Phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp tt

MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn · Cho C tập lồi đóng khác rỗng H, ánh xạ F : C → H thường gọi ánh xạ giá (trong vài trường hợp, F từ H tới H) Theo E Blum W Oettli [25], toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) H, viết tắt VI(F, C), viết dạng: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ với x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) giới thiệu lần vào năm 1966 G.J Hartman G Stampacchia, nghiên cứu việc giải toán điều khiển tối ưu tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng [42] Năm 1971, M Sibony [74] xét toán bất đẳng thức biến phân trường hợp ẩn tập ràng buộc C tập nghiệm phương trình toán tử đơn điệu Cũng nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân trường hợp này, I Yamada [90] xét toán với tập C tập điểm bất động ánh xạ không giãn, trường hợp riêng C nghiệm toán tử đơn điệu Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}, theo L.D Muu W Oettli [64], toán cân EP(f, C), đặt tìm điểm x∗ ∈ C cho f (x∗ , x) ≥ với x ∈ C Dễ thấy, trường hợp f (x, y) = F (x), y − x với x, y ∈ C, toán VI(F, C) viết dạng toán cân EP(f, C) Từ mối liên hệ hai toán sở dẫn đến số cách tiếp cận nghiên cứu việc giải toán dạng mở rộng toán bất đẳng thức biến phân toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân số dạng khác Năm 1976, R Kluge [47] nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) trường hợp miền ràng buộc C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, toán gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, dạng mở rộng toán bất đẳng thức biến phân, viết dạng: Tìm x∗ ∈ S(F, C) cho G(x∗ ), y − x∗ ≥ với y ∈ S(F, C), S(F, C) tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Hơn nữa, dạng mở rộng toán hai cấp toán cân hai cấp miền ràng buộc toán cân tập nghiệm toán cân khác Bài toán cân hai cấp BEP(g, f, C) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) cho g(x∗ , x) ≥ với x ∈ Sol(f, C), Sol(f, C) tập nghiệm toán cân EP(f, C) Trong năm gần đây, toán cân hai cấp đề tài hấp dẫn nhiều nhà toán học nghiên cứu ttồn nghiệm thuật toán Một số kết sâu sắc phong phú đạt lĩnh vực nghiên cứu tồn nghiệm, tính chất liên thơng tính ổn định tập nghiệm, tính liên tục ánh xạ nghiệm tính chất định tính khác toán bất đẳng thức biến phân, toán hai cấp dạng tốn suy rộng nhóm tác giả B.S Mordukhovich [61, 62], P Daniele [34], I.V Konov [48], P.Q Khanh [17, 18], N.D Yen [46, 94], L.D Muu [63, 64], P.K Anh [6, 7], N Buong [27, 28], N.N Tam [80], Những đóng góp đáng kể thuật toán cho lớp toán cân hai cấp thuật toán đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp đề xuất P.N Anh, J.K Kim L.D Muu [16], thuật toán hàm phạt L.D Muu B.V Dinh cho toán cân hai cấp đơn điệu [36] số thuật toán khác [35, 45, 81] Phương pháp đạo hàm tăng cường G.M Kopelevich [50] đưa vào năm 1976 áp dụng giải toán tìm điểm n ngựa sau phát triển cho toán bất đẳng thức biến phân trở thành cơng cụ hữu hiệu để phân tích phát triển mở rộng thuật toán giải với nhiều dạng khác Phương pháp sử dụng hai phép chiếu bước lặp sau:   x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn )) (0.1)  xn+1 = P r (xn − λ F (y n )) C n Gần đây, số nhà toán học đưa ứng dụng phương pháp đạo hàm tăng cường việc giải toán tối ưu chẳng hạn ứng dụng giải toán cân T.D Quoc, V.H Nguyen L.D Muu [69], ứng dụng tìm điểm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động giới thiệu Y Yao, Y.C Liou J.C Yao [92] Theo hiểu biết chúng tôi, phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng lần P.N Anh vào việc giải tốn tìm điểm chung tốn cân tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn, ánh xạ giả co chặt [9, 10, 15] với điều kiện liên tục kiểu Lipschitz không Lipschitz với kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo giả thiết đơn điệu song hàm cân Hướng tiếp cận nghiên cứu mở rộng cho họ vơ hạn hữu hạn tốn cân toán điểm bất động, chủ yếu giải hai vấn đề bỏ giả thiết liên tục kiểu Lipschitz giảm giả thiết đơn điệu song hàm cân Một tiếp cận khác phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov đề xuất A Moudafi [60] Ý tưởng phương pháp kết hợp phương pháp hàm phạt phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải toán cân hai cấp EP(g, Sol (f, C)) việc giải dãy toán cân đơn điệu EP(h , C), với > 0, song hàm cân h xác định h (x, y) = f (x, y) + g(x, y) với x, y ∈ C Khi đó, thuật tốn lặp xây dựng đơn giản với dãy lặp {xk } xác định bởi: x0 ∈ C, h k (xk+1 , y) + k+1 x − xk , y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C rk Bằng cách chọn tham số dương lim inf k→∞ rk > ∞ k=0 rk k k > 0, rk > (với k ∈ N) thỏa mãn < ∞, dãy lặp {xk } hội tụ yếu tới nghiệm toán cân hai cấp BEP(f, g, C) với điều kiện song hàm f g thỏa mãn tính chất đơn điệu khơng gian Hilbert thực H Thời gian gần đây, hai sách "Continuous and Distributed Systems" [72] "Cybernetics and System Analysis" [73], V Semenov nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân trường hợp tổng quát C tập nghiệm chung họ hữu hạn toán cân đơn điệu Đây trường hợp đặc biệt toán cân hai cấp Vấn đề đặt cần xây dựng thuật tốn mới, mở rộng, cải tiến thực thi hóa phương pháp có để giải tốn hai cấp này, đặc biệt toán với song hàm ánh xạ giá có số tính chất giả đơn điệu, tựa đơn điệu, para-đơn điệu Vì vậy, sở kế thừa phát huy kết có ngồi nước thuật toán giải lớp toán hai cấp, chọn đề tài: "Phương pháp giải vài lớp toán cân bất đẳng thức biến phân hai cấp" với hai mục tiêu đề xuất thuật toán nghiên cứu ứng dụng tính tốn máy tính Mục tiêu nghiên cứu (i) Xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân (iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (iv) Xây dựng thuật toán xấp xỉ phép chiếu giải toán cân Đối tượng phạm vi nghiên cứu (i) Xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải toán cân chứng minh tính tựa khơng giãn tựa co ánh xạ nghiệm Rn (ii) Đề xuất thuật tốn tìm nghiệm tốn BVI(F, G, C) (iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán VIEP(F, f, C) (iV) Đề xuất thuật toán giải toán EVIP(g, F, C) (V) Nghiên cứu xây dựng thuật toán xấp xỉ phép chiếu giải toán EP(f, C) Phương pháp nghiên cứu • Để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, sử dụng kỹ thuật chiếu xấp xỉ gắn kết • Để có thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân bằng, chúng tơi dựa tảng thuật toán đạo hàm tăng cường đề xuất giải tốn cân • Xây dựng chứng minh hội tụ mạnh thuật toán đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân, dựa kỹ thuật đạo hàm điểm bất động • Để thu hội tụ phương pháp phép chiếu giải toán cân bằng, mở rộng phương pháp chiếu siêu phẳng kỹ thuật lai ghép Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: • Đề xuất phương pháp ánh xạ nghiệm để giải toán cân chứng minh tính tựa khơng giãn tựa co ánh xạ nghiệm S(x) • Xây dựng thuật tốn chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp với giả thiết ánh xạ F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz G đơn điệu mạnh ngược • Đề xuất chứng minh hội tụ thuật toán đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz ánh xạ F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh • Nghiên cứu thuật tốn chiếu đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân giả thiết song hàm f đơn điệu mạnh ánh xạ F liên tục Lipschitz, para-đơn điệu đóng yếu • Xây dựng phương pháp xấp xỉ phép chiếu giải toán cân điều kiện song hàm thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu • Đưa số ví dụ minh họa cho thuật tốn đề xuất Các kết luận án công bố 05 báo xuất tạp chí quốc tế có uy tín báo cáo tại: • Hội nghị Tốn học Miền Trung–Tây Nguyên lần thứ (12-14/8/2015 Đại học Quy Nhơn) • Hội nghị lần thứ IV Ứng dụng Toán học (23-25/12/2015, Đại học Kinh tế quốc dân - Hà Nội) • Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc (20-24/2/2017, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng) • Hội nghị quốc tế ứng dụng toán học Việt Nam lần thứ II (VIAMC 2017) (15-18/12/2017, Đại học Sài Gòn, Thành phố Hồ Chí Minh) • Đại hội Tốn học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018, Nha Trang) Bố cục luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Thuật toán chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Chương Thuật toán chiếu đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Chương Thuật toán chiếu đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương Một thuật toán kiểu chiếu giải toán cân Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, toán hai cấp tồn nghiệm toán sử dụng chương Các thuật tốn thơng dụng giải tốn hai cấp thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán điểm gần kề, thuật toán chiếu đạo hàm trình bày cách chi tiết phần cuối chương Những thuật tốn có liên quan đến thuật toán chương sau Nội dung chương viết dựa tài liệu tham khảo [5, 20, 29, 82] • Mục 1.1 trình bày số khái niệm kết dùng cho chương sau • Mục 1.2 trình bày baif tốn cân trường hợp riêng • Mục 1.3 trình bày số tốn hai cấp • Mục 1.4 trình bày số thuật tốn giải tốn hai cấp Chương Thuật toán chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Trong thời gian gần đây, có nhiều tác giả đưa thuật tốn tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp trường hợp riêng, trường hợp f, g hai hàm lồi khả vi, toán BVI(F, G, C) (với F = ∇f G = ∇g) có dạng tốn cực tiểu hai cấp [76] sau:   min f (x)  x ∈ argmin{g(x) : x ∈ C} Trường hợp đặc biệt F (x) = x với x ∈ C, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(F, G, C) trở thành tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân sau: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ = P rS(G,C) (0) (2.1) Y Yao [91] giới thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán BVI(F, G, C) trường hợp F (x) = x, ∀x ∈ C ánh xạ giá G : C → H α− đơn điệu mạnh ngược Sol(G, C) = ∅ Thuật tốn trình bày sau:   x0 ∈ C, y k = P rC (xk − λG(xk ) − αk xk ),  xk+1 = P r [xk − λG(xk ) + µ(y k − xk )], ∀k ≥ C Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ = P rSol(G,C) (0) điều kiện quy tham số Gần đây, P.N Anh [16] đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường kết hợp kỹ thuật điểm bất động ánh xạ không giãn giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) khơng gian Euclide Rn Thuật tốn xây dựng hai vòng lặp Tại bước lặp k vịng lặp ngồi, áp dụng thuật tốn đạo hàm tăng cường thường sử dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, tính k - nghiệm toán V I(G, C) với điều kiện hàm giá F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz G giả đơn điệu, liên tục Lipchitz C, với dãy tham số chọn cách thích hợp Khi đó, dãy lặp {xk } {z k } hội tụ đến điểm x∗ nghiệm toán BVI(F, G, C) Tuy nhiên, bước lặp, ta tìm nghiệm xấp xỉ tốn bất đẳng thức biến phân Trong chương này, xây dựng thuật toán chiếu giải toán BVI(F, G, C) với điều kiện ánh xạ giá F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ giá G đơn điệu mạnh ngược Nội dung chương viết dựa báo [CT1] Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến Luận án 2.1 Thuật toán Dựa ý tưởng của thuật tốn [16],[91], chúng tơi đề xuất phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) kết hợp phương pháp chiếu kỹ thuật điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn gồm hai bước: Thứ nhất, sử dụng thuật toán chiếu đạo 10 hàm giải toán bất đẳng thức biến phân VI(G, C) tính dãy lặp xk+1 = P rC (xk − λG(xk )) (k = 0, 1, · · · ) với λ > x0 ∈ C Thứ hai, sử dụng Nguyên lý điểm bất động ánh xạ co Banach tìm điểm bất động ánh xạ co Tλ = I − λµF với I ánh xạ đồng nhất, µ ∈ (0, L2β2 ) λ ∈ (0, 1] Thuật tốn trình bày chi tiết sau Thuật toán 2.1 Chọn x0 ∈ C, k = 0, dãy số dương {αk }, λ, µ thỏa mãn    0 < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = − − µ(2β − µL2 ),    lim αk = 0, lim k→∞ k→∞ αk+1 − αk ∞ αk = ∞, < λ ≤ 2η, < µ < = 0, k=0 (2.2) 2β L2 Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau Bước Tính y k = P rC (xk − λG(xk )) Bước Tính xk+1 = y k − µαk F (y k ) Nếu xk+1 = xk , dừng thuật tốn, xk nghiệm toán BV I(F, G, C) Ngược lại, quay lại Bước với k thay k + 2.2 Định lý hội tụ Sự hội tụ mạnh Thuật tốn 2.1 phát biểu thơng qua định lý sau Định lý 2.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Giả sử ánh xạ F : C → H G : H → H thỏa mãn (B1 ) G ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η H; (B2 ) F β− đơn điệu mạnh L−liên tục Lipschitz C; (B3 ) Tập nghiệm Ω toán BVI(F, G, C) khác rỗng Khi đó, dãy {xk } {y k } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới x∗ ∈ Ω Xét trường hợp đặc biệt F (x) = x với x ∈ H Dễ dàng nhận thấy F ánh xạ L-liên tục Lipschitz với hệ số L = β-đơn điệu mạnh với hệ số β = 11 H Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) có dạng tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Hệ 2.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H G : H → H ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η Dãy lặp {xk } xác định   y k = P rC (xk − λG(xk )),  xk+1 = (1 − µα )y k k Các tham số thỏa mãn    0 < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = − |1 − µ|,    lim αk = 0, lim k→∞ k→∞ αk+1 − αk ∞ αk = ∞, < λ ≤ 2η, < µ < = 0, k=0 Khi đó, dãy {xk } {y k } hội tụ mạnh đến điểm xˆ = P rS(G,C) (0) Kết luận Chương Thuật toán 2.1 cải tiến thuật toán đạo hàm tăng cường P.N Anh Y Yao Thuật toán dùng phép chiếu lần tính giá trị tốn tử F G để tìm nghiệm toán BVI(F, G, C) Điều cho phép khắc phục hạn chế thuật toán đạo hàm tăng cường phải tính hai phép chiếu bước lặp 12 Chương Thuật toán đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân Xét khơng gian Hilbert thực H, cho song hàm f : C × C → R, ta xét toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu VIEP(F, f, C) sau: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ Sol(f, C) (3.1) Ở Sol(f, C) tập nghiệm toán cân EP(f, C) sau: Tìm y ∗ ∈ C thỏa mãn f (y ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (3.2) Trong nghiên cứu gần đây, nhiều tác giả đưa thuật toán giải toán VIEP(F, f, C) thuật toán chiếu đạo hàm, thuật toán đạo hàm tăng cường P.E Maingé [52] giới thiệu thuật toán chiếu đạo hàm giải toán V IEP (F, f, C) trường hợp F (x) = x, với x ∈ C dạng: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, với x ∈ Sol(f, C), x∗ = P rSol(f,C) (0), ánh xạ F : H → H đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, song hàm f (x, y) = G(x), y − x + ϕ(y) − ϕ(x), với G : H → H đơn điệu 13 ϕ : Rn → (−∞, +∞] hàm nửa liên tục lồi Bằng cách chọn tham số phù hợp, tác giả chứng minh hội tụ yếu dãy lặp thuật toán Xét T : C → C ánh xạ không giãn Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T , P.E Maingé A Moudafi [55] giới thiệu thuật toán xấp xỉ gắn kết kết hợp với thuật toán đạo hàm tăng cường giải toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T )) Dưới điều kiện tham số, tác giả chứng minh dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T )) Trong chương này, chúng tơi xây dựng thuật tốn chiếu đạo hàm giải toán VIEP(F, f, C) Nội dung chương viết dựa báo[CT3] 3.1 Thuật toán Xuất phát từ ý tưởng P.N Anh P.T Vuong, chúng tơi xây dựng thuật tốn giải toán VIEP(F, f, C) dựa thuật toán chiếu-dưới đạo hàm kỹ thuật điểm bất động với giả thiết ánh xạ giá F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, song hàm f thỏa mãn tính chất giả đơn điệu Thuật toán 3.1 Chọn x0 ∈ C, k = 0, λ = inf{λk : k = 0, 1, } > 0, µ ∈ 0, L2β2 , ∞ {βk } ⊂ (0, 1], βk2 < ∞, k=0 ∞, k ∞ ∞ βk = ∞, {ξk } ⊂ (0, 1), k=0 ∞ ξk < ∞, k=0 βk k k=0 k → ∞ Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: Bước Tính đạo hàm hàm lồi wk ∈ ∂2k f (xk , xk ) Bước Tính γk = max{λk , wk }, αk = βγkk   y k = P rC (xk − αk wk ),  xk+1 = P r [y k − µξ F (y k )] C k Nếu xk+1 = xk , dừng thuật tốn, xk nghiệm toán VIEP(F, f, C) 14 < Ngược lại, quay lại Bước với k thay k + 3.2 Định lý hội tụ Sự hội tụ Thuật tốn 3.1 trình bày thơng qua định lý sau Định lý 3.1 Cho H không gian Hilbert thực, C tập con, lồi, đóng, khác rỗng H Ánh xạ F : C → H song hàm f : C × C → R thỏa mãn giả thiết (C1 ) Với x ∈ C, f (x, ·) hàm lồi, nửa liên tục C Nếu {xk } ⊂ C bị chặn k k → ∞ {wk } bị chặn, với wk ∈ ∂2k f (xk , xk ); (C2 ) f giả đơn điệu C theo x∗ nghiệm toán VIEP(F, f, C) thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu chặt; (C3 ) Với x ∈ C, f (·, x) nửa liên tục trên C; (C4 ) Tập nghiệm Sol(f, C) toán EP(f, C) khác rỗng; (C5 ) F L− liên tục Lipschitz β− đơn điệu mạnh Khi đó, dãy {xk } {y k } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm toán VIEP(F, f, C) Ta áp dụng Thuật toán 3.1 để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) trường hợp f (x, y) = G(x), y − x với x, y ∈ C ∂2k f (x, x) = {G(x)} ∀x ∈ C, k ≥ Thuật tốn 3.1 hội tụ dẫn đến kết sau Thuật toán 3.2 Lấy x ∈ C, k = 0,µ ∈ 0, 2β L2 ∞ , βk ∈ (0, 1] ∀k, ∞ ∞, βk = ∞, λ = inf{λk : k = 0, 1, } > k=0 Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: 15 k=0 βk2 < Bước Tính γk = max{λk , G(xk ) }, αk = βk γk Bước Tính y k = P rC (xk − αk G(xk )) xk+1 = P rC [y k − βk µF (y k )] Nếu xk+1 = xk , dừng thuật tốn, xk nghiệm toán BVI(F, G, C) Ngược lại, quay lại Bước với k thay k + Sự hội tụ Thuật tốn 3.2 trình bày nội dung định lý sau Định lý 3.2 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng H Ánh xạ F : C → H G : C → H thỏa mãn giả thiết (C6 ) G nửa liên tục trên C, với x ∈ C, G(·), x − · nửa liên tục yếu C; (C7 ) G giả đơn điệu C thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu chặt; (C8 ) Với x ∈ C, G(·), x − · nửa liên tục yếu C; (C9 ) F L-liên tục Lipschitz β-đơn điệu mạnh; (C10 ) Tập nghiệm Ω toán BVI(F, G, C) khác rỗng Khi đó, dãy {xk } {y k } sinh Thuật toán 3.2 hội tụ đến điểm x∗ nghiệm toán BVI(F, G, C) Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi đưa thuật tốn chiếu-dưới đạo hàm để tìm nghiệm tốn VIEP(F, f, C) Thuật tốn cải tiến thuật toán đạo hàm tăng cường P.N Anh P.T Vuong cho phép loại bỏ q trình giải tốn cân phụ, công việc phức tạp thường cho nghiệm dạng xấp xỉ Tại bước lặp thứ k, ta cần tính đạo hàm xấp xỉ hàm lồi khả vi phân, từ xác định dãy lặp {y k } {xk } thông qua phép chiếu tập C Dựa Thuật tốn 3.1, chúng tơi đưa Thuật tốn 3.2 giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) 16 Chương Thuật toán chiếu đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng tơi giới thiệu thuật tốn để giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân EVIP(g, F, C) Nội dung chương viết dựa báo [CT4] Danh mục cơng trình liên quan đến Luận án 4.1 Thuật toán Những nghiên cứu ban đầu thuật toán xấp xỉ gắn kết giới thiệu S Takahashi W Takahashi [79] Khi đó, dãy {xn } xác định bởi:   x0 ∈ C, f (un , y) + y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ C, rn (4.1)  xn+1 = α g(xn ) + (1 − α )Sun , ∀n ≥ 0, n n g : H → H ánh xạ co, S : C → H ánh xạ không giãn Với điều kiện cho trước dãy tham số {αn } {rn }, tác giả chứng minh dãy {xn } {un } hội tụ mạnh đến z = P rF ix(S)∩Sol(f,C) g(z) 17 Xét toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập điểm bất động ánh xạ không giãn VIFIX không gian Hilbert, P.E Maingé A Moudafi [54] đề xuất thuật toán xấp xỉ gắn kết giải tốn với dãy lặp xk+1 = λk f (xk ) + (1 − λk )[αk V (xk ) + (1 − αk )T (xk )], f : C → C ánh xạ co Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán VIFIX Tuy nhiên, thuật toán trên, bước lặp k, đòi hỏi phải giải tốn cân phụ mà cơng việc cho ta nghiệm dạng xấp xỉ với song hàm đơn điệu mạnh đơn điệu C Đây cách làm phức tạp khó khăn tính tốn máy tính Để tránh điều này, chúng tơi kết hợp thuật toán xấp xỉ gắn kết [55] với kỹ thuật đạo hàm [53] để xây dựng thuật toán giải toán EVIP(g, F, C) Thuật tốn mơ tả chi tiết sau Thuật tốn 4.1 Lấy x0 ∈ C, µ ∈ (0, +∞), dãy số thực không âm {αk } {λk } thỏa mãn ∞ ∞ λk = ∞, k=0 ∞ λ2k < ∞, lim αk = 0, k=0 k→∞ ∞ αk = ∞, k=0 αk λk = ∞ (4.2) k=0 Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: Bước Tính đạo hàm hàm lồi wk ∈ ∂2 g(xk , xk ) Bước Tính dk = F (xk )+αk wk , ηk = max{µ, dk } xk+1 = P rC xk − λk k ηk d Nếu xk+1 = xk , dừng thuật tốn, xk nghiệm toán EVIP(g, F, C) Ngược lại, quay lại Bước với k thay k + 4.2 Định lý hội tụ Để chứng minh hội tụ Thuật tốn 4.1 tchúng tơi đề xuất chứng minh bổ đề kỹ thuật sau 18 Bổ đề 4.1 Cho dãy {xk } {wk } sinh bởi Thuật tốn 4.1 Khi (i) xk+1 − xk ≤ λk , ∀k ≥ 0; (ii) Với x∗ ∈ S(F, C), xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ − 2αk λk k 2λk F (xk ), xk − x∗ − x − x∗ , wk + 5λ2k (4.3) ηk ηk Sự hội tụ Thuật tốn 4.1 trình bày thơng qua định lý sau Định lý 4.1 Giả sử song hàm g ánh xạ giá F thỏa mãn điều kiện (D1 ) g ρ-đơn điệu mạnh, g(x, ·) hàm liên tục yếu lồi C với x ∈ C, ∂2 g(x, ·)(x) nửa liên tục g(x, x) = với x ∈ C; (D2 ) F : C → H para-đơn điệu, đóng yếu liên tục C; (D3 ) Tập nghiệm S(F, C) = {¯ x∈C: F (¯ x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C} khác rỗng Khi đó, dãy {xk } sinh Thuật tốn 4.1 hội tụ mạnh đến nghiệm toán EVIP(g, F, C) Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi đề xuất thuật tốn chiếu đạo hàm để giải toán EVIP(g, F, C) Thuật toán xây dựng dựa kỹ thuật đạo hàm [53] thuật toán xấp xỉ gắn kết [55] , đơn giản mặt cấu trúc tính tốn khơng cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm g điều kiện mạnh khó kiểm tra Cụ thể, thay phải giải tốn cân phụ, chúng tơi tính đạo hàm hàm lồi khả vi phân, sau xác định dãy lặp {xk } thông qua phép chiếu tập ràng buộc C Bằng việc lựa chọn tham số thích hợp điều kiện ánh xạ giá, chứng minh hội tụ mạnh thuật toán Đồng thời đưa số ví dụ minh họa cho thuật toán 19 Chương Một thuật toán kiểu chiếu giải toán cân Trong năm gần đây, toán cân đề tài nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu mặt lý thuyết tồn nghiệm mặt thuật toán Một thuật toán phổ biến giải toán cân thuật toán chiếu Xuất phát từ mối quan hệ toán cân EP(f, C) toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) việc thay f (x, y) = F (x), y − x , với hàm giá F : C → Rn , G Mastroeni [57] giới thiệu phương pháp chiếu cải biên, mà bước lặp k, dãy lặp {xk+1 } xác định: xk+1 = argmin λf (xk , x) + x − xk 2 : x ∈ C , λ > (5.1) Tác giả chứng minh dãy {xk } hội tụ đến nghiệm toán cân EP(f, C) Dựa ý tưởng thuật toán đạo hàm tăng cường G.M Korpelevich [50], T.D Quoc [68] sử dụng hai phép chiếu để xây dựng thuật toán giải toán cân EP(f, C) chứng minh hội tụ dãy lặp điều kiện phù hợp Thuật toán xây dựng hai dãy {xk } {y k } 20 sau:   x0 ∈ C, y k = argmin{λf (xk , x) +  xk+1 = argmin{λf (y k , x) + 2 x − xk x − xk 2 : x ∈ C}, : x ∈ C} Ngồi ra, thuật tốn địi hỏi phải biết số Lipschitz song hàm f Để tránh điều kiện này, T.D Quoc [68] đề xuất thuật tốn tìm kiếm theo tia đạt kết hội tụ thuật toán mà cần điều kiện song hàm f đơn điệu Trong nội dung chương này, đề xuất thuật tốn kiểu chkieeurgiair tốn cân sử dụng tính chất đơn điệu suy rộng song hàm f para-đơn điệu, bỏ qua tính liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz đồng thời loại bỏ bớt phép chiếu Nội dung chương viết dựa báo [CT5] Danh mục cơng trình liên quan đến Luận án 5.1 Thuật toán Ta giả sử dãy số dương {λk }, { k } {βk } thỏa mãn ∞ (E1 ) βk2 < ∞, k=0 ∞ (E2 ) ∞ βk = ∞; k=0 k < ∞; k=0 ¯ = sup{λk : k = 0, 1, } < ∞ (E3 ) λ = inf{λk : k = 0, 1, } > 0, λ song hàm f : Rn × Rn → R, thỏa mãn điều kiện: (E4 ) Sol(f, C) = ∅; (E5 ) với x ∈ C, f (x, ·) hàm lồi, nửa liên tục f (·, x) liên tục C; (E6 ) f para-đơn điệu chặt Sol(f, C); (E7 ) dãy {xk } bị chặn k k → ∞, dãy {wk }bchn; (E8 ) f tựa liên tục Sol(f, C) Thuật tốn mơ tả chi tiết theo vịng lặp sau 21 Thuật tốn 5.1 Vịng lặp Lấy k = 0, x0 ∈ Rn , θ > 0, dãy số dương {λk }, { k }, {βk } thỏa mãn (A1 )−(A3 ) Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk , thực bước sau: Bước 1.Nếu g(xk ) ≤ z k = xk , g + (x) = max{0, g(x)}, g k ∈ ∂g + (z k ), δk = 0; Trường hợp ngược lại, chạy Vòng lặp (xk , θ, βk ) Vòng lặp (xk , θ, βk ) Lấy y = xk , j = 0; Khi d(y j , C) > θβk g j ∈ ∂g(y j ), δj = g(y j ); C¯j = {x ∈ Rn : g j , x − y j + δj ≤ 0}; ¯ j = {x ∈ Rn : x − y j , y − y j ≤ 0}; W y j+1 = P rC¯j ∩W¯ j (xk ), j := j + 1; dừng z k = y j , δk = δj−1 Bước Tính đạo hàm hàm lồi wk ∈ ∂2k f (z k , z k ); Bước Tính γk = max{λk , wk }, αk = βγkk ,    z k − αk w k g k , z k − αk wk − z k + δk ≤ k+1 x =  z k − α wk − gk ,z k −αk wk −z k +δk g k trường hợp ngược lại; k gk Nếu xk+1 = xk , dừng thuật tốn, xk nghiệm toán EP(f, C) Ngược lại, quay lại Bước với k thay k + 5.2 Định lý hội tụ Để chứng minh hội tụ Thuật tốn 5.1, chúng tơi đề xuất hai bổ đề sau ¯ j Ck tập xác định Thuật toán 5.1 với Bổ đề 5.1 Cho C¯j , W j, k ≥ Khi đó, ta có khẳng định sau đây: ¯ j C ⊆ Ck = {x ∈ Rn : (i) C ⊆ C¯j ∩ W g k , x − z k + δk ≤ 0}; (ii) Vòng lặp (xk , θ, βk ) xác định 22 Bổ đề 5.2 Cho dãy {xk } {z k } xác định Thuật toán 5.1 Khi đó, với x∗ ∈ Sol(f, C), ta xk+1 − x∗ ≤ z k − x∗ + 2αk f (z k , x∗ ) + 2αk k + βk2 Hơn nữa, dãy { k } {βk } thỏa mãn điều kiện (A1 ) − (A2 ) song hàm f thỏa mãn giả thiết (B3 ) dãy {xk } hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C) Kết hội tụ Thuật tốn 5.1 trình bày thơng qua định lý sau Định lý 5.1 Giả sử giả thiết (E4 ) − (E8 ) thỏa mãn, tham số θ dãy số {βk }, {λk }, { k } thỏa mãn điều kiện (E1 ) − (E3 ) Khi đó, dãy {xk } {z k } sinh Thuật toán 5.1 hội tụ đến x∗ nghiệm toán cân EP(f, C) Kết luận Chương Thuật toán kiểu chiếu giải toán cân EP(f, C) với song hàm f thỏa mãn tính chất para-đơn điệu tập C xác định hệ ràng buộc gồm bất đẳng thức hàm lồi, liên tục không gian Rn trình bày chi tiết Chương Thuật tốn gồm hai vịng lặp, bước lặp thứ k, xét Vịng lặp ngồi, trường hợp g(xk ) ≤ 0, ta sử dụng thuật toán đạo hàm tính đạo hàm xấp xỉ hàm lồi khả vi phân, sau xác định dãy lặp {xk } Trường hợp ngược lại, ta chạy Vòng lặp trong, dãy lặp {y k+1 } ¯ j chứa xác định hình chiếu {xk } vào giao hai nửa không gian C¯j W tập nghiệm tốn cân Khi đó, hội tụ dãy lặp đến nghiệm toán cân với điều kiện phù hợp song hàm f dãy tham số chứng minh 23 KẾT LUẬN Kết đạt • Chứng minh tính co, tính khơng giãn tính giả co chặt ánh xạ nghiệm giả thiết đơn điệu song hàm f • Đề xuất thuật tốn chiếu giải tốn BVI(F, G, C) khơng gian Hilbert thực H việc kết hợp phương pháp chiếu kỹ thuật điểm bất động • Xây dựng thuật toán đạo hàm giải toán VIEP(F, f, C) việc kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm kỹ thuật điểm bất động • Đề xuất chứng minh hội tụ thuật toán chiếu đạo hàm giải tốn BEP(g, F, C) • Nghiên cứu đề xuất thuật toán phép chiếu để giải tốn cân khơng gian Euclide Rn Một số hướng nghiên cứu • Mở rộng thuật toán luận án để nghiên cứu giải tốn cân hai cấp • Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội thuật tốn luận án • Triển khai ứng dụng thuật tốn đề xuất cho mơ hình thực tiễn tính tốn độ phức tạp thuật toán 24 ... thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân (iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán cân. .. S(F, C) tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Hơn nữa, dạng mở rộng toán hai cấp toán cân hai cấp miền ràng buộc toán cân tập nghiệm toán cân khác Bài toán cân hai cấp BEP(g, f, C) phát... kế thừa phát huy kết có ngồi nước thuật toán giải lớp toán hai cấp, chọn đề tài: "Phương pháp giải vài lớp toán cân bất đẳng thức biến phân hai cấp" với hai mục tiêu đề xuất thuật tốn nghiên cứu