Phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ TRẦN THỊ HOÀNG ANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh GS TSKH Phạm Thế Long HÀ NỘI - 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn thầy tập thể hướng dẫn khoa học Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ NCS Trần Thị Hoàng Anh ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thiện Học viện Kỹ thuật Quân sự hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm Ngọc Anh GS TSKH Phạm Thế Long Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Trong suốt q trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thơng qua giảng, hội nghị sinh hoạt học thuật, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu thầy cô Học viện Kỹ thuật Quân giáo sư viện Toán học Việt Nam Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo, Khoa Cơng nghệ Thơng tin, phịng Sau đại học Học viện Kỹ thuật Quân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Hải Phòng tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh, chị em nhóm nghiên cứu phịng Lab Tốn ứng dụng Tính tốn Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Luận án quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với lịng biết ơn, u thương trân trọng Tác giả iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk dãy {xk } hội tụ yếu tới x x x chuẩn véc tơ x x, y tích vơ hướng hai véc tơ x y I ánh xạ đồng B tích Đề-Các hai tập hợp A B argmin{f (x) : x ∈ C} nghiệm toán cực tiểu hàm f C ∂f (x) vi phân f x ∂2 f (x, x) -dưới vi phân chéo theo biến thứ hai hàm f (x, ·) x δC (·) hàm C P rC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x OP(F, C ) toán tối ưu CP(F, C ) toán bù MN(F, C ) tốn tìm chuẩn nhỏ VI(F, C ) tốn bất đẳng thức biến phân MVI(T, C ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị EP(f, C ) toán cân iv BVI(F, G, C ) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BEP(g, F, C ) toán cân hai cấp VIEP(F, f, C ) toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân EVIP(g, F, C ) toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T FP(F, C ) toán điểm bất động ánh xạ đơn trị MFP(F, C ) toán điểm bất động ánh xạ đa trị VIFIX toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn S(F, C ) tập nghiệm toán VI(F, C ) Sol(f, C ) tập nghiệm toán EP(f, C ) Sol(F, f, C ) tập nghiệm toán VIEP(F, f, C ) Ω tập nghiệm toán BVI(F, G, C ) CP U − times/s thời gian thực thuật tốn tính giây T estP rob toán chạy thực nghiệm Iter.(k ) số bước lặp thuật toán v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Một số khái niệm kết 10 1.2 Bài toán cân trường hợp riêng 16 1.2.1 Một số trường hợp riêng toán cân 17 1.2.2 Sự tồn nghiệm toán cân 21 1.2.3 Ánh xạ nghiệm 24 Một số toán hai cấp 31 1.3.1 Bài toán cân hai cấp 31 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 32 Một số thuật toán giải toán hai cấp 33 1.4.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường 33 1.4.2 Thuật toán điểm gần kề 34 1.4.3 Thuật toán chiếu đạo hàm 36 1.3 1.4 Chương Thuật toán chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 39 2.1 41 Thuật toán vi 2.2 Định lý hội tụ 42 Chương Thuật toán chiếu đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 49 3.1 Thuật toán 50 3.2 Định lý hội tụ 53 3.3 Một số tính tốn 60 Chương Thuật toán chiếu đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 64 4.1 Thuật toán 65 4.2 Định lý hội tụ 68 4.3 Một số tính tốn 76 Chương Một thuật toán kiểu chiếu giải toán cân 81 5.1 Thuật toán 81 5.2 Định lý hội tụ 85 5.3 Một số tính tốn 89 Kết đạt 98 Hướng nghiên cứu 99 Danh mục cơng trình khoa học cơng bố 100 Tài liệu tham khảo 101 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng ·, · chuẩn · Cho C tập lồi đóng khác rỗng H, ánh xạ F : C → H thường gọi ánh xạ giá (trong vài trường hợp, F từ H tới H) Theo E Blum W Oettli [25], toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) H, viết tắt VI(F, C ), viết dạng: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ với x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) giới thiệu lần vào năm 1966 G.J Hartman G Stampacchia, nghiên cứu việc giải toán điều khiển tối ưu tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng [42] Bài tốn bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với nhiều toán tối ưu khác với mơ hình thực tiễn mơ hình cân mạng giao thơng, mơ hình định tuyến tối ưu mạng truyền thơng, mơ hình tốn biên tự do, mơ hình xử lý ảnh [19, 34, 37] Năm 1971, M Sibony [74] xét toán bất đẳng thức biến phân trường hợp ẩn tập ràng buộc C tập nghiệm phương trình tốn tử đơn điệu Cũng nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân trường hợp này, I Yamada [90] xét toán với tập C tập điểm bất động ánh xạ không giãn, trường hợp riêng C nghiệm toán tử đơn điệu Bài toán bất đẳng thức biến bất phân với ràng buộc tập điểm bất động ánh xạ không giãn, ký hiệu VIFIX phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) thỏa mãn (I − V )(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ Fix(T ), với T, V : C → C hai ánh xạ không giãn I ánh xạ đồng Những năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng toán số ngành khoa học Bài toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu mở rộng thành dạng tổng quát toán bất đẳng thức biến phân đa trị với ánh xạ F ánh xạ đa trị [12], toán cân [13], tốn tìm điểm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động [96], toán bất đẳng thức biến phân hai cấp [8, 86] nhiều toán khác [35, 45, 76, 81, 91] Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞}, theo L.D Muu W Oettli [64], tốn cân EP(f, C ), đặt tìm điểm x∗ ∈ C cho f (x∗ , x) ≥ với x ∈ C Dễ thấy, trường hợp f (x, y ) = F (x), y − x với x, y ∈ C , toán VI(F, C ) viết dạng toán cân EP(f, C ) Hơn nữa, x∗ ∈ C nghiệm toán VI(F, C ) x∗ điểm bất động ánh xạ S (x) = P rC (x − λF (xk )) với P rC phép chiếu metric lên tập ràng buộc C λ > Từ mối liên hệ hai tốn sở dẫn đến số cách tiếp cận nghiên cứu việc giải toán dạng mở rộng toán bất đẳng thức biến phân toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân số dạng khác Năm 1976, R Kluge [47] nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) trường hợp miền ràng buộc C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, toán gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, dạng mở rộng toán bất đẳng thức biến phân, viết dạng: Tìm x∗ ∈ S (F, C ) cho G(x∗ ), y − x∗ ≥ với y ∈ S (F, C ), S (F, C ) tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C ) Hơn nữa, dạng mở rộng toán hai cấp toán cân hai cấp miền ràng buộc toán cân tập nghiệm toán cân khác Bài toán cân hai cấp BEP(g, f, C ) phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C ) cho g (x∗ , x) ≥ với x ∈ Sol(f, C ), Sol(f, C ) tập nghiệm toán cân EP(f, C ) xác định Sol(f, C ) = {y ∗ ∈ C : f (y ∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C}, với hai song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} g : C × C → R ∪ {+∞} Bài tốn xem toán cân EP(g, Sol(f, C )) Vấn đề khó tốn miền ràng buộc tập nghiệm tốn cân khơng cho dạng hiển Trong năm gần đây, toán cân hai cấp đề tài hấp dẫn nhiều nhà toán học giới nước Hầu hết thuật toán để giải toán cân dựa tính chất sau: với r > x ∈ H, tồn z ∈ C cho f (z, y ) + r y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C, f song hàm thỏa mãn số tính chất cho trước Khi đó, bước lặp thứ k , thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {y k } sau: x0 ∈ C, f (y k , y ) + rk y − y k , y k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C, dãy lặp {xk+1 } xây dựng thông qua dãy {y k } {xk } Như vậy, việc giải toán cân hai cấp chuyển giải dãy toán cân phụ Thực tế cho thấy rằng, toán phụ tính tốn nghiệm dạng xấp xỉ, dãy lặp {xk } cho thuật toán chưa hội tụ nghiệm tốn cân hai cấp Chính vậy, vấn đề cần quan tâm giải câu hỏi mở cho việc nghiên cứu để tìm thuật tốn hữu hiệu giải tốn Có thể thấy, vấn đề nghiên cứu tồn nghiệm, tính chất liên thơng tính ổn định tập nghiệm, tính liên tục ánh xạ nghiệm tính chất định tính khác toán bất đẳng 96 Test Prob No Iter (k ) CPU-times/s Thuật toán 5.1 IP SA EA Thuật toán 5.1 IP SA EA 43 53 36 0.0781 5.1563 5.4531 52 10 19 0.0313 0.8750 2.5000 54 46 17 0.0469 3.7656 2.2656 47 31 44 0.0313 2.7188 5.4375 73 14 32 0.0156 1.1250 4.5313 74 30 17 0.0469 2.5156 2.5625 53 25 22 0.0313 2.5781 3.2031 62 51 24 0.0156 4.9063 3.3750 61 28 20 0.0313 2.7969 2.6406 10 44 77 14 0.0156 6.4844 1.7969 Bảng 5.3: So sánh kết Thuật toán 5.1 với hai thuật toán IP SA, EA với điểm bắt đầu x0 = (0, 1, 2) sai số = 10−3 Từ kết tính tốn sơ trình bày bảng, nhận thấy rằng: (a) Tương tự thuật toán khác giải toán cân thuật toán chiếu đạo hàm xấp xỉ, thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán điểm gần kề thuật toán hàm khoảng cách, ta nhận thấy tốc độ hội tụ thuật toán phụ thuộc vào điểm khởi đầu x0 (b) Tốc độ hội tụ thuật toán phụ thuộc vào lựa chọn tham số λk βk 97 Kết luận Chương Thuật toán kiểu chiếu giải toán cân EP(f, C ) với song hàm f thỏa mãn tính chất para-đơn điệu tập C xác định hệ ràng buộc gồm bất đẳng thức hàm lồi, liên tục, không thiết phải khả vi không gian Euclide Rn trình bày cách chi tiết Chương Thuật tốn bao gồm hai vịng lặp: Vịng lặp ngồi Vịng lặp Tại bước lặp thứ k , xét Vịng lặp ngồi, trường hợp g (xk ) ≤ 0, ta sử dụng thuật toán đạo hàm tính đạo hàm xấp xỉ hàm lồi khả vi phân, sau xác định dãy lặp {xk } Trường hợp ngược lại, ta chạy Vòng lặp trong, dãy lặp {y k+1 } xác định hình chiếu {xk } vào giao hai nửa không gian C¯j ¯ j chứa tập nghiệm tốn cân Khi đó, hội tụ dãy lặp W đến nghiệm toán cân với điều kiện phù hợp song hàm f dãy tham số chứng minh Cũng chương này, đưa ứng dụng cho việc giải toán bất đẳng thức biến phân suy rộng VI(C, F, ϕ) khơng gian Rn Thuật tốn 5.2 cách sử dụng ví dụ có [58], chúng tơi tính toán Thuật toán 5.1 với tham số khác Các tính tốn so sánh với thuật toán chiếu đạo hàm xấp xỉ IP SA thuật toán đạo hàm tăng cường EA giải toán cân 98 KẾT LUẬN Kết đạt Trong luận án này, xây dựng số thuật toán giải toán hai cấp có liên quan đến tốn bất đẳng thức biến phân toán cân Luận án đạt kết sau: • Chứng minh tính co, tính khơng giãn tính giả co chặt ánh xạ nghiệm giả thiết đơn điệu song hàm f • Đề xuất thuật tốn chiếu giải toán bất đẳng thức hai cấp BVI(F, G, C ) không gian Hilbert thực H việc kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm kỹ thuật điểm bất động • Xây dựng thuật tốn đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân VIEP(F, f, C ) việc kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm kỹ thuật điểm bất động • Đề xuất chứng minh hội tụ thuật toán chiếu đạo hàm giải toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân EVIP(g, F, C ) • Nghiên cứu đề xuất thuật tốn phép chiếu để giải toán cân không gian Euclide Rn 99 Một số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề tồn cần nghiên cứu mở rộng thời gian tới: • Mở rộng thuật tốn luận án để nghiên cứu giải toán cân hai cấp • Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội thuật tốn luận án • Triển khai ứng dụng thuật toán đề xuất cho mơ hình thực tiễn tính tốn độ phức tạp thuật tốn 100 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ [CT1] T.T.H Anh, L.B Long, T.V Anh (2014), A projection method for bilevel variational inequalities, J Inequal Appl., 2014:205 (ISSN: 1029 - 242X, SCIE) [CT2] T.T.H Anh, L.V Ngoc (2016), On solution mapping of equilibrium problems, JP J Fixed Point Theory Appl., 11, pp 99-111 (ISSN: 0973-4228) [CT3] P.N Anh, T.T.H Anh, T Kuno (2017), Convergence theorems for variational inequalities on the solution set of Ky Fan inequalities, Acta Math Vietnam., 42(4), pp 761-773, (ISSN: 0251-4184, SCOPUS) [CT4] P.N Anh, L.Q Thuy, T.T.H Anh (2018), Strong convergence theorem for the lexicographic Ky Fan inequality, Vietnam J Math., 46(3), pp 517-530, (ISSN: 2305 - 221X, SCOPUS) [CT5] P.N Anh, T.T.H Anh, N.D Hien (2017), Modified basic projection methods for a class of equilibrium problems, Numer Algor., 79(1), pp 139-152, (ISSN 1017-1398, SCIE) 101 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Ngọc Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, NXB Thông tin Truyền thông, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Viện tốn học, Hà Nội Tiếng Anh [5] G.L Acedo, H.K Xu (2007), Iterative methods for strict pseudocontractions in Hilbert, Nonl Anal., 67, pp 2258-2271 [6] P.K Anh, D.V Hieu (2016), Parallel hybrid iterative methods for variational inequalities, equilibrium problems and common fixed point problems, Vietnam J Math., 44, pp 351–374 [7] P.K Anh, T.N Hai (2017), Splitting extragradient-like algorithms for strongly pseudomonotone equilibrium problems, Numer Algor., 76, pp 6791 [8] P.N Anh (2012), A new extragradient iteration algorithm for bilevel variational inequalities, Acta Math Vietnam., 37, pp 95-107 102 [9] P.N Anh (2013), A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems, Optimization, 62, pp 271-283 [10] P.N Anh (2013), A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems, Bull Malays Math Sci Soc., 36, pp 107-116 [11] P.N Anh, L.T.H An (2013), An Armijo-type method for pseudomonotone equilibrium problems and its applications, J Glob Optim., 57, pp 803-820 [12] P.N Anh, L.T.H An (2017), Outer-inner approximation projection methods for multivalued variational inequalities, Acta Math Vietnam., 42, pp 61-79 [13] P.N Anh, L.T.H An (2015), The subgradient extragradient method extended to equilibrium problems, Optimizaiton 64, pp 225-248 [14] P.N Anh, T.N Hai, P.M Tuan (2016), On ergodic algorithms for equilibrium problems, J Glob Optim., 64, pp 179-195 [15] P.N Anh, N.D Hien (2012), The extragradient - Amijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions, Fixed Point Theory Appl., 82, pp 1-16 [16] P.N Anh, J.K Kim , L.D Muu (2012), An extragradient algorithm for solving bilevel pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim., 52, pp 627-639 [17] L.Q Anh, P.Q Khanh (2004), Semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems, J Math Anal Appl., 294, pp 699-711 [18] L.Q Anh, P.Q Khanh (2006), On the Holder continuity of solutions to parametric multivalued vector equilibrium problems, J Math Anal Appl., 321, pp 308–315 103 [19] C Baiocchi, A Capelo (1984), Variational and quasivariational inequalities: Applications to free-boundary problems, New York [20] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010), Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert Spaces, Springer [21] X.B Bao, L.Z Liao, L Qi (2005), Novel neural network for variational inequalities with linear and nonlinear constraints, IEEE Trans Neural Netw., 16, pp 1305-1317 [22] J.Y Bello Cruz, A.N Iusem (2011), A strongly convergent method for nonsmooth convex minimization in Hilbert spaces, Numer Funct Anal Optim., 32, pp 1009-1018 [23] J.Y Bello Cruz, R.D Millán (2016), A relaxed-projection splitting algorithm for variational inequalities in Hilbert spaces, J Glob Optim 65, pp 597-614 [24] M Bianchi, S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 90, pp 31-43 [25] E Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequality to equilibrium problems, Math Stud., 62, pp 127-169 [26] A Bnouhachem (2006), An LQP method for psedomonotone variational inequalities, J Glob Optim., 36, pp 351-363 [27] N Buong, L.T Duong (2011), An explicit iterative algorithm for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Optim Theory Appl., 151, pp 513-524 [28] N Buong, P.T.T Hoai, N.D Nguyen (2017), Iterative methods for a class of variational inequalities in Hilbert spaces, J Fixed Point Theory Appl., 19, pp 2383-2395 [29] H Brezis (1987), Analyse Fontionnelle: Théorie et Applications, Masson 104 [30] L.C Ceng, P Cubiotti, J.C Yao (2008), An implicit iterative scheme for monotone variational inequalities and fixed point problems, Nonl Anal., 69, pp 2445-2457 [31] L.C Ceng, J.C Yao (2008), Relaxed viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequality problems, Nonl Anal., 69, pp 3299-3309 [32] P.L Combettes, S A Hirstoaga (2005), Equilibrium programming in Hilbert spaces, J Nonl Conv Anal., 6, pp 117-136 [33] G Cohen (2011), Auxiliary problem principle extended to variational inequalities, J Optim Theory Appl., 59, pp 325-333 [34] P Daniele, F Giannessi, A Maugeri (2003), Equilibrium problems and variational models, Kluwer [35] S Dempe, A.B Zemkoho (2013), The bilevel programming problem: reformulations, constraint qualifications and optimality conditions, Math Program., 138, pp 447-473 [36] B.V Dinh, L.D Muu (2011), On penalty and gap function methods for bilevel equilibrium problems, J Appl Math., DOI: 10.1155/2011/646452 [37] F Facchinei, J.S Pang (2003), Finite-dimensional variational inequalities and complementary problems, Springer, New York [38] K Fan (1972), A Minimax Inequality and Applications, in: O Shisha, Inequality III, Proceeding of the Third Symposium on Inequalities, Academic Press, New York [39] M Fukushima (1986), A relaxed projection for variational inequalities, Math Program., 35, pp 58-70 105 [40] J Glackin, J.G Ecker, M Kupferschmid (2009), Solving bilevel linear programs using multiple objective linear programming, J Optim Theory Appl., 140, pp 197-212 [41] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, England [42] P.T Harker, J.S Pang (1990), A damped-Newton method for the linear complementarity problem, Lectures in Appl Math., 26, pp 265-284 [43] A.N Iusem (2003), On the convergence properties of the projected gradient method for convex optimization, Comput Appl Math., 22, pp 37-52 [44] A.N Iusem, B.F Svaiter, M Teboulle (1994), Entropy-like proximal methods in convex programming, Math Oper Res., 19, pp 790-814 [45] V.V Kalashnikov, N.I Kalashnikova (1996), Solving two-level variational inequality, J Glob Optim., 8, pp 289-294 [46] B T Kien, J C Yao, N D Yen (2008), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim., 41, pp 135-145 [47] R Kluge (1976), Approximation methods for nonlinear problems with constraints in form of variational inequalities, Banach center Public, 1, pp 131138 [48] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequalities, Springer-Verlag, Berlin [49] I.V Konnov (1997), A class of combined iterative methods for solving variational inequalities, J Optim Theory Appl., 94, pp 677-693 [50] G.M Korpelevich (1976), An extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekonomika i Matematicheskie Metody,12, pp 747-756 106 [51] X.W Lu, H.K Xu, X.M Yin (2009), Hybrid methods for a class of monotone variational inequalities, Nonlinear Anal., 71, pp 1032-1041 [52] P.E Maingé (2008), Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, Set-Val Anal., 16, pp 899-912 [53] P.E Maingé (2010), Projected subgradient techniques and viscosity methods for optimization with variational inequalities constraints, Eur J Oper Res 205, pp 501-506 [54] P.E Maingé, A Moudafi (2007), Strong convergence of an iterative method for hierarchical fixed-point problems, Pacific J Optim., 3, pp 529-538 [55] P.E Maingé, A Moudafi (2008), Coupling viscosity methods with the extragradient algorithm for solving equilibrium problems, J Nonlinear Convex Anal., 9, pp 283-294 [56] Y Malitsky (2015), Projected relected gradient methods for monotone variational inequalities, SIAM J Optim., 25, pp 502 - 520 [57] G Mastroeni (2004), Gap function for equilibrium problems, J Glob Optim., 27, pp 411-426 [58] A Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium problem, J Nat Geom., 15, pp 91-100 [59] A Moudafi (2007), Krasnoselski-Mann iteration for hierarchical fixed-point problems, Inverse Prob., 23, pp 1635-1640 [60] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim., 47, pp 287-292 107 [61] B.S Mordukhovich (1994), Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis, Trans American Math Society, 343, pp 609-657 [62] B.S Mordukhovich, J.V Outrata (2007), Coderivative analysis of quasivariational inequalities with applications to stability and optimization, SIAM J Optim., 18, pp 389-412 [63] L.D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequalities, Math Operationsforsch Statist Ser Optim., 15, pp 347-351 [64] L.D Muu, W Oettli (1992), Convergence of an adaptive penatly scheme for finding constrained equilibria, Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A , 18, pp 1159-1166 [65] L.D Muu, V H Nguyen, N.V Quy (2008), On Nash-Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions, J Glob Optim., 41, pp 351-364 [66] M.A Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium problems, J Optim Theory Appl., 122, pp 371-386 [67] H Nikaido, K Isoda (1995), Note on noncooperative convex game, Pac J Math., 5, pp.807-815 [68] T.D Quoc, L.D Muu, V.H Nguyen(2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optim 57, 749 -776 [69] N.V Quy, V.H Nguyen, L.D Muu (2005), On the Cournot–Nash oligopolistic market equilibrium problem with concave cost function, Epreprint Hanoi Institute of Mathematics, [70] R T Rockafellar (1976), Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control Optim 14, 877 - 898 108 [71] P Santos, S Scheimberg (2011), An inexact subgradient algorithm for equilibrium problems, Comp Appl Math., 30, pp 91-107 [72] M.Z Zgurovsky, V.A Sadovnichiy (2013), Continuous and Distributed Systems, Solid Mechanics and Its Applications, Springer, pp 131-146 [73] V Semenov (2014), Cybernetics and System Analysis, Ukrainian journal Kibernetika i Sistemnyi Analiz., Spinger, pp 45-56 [74] M Sibony (1971), Sur I’approximation d’équation et inéquations aux dérivées partielles nonlinéaires de type monotone, J Math Anal App., 34, pp 502-564 [75] J.J Strodiot, N.T.T Van, V.H Nguyen (2013), A new class of hybrid extragradient algorithms for solving quasi-equilibrium problems, J Glob Optim., 56, pp 373-397 [76] M Solodov (2007), An explicit descent method for bilevel convex optimization, J Convex Anal., 14, pp 227-237 [77] T Suzuki (2005), Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequences for one parameter nonexpansive semigroups without Bochner integrals, J Math Anal Appl., 305, pp 227-239 [78] K Taji, M Fukushima (1996), A new merit function and a successive quadratic programming algorithm for variational inequality problems, SIAM J Optim., 6, pp 704-713 [79] S Takahashi, W Takahashi (2007), Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 331, pp 506-515 [80] N.N Tam, J.C Yao, N.D Yen (2008), Solution methods for pseudomonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl., 138, pp 253-273 109 [81] R Trujillo-Corteza, S Zlobecb (2009), Bilevel convex programming models, Optimization, 58, pp 1009-1028 [82] H Tuy (1997), Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [83] P.T Vuong, J.J Strodiot, V.H Nguyen (2014), Projected viscosity subgradient methods for variational inequalities with equilibrium problem constraints in Hilbert spaces, J Glob Optim., 59, pp 173-190 [84] P.T Vuong, J.J Strodiot, V.H Nguyen (2015), On extragradient viscosity methods for solving equilibrium and fixed point problems in a Hilbert space, J Glob Optim., 64, pp 429-451 [85] M.H Xu (2010), Viscosity methods for hierarchical fixed point approach to variational inequalities, Taiwanese J Math., 14, pp 463-478 [86] M.H Xu, M Li, C.C Yang (2009), Neural networks for a class of bilevel variational inequalities, J Glob Optim., 44, pp 535-552 [87] H.K Xu (2002), Iterative algorithms for nonliner operators, J London Math Soc., 66, pp 240-256 [88] H.K Xu, T.H Kim (2003), Convergence of hybrid steepest-descent methods for variational inequalities, J Optim Theory Appl., 119, pp 185-201 [89] I Yamada (2001), The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings, In inherently parallel algorithm for feasibility and optimization and their applications edited by: D Butnariu, Y Censor, and S Reich, Elsevier., 473 - 504 [90] I Yamada, N Ogura (2005), Hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the fixed point set of certain quasinonexpansive mappings, Numer Funct Anal Optim., 25, pp 619-655 110 [91] Y Yao, G Marino, L Muglia (2014), A modified Korpelevich’s method convergent to the minimum-norm solution of a variational inequality, Optimization, 63, pp 559-569 [92] Y Yao, Y.C Liou, J.C Yao (2017), An extragradient method for fixed point problems and variational inequalities problems, J Inequal Appl Article ID 38752, 12 pages [93] N.D Yen (2016), An introduction to vector variational inequalities and some new results, Acta Math Vietnam., 41, pp 505–529 [94] N.D Yen, J.C Yao (2011), Monotone affine vector variational inequalities, Optimization, 60, pp 53-68 [95] H Zegeye, N Shahzad, Y Yao (2015), Minimum-norm solution of variational inequality and fixed point problem in Banach spaces, Optimization, 64, pp 453-471 [96] L.C Zeng, J.C Yao (2006), Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems, Taiwanese J Math., 10, pp 1293-1303 ... hai toán sở dẫn đến số cách tiếp cận nghiên cứu việc giải toán dạng mở rộng toán bất đẳng thức biến phân toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp, toán bất đẳng thức. .. ) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BEP(g, F, C ) toán cân hai cấp VIEP(F, f, C ) toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân EVIP(g, F, C ) toán cân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến. .. tốn hai cấp có liên quan đến tốn bất đẳng thức biến phân toán cân bằng: (i) Xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức