1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm và tính chất tập nghiệm của bài tốn cân bằng. Vì vấn đề sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm khơng phải là mục đích nghiên cứu của luận án, nên chúng tôi chỉ đề cập đến những kết quả quan trọng mà không chứng minh. Các chứng minh các kết quả này được tìm thấy ở tài liệu tham khảo [24, 38, 48]. Để trình bày các kết quả một cách thuận lợi, chúng ta xét một số giả thiết của song hàm f :C×C→R như sau:
(A2) f(x, .) tựa lồi với mỗi x∈C,
(A3) f(., y) nửa liên tục trên với mỗi y∈C.
Mệnh đề 1.4 ([38], Ky Fan’s Theorem). Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và song hàm f : C×C → R thỏa mãn các điều kiện (A2), (A3). Giả sử rằng ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) C là tập bị chặn;
(ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W ⊂ C sao cho với mọi x ∈ C\W, tồn tại y ∈W sao cho f(x, y) <0.
Khi đó, bài tốn EP(f, C) có nghiệm.
Để xét tính duy nhất nghiệm và một số phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân bằng, ta cần nhắc lại định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm cân bằng f. Định nghĩa 1.1. Song hàm f : C×C →R được gọi là
(a) γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ >0 sao cho
f(x, y) +f(y, x) ≤ −γkx−yk2, ∀x, y ∈C;
(b) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ x, y ∈C và x6=y sao cho
f(x, y) +f(y, x)<0;
(c) đơn điệu trên C nếu
f(x, y) +f(y, x)≤0, ∀x, y ∈C;
(d) γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu
f(x, y)≥0 suy ra f(y, x) ≤ −γkx−yk2, ∀x, y ∈C;
(e) giả đơn điệu trên C nếu
(f) giả đơn điệu chặt trên C nếu bất kì x, y ∈C và x6=y f(x, y)≥0 suy ra f(y, x) <0;
(g) tựa đơn điệu trên C nếu
f(x, y) >0 suy ra f(y, x)≤0, ∀x, y ∈C;
(h) para-đơn điệu chặt trên S ⊂C, nếu f là giả đơn điệu trên C và
{x∈S, y∈C, f(y, x) =f(x, y) = 0} ⇒y∈S;
(i) thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 >0 và c2 >0 nếu
f(x, y) +f(y, z)≥f(x, z)−c1kx−yk2−c2ky−zk2, ∀x, y, z∈C.
Từ định nghĩa trên, ta suy ra mối quan hệ sau:
(a)⇒(b)⇒(c) ⇒(e)⇐(d).
Trong trường hợp tổng qt, các chiều ngược lại nói chung là khơng đúng. Chú ý. Giả sử song hàm f : C×C →R xác định bởi f(x, y) = hF(x), y −xi
với mọi x, y ∈ C. Bằng định nghĩa, ta dễ chỉ ra rằng các khái niệm về tính đơn
điệu của song hàm f và các khái niệm đơn điệu tương ứng của hàm giá F (ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn điệu mạnh) là tương đương.
Mệnh đề 1.5 ([24], Proposition 4.2, [48], Proposition 2.1.16). (i) Nếuf đơn điệu chặt trên C, thì bài tốn EP(f, C) có khơng q một nghiệm.
(ii) Nếu f(x, .) là hàm lồi với mỗi x ∈ C, f thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3) và là đơn điệu mạnh trên C, thì bài tốn EP(f, C) có duy nhất nghiệm.