Luận án thuật toán giải một số lớp bài toán cân bằng và điểm bất động

Bá GI O DệC V OTO Bá QUăC PH`NG HCVI NKßTHU TQU NSÜ NGUY N THÀ THANH H THU TTO NGI IMáTSăLPB ITO N CNBNGV IMBT áNG LU N NTI NS TO NH¯C H N¸I - 2021 B¸ GI O DệC V OTO Bá QUăC PH`NG HCVI NKòTHU TQU NSĩ NGUY N TH THANH H THU TTO NGI IMáTSăLPB ITO N CNBNGV IMBT ¸NG CHUY N NG NH: TO N NG DệNG M Să:9460112 LU N NTI NS TO NHC CĂn b hữợng dÔn khoa hồc: TS Bũi Vôn ành TS o Trång Quy‚t H N¸I - 2021 i Mục lục Líi cam oan Líi c£m ìn M u BÊng kỵ hiằu 14 Chữỡng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 16 1.1 Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ cì b£n 16 1.2 B i to¡n c¥n bng v sỹ tỗn ti nghiằm 21 1.2.1 Mt s trữớng hổp riảng ca b i to¡n c¥n b‹ng 21 1.2.2 Sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn c¥n b‹ng 25 1.3 B i to¡n i”m b§t ºng v mt s phữỡng phĂp tm im bĐt ng 27 Ch÷ìng Mºt sŁ thu“t to¡n gi£i b i to¡n c¥n b‹ng khỉng ìn i»u 32 2.1 Thu“t to¡n ⁄o h m tông cữớng v phữỡng phĂp chiu nhúng 33 2.2 Mºt sŁ thu“t to¡n gi£i b i to¡n c¥n b‹ng khỉng ìn i»u 35 2.3 V‰ dö minh håa 43 Ch÷ìng H» b i to¡n c¥n b‹ng v b i to¡n c¥n b‹ng tŒ hæp 49 3.1 Mð ƒu 49 3.2 MŁi li¶n h» giœa t“p nghi»m cıa h» b i to¡n c¥n b‹ng v b i to¡n c¥n b‹ng tŒ hỉp 54 ii Ch÷ìng Mºt thu“t to¡n t…m nghi»m chung cıa b i to¡n c¥n b‹ng v b i to¡n i”m b§t ºng 63 4.1 Mð ƒu 64 4.2 Mºt thu“t to¡n t…m nghi»m chung cıa b i to¡n c¥n b‹ng v b i 4.3 to¡n i”m b§t ºng 65 Mºt sŁ v‰ dö minh håa 79 K‚t qu£ ⁄t ÷ỉc 87 Hữợng nghiản cứu tip theo 89 Danh mửc cổng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ câ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o 90 91 Lời cam đoan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng trnh nghiản cứu ca tổi, dữợi sỹ hữợng dÔn ca cĂc cĂn b th hữợng dÔn khoa hồc C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vỵi c¡c t¡c gi£ kh¡c ãu  ữổc sỹ nhĐt tr ca cĂc ỗng tĂc gi£ ÷a v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£, sŁ li»u lu“n ¡n l ho n to n trung thỹc v chữa tng ữổc cổng b trản b§t ký cỉng tr…nh n o kh¡c C¡c t i liằu tham khÊo ữổc trch dÔn y NCS Nguyn Thà Thanh H Lời cảm ơn B£n lu“n ¡n n y ÷ỉc ho n th nh t⁄i Bº mỉn To¡n, Khoa Cæng ngh» Thæng tin, Håc vi»n Kÿ thu“t QuƠn sỹ, dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Bũi Vôn ành v TS o Trång Quy‚t T¡c gi£ xin b y tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi hai thy hữợng dÔn CĂc thy  luổn d nh cho trặ sỹ quan tƠm, ng viản, giúp ï r§t t“n t…nh suŁt thíi gian l m nghiản cứu sinh, c biằt l TS Bũi Vôn nh, ngữới  khổng quÊn cổng sức, tng bữợc dÔn dt, truyãn cho trặ niãm am mả hồc tp, nghiản cứu, nhiãu k nông, kin thức quỵ bĂu, ỗng thới luổn khch lằ trặ tng bữợc vữổt qua nhng khõ khôn, thò thĂch trản bữợc ữớng hồc tp, nghiản cứu T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn TS T⁄ Ngåc nh, TS Hy øc M⁄nh, v c¡c Thƒy Cæ B mổn ToĂn, anh ch em, ỗng nghiằp Khoa Cỉng ngh» Thỉng tin, Håc vi»n Kÿ thu“t Qu¥n sỹ  luổn quan tƠm, to iãu kiằn v  cho tĂc giÊ nhng ỵ kin õng gõp quỵ bĂu suŁt qu¡ tr…nh håc t“p T¡c gi£ tr¥n trång gòi lới cÊm ỡn n Ban GiĂm c, Phặng Sau ⁄i håc, Ban Chı nhi»m Khoa Cæng ngh» Thæng tin, Hồc viằn K thut QuƠn sỹ  luổn giúp ù, t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi cho t¡c gi£ thíi gian l m nghi¶n cøu sinh B£n lu“n ¡n n y s‡ khæng th” ho n th nh n‚u khæng câ sü c£m thỉng, chia s· v gióp ï tł nhng ngữới thƠn gia nh TĂc giÊ xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi b mà hai gia nh c biằt, xin cÊm ỡn mà, chỗng v hai yảu quỵ, nhng ngữới  luổn gƒn gơi, c£m thỉng v s· chia cịng tỉi suŁt thíi gian qua T¡c gi£ th nh k‰nh d¥ng t°ng mân qu tinh thƒn n y ‚n gia …nh thƠn yảu vợi tĐt cÊ tĐm lặng bit ỡn, yảu thữỡng v trƠn trồng nhĐt TĂc giÊ M u Lịch sử vấn đề lý chọn đề ti Thut ng "cƠn bng (equilibrium)"  ữổc sò dửng rng rÂi vt lỵ, hõa hồc, sinh hồc, k thut v kinh t hồc Nõ thữớng ã cp n c¡c i•u ki»n ho°c tr⁄ng th¡i cıa mºt h» thŁng õ tĐt cÊ cĂc tĂc ng cnh tranh ãu cƠn bng Chflng hn, vt lỵ, cƠn bng cỡ håc l tr⁄ng th¡i m â tŒng cıa t§t cÊ cĂc lỹc v mổ men lản mỉi phn tò ca hằ thng ãu bng khổng, chĐt lữu ữổc cho l trng thĂi cƠn bng thy tắnh nâ ð tr⁄ng th¡i ngh¿, ho°c v“n tŁc dỈng ch£y t⁄i mØi i”m khỉng Œi theo thíi gian Trong hâa håc, c¥n b‹ng ºng lüc l tr⁄ng th¡i cıa mºt ph£n øng thu“n nghàch, â tŁc º cıa ph£n øng thu“n b‹ng tŁc º cıa ph£n øng nghch Trong sinh hồc, trng thĂi cƠn bng di truyãn bi”u t…nh tr⁄ng â mºt ki”u gen khæng ti‚n hâa quƒn th” tł th‚ h» n y qua th‚ h» kh¡c Trong kÿ thu“t, c¥n b‹ng giao thỉng l sü ph¥n bŁ Œn ành dü ki‚n cıa lữu lữổng trản cĂc ữớng cổng cng hoc qua cĂc mng mĂy tnh, vin thổng Hỡn na, lỵ thuyt c¥n b‹ng nŒi ti‚ng l mºt nh¡nh cì b£n cıa kinh t‚ håc nghi¶n cøu c¡c ºng lüc cıa cung, cƒu v gi¡ c£ mºt n•n kinh t‚ phm vi mt hai th trữớng (cƠn bng riảng) hoc mt v i th trữớng (cƠn bng chung) Sỹ cƠn bng c biằt rĐt quan trồng toĂn hồc, cư th” l c¡c h» ºng lüc håc, ph÷ìng trnh vi phƠn o h m riảng, v php tnh bin phƠn Sau sỹ t phĂ ca lỵ thuyt trặ chìi v kh¡i ni»m c¥n b‹ng Nash, thu“t ngœ n y  ữổc sò dửng toĂn hồc cĂc ng cÊnh rng hỡn rĐt nhiãu bao gỗm cÊ nhng kh‰a c⁄nh quan trång cıa v“n trò håc v quy hoch toĂn hồc Nhiãu b i toĂn liản quan n sỹ cƠn bng bao gỗm mt s chúng  k trản cõ th ữổc nhn nhn mºt th” thŁng nh§t thỉng qua c¡c mỉ h…nh to¡n håc kh¡c nh÷: b i to¡n tŁi ÷u, b i to¡n bị, b i to¡n b§t flng thøc bi‚n phƠn, b i toĂn ti ữu hõa a mửc tiảu, trỈ chìi khỉng hỉp t¡c Hƒu h‚t c¡c mỉ h…nh to¡n håc n y câ cịng mºt c§u tróc chung cì b£n, cho ph†p chóng ta ph¡t bi”u chóng mºt cĂch thun tiằn theo mt dng thức nhĐt Ngữổc l⁄i, n‚u câ nhi•u mỉ h… nh cịng n‹m mºt c§u tróc thŁng nh§t s‡ cho ph†p chóng ta câ th” thi‚t l“p cỉng thøc chung cho c§u tróc thng nhĐt õ, nhữ vy ho n to n cõ th phĂt trin cĂc nghiản cứu vã lỵ thuy‚t cơng nh÷ thu“t to¡n cho mỉ h…nh chung, tł õ mang li khÊ nông ứng dửng rng rÂi hỡn cho c¡c mỉ h…nh ri¶ng l· Mỉ h…nh chung cho b i toĂn cƠn bng ữổc nghiản cứu lun ¡n n y câ th” ph¡t bi”u nh÷ sau: Cho H l mºt khæng gian Hilbert thüc, C l mºt lỗi, H; v f : C C!Rl õng, khĂc rØng cıa mºt song h m c¥n b‹ng, tøc l f(x; x) = vỵi måi x C: B i to¡n c¥n b‹ng EP(C; f) l b i to¡n T…m x C cho f(x ; y) B 0; vỵi måi y C: EP (C; f) i to¡n n y xu§t hi»n lƒn ƒu cỉng tr…nh cıa Nikaido - Isoda n«m 1955 tŒng qu¡t hâa b i toĂn cƠn bng Nash lỵ thuyt trặ chìi khỉng hỉp t¡c [59], nâ cơng ÷ỉc x†t n dữợi dng bĐt flng thức minimax v o nôm 1972 bði t¡c gi£ Ky Fan, v… th‚ nâ cỈn ÷ỉc gåi l b§t flng thøc Ky Fan [27] B i toĂn EP(C; f) thữớng ữổc sò dửng thit lp im cƠn bng lỵ thuyt trặ chỡi, chnh v vy, nõ ữổc gồi l B i toĂn cƠn b‹ng (Equilibrium problem) theo c¡ch gåi cıa c¡c t¡c gi£ L.D Muu v W Oettli n«m 1992 [56], E Blum v W Oettli n«m 1994 [14] B i toĂn cƠn bng khĂ ỡn giÊn vã mt hnh thức, nõ bao h m nhiãu lợp b i toĂn quen thuºc nh÷: B i to¡n tŁi ÷u, b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn, b i toĂn im bĐt ng Kakutani, b i toĂn im yản ngỹa, mổ hnh cƠn bng Nash lỵ thuyt trặ chỡi khổng hæp t¡c (xem [12 14, 37, 56]) B i to¡n cƠn bng ữổc xem l mt mổ hnh toĂn hồc thng nhĐt cho nhiãu lợp cĂc b i toĂn quan trồng riảng là Bi l õ, nhiãu kt quÊ Â bi‚t cıa c¡c b i to¡n nâi tr¶n câ th” mð rºng cho b i to¡n c¥n b‹ng tŒng quĂt vợi nhng iãu chnh phũ hổp, t õ cõ th em li nhiãu ứng dửng rng lợn Ngữổc li cĂc kt quÊ nhn ữổc cho b i toĂn cƠn b‹ng cơng câ th” ÷ỉc ¡p dưng cho c¡c tr÷íng hỉp ri¶ng cıa nâ (xem [14, 46, 54, 55] ) CĂc hữợng nghiản cứu thữớng ữổc t cho b i toĂn cƠn bng cụng nhữ bĐt flng thức bin phƠn l nghiản cứu vã phữỡng diằn lỵ thuyt nhữ sỹ tỗn ti nghiằm, cĐu trúc nghiằm, tnh n nh nghiằm  ữổc nhiãu nh nghiản cứu c biằt quan tƠm, cõ th k n cĂc tĂc giÊ nhữ M Bianchi v S Schaible [11], G Bigi v cĂc ỗng tĂc giÊ [13], B.T Kien, J.C Yao, v N.D Yen [40], I.V Konnov [45], L.D Muu v W Oettli [56], N.N Tam, J.C Yao v N.D Yen [72] Trong viằc nghiản cứu b i toĂn cƠn bng, vĐn ã xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊi, Ănh giĂ tc hi tử ca cĂc thut toĂn õng vai trặ rĐt quan trồng, n  cõ khĂ nhiãu kt quÊ ⁄t ÷ỉc nh÷ cıa c¡c t¡c gi£ P.K Anh, D.V Hieu [5], P.N Anh v L.T.H An [8], G Bigi v cĂc ỗng tĂc giÊ [12], B.V Dinh v D.S Kim [22], B.V Dinh v L.D Muu [24], G Mastroeni [54], A Moudafi [55], M.A Noor [60], L.D Muu [62], v  ữổc cĂc tĂc giÊ L.D Muu, N.V Hien, T.D Quoc, N.V Quy ¡p döng v o c¡c mỉ h…nh kinh t‚ [57, 58] C¡c ph÷ìng ph¡p giÊi b i toĂn cƠn bng thổng thữớng ặi họi t‰nh ìn i»u ho°c ìn i»u suy rºng cıa song h m v  ữổc tin h nh nghiản cứu rng rÂi bi nhiãu nh khoa hồc nhữ ([1, 8, 20, 24, 25, 30, 37, 49, 61, 80]) T‰nh n  cõ mt s kt quÊ t ữổc cho lợp b i toĂn cƠn bng lỗi v ỡn i»u n y, â câ th” k” ‚n c¡c ph÷ìng ph¡p h m ¡nh gi¡ (gap function method) [53], phữỡng phĂp nguyản lỵ b i toĂn phử (auxiliary subproblem principle method) [54], phữỡng phĂp im gn kã (proximal point method) [55], ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov (Tikhonov regularization method) [25, 73], °c bi»t l c¡c ph÷ìng ph¡p chi‚u (projection methods) [24], v ph÷ìng ph¡p ⁄o h m tông cữớng (extragradient method) [8] Gn Ơy mt s tĂc giÊ Â xƠy dỹng thut toĂn kiu chiu giÊi cĂc b i toĂn cƠn bng v bĐt flng thức bi‚n ph¥n khỉng ìn i»u (xem [21, 65, 85]), nhiản cĂc kt quÊ cặn chữa nhiãu Mt khĂc, cụng v nhiãu b i toĂn cƠn bng nÊy sinh kinh t‚ câ song h m khỉng ìn i»u, cho n¶n lu“n ¡n n y, chóng tỉi tip tửc trung nghiản cứu, xƠy dỹng mt s thut toĂn mợi giÊi b i toĂn cƠn bng m song h m l khỉng ìn i»u Cịng vỵi vi»c nghiản cứu, xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi b i toĂn cƠn bng, gn Ơy nhiãu tĂc giÊ cĂc b i b¡o [5, 6, 30, 41, 66 68, 78]  quan tƠm n viằc tm nghiằm chung ca mºt hå c¡c b i to¡n c¥n b‹ng, â l b i to¡n sau ¥y Cho fi : C C ! R; i I; l c¡c song h m x¡c ành tr¶n C, I l t“p c¡c ch¿ sŁ hœu h⁄n ho°c ‚m ÷ỉc B i to¡n t…m nghi»m chung ca hồ cĂc b i toĂn cƠn bng kỵ hi»u l CSEP l b i to¡n: T…m x C cho fi(x ; y) 0; 8y C v 8i I; Vỵi i2 (0; 1); cho CEP(C; P i2I ifi(x; y)), CSEP(C; fi) i2I i = P l 1; x†t b i to¡n c¥n b‹ng tŒ hæp, vi‚t t›t l b i to¡n: T…m x C cho i2I ifi(x CEP ; y) 0; 8y C: X Ta kỵ hiằu Sol(C; Nu cĂc i2I ifi) l t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng tŒ hæp CEP nghi»m cıa hai b i to¡n CS EP v CEP b‹ng nhau, th… vi» c t…m P nghi»m chung cıa hå c¡c b i to¡n c¥n b‹ng câ th” quy v• vi»c t…m nghi»m cıa b i toĂn cƠn bng t hổp Trong mt s trữớng hỉp, vi»c gi£i b i to¡n c¥n b‹ng tŒ hỉp CEP ‰t phøc t⁄p hìn b i to¡n CSEP Gƒn ¥y, [66] c¡c t¡c gi£ S Suwannaut v A Kangtunyakarn ¢ khflng ành r‹ng t“p ch¿ sŁ I l hœu h⁄n, tøc l I = f1; 2; : : : ; Ng, c¡c song h m fi; i I l ìn i»u v thäa m¢n mºt sŁ giÊ thit cho trữợc th cĂc nghiằm ca hai b i to¡n tr¶n b‹ng nhau, tøc l N \i =1 X Sol(C; fi) = Sol(C; N i =1 ifi): (1) xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊi mt s b i to¡n li¶n quan ‚n nghi»m chung cıa b i to¡n c¥n b‹ng ìn i»u, nhâm c¡c t¡c gi£ c¡c b i b¡o [41, 42, 66 68] 86 Kết lun Chng Trong chữỡng n y chúng tổi  ÷a mºt thu“t to¡n t…m i”m chung cıa t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng v b i to¡n i”m b§t ºng Thu“t to¡n n y l sü kt hổp gia phữỡng phĂp dữợi o h m tông cữớng cho b i toĂn cƠn bng vợi song h m l giÊ ỡn iằu, thọa mÂn iãu kiằn kiu Lipschitz, v phữỡng phĂp lp Ishikawa i vợi Ănh x tüa khỉng gi¢n Sü hºi tư m⁄nh cıa thu“t to¡n thu ÷ỉc c¡c h‹ng sŁ ki”u Lipschitz cıa song h m cõ th khổng ữổc bit trữợc Cui chữỡng chóng tỉi ÷a mºt v i v‰ dư sŁ minh håa cho sü hºi tư cıa thu“t to¡n • xuĐt 87 Kt lun Kt quÊ t ữổc ˆ Trong lu“n ¡n n y, chóng tỉi t“p trung nghiản cứu mt s vĐn ã vã b i toĂn c¥n b‹ng tŒ hỉp, x¥y düng thu“t to¡n gi£i b i toĂn cƠn bng khổng ỡn iằu, v phữỡng phĂp t… m nghi»m chung cıa t“p nghi»m cıa b i toĂn cƠn bng v b Ăn  t ữổc mt sŁ k‚t qu£ sau: i to¡n i”m b§t ºng Lu“n XƠy dỹng ữổc hai Thut toĂn 2.1 v 2.2 bng c¡ch k‚t hỉp ph÷ìng ph¡p chi‚u nhóng v c¡c quy t›c t…m ki‚m tia t÷ìng øng ” gi£i b i to¡n c¥n b‹ng m song h m l khỉng ìn iằu Chứng minh ữổc dÂy lp sinh bi cĂc thut to¡n â hºi tư m⁄nh tỵi nghi»m cıa b i toĂn cƠn bng ( nh lỵ 2.2.9 v nh lỵ 2.2.12), ỗng thới Ăp dửng thut toĂn v o mổ hnh cƠn bng th trữớng iằn bĂn c quyãn Nash-Cournot K‚t qu£ n y ÷ỉc th” ˆ hi»n ð [CT1] Chứng minh ữổc nghiằm ca b i toĂn cƠn b‹ng tŒ hæp v giao c¡c t“p nghi»m cıa hå c¡c b i to¡n c¥n b‹ng l khỉng b‹ng c¡c song h m l ìn i»u ( ành lỵ 3.2.1) Chúng tổi cụng ữa mt iãu kiằn ı ” hai t“p nghi»m â b‹ng c£ tr÷íng hỉp hœu h⁄n ( fi; i = 1; 2; :::; N) v tr÷íng hỉp vỉ h⁄n (fi; i = 1; 2; :::) ( nh lỵ 3.2.3) Kt quÊ n y ÷ỉc th” ˆ hi»n ð [CT2] B‹ng c¡ch k‚t hổp phữỡng phĂp dữợi o h m tông cữớng vợi phữỡng phĂp lp Ishikawa, chúng tổi  ã xuĐt thut to¡n t…m nghi»m chung cıa t“p nghi»m b i to¡n cƠn bng EP(C; f) vợi song h m f l giÊ ỡn iằu, thọa mÂn iãu kiằn kiu Lipschitz v b i to¡n i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ tüa 88 khỉng gi¢n T (Thu“t to¡n 4.1) Chóng tỉi ¢ chứng minh ữổc dÂy lp sinh bi thut toĂn hi tư m⁄nh tỵi nghi»m chung cıa b i to¡n ang xt ( nh lỵ 4.2.5 ), ỗng thới trnh b y mºt sŁ v‰ dö minh håa cho thu“t to¡n ã xuĐt Kt quÊ n y ữổc th hiằn [CT3] 89 Mt s hữợng nghiản cứu tip theo Bản cnh nhng kt quÊ Â t ữổc lun Ăn, mt s vĐn ã chúng tổi tip tửc nghiản cứu thới gian tợi l : XƠy düng mºt sŁ thu“t to¡n khỉng ph£i ki”u chi‚u nhóng gi£i b i to¡n c¥n ˆ b‹ng khỉng ìn i»u khỉng gian Hilbert v khỉng gian Banach Ti‚p tưc nghi¶n cøu mŁi quan h» giœa t“p nghi»m cıa B i to¡n c¥n b‹ng tŒ hỉp v giao c¡c t“p nghiằm ca cĂc b i toĂn cƠn bng vợi cĂc giÊ thit nhà hỡn vã tnh para- ỡn iằu, para-giÊ ỡn iằu, ỗng thới Ăp dửng v o mt lợp b i to¡n li¶n quan ‚n t“p nghi»m chung cıa mºt hå c¡c b i to¡n c¥n ˆ b‹ng X¥y düng thu“t to¡n t…m nghi»m chung cıa b i to¡n cƠn bng v b i toĂn im bĐt ng tr÷íng hỉp song h m l khỉng ìn i»u 90 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [CT1] B.V Dinh, N.T.T Ha, N.N Hai, and T.T.H Thanh (2018), Strong convergence algorithms for equilibrium problems without monotonicity, Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, (2), pp 139-150 [CT2] N.T.T Ha, T.T.H Thanh, N.N Hai, H.D Manh, and B.V Dinh (2019), A note on the combination of equilibrium problems, Mathematical Methods of Operations Research, 91, pp 311-323, (SCIE) [CT3] H.D Manh, N.T.T Ha, T.T.H Thanh, and B.V Dinh (2020), The Ishikawa subgradient extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, Numerical Functional Analysis and Optimiza-tion, 41 (9), pp 1065 1088, (SCIE) 91 Tài liệu tham khảo Ti‚ng Vi»t [1] Bũi Vôn nh (2014), Mt s phữỡng phĂp giÊi b i to¡n c¥n b‹ng gi£ ìn i»u v øng dửng, Lun Ăn tin sắ, Hồc viằn K thut QuƠn sü [2] Trành Ngåc H£i (2018), Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p giÊi b i toĂn cƠn bng cõ cĐu trúc, Lun Ăn tin sắ, Trữớng i hồc BĂch Khoa H Ni [3] ỉ Vôn Lữu v Phan Huy KhÊi (2000), GiÊi tch lỗi Nxb Khoa hồc v K thut, H Ni [4] Lả Dụng Mữu (1998), Nhp mổn cĂc phữỡng phĂp tŁi ÷u Nxb Khoa håc v Kÿ thu“t, H Nºi Ti‚ng Anh [5] P.K Anh, D.V Hieu (2016), Parallel hybrid methods for variational inequal-ities, equilibrium problems and common fixed point problems, Vietnam J Math, 44(2), pp 351-374 [6] P.N Anh (2013), A hybrid extragradient method for pseudomonotone equi-librium problems and fixed problems, Bull Malays Math Sci Soc., 36(1), pp 107-116 [7] P.N Anh (2013), A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems, Optimization, 62(2), pp 271-283 92 [8] P.N Anh, L.T.H An (2015), The subgradient extragradient method extended to equilibrium problems, Optimization, 64(2), pp 225-248 [9] L Armijo (1966), Minimization of functions having Lipschitz continuous first partial derivatives, Pacific J Math., 16, pp 1-3 [10] H.H Bauschke and P.L Combettes (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, New York, Springer [11] M Bianchi, S Schaible (1996), Generalized monotone bifunction and equi-librium problems, J Optim Theory Appl., 90, pp 31-43 [12] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, and M Passacantando (2013), Ex-istence and solution methods for equilibria, Eur J Oper Res., 227, pp 1-11 [13] G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, and M Passacantando (2019), Non-linear Programming Techniques for Equilibria, Springer [14] E Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Student, 63, pp 127-149 [15] N Buong, N.D Duong (2011), A method for a solution of equilibrium prob-lem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert’s spaces, Fixed Point Theory Appl., 2011, 208434 (2011) [16] L.C Ceng, S Al-Homidan, Q.H Ansari, and J.C Yao (2009), An iterative scheme for equilibrium problems and fixed point problems of strict pseudocontraction mappings, J Comput Appl Math., 223(2), pp 967-974 [17] Y Censor, A Gibali, and S Reich (2011), The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space, J Optim Theory Appl., 148, pp 318-335 93 [18] J Contreras, M Klusch, and J.B Krawczyk (2004), Numerical solution to Nash-Cournot equilibria in coupled constraint electricity markets, EEE Trans Power Syst., 19(1), pp 195-206 [19] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [20] B.V Dinh (2017), An hybrid extragradient algorithm for variational inequal-ities with pseudomonotone equilibrium constraints, J Nonlinear Anal Op-tim., 8, pp 71-83 [21] B.V Dinh, D.S Kim (2016), Projection algorithms for solving nonmonotone equilibrium problems in Hilbert space, J Comput Appl Math., 302, pp 106-117 [22] B.V Dinh, D.S Kim (2017), Extragradient algorithms for equilibrium prob-lems and symmetric generalized hybrid mappings, Optim Lett., 11, pp 537-553 [23] B.V Dinh, D.X Son, L Jiao, and D.S Kim (2016), Linesearch algorithms for split equilibrium problems and nonexpansive mappings, Fixed Point Theory Appl., 2016, 27 (2016) [24] B.V Dinh and L.D Muu (2015), A projection algorithm for solving pseudomonotone equilibrium problems and it’s application to a class of bilevel equilibria, Optimization, 64(3), pp 559-575 [25] B.V Dinh, P.G Hung, and L.D Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numer Funct Anal Optim., 35(5), pp 539-563 [26] F Facchinei, J.S Pang (2003), Finite-dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York 94 [27] K Fan (1972), A minimax inequality and applications, in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities Academic Press, New York pp 103-113 [28] A Genel and J Lindenstrauss (1975), An example concerning fixed points, Isarel J Math., 22, pp 81-86 [29] B Halpern (1967), Fixed points of nonexpanding maps, Bull Am Math Soc., 73, pp 957-961 [30] D.V Hieu, L.D Muu, P.K Anh (2016), Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings, Numer Algorithms, 73, pp 197-217 [31] D.V Hieu (2017), Halpern subgradient extragradient method extended to equilibrium problems, RACSAM., 111(3), pp 823-840 [32] H Iiduka and I Yamada (2009), A subgradient-type method for the equilibrium problem over the fixed point set and its applications, Optimization, 58(2), pp 251-261 [33] S Itoh and W Takahashi (1978), The common fixed point theory of single-valued mappings and multi-valued mappings, Pacific J Math., 79, pp 493-508 [34] S Ishikawa (1974), Fixed points by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 40, pp 147-150 [35] A.N Iusem and V Mohebbi (2020), Extragradient methods for nonsmooth equilibrium problems in Banach spaces, Optimization, 69(11), pp 2383-2403 [36] A.N Iusem and W Sosa (2003), New existence results for equilibrium prob-lems, Nonlinear Analysis, 52(2), pp 621-635 95 [37] A.N Iusem and W Sosa (2003), Iterative algorithms for equilibrium problems, Optimization, 52(3), pp 301-316 [38] G Kassay, V Radulescu, (2018), Equilibrium Problems and Application, Elsevier [39] G Kassay, T.N Hai, N.T Vinh, (2018), Coupling Popov’s algorithm with subgradient extragradient method for solving equilibrium problems, J Non-linear Convex Anal., 19(6), pp 959-986 [40] B.T Kien, J.C Yao, N.D Yen (2008), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, J Global Optim., 41(1), pp 135-145 [41] S.A Khan, W Cholamjiak, and K.R Kazmi (2018), An inertial for-ward backward splitting method for solving combination of equilibrium problems and inclusion problems, Comput Appl Math., 37(5), pp 62836307 [42] W Khuangsatung, A Kangtunyakarn (2014), Algorithm of a new variational inclusion problem and strictly pseudononspreading mapping with applica-tion, Fixed Point Theory Appl., 2014:209 [43] G.M Korpelevich (1976), The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Math Methody, 12, pp 747-756 [44] R Kraikaew and S Saejung (2014), Strong convergence of the Halpern sub-gradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 163, pp 399-412 [45] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequal-ities, Springer-Verlag Berlin [46] I.V Konnov (2003), Application of the proximal point method nonmonotone equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 119, pp 317-333 96 [47] I.V Konnov (2009), Regularization methods for nonmonotone equilibrium problems, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 93-101 [48] P Kumam, N Petrot, and R Wangkeeree (2010), A hybrid iterative scheme for equilibrium problems and fixed point problems of asymptotically k-strict pseudo-contractions, J Comput Appl Math., 233, pp 2013-2026 [49] W Kumam, U Witthayarat, P Kumam, S Suantai, and K Wattanawitoon (2016), Convergence theorem for equilibrium problem and Bregman strongly nonexpansive mappings in Banach spaces, Optimization, 65, pp 265-280 [50] P.E Mainge (2008), A hybrid extragradient viscosity methods for monotone operators and fixed point problems, SIAM J Control Optim., 47, pp 1499-1515 [51] P.E Mainge (2010), The viscosity approximation process for quasinonexpansive mapping in Hilbert space, Comput Math Appl., 59, pp 74-79 [52] W.R Mann (1953), Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [53] G Mastroeni (2003), Gap functions for equilibrium problems, J Global Op-tim., 27, pp 411 426 [54] G Mastroeni (2003), On auxiliary principle for equilibrium problems, Equi-librium Problems and Variational Models, pp 289-298 [55] A Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium prob-lems, J of Natural Geometry, 15, pp 91-100 [56] L.D Muu, W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlinear Anal TMA., 18, pp 1159-1166 [57] L.D Muu and T.D Quoc (2009), Regularization algorithms for solving 97 monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilib-rium model, J Optim Theory Appl., 142, pp 185-204 [58] L.D Muu, N.V Quy, and V.H Nguyen (2007), On Nash-Cournot oligopolis-tic market equilibrium models with concave cost functions, J Glob Optim., 41, pp 351-364 [59] H Nikaido, K Isoda (1955), Note on noncooperative convex games, Pac J Math., 5, pp 807-815 [60] M.A Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium problems J Optim Theory Appl., 122, pp 371-386 [61] N Petrot, K Wattanawitoonb, and P Kumam (2010), A hybrid projection method for generalized mixed equilibrium problems and fixed point problems in Banach spaces, Nonlinear Anal Hybrid Syst., 4, pp 631-643 [62] D.Q Tran, M.L Dung, and V.H Nguyen (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optimization, 57, pp 749-776 [63] T.D Quoc, P.N Anh, and L.D Muu (2012), Dual extragradient algorithms extended to equilibrium problems, J Global Optim., 52, pp 139-159 [64] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press [65] J.J Strodiot, P.T Vuong, N.T.T Van (2016), A class of shrinking projection extragradient methods for solving non-monotone equilibrium problems in Hilbert spaces, J Global Optim., 64, pp 159-178 [66] S Suwannaut, A Kangtunyakarn (2013), The combination of the set of solutions of equilibrium problem for convergence theorem of the set of fixed points of strictly pseudo-contractive mappings and variational inequalities problem, Fixed Point Theory Appl., 291:26 98 [67] S Suwannaut, A Kangtunyakarn (2014), Convergence analysis for the equilibrium problems with numerical results, Fixed Point Theory Appl., 167:26 [68] S Suwannaut, A Kangtunyakarn (2016), Convergence theorem for solving the combination of equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, Thai J Math., 14, pp 77-97 [69] A.Tada and W Takahashi (2007), Weak and strong convergence theorem for nonexpansive mapping and equilibrium problem, J Optim Theory Appl., 133, pp 359-370 [70] W Takahashi, Y Takeuchi, and R Kubota (2008), Strong convergence the-orems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [71] W Takahashi, M Toyoda (2003), Weak convergence theorems for nonex-pansive mappings and monotone mappings, J Optim Theory Appl., 118, pp 417-428 [72] N.N Tam, J.C Yao, N.D Yen (2008), Solution methods for pseudomonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl., 138(2), pp 253 273 [73] A.N Tikhonov (1963), On the solutions of Ill-posed problems and the method of egularization, Dokl Akad Nauk SSSA., 151, pp 501-504 [74] D.V Thong, D.V Hieu (2018), New extragradient methods for solving vari-ational inequality problems and fixed point problems, J Fixed Point Theory Appl., 20(3), pp 1-20 [75] L.Q Thuy, P.K Anh, L.D Muu, and T.N Hai (2017), Novel hybrid methods for pseudomonotone equilibrium problems and common fixed point prob-lems, Numer Funct Anal Optim., 38, pp 443-465 99 [76] N.T.T Thuy, P.T Hieu (2019), A hybrid method for solving variational inequalities over the common fixed point sets of infinite families of nonexpansive mappings in Banach spaces, Optimization, 69(9), pp 2155-2176 [77] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [78] P.T Vuong, J.J Strodiot, and V.H Nguyen (2013), Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems, J Optim Theory Appl., 155, pp 605-627 [79] N.T Vinh, (2018), Golden ratio algorithms for solving equilibrium problems in Hilbert spaces, ArXiv, https://arxiv.org/abs/1804.01829 [80] R Wangkeeree, U Kamraksa (2009), An iterative approximation method for solving a general system of variational inequality problems and mixed equilibrium problems, Nonlinear Anal Hybrid Syst., 3, pp 615-630 [81] H.K Xu (2002), Iterative algorithm for nonlinear operators, J London Math Soc., 66, pp 240-256 [82] I Yamada (2001), The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings, In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S ( eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam 8, pp 473-504 [83] I Yamada and N Ogura (2005), Hybrid steepest descent method for variational inequality problem over the fixed point set of certain quasinonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 25, pp 619-655 [84] C.M Yanes, H.K Xu (2006), Strong convergence of the CQ method for fixed point iteration processes, Nonlinear Anal TMA., 64, pp 2400-2411 100 [85] M Ye, Y He (2014), A double projection method for solving variational inequalities without monotonicity, Comput Optim Appl., 60, pp 141-150 [86] E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications I Springer-Verlag, New York ... gi£ thi‚t (G1) v (G3) C, h m ìn i»u m⁄nh tr¶n th… b i to¡n EP(C; f) câ nghi»m nh§t 1.3 Bài toán điểm bất động số phương phỏp tỡm im bt ng Trữợc tiản ta nhc li kh¡i ni»m i”m b§t ºng, t“p i”m b§t... dÂy fx g sinh bði ph†p l°p (1.6) hºi tư m⁄nh tỵi mºt i”m thuºc Fix(T ) 32 Chương Một số thuật toán giải tốn cân khơng đơn điệu C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b‹ng EP( C; f) thữớng ặi họi... ¢ chøng minh ữổc dÂy fx g sinh bi thut toĂn hi tư m⁄nh g tỵi x = PFix(T )(x ) 2.2 Một số thuật tốn giải tốn cân khơng đơn điệu Xu§t ph¡t tł c¡c thu“t to¡n ⁄o h m tông cữớng [62], phữỡng phĂp