, tức là b k+1 ≤ b k với mọi k ≥ k 0, ta xét kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − λ k hF(x k ), x k − x ∗ i η k + 5λ 2 k

Vì F là đơn điệu và x ∗ ∈ Sol(f, C) nên hF(x k ), x k − x ∗ i ≥ hF(x ∗ ), x k − x ∗ i ≥0 Do đó, kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 5λ 2 k (4.11) Theo Bổ đề 4.1 và giả thiết

P k=0 λ 2 k < ∞, tồn tại giới hạn tồn tại lim k→∞ kx k − x ∗ k và

Sử dụng (4.9) và (4.12), ta có

Từ Bổ đề 1.3 và các giả thiết

P k=0 λ k =∞, ta có k→∞limhF(x k ), x k − x ∗ i= 0. Hơn nữa, bất kỳ điểm tụ yếu nào của dãy {x k } đều thuộc S(F, C) Bổ đề 4.4 chỉ ra rằng λ k α k η k hx k − x ∗ , w k i ≤ 1

Vì dãy {x k } bị chặn và

Hơn nữa, từ (4.9) và giả thiết P∞ k=0 λ k α k = ∞, dễ dàng thấy P∞ k=0 λ k α k η k = ∞. Kết hợp điều này với (4.13), ta được lim inf k→∞ hx k − x ∗ , w k i ≤0 (4.14)

Do song hàm g là ρ-đơn điệu mạnh và w k ∈ ∂ 2 g(x k , x k ), nên ta có ρkx k − x ∗ k 2 ≤ − g(x k , x ∗ )− g(x ∗ , x k )

Vậy ρlim inf k→∞ kx k − x ∗ k 2 ≤lim inf k→∞ hw k , x k − x ∗ i −lim inf k→∞ g(x ∗ , x k ).

Từ điều này và (4.14), ta được lim inf k→∞ kx k − x ∗ k 2 ≤ −1 ρlim inf k→∞ g(x ∗ , x k ) (4.16)

Với việc dãy {x k} bị chặn và do tính liên tục yếu của hàm g(x ∗, ã), tồn tại một dãy con {x k j} ⊂ {x k} hội tụ yếu đến điểm x¯ trong không gian H, thỏa mãn điều kiện lim inf k→∞ g(x ∗, x k) = lim inf j→∞ g(x ∗, x k j) = g(x ∗, x¯) Ở đây, x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C), do đó x¯ thuộc S(F, C) và g(x ∗, x¯) ≥ 0 Kết hợp các điều kiện trên, ta có lim inf k→∞ ||x k − x ∗||² = 0.

Vì tồn tại giới hạn lim k→∞ kx k − x ∗ k, nên lim k→∞ kx k − x ∗ k 2 = 0 Trong trường hợp thứ hai, giả sử không có k 0 nào sao cho dãy {b k }(k ≥ k 0) là dãy không tăng, tức là tồn tại một dãy con {b k j } ⊂ {b k } thỏa mãn điều kiện b k j < b k j +1 cho mọi j ≥ 0.

Trong trường hợp này, tồn tại một dãy chỉ số {τ k } thỏa mãn điều kiện b τ k < b τ k +1 và b k < b τ k +1 Ta ký hiệu W(x τ k ) là tập điểm tụ yếu của dãy {x τ k }, với W(x τ k ) ⊂ S(F, C) Do song hàm g là ρ-đơn điệu mạnh, từ (4.10) và w τ k ∈ ∂ 2 g(x τ k , x τ k ), ta có hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≤ −2α τ k hx τ k − x ∗ , w τ k i.

Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các biến số trong phương trình (4.18), trong đó w ∗ thuộc ∂ 2 g(x ∗ , x ∗ ) Cụ thể, ta có hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≤ −2α τ k [ρkx τ k − x ∗ k 2 + hw ∗ , x τ k − x ∗ i] Kết hợp với điều kiện hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≥ 0 và tính chất bị chặn của dãy {x k }, ta rút ra rằng giới hạn khi k tiến tới vô cùng của hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i bằng 0 Hơn nữa, từ điều kiện hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≥ 0 và phương trình (4.18), ta suy ra rằng hw τ k , x τ k − x ∗ i ≤ 0.

Từ (4.15), suy ra g(x ∗ , x τ k )≤ −ρkx τ k − x ∗ k 2 Chuyển qua giới hạn trên khi k → ∞ lim sup k→∞ kx τ k − x ∗ k 2 ≤ −1 ρlim sup k→∞ g(x ∗ , x τ k ) = −1 ρ g(x ∗ ,¯z)≤0,

Và do đó k→∞lim kx τ k − x ∗ k 2 = 0.

Sử dụng bất đẳng thức b k < b τ k +1 , với mọi k ≥ k 0 , kx k − x ∗ k 2 + k−1

Theo cách xác định τ k và hF(x j ), x j − x ∗ i ≥0, ta được τ k ≤ k và do đó kx k − x ∗ k 2 ≤ kx τ k +1 − x ∗ k 2 + k

Kết hợp điều này với điều kiện (4.2), suy ra các khẳng định sau đúng:

• lim k→∞ Pk j=τ k λ j hF (x j ),x j −x ∗ i η j = 0, vì Pk j=τ k hF(x j ), x j − x ∗ i → 0, λ k → 0 và dãy η k bị chặn;

Vậy, lim k→∞ kx k − x ∗ k = 0 và dãy {x k } hội tụ mạnh đến x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C).

Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng 81

Thuật toán

Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, đặc biệt trong việc nghiên cứu lý thuyết tồn tại nghiệm và phát triển thuật toán Nhiều thuật toán hiệu quả đã được đề xuất cho bài toán cân bằng, đặc biệt khi hàm f có tính chất đơn điệu và không liên tục kiểu Lipschitz, bao gồm thuật toán xấp xỉ, thuật toán điểm gần kề, thuật toán ergodic, phương pháp hàm khoảng cách, thuật toán nguyên lý bài toán phụ, và thuật toán đạo hàm tăng cường Trong số đó, thuật toán chiếu là một trong những phương pháp phổ biến nhất, nhờ vào tính đơn giản và tiện lợi khi áp dụng trên máy tính Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày Thuật toán chiếu cơ bản để giải bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C).

Bước lặp thứ k(k = 0,1,2, ) bao gồm các bước sau:

Bước 1 Tính x k+1 =P r C (x k − F(x k )).Bước 2 Nếu x k+1 =x k thì dừng, và kết luận x k là nghiệm.

Ngược lại, thay k bởi k+ 1 và chuyển về Bước 1.

Nếu toán tử F là β-đơn điệu mạnh và liên tục L-Lipschitz trên tập C, thì dãy {x k } được sinh ra bởi Thuật toán chiếu cơ bản sẽ dừng lại sau một số bước lặp hữu hạn hoặc hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, C).

Xuất phát từ mối quan hệ giữa bài toán cân bằng EP(f, C) và bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C), G Mastroeni đã giới thiệu phương pháp chiếu cải biên bằng cách thay thế f(x, y) = hF(x), y − xi, với hàm giá F : C → R n Trong phương pháp này, tại mỗi bước lặp k, dãy lặp {x k+1} được xác định theo công thức x k+1 = argmin λf(x k, x) + 1.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã chứng minh rằng dãy {x k} hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng EP(f, C) với điều kiện λ > 0 Tuy nhiên, phương pháp này gặp khó khăn do yêu cầu giải một bài toán lồi mạnh, trong đó hàm f cần thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và điều kiện Lipschitz trong R n, điều này rất khó kiểm tra Để khắc phục hạn chế này, các tác giả trong bài báo [68] đã phát triển một thuật toán dựa trên ý tưởng của thuật toán đạo hàm tăng cường, sử dụng hai phép chiếu để giải bài toán cân bằng EP(f, C) và chứng minh sự hội tụ của các dãy lặp trong các điều kiện phù hợp Thuật toán này xây dựng hai dãy {x k} và {y k} nhằm đạt được kết quả mong muốn.

Thuật toán yêu cầu phải biết hằng số Lipschitz của song hàm f, nhưng trong nhiều trường hợp, việc tìm hằng số này gặp khó khăn hoặc song hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz Để khắc phục vấn đề này, nghiên cứu [68] đã đề xuất một thuật toán tìm kiếm theo tia, cho phép đạt được kết quả hội tụ chỉ cần điều kiện song hàm f là đơn điệu.

Chúng tôi đề xuất một thuật toán mới giải bài toán cân bằng EP(f, C) trong không gian Euclide R n, dựa trên việc kế thừa các nghiên cứu trước đây về phương pháp giải bài toán cân bằng Thuật toán này sử dụng tính chất para-đơn điệu của song hàm f, đồng thời bỏ qua tính liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz và loại bỏ một phép chiếu Chúng tôi sẽ giới thiệu cách xấp xỉ một phép chiếu thông qua việc mở rộng các thuật toán chiếu, thuật toán dưới đạo hàm và thuật toán chiếu phản xạ tách.

Ta giả sử các dãy số dương {λ k }, { k } và {β k } thỏa mãn (E 1 )

P k=0 k < ∞; (E 3) λ= inf{λ k : k = 0,1, } >0,¯ λ = sup{λ k : k= 0,1, } < ∞. và song hàm f : R n × R n → R, thỏa mãn các điều kiện:

(E 4) Sol(f, C)6=∅; (E 5 ) với mỗi x ∈ C, f(x, ã) là hàm lồi, nửa liờn tục dưới và f(ã, x) liờn tục trờn C; (E 6 ) f là para-đơn điệu chặt đối với Sol(f, C);

(E 7) nếu dãy {x k } bị chặn và k & 0 khi k → ∞, thì dãy {w k } bị chặn với w k ∈ ∂ 2 k f(x k , x k );

(E 8 ) f tựa liên tục đối với Sol(f, C), tức là với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C) với mọi x ∈

R n , y ∈ C, θ > 0, tồn tại hàm h:R n+2 → R thỏa mãn kx − yk ≤ θβ k ⇒ |f(x, x ∗ )− f(y, x ∗ )| ≤ h(x ∗ , θ, β k ) và

X k=0 β k h(x ∗ , θ, β k )< ∞, với {β k } được xác định bởi (A 1 ).

Thuật toán được mô tả chi tiết theo các vòng lặp như sau.

Thuật toán 5.1 Vòng lặp ngoài Lấy k= 0, x 0 ∈R n , θ > 0, các dãy số dương {λ k }, { k }, {β k } thỏa mãn (E 1)−(E 3). Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:

Trường hợp ngược lại, chạy Vòng lặp trong (x k , θ, β k ).

W¯ j ={x ∈R n :hx − y j , y 0 − y j i ≤0}; y j+1 =P r C ¯ j ∩ W ¯ j(x k ), j :=j+ 1; dừng z k =y j , δ k =δ j−1 Bước 2 Tính dưới đạo hàm của hàm lồi w k ∈ ∂ 2 k f(z k , z k );

Bước 3 Tính γ k = max{λ k , kw k k}, α k = β γ k k, và x k+1 

 z k − α k w k nếu hg k , z k − α k w k − z k i+δ k ≤0 z k − α k w k − hg k ,z k −α kg k w k k k 2 −z k i+δ k g k trường hợp ngược lại;

Nếu x k+1 =x k , thì dừng thuật toán, x k là nghiệm của bài toán EP(f, C).

Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1 Tập hợp C được định nghĩa là {x ∈ R n : g(x) ≤ 0}, trong đó hàm g : R n → R là hàm lồi, liên tục và khả vi Hệ các ràng buộc bao gồm các bất đẳng thức của các hàm lồi, liên tục g j (x) ≤ 0 với j ∈ J được thay thế bằng g(x) = max{g j (x) : j ∈ J}.

Đạo hàm của hàm g(x) được xác định bởi công thức ∂g(x) = conv{∂g j (x) : j ∈ J(x)}, với J(x) = {j ∈ J : g j (x) = g(x)} Trong Thuật toán 5.1, tại Vòng lặp ngoài, chúng tôi xem xét hai trường hợp: nếu g(x k ) ≤ 0 thì z k = x k và chỉ tính các dưới đạo hàm của hàm lồi khả vi, từ đó dãy lặp {x k+1} được xác định qua dãy {z k} và các dưới đạo hàm Ngược lại, trong Vòng lặp trong với y 0 = x k, chúng tôi thay thế phép chiếu lên tập C bằng cách chiếu vào giao của hai nửa không gian, nhằm xây dựng dãy y j = x k và y j+1 = z k, từ đó xác định x k+1 trong trường hợp g k > 0.

Thuật toán 5.1 sử dụng hình chiếu {y k+1} của x k vào giao của hai nửa không gian C ¯ j ∩ W ¯ j để xây dựng một phương pháp giải bài toán cân bằng EP(f, C) Phương pháp này không yêu cầu giải bài toán lồi mạnh như trong các thuật toán đạo hàm tăng cường và các thuật toán khác.

Định lý hội tụ

Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 5.1, ta nhắc lại một số bổ đề kỹ thuật sau.

Bổ đề 5.1 ([23], Proposition 2.7) Cho g : R n → R là hàm lồi Lấy y, z, w ∈ R n và 06=v ∈ ∂g(z), ta định nghĩa

W z,w ={x ∈R n :hx − z, w − zi ≤0} và C z ={x ∈R n : g(z) +hv, x − zi ≤0}.

P r C z ∩W z,w (w) =w+ max{0, λ 1 }v +λ 2(w − z), với λ 1 và λ 2 là nghiệm của hệ tuyến tính:

 λ 1 kvk 2 +λ 2 hv, w − zi=−hv, w − zi − g(z) λ 1 hv, w − zi+λ 2 kw − zk 2 =−kw − zk 2 và

Bổ đề 5.2 nêu rằng, cho S là một tập con không rỗng của không gian Hilbert H và x thuộc S, nếu dãy {x k } trong H hội tụ tựa Fejér tới S, thì tồn tại giới hạn lim k→∞ kx k − xk Hơn nữa, nếu tất cả các điểm tụ yếu của dãy {x k } đều thuộc S, thì dãy {x k } sẽ hội tụ yếu.

Bổ đề 5.3 Cho C ¯ j , W ¯ j và C k là các tập con được xác định bởi Thuật toán 5.1 với mọi j, k ≥0 Khi đó, ta có các khẳng định sau đây:

(i) C ⊆ C ¯ j ∩ W ¯ j và C ⊆ C k ={x ∈R n : hg k , x − z k i+δ k ≤0}; (ii) Vòng lặp trong (x k , θ, β k ) được xác định.

Chứng minh (i)Sử dụng Tính chất 3.1(a) trong [23], vớiC =R n , f (x) = max{0, g(x)} tức là f ∗ = 0 và S ∗ = {x ∈ R n : f(x) = f ∗ } = {x ∈ R n : g(x) ≤ 0} 6= ∅, ta có

C ⊆ C ¯ j ∩ W ¯ j với mọi j ≥ 0 Nếu g(x k ) > 0, vòng lặp trong (x k , θ, β k ) chạy, dẫn đến C ⊆ C k Ngược lại, nếu g(x k ) ≤ 0, theo vòng lặp ngoài, ta có z k = x k và hg k , x − z k i ≤ g + (x) − g + (z k ) = g + (x) với mọi x ∈ R n Với mỗi x ∈ C, g(x) ≤ 0, suy ra g + (x) = 0, hg k , x − z k i ≤ 0 và do đó C ⊆ C k, ∀k ≥ 0 Theo Bổ đề 5.1 và chứng minh phần (i), ta có ∅ 6= C ⊆ C ¯ j ∩ W ¯ j, điểm chiếu y j+1 được xác định Sử dụng Định lý 2 trong [22], với C = R n, x 0 = x k và f(x) = max{0, g(x)}, dãy {y j } hội tụ đến P r C (x k ) khi j → ∞ Do đó, với θβ k > 0, sau một số hữu hạn bước, vòng lặp trong (x k , θ, β k ) dừng lại.

Bổ đề 5.4 chỉ ra rằng, với dãy {x k} và {z k} được xác định bởi Thuật toán 5.1, cho mỗi x ∗ thuộc Sol(f, C), ta có bất đẳng thức kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kz k − x ∗ k 2 + 2α k f(z k , x ∗ ) + 2α k k +β k 2 Hơn nữa, nếu dãy {k} và {β k} thỏa mãn các điều kiện (E 1)−(E 2) và hàm f thỏa mãn giả thiết (E 6), thì dãy {x k} sẽ hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C).

Chứng minh Sử dụng Bổ đề 5.3(i) và tính không giãn của phép chiếu P r C , với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), ta có Sol(f, C) subseteqC k và kx k+1 − x ∗ k 2 =kP r C k (z k − α k w k )− P r C k (x ∗ )k 2

=kz k − x ∗ k 2 −2α k hw k , z k − x ∗ i+β k 2 (5.2) Theo định nghĩa của k −dưới vi phân theo biến thứ hai ∂ 2 k f(z k , z k ), ta có f(z k , x)− f(z k , z k )≥ hw k , x − z k i − k ∀x ∈ C.

Với x = x * ∈ C và sử dụng f(z_k, z_k) = 0, ta có f(z_k, x *) ≥ hw_k, x * - z_k i - k Kết hợp điều này với (5.2) dẫn đến kx_k+1 - x *k² ≤ kz_k - x *k² + 2α_k f(z_k, x *) + 2α_k k + β_k² Đặt z̄_k = P_r C(z_k) Nếu g(z_k) ≤ 0 thì d(z_k, C) = 0, ngược lại d(z_k, C) = kz_k - z̄_k k ≤ β_k θ Theo giả thiết (E4) của song hàm f, ta có f(z_k, x *) ≤ f(z̄_k, x *) + h(x *, θ, β_k) Nếu z_k ∈ C thì kz_k - x *k ≤ kx_k - x *k Ngược lại, kz_k - x *k ≤ kx_k - x *k Từ đó, ta suy ra kx_k+1 - x *k² ≤ kx_k - x *k² + 2α_k [f(z̄_k, x *) + h(x *, θ, β_k)] + 2α_k k + β_k².

Vì f là giả đơn điệu trên C × C, z¯ k ∈ C và x ∗ ∈ Sol(f, C) nên ta có f(x ∗ , z¯ k ) ≥0 và f(¯z k , x ∗ )≤0 Sử dụng các giả thiết (E 1)−(E 3), ta được kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 +η k , với η k = 2α k h(x ∗ , θ, β k ) + 2α k k +β k 2 >0 với mọi k ≥0 và

Do đó, dãy {x k } hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C).

Kết quả hội tụ của Thuật toán 5.1 được thể hiện qua định lý hội tụ 5.1 Định lý này khẳng định rằng nếu các giả thiết (E 4 )−(E 8 ) được thỏa mãn và các tham số θ cùng các dãy số {β k }, {λ k }, {k} đáp ứng các điều kiện (E 1 )−(E 3 ), thì các dãy {x k } và {z k } sinh ra từ Thuật toán 5.1 sẽ hội tụ đến x ∗, là nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C).

Theo Bổ đề 5.4, ta có bất đẳng thức kz k − x ∗ k ≤ kx k − x ∗ k với mọi k ≥ 0 Kết hợp điều này với giả thiết (E 8 ) và giới hạn c 2 = lim k→∞ kx k − x ∗ k 2 < +∞, ta suy ra rằng dãy {z k } bị chặn, từ đó dẫn đến việc dãy {w k } cũng bị chặn.

Từ điều này, kết hợp với (5.5), −f(¯z k , x ∗ )≥0 và giả thiết (E 1 )−(E 2 ), ta có

Từ bất đẳng thức này, sử dụng Giả thiết (E 1) và Bổ đề (1.3), ta có

Vì dãy { z¯ k } ⊂ C bị chặn nên tồn tại một dãy con {¯z k j } hội tụ đến x¯∈ C và thỏa mãn lim sup k→∞ f(¯z k , x ∗ ) = lim j→∞ f(¯z k j , x ∗ ).

Hơn nữa, vỡ song hàm f(ã, x ∗ ) nửa liờn tục trờn với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), nờn f(¯x, x ∗ )≥lim sup k→∞ f(¯z k , x ∗ )

Giả sử f là hàm giả đơn điệu trên C × C với điều kiện f(x ∗ ,¯x) ≥ 0, từ đó suy ra f(¯x, x ∗ ) ≤ 0 và do đó f(¯x, x ∗ ) = 0 Theo giả thiết, hàm f thỏa mãn tính tiền đơn điệu chặt, do đó có thể khẳng định rằng ¯x thuộc tập nghiệm Sol(f, C) Hơn nữa, giới hạn lim k→∞ kx k − xk¯ và lim j→∞ kx k j −¯xk đều bằng 0.

Vậy, lim k→∞ kz k − xk¯ = 0 Do đó, dãy {x k } và {z k } cùng hội tụ đến điểm ¯x ∈Sol(f, C).

Một số tính toán

Một ứng dụng khá quan trọng của bài toán cân bằng EP(f, C) là mô hình cân bằng kinh tế độc quyền Nash-Cournot trong không gian Euclide R n , ở đây

• n là số công ty tham gia sản xuất một loại hàng hóa;

• x i là số lượng hàng hóa do công ty thứ i sản xuất và x= (x 1 , , x n );

• C i là tập chiến lược của công ty thứ i Đặt C =C 1 × × C n;

• f(x, y) =φ(x, y)− φ(x, x), ∀x, y ∈ C, với x[y i ] là ký hiệu của véc tơ thu được từ x = (x 1 , x 2 , , x i , x i+1 , , x n) bằng cách thay thế x i bởi y i và φ(x, y) −f 1 (x[y 1 ])− − f n (x[y n ]).

Khi đó, điểm x ∗ ∈ C là điểm cân bằng Nash nếu f j (x ∗ )≥ f j (x ∗ [x j ]), ∀x j ∈ C j , j = 1, ã ã ã , n.

Như vậy, bài toán tìm điểm cân bằng Nash tương đương với việc giải bài toán cân bằng EP(f, C).

Trong Thuật toán 5.1, việc chọn tham số β k (với mọi k ≥0) để xây dựng dãy lặp {x k } là một thách thức, vì cần đảm bảo thỏa mãn điều kiện (E 8) và (E 1) Để minh họa, chúng tôi cung cấp một số ví dụ ứng dụng của Thuật toán 5.1, nhằm chỉ ra tính liên tục của song hàm f và tính khả thi trong việc lựa chọn tham số β k.

Trong bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng trong R n, ký hiệu là VI(C, F, ϕ), chúng ta cần tìm x ∗ thuộc C sao cho hF(x ∗ ), x − x ∗ i + ϕ(x) − ϕ(x ∗ ) ≥ 0 cho mọi x thuộc C Ở đây, F là ánh xạ từ R n đến R n, ϕ là hàm lồi và khả dưới vi phân, cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp tối ưu hóa trong không gian nhiều chiều.

Ký hiệu S(C, F, ϕ) là tập nghiệm của bài toán VI(C, F, ϕ) Nếu ta đặt f(x, y) =hF(x), y − xi+ϕ(y)− ϕ(x), ∀x, y ∈ C thì

Ta giả sử ánh xạ giá F và ϕ thỏa mãn các điều kiện sau:

(E 9 ) S(C, F, ϕ)6=∅; (E 10) F(x) là nửa liên tục trên trên C;

(E 11 ) F là tựa liên tục đối với S(C, F, ϕ), tức là với mỗi x ∗ ∈ S(C, F, ϕ) với mọi x, y ∈R n , θ > 0, kx − yk ≤ θβ k ⇒ |hF(x), x ∗ − xi − ϕ(x)− hF(y), x ∗ − yi+ϕ(y)| ≤ h(x ∗ , θ, β k ), với P∞ k=0 β k h(x ∗ , θ, β k ) < ∞ và {β k } được xác định bởi (E 1 );

(E 12 ) F là para-đơn điệu chặt đối với S(C, F, ϕ).

Khi đó, Thuật toán 5.1 có thể được viết lại dưới dạng sau.

Thuật toán 5.2 Vòng lặp ngoài Lấy k = 0, x 0 ∈R n , θ > 0, các dãy số dương β k , λ k , k thỏa mãn (A 1 )−(A 3 ).

Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:

Bước 1 Nếu g(x k )≤0 thì z k =x k ;g + (x) = max{0, g(x)};g k ∈ ∂g + (z k ); δ k = 0;C k ={x ∈R n :hg k , x − z k i+δ k ≤0} Trường hợp khác, chạy Vòng lặp trong (x k , θ, β k ).

Vòng lặp trong (x k , θ, β k ) y 0 =x k , j = 0; khi d(y j , C) > θβ k g j ∈ ∂g(y j );δ j =g(y j ); ¯C j ={x ∈R n :hg j , x − y j i+δ j ≤0};

Bước 3.Tính γ k = max{λ k , kF(z k ) +u k k};α k = β γ k k, và x k+1 =P r C k (z k − α k F(z k )).

Nếu x k+1 =x k , thì dừng thuật toán, x k là nghiệm của bài toán VI(C, F, ϕ).

Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k+ 1.

Thuật toán 5.2 hội tụ theo định lý 5.2, với giả thiết (E 9)−(E 12) được thỏa mãn Các tham số θ và dãy số {β k }, {λ k }, { k } cũng cần đáp ứng các ràng buộc (E 1 )−(E 3 ) Kết quả là, dãy {x k } và {z k } được sinh ra từ Thuật toán 5.2 sẽ hội tụ đến điểm x ∗ thuộc S(C, F, ϕ).

Ví dụ 5.2 Xét mô hình cân bằng Nash-Cournot EP(f, C) trong không gian R n

Tập chiến lược C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong R n, với hàm song f được xác định bởi công thức f(x, y) = hP x + Qy + q, y − xi cho mọi x, y thuộc C Trong đó, Q là ma trận đối xứng cấp n và nửa xác định dương, còn P là ma trận đối xứng thuộc R n×n thỏa mãn điều kiện Q − P là nửa xác định âm, và q là một vector trong R n.

Khi Q là một ma trận đối xứng và nửa xác định dương, hàm f(x, ã) sẽ là hàm lồi và khả vi trên C cho mỗi điểm cố định x ∈ C Đồng thời, f cũng là một hàm para-đơn điệu chặt trên C.

C bị chặn trên R n thì điều kiện (E 8 ) của song hàm f thỏa mãn Thật vậy, với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), kx − yk ≤ θβ k , x ∈R n và y ∈ C, ta có

|f(x, x ∗ )− f(y, x ∗ )|=|hP x+Qx ∗ +q, x ∗ − xi+hP y+Qx ∗ +q, x ∗ − yi|

=|hQx ∗ +q, y − xi+hx ∗ , P(x − y)i+hP y, yi − hP x, xi|

≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+|hP y, yi − hP x, xi|

=kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+|hP(x+y), x − yi|

≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+kP k(kxk+kyk)kx − yk

≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+kP k(2kyk+θβ k )kx − yk

Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện ≤M β k, với M = θ(kQx ∗ +qk+kx ∗ kkP k+kP ksup{2kyk+θβ k : y ∈ C, k = 0,1, }) < ∞ Bằng cách chọn h(x ∗ , θ, β k ) = M β k, giả thiết (B 5) được thỏa mãn trên ràng buộc (A 1) và ∂ 2 k f(z k , z k ) = {(P +Q)z k +q} Để minh họa cho tính toán trong Thuật toán 5.1, chúng ta chọn n = 3 và xác định ma trận Q như đã nêu.

Q=AA T +B+D, ở đây ma trận A là ma trận cỡ 3×3, ma trận B là ma trận phản đối xứng cấp

Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận Q với giá trị được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (-3, 3) và các phần tử chéo của ma trận D cũng được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (0, 1) Đặt P = 2Q, từ đó suy ra rằng Q là ma trận xác định dương, trong khi Q - P là ma trận nửa xác định âm Tập ràng buộc C được xác định bởi các điều kiện này.

Khi đó, g(x) = max{−1− x 1 , −x 2 ,1− x 3 , x 2 1 + 2x 2 2 +x 2 3 −8} và x ∈ D khi và chỉ khi g(x)≤0 Dữ liệu ban đầu được cho như sau:

• Sai số -nghiệm, nếu kx k+1 − z k k ≤ ;

• Các tham số λ k =λ= 321, β k = 2k+1 1 , θ= 1, k = 0 với mọi k ≥0;

Ta được bảng kết quả sau của Thuật toán 5.1

Test Prob Iter (k) CPU times/s Test Prob Iter (k) CPU times/s

Bảng 5.1 trình bày kết quả của Thuật toán 5.1 với các sai số và điểm xuất phát khác nhau Bằng cách lựa chọn các tham số chính quy khác nhau, cụ thể là α k và λ k, cùng với điểm xuất phát x 0 = (0,1,2) và sai số 10 −3, ta thu được các bước lặp tương ứng.

Test Prob λ k β k No Iter (k) CPU-times/s

Để so sánh Thuật toán 5.1 với các thuật toán khác, chúng tôi đã thực hiện các phép tính và đưa ra kết quả của thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ (ký hiệu IP SA) và thuật toán đạo hàm tăng cường (ký hiệu EA) Trong quá trình thử nghiệm, chúng tôi tập trung vào việc so sánh ba thuật toán dựa trên số bước lặp và thời gian tính toán của CPU Các số liệu chi tiết được trình bày trong Bảng 5.3, cùng với các thông số và dữ liệu ban đầu của các thuật toán đã chọn.

- Thuật toán 5.1: λ k = 500 + 2k+1 1 , β k = 4k+1 3 với mọik ≥0, sai số là -nghiệm nếu kx k+1 − z k k ≤ ;

- Thuật toán IP SA: β k = k+1 1 , ρ k = 1, k = 0, ξ k = 0 với mọi k ≥ 0, sai số là -nghiệm nếu kx k+1 − x k k ≤ ;

1, sai số là -nghiệm nếu ky k − x k k ≤ , G(x) = 1 2 kxk 2 với mọi x ∈ C.

Test Prob No Iter (k) CPU-times/s

Thuật toán 5.1 IP SA EA Thuật toán 5.1 IP SA EA

Bảng 5.3: So sánh kết quả của Thuật toán 5.1 với hai thuật toán IP SA, EA với điểm bắt đầu x 0 = (0,1,2) và sai số = 10 −3

Từ các kết quả tính toán sơ bộ được trình bày trong các bảng, chúng tôi nhận thấy rằng:

Tốc độ hội tụ của các thuật toán giải bài toán cân bằng, bao gồm thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ, đạo hàm tăng cường, điểm gần kề và hàm khoảng cách, phụ thuộc vào điểm khởi đầu x0.

(b) Tốc độ hội tụ của thuật toán phụ thuộc vào sự lựa chọn các tham số λ k và β k

Thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng EP(f, C) với song hàm f thỏa mãn tính chất para-đơn điệu và tập C được xác định bởi hệ ràng buộc của các bất đẳng thức hàm lồi, liên tục, không nhất thiết khả vi trên không gian Euclide R n Thuật toán gồm hai vòng lặp: Vòng lặp ngoài và Vòng lặp trong Trong Vòng lặp ngoài, nếu g(x k ) ≤ 0, ta sử dụng thuật toán dưới đạo hàm để tính các dưới đạo hàm xấp xỉ của hàm lồi khả dưới vi phân và xác định dãy lặp {x k } Ngược lại, trong Vòng lặp trong, dãy lặp {y k+1 } được xác định là hình chiếu của {x k } vào giao của hai nửa không gian C ¯ j và W ¯ j chứa tập nghiệm của bài toán Sự hội tụ của các dãy lặp đến nghiệm của bài toán được chứng minh với các điều kiện phù hợp của song hàm f và các dãy tham số Chương này cũng trình bày ứng dụng của thuật toán 5.2 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng VI(C, F, ϕ) trong không gian R n, bằng cách so sánh với các thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ IP SA và thuật toán đạo hàm tăng cường EA.

1 Kết quả đạt được Trong luận án này, chúng tôi đã xây dựng được một số thuật toán giải bài toán hai cấp có liên quan đến bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Luận án đã đạt được các kết quả sau:

• Chứng minh được tính co, tính không giãn và tính giả co chặt của ánh xạ nghiệm dưới giả thiết đơn điệu của song hàm f.

Đề xuất thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức hai cấp BVI(F, G, C) trong không gian Hilbert thực H bằng cách kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm với kỹ thuật điểm bất động.

Xây dựng thuật toán dưới đạo hàm nhằm giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(F, f, C) thông qua việc kết hợp phương pháp chiếu dưới đạo hàm với kỹ thuật điểm bất động.

Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu dưới đạo hàm nhằm giải quyết bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân EVIP(g, F, C).

• Nghiên cứu đề xuất thuật toán một phép chiếu để giải bài toán cân bằng trong không gian Euclide R n