1.3.1 Bài toán cân bằng hai cấp
a. Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng khác
Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một khơng gian Hilbert thực H và f, g : C×C → R là các song hàm cân bằng xác định trên C. Bài toán cân
bằng hai cấp, ký hiệu BEP(f, g, C) được phát biểu như sau
Tìm x∗∈Sol(f, C) thỏa mãn g(x∗, y)≥0, ∀y∈Sol(f, C) (1.22) ở đó, Sol(f, C) là tập nghiệm của bài tốn cân bằng
Tìm y∗ ∈C thỏa mãn f(y∗, y)≥0, ∀y∈C.
Bài toán BEP(f, g, C), theo hiểu biết của chúng tôi, được tác giả A. Moudafi
[60] xét đến đầu tiên và xây dựng thuật toán điểm gần kề cho lớp bài toán này khi song hàm f, g là đơn điệu trên C. Tuy có dạng đơn giản nhưng bài toán
b. Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân Trong khơng gian Hilbert thực H, bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu EVIP(g, F, C), được định nghĩa như sau
Tìm x∗ ∈S(F, C) thỏa mãn g(x∗, x) ≥0, ∀x∈S(F, C), (1.23) trong đó, song hàm g : C×C → R và S(F, C) là tập nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân
Tìm y∗∈C thỏa mãn hF(y∗), y−y∗i ≥0, ∀y∈C,
và F :C → H.
1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
a. Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khác
Trong không gian Hilbert thực H, xét ánh xạ giá F, G:C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu là BVI(F, G, C), là bài tốn
tìm x∗∈S(G, C)thỏa mãnhF(x∗), x−x∗i ≥0, ∀x∈S(G, C), (1.24) ở đây S(G, C) là tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân
tìm y∗ ∈C thỏa mãn hG(y∗), x−y∗i ≥0, ∀x∈C.
Đặt g(x, y) = hG(x), y −xi;f(x, y) = hF(x), y −xi với mọi x, y ∈ C, thì bài tốn
BVI(F, G, C) tương đương bài toán BEP(f, g, C). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán BVI(F, G, C) là Ω.
Bài toán BVI(F, G, C) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, đặc biệt là việc xây dựng một số thuật tốn giải [8] dựa trên tính đơn điệu của các ánh xạ giá F, G.
b. Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng
Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một khơng gian Hilbert thực H. Cho song hàm f : C ×C → R và ánh xạ giá F : C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng, ký hiệu là VIEP(F, f, C), là bài tốn
tìm x∗ ∈Sol(f, C) sao cho hF(x∗), x−x∗i ≥0, ∀x∈Sol(f, C), (1.25) ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài tốn cân bằng EP(f, C)
tìmy∗∈C sao cho f(y∗, y) ≥0, ∀y∈C.
Ta luôn giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện cân bằng f(y, y) = 0với mọi y∈C
và với mỗi x∈C thì hàm f(x, y) là hàm lồi và khả vi theo biến y trên C.
Khi đó, với mỗix, y ∈C, ta đặtf(x, y) =hF(x), y−xithì bài tốn VIEP(F, f, C) tương đương với bài toán BEP(f, g, C).
Một trường hợp riêng của bài toán VIEP(F, f, C) là khi F(x) =x−x0, trong trường hợp này bài toán VIEP(F, f, C) tương đương bài toán MNEP(f, C) sau
min
x∈Sol(f,C)kx−x0k,
tức là bài tốn tìm hình chiếu của điểm x0 lên Sol(f, C).