1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
1.2.1 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng
Bài toán bất đẳng thức biến phân
ChoC là tập con, lồi, khác rỗng trong một không gian Hilbert thựcHvà ánh xạ F :C → H. Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi miền ràng buộc C
và ánh xạ giá F, ký hiệu VI(F, C), là bài tốn
tìm x∗∈C sao chohF(x∗), x−x∗i ≥0, ∀x∈C.
Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu S(F, C). Đặtf(x, y) =hF(x), y−xi với mọi
x, y ∈ C, khi đó bài tốn VI(F, C) sẽ tương đương với bài toán EP(f, C). Trong trường hợp đặc biệt C =H, bài toán VI(F, C) được viết dưới dạng bài tốn giải phương trình F(x) = 0.
Một ánh xạ F :C → H được gọi là (a) γ-đơn điệu mạnh trên C với γ >0, nếu
hF(x)−F(y), x−yi ≥γkx−yk2, ∀x, y ∈C;
(b) đơn điệu trên C, nếu
hF(x)−F(y), x−yi ≥0, ∀x, y ∈C;
(c) giả đơn điệu trên C, nếu
hF(y), x−yi ≥0⇒ hF(x), x−yi ≥0, ∀x, y ∈C;
(d) β-đơn điệu mạnh ngược trên C với β >0, nếu
(e) para-đơn điệu trên C, nếu F đơn điệu trên C và
hF(x)−F(y), x−yi= 0⇒F(x) =F(y), ∀x, y ∈C;
(f) para-đơn điệu chặt trên S ⊂C, nếu F giả đơn điệu trên C và {x∈S, y ∈C,hF(y), x−yi= 0} ⇒y ∈S;
(g) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu
kF(x)−F(y)k ≤Lkx−yk, ∀x, y ∈C.
Theo định nghĩa trên, nếu F là β-đơn điệu mạnh ngược thì F là L-liên tục
Lipschitz với hằng số L= β1 và đơn điệu trên C, và ta có quan hệ(a)⇒(b)⇒(c).
Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn như F : C → R xác định bởi F(x) = x2 là giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên C =R, là đơn điệu, nhưng không đơn điệu mạnh trên C = [0,1].
Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI(F, C) được suy ra từ tính liên tục của F
và điều kiện tập C là compact. Ta có kết quả sau:
Trong trường hợp tập C khơng compact thì định lý điểm bất động Brouwer khơng cịn có thể áp dụng được. Khi đó sự tồn tại nghiệm của bài tốn VI(F, C) có thể được thiết lập dựa vào tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của F
như sau.
Mệnh đề 1.3. Nếu F : C → H là β−đơn điệu mạnh trên C và L−liên tục
Lipschitz trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân VI(F, C) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Chọn 0< µ < 2βL2 và xét ánh xạ T :C →C được xác định bởi
T(x) =P rC(x−µF(x)),∀x∈C.
Khi đó, với mọi x, y ∈C, ta có:
≤kx−µF(x)−y+µF(y)k2
=kx−yk2−2µhF(x)−F(y), x−yi+µ2kF(x)−F(y)k2.
Do F liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên C, ta có
kT(x)−T(y)k2 ≤kx−yk2−2µβkx−yk2+µ2L2kx−yk2 =(1−2µβ+µ2L2)kx−yk2. Do đó, kT(x)−T(y)k ≤p(1−µ(2β+µL2)kx−yk. =ρkx−yk, trong đó, ρ=p(1−µ(2β+µL2) ∈[0,1).
Vậy T :C →C là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất x∗ ∈C
sao cho T(x∗) =x∗. Do đó, x∗∈ S(F, C). Bài tốn tối ưu
Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F : C →R là hàm lồi và nửa liên tục dưới. Bài toán tối ưu, ký hiệu OP(F, C), là bài tốn được phát biểu
tìm x∗∈C sao cho F(x∗) ≤F(y) với mọi y∈C.
Đặt f(x, y) = F(y)−F(x) với mọi x, y ∈ C. Theo định nghĩa, x∗ là nghiệm của bài toán OP(F, C) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Bài toán bù
Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng,
C∗={x∈ H: hx, yi ≥0, ∀y ∈C}
là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục F : C → H. Bài toán bù, ký hiệu CP(F, C) là bài tốn
Với mọi x, y ∈C, đặt f(x, y) =hF(x), y−xi. Khi đó, bài tốn CP(F, C) sẽ tương đương với bài toán EP(f, C).
Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T :C →2H là một ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên, sao cho T(x) là tập compact khác rỗng với mọi x∈C. Bài
toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu là MVI(T, C), là bài tốn tìmx∗ ∈C, w∗ ∈T(x∗)sao chohw∗, x−x∗i ≥0, ∀x∈C.
Với mỗi x, y ∈C, đặt
f(x, y) = max{hw, y−xi: w∈T(x)}.
Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán MVI(T, C) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Trong trường hợp ánh xạ giá T của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(T, C) là đơn trị, bài toán này sẽ trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân thơng thường.
Bài tốn điểm bất động
ChoC ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ đơn trị F : C →C. Khi
đó bài tốn điểm bất động, ký hiệu là FP(F, C), là bài tốn
tìm x∗ ∈C sao cho x∗ =F(x∗).
Đặt f(x, y) =hx−F(x), y−xivới mọix, y ∈C, thì bài tốn FP(F, C)tương đương bài tốn cân bằng EP(f, C).
Tổng quát hơn, bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị, ký hiệu MFP(F, C) là bài tốn
ở đó F :C →2H là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact, khác rỗng. Với mọi
x, y ∈C, đặt
f(x, y) = max
w∈F(x)hx−w, y−xi.
Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán MFP(F, C) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Bài toán điểm yên ngựa
Cho C1, C2 ⊆ H là các tập con, lồi, đóng, khác rỗng và g : C1×C2 →R. Một điểm (x∗1, x∗2) được gọi là điểm yên ngựa của g nếu (x1∗, x∗2)∈C =C1×C2 và
g(x∗1, y2)≤g(x∗1, x∗2)≤g(y1, x∗2), ∀(y1, y2)∈C1×C2.
Xét ánh xạ f :C×C →R xác định bởi
f(x, y) = g(y1, x2)−g(x1, y2),
trong đó x = (x1, x2), y = (y1, y2). Khi đó, điểm x∗ = (x∗1, x∗2) là điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu
g(x∗, y)≥0, ∀y = (y1, y2) ∈C.
Như vậy, x∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).