Ma trận kề
Giả sử G = (V, E) là một đơn đồ thị vô hướng với tập đỉnh V và tập cạnh E Đồ thị G có n đỉnh, và để đơn giản, chúng ta có thể đánh số các đỉnh từ 1 đến n Đồ thị này có thể được biểu diễn bằng một ma trận vuông A = (a_ij) n × n Ma trận kề của đồ thị G được định nghĩa như sau: a_ij = 1 nếu có cạnh nối giữa đỉnh i và đỉnh j, ngược lại a_ij = 0.
Chúng ta lưu ý rằng, nếu{i, j} ∈ Ethì {j, i} ∈ Enên a i j = a j i Do đó ma trận kề Alà ma trận đối xứng.
Phổ của đồ thị
Ma trận kề của một đồ thị vô hướng mang tính đối xứng, dẫn đến việc nó sở hữu đầy đủ các giá trị riêng thực và có một cơ sở trực giao với các vectơ riêng Theo định nghĩa, phổ của đồ thị G được xác định là tập hợp các giá trị riêng, bao gồm cả bội, của ma trận kề tương ứng với đồ thị G.
Lý thuyết phổ của đồ thị ra đời vào những năm 1950 Để xác định phổ của đồ thị có số đỉnh nhỏ, phương pháp đơn giản nhất là tìm nghiệm của đa thức đặc trưng χ(x) = det(A−xI).
Ví dụ 1.2.1 Xét đồ thịG sau: Đồ thịGcó ma trận kề là:
Ta có, đa thức đặc trưng của ma trận Alà: det(A−xI)
Phổ của đồ thị được xác định là λ = −1, 0, 1 Tuy nhiên, đối với các đồ thị lớn, việc tính toán phổ thông qua việc tìm nghiệm của đa thức đặc trưng có thể gặp nhiều khó khăn.
Ví dụ 1.2.2 Xét đồ thịK n Ma trận kề củaK n là
Đồ thị DoK n là đồ thị chính quy bậcn−1 với giá trị riêng λ = n−1 và vectơ riêng 1 = (1, 1, , 1) Giá trị riêng θ của ma trận A khác n−1 có vectơ riêng tương ứng v θ, với điều kiện v θ ⊥ 1 Ma trận A có thể được biểu diễn theo cách khác.
A = J−I, trong đó I là ma trận đơn vị, J là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng một Ta có:
Dov θ ⊥ 1 nên Jv θ = 0.Suy ra
Từ kết quả trên, ta có thể suy ra rằng θ = −1 Giả sử giá trị riêng λ = n−1 có bội ` và giá trị riêng θ = −1 có bội k Với vết của ma trận A bằng 0 và A có giá trị riêng, ta có thể kết luận rằng
Suy ra` =1, k= n−1 Vậy, phổ của đồ thịK n làn−1bội1và−1bộin−1.
Hai đồ thị đẳng cấu có cùng phổ, điều này có nghĩa là nếu hai đồ thị G = (V, E) và G' = (V', E') là đẳng cấu, chúng sẽ chia sẻ các đặc điểm phổ giống nhau Định nghĩa về đồ thị đẳng cấu nhấn mạnh mối quan hệ này, cho thấy tầm quan trọng của việc nhận diện cấu trúc tương đồng giữa các đồ thị.
GvàG 0 được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một song ánh f : V → V 0 sao cho
{u, v} là một cạnh củaGkhi và chỉ khi{f(u), f(v)}là một cạnh củaG 0
Giả sử G và G' là hai đồ thị đẳng cấu, chúng ta sẽ chứng minh rằng chúng có cùng phổ Gọi A và A' lần lượt là các ma trận kề của đồ thị G và G' Vì hai đồ thị đẳng cấu chỉ là sự sắp xếp lại các đỉnh, nên ta có A' = P^(-1)AP, với P là ma trận hoán vị các đỉnh.
P là ma trận hoán vị, dẫn đến việc A và A' đồng dạng với nhau Hai ma trận đồng dạng sở hữu cùng giá trị riêng, kể cả bội, do đó hai đồ thị G và G' cũng có cùng phổ.
Câu hỏi đặt ra là liệu hai đồ thị có cùng phổ có phải là đẳng cấu hay không, và câu trả lời là không Để làm rõ điều này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1.2.3 Xét hai đồ thị K 1, 4 và C 4 ∪K 1 Hai đồ thị này có cùng phổ là λ −2, 0, 0, 0, 2nhưng hai đồ thị này không đẳng cấu với nhau.
1.3 (n, d, λ ) - đồ thị và Bổ đề trộn nở
Cho đồ thị G, gọi λ 1 ≥ λ 2 ≥ ≥ λ n là các giá trị riêng của ma trận kề của G Đại lượngλ(G) = max{λ 2 , |λ n |} được gọi là giá trị riêng thứ hai của
Đồ thị G = (V, E) được định nghĩa là đồ thị (n, d, λ) nếu nó là đồ thị d-chính quy với n đỉnh, và giá trị riêng thứ hai của G bị giới hạn bởi λ Một kết quả quan trọng là khi λ và d được xác định, đồ thị G sẽ có những tính chất tương tự như đồ thị ngẫu nhiên.
Trong đồ thị ngẫu nhiên G(n, d/n), mỗi cạnh xuất hiện độc lập với xác suất d/n Đối với đồ thị G và hai tập đỉnh con S, T ⊂ V (không phân biệt), ký hiệu E(S, T) biểu thị số cặp có thứ tự (s, t) với s ∈ S, t ∈ T mà (s, t) là một cạnh của G Bổ đề trộn nở là công cụ quan trọng trong phương pháp phổ của đồ thị, giúp nghiên cứu các bài toán tổ hợp cộng tính.
Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề trộn nở, [2]) Giả sửG = (V, E)là một(n, d, λ)- đồ thị với hai tậpS, T ⊂V, ta có:
Giả sử đồ thị G có đỉnh V = {1, 2, , n} Ký hiệu χ S = (χ S (1), χ S (2), , χ S (n)) T và χ T = (χ T (1), χ T (2), , χ T (n)) T là các vectơ đặc trưng tương ứng của tập S và T Các tọa độ của χ S và χ T được xác định bằng cách: χ X (i) = 1 nếu đỉnh i ∈ X và bằng 0 trong trường hợp còn lại.
Giả sử {v 0 , v 1 , , v n − 1 } là một cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ
R n bao gồm các vectơ riêng {v 0 , v 1 , , v n − 1 } của ma trận kề A của G Ta có v 0 = √ 1 n 1 với 1 = (1, 1, , 1) T Xét biểu diễn tuyến tính χ S = ∑ i α i v i và χ T = ∑ j β j v j Khi đó, số cạnh giữa hai tập đỉnh S, T là:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và định nghĩa củaλ, ta có:
| α i β i |. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta thu được:
Hanson, Lund và Roche-Newton [27] đã xác nhận kết quả tương tự như Bổ đề trộn nở liên quan đến số cạnh giữa hai đa tập đỉnh Cụ thể, bổ đề này nêu rõ mối quan hệ giữa các thành phần trong cấu trúc đồ thị.
Bổ đề 1.3.2 (Bổ đề trộn nở mở rộng, [27]) Cho G = (V, E) là một (n, d, λ) - đồ thị ChoBvàC là hai đa tập đỉnh củaG, khi đó
≤ λ r ∑ b ∈ B m B (b) 2 r ∑ c ∈ C m C (c) 2 vớim X (x) là bội của xtrongX.
Cho G = (V, E) là một đồ thị có hướng có n đỉnh thỏa mãn |N + (x)| |N − (x)| = d với mọi x ∈ V, trong đó N + (x) là tập đỉnh đi ra của đỉnh x,
N − (x) là tập đỉnh đi vào của đỉnh x Chúng ta định nghĩa ma trận kề củaG là A G như sau: a i j
Giả sử λ1 = d, λ2, , λn là các giá trị riêng của ma trận AG Mặc dù các giá trị riêng có thể là số phức và không thể sắp xếp, nhưng chúng ta có thể chứng minh rằng |λi| ≤ d với mọi 1 ≤ i ≤ n Do đó, chúng ta định nghĩa λ(G) = max |λi| ≠ d |λi|.
Ma trận A được gọi là ma trận chuẩn tắc nếu A t A = AA t, trong đó A t là ma trận chuyển vị của A Đồ thị có hướng được coi là chuẩn tắc nếu ma trận kề của nó là ma trận chuẩn tắc Với đồ thị chuẩn tắc G, N + (x, y) đại diện cho tập các đỉnh z sao cho (x, z) và (y, z) là các cạnh của G, trong khi N − (x, y) là tập các đỉnh z sao cho (z, x) và (z, y) là các cạnh của G Đồ thị G là chuẩn tắc nếu |N + (x, y)| = |N − (x, y)| với mọi cặp đỉnh x, y Đồ thị có hướng G được gọi là (n, d, λ) - đồ thị có hướng nếu G là chuẩn tắc, có đỉnh d - chính quy (tức là |N + (x)| = |N − (x)| = d với mọi đỉnh x) và λ(G) ≤ λ Đối với G là (n, d, λ) - đồ thị có hướng với hai tập đỉnh B, C ⊂ V, E(B, C) là số cặp (b, c) sao cho b ∈ B, c ∈ C và (b, c) ∈ E(G), trong đó E(G) là tập cạnh của G Vu [54] đã phát triển mở rộng Bổ đề trộn nở cho đồ thị có hướng.
Bổ đề 1.3.3 (Bổ đề trộn nở cho đồ thị có hướng, [54]) Cho G = (V, E) là một
(n, d, λ)- đồ thị có hướng Với hai tập đỉnhB, C ⊂ V, ta có:
Đồ thị tổng - bình phương
Đồ thị tổng - bình phương trên trường hữu hạn 26
Đồ thị tổng - bình phương F S q trên trường hữu hạn F q được xác định với tập đỉnh là F q × F q Hai đỉnh a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) trong V(F S q ) sẽ được nối với nhau bằng một cạnh {a, b} thuộc E(F S q) khi và chỉ khi 1 + b 1 = (a 2 + b 2 )^2 Theo định lý 2.1.1, đồ thị F S q có đặc điểm là q^2, q, p.
Đồ thị F S q là một đồ thị q-chính quy với q có 2 đỉnh Để đánh giá giá trị riêng của đồ thị, chúng ta xem xét hệ phương trình sau: a 1 + x 1 = (a 2 + x 2)² và b 1 + x 1 = (b 2 + x 2)², với x = (x 1, x 2) thuộc V(F S q ) Qua đó, ta đếm số nghiệm của hệ phương trình này để phân tích thêm về tính chất của đồ thị.
Hệ có nghiệm duy nhất x 1 a 1 −b 1 a 2 −b 2 + (a 2 −b 2 )
Hai đỉnh khác nhau a = (a1, a2) và b = (b1, b2) chỉ có duy nhất một đỉnh chung khi a2 khác b2, và không có đỉnh chung trong các trường hợp khác.
Gọi M là ma trận kề củaF S q Khi đó ta có:
M 2 = J + (q−1)I − E, trong đó J là ma trận với tất cả các phần tử bằng một, I là ma trận đơn vị, và E là ma trận kề của đồ thị S E với V(S E ) = F q × F q Hai đỉnh a và b trong V(S E ) được kết nối bởi một cạnh {a, b} khi và chỉ khi 2 = b 2.
Đồ thị S E là đồ thị (q−1) - chính quy, trong đó DoF S q là đồ thị q - chính quy, với q là giá trị riêng của ma trận M và vectơ riêng tương ứng là 1 Đồ thị F S q liên thông, dẫn đến việc giá trị riêng q có bội một Vì đồ thị F S q chứa tam giác, nó không phải là đồ thị hai phần Do đó, ta gọi θ là giá trị riêng khác của đồ thị F S q.
| θ | < q Gọi v θ là vectơ riêng ứng với giá trị riêng θ Lưu ý v θ ∈ 1 ⊥ , suy ra
Jv θ = 0 Do đó từ (2.1.1) ta có ( θ 2 −q+1)v θ = −Ev θ Thêm vào đó S E là đồ thị(q−1)- chính quy nên tất cả các giá trị riêng củaS E bị chặn trên bởiq−1.
Suy raθ 2 ≤2(q−1), dẫn tới điều phải chứng minh.
Đồ thị tổng - bình phương trên vành hữu hạn
Đồ thị tổng - bình phương RS q trên vành hữu hạn Z q được xác định với tập đỉnh là Z× Z × q Hai đỉnh a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b2 ) thuộc V(RS q ) được nối với nhau bởi một cạnh {a, b} nếu và chỉ nếu 1 + b 1 = (a 2 + b 2 ) 2 Theo định lý 2.1.2, đồ thị tổng - bình phương có cấu trúc là một p 2r − p 2r − 1 , p r − p r − 1 , q (2r−1)p 2r − 1.
Đồ thị tổng - bình phương RS q là một đồ thị (p r − p r − 1)- chính quy với p 2r − p 2r − 1 đỉnh Để chứng minh, ta xem xét số nghiệm của hệ phương trình a 1 + x 1 = (a 2 + x 2) 2 và b 1 + x 1 = (b 2 + x 2) 2, trong đó a = (a 1, a 2) và b = (b 1, b 2) thuộc V(RS q), và x = (x 1, x 2) thuộc V(RS q).
Từ các phương trình đã cho, ta có mối quan hệ giữa x1 và x2 thông qua các biểu thức (2.1.2) và (2.1.3) Cụ thể, với mỗi x2 thỏa mãn phương trình (2.1.3), sẽ tồn tại duy nhất x1 thỏa mãn phương trình (2.1.2) Do đó, số nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (2.1.3) Giả sử 0 ≤ α ≤ r−1 và pα = (a2 − b2, p r), ta sẽ xem xét hai trường hợp khác nhau.
Trường hợp 1 Nếu((a 1 −b 1 )−(a 2 2 −b 2 2 ), p r ) 6= p α thì phương trình (2.1.3) vô nghiệm.
Trường hợp 2 Nếu ((a 1 −b 1 )−(a 2 2 −b 2 2 ), p r ) = p α , đặt β = 2(a 2 −b 2 )/p α , γ = ((a 1 −b 1 )−(a 2 2 −b 2 2 ))/p α Khi đó x 2 = γ/β Thay vào (2.1.3) ta được p α nghiệm x 2 thỏa mãn phương trình (2.1.3) Hay nói cách khác, hai đỉnh a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) ∈ V(RS q ) thỏa mãn p α =(a 2 −b 2 , p r ) = ((a 1 − b 1 )−(a 2 2 −b 2 2 ), p r )thì có p α đỉnh chung.
Gọi Alà ma trận kề của đồ thị RS q , khi đó ta có:
Trong bài viết này, ta xem xét đồ thị E α với tập đỉnh trùng khớp với tập đỉnh của RS q Ma trận đơn vị I có kích thước 2r − p 2r − 1, trong khi ma trận J là ma trận vuông cấpp 2r − p 2r − 1 với tất cả các phần tử bằng một Hai đỉnh a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) trong V(RS q ) được kết nối với nhau bằng một cạnh nếu và chỉ nếu p α = (a 2 − b 2 , p r ) khác với ((a 1 − b 1 ) − (a 2 2 − b 2 2 ), p r) Khi cố định đỉnh a = (a 1 , a 2 ), đỉnh b = (b 1 , b 2 ) sẽ được nối với a nếu thỏa mãn điều kiện trên.
Đồ thị E α được xác định là một đồ thị chính quy với công thức (p r − α − p r − α − 1)(p r − p r − α + p r − α − 1) Đồ thị F α có tập đỉnh trùng với tập đỉnh của RS q Hai đỉnh a = (a 1, a 2) và b = (b 1, b 2) thuộc V(RS q) được kết nối với nhau bởi một cạnh nếu và chỉ nếu p α = (a 2 − b 2, p r) = ((a 1 − b 1) − (a 2^2 − b 2^2), p r) Khi cố định đỉnh a = (a 1, a 2), đỉnh b = (b 1, b 2) sẽ được nối với đỉnh a nếu thỏa mãn điều kiện trên.
Lập luận tương tự, ta cũng cóF α là một đồ thị(p r − α −p r − α − 1 ) 2 - chính quy.
DoRS là đồ thị chính quy (p r − p r − 1), với ma trận A có giá trị riêng λ = p r − p r − 1 và vectơ riêng tương ứng là 1 Gọi θ là một giá trị riêng khác của ma trận A, với θ 6= λ Nếu v θ là vectơ riêng ứng với giá trị riêng θ, thì v θ thuộc không gian trực giao 1 ⊥ λ.
(p α −1)F α )v θ Từ đó,v θ cũng là một vectơ riêng của ma trận− r ∑ − 1 α = 0
Từ đó ta thu đượcθ 2 < (2r−1)p 2r − 1 , suy ra điều phải chứng minh.
Đồ thị tổng - tích
Đồ thị tổng - tích trên trường hữu hạn
Đồ thị tổng - tích F P q (λ) được xác định với tập đỉnh là F q × F q Hai đỉnh a = (a 1, a 2) và b = (b 1, b 2) trong V(F P q (λ)) được nối với nhau bằng một cạnh {a, b} trong E(F P q (λ)) nếu và chỉ nếu 1 + b 1 + a 2 b 2 = λ Định lý 2.2.1 khẳng định rằng đồ thị F P q (λ) là một q², q, p.
Chứng minh rằng đồ thị F P q (λ) là đồ thị q-chính quy với q 2 đỉnh Để tìm giá trị riêng thứ hai của đồ thị tổng - tích F P q (λ), ta xét hệ phương trình với a = (a1, a2) và b = (b1, b2) thuộc V(F P q (λ)) Chúng ta cần đếm số nghiệm của hệ phương trình a1 + x1 + a2 x2 = b1 + x1 + b2 x2 = λ, trong đó x = (x1, x2) thuộc V(F P q (λ)).
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi x1 = λ - (a2*b1 - a1*b2) / (a2 - b2) và x2 = (b1 - a1) / (a2 - b2), với điều kiện a2 ≠ b2 Điều này có nghĩa là hai đỉnh khác nhau a = (a1, a2) và b = (b1, b2) chỉ có một đỉnh chung duy nhất khi a2 khác b2; ngược lại, nếu a2 = b2, thì không có đỉnh chung nào.
Gọi M là ma trận kề của đồ thịF P q ( λ ) Khi đó ta có:
M 2 = J + (q−1)I − E, trong đó J là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng một, I là ma trận đơn vị và E là ma trận kề của đồ thị S E Tập đỉnh V(S E) = F q × F q, với hai đỉnh a, b ∈ V(S E) được nối với nhau bởi một cạnh {a, b} ∈ V(S E) khi và chỉ khi b 2 = a 2 Do đó, S E là một đồ thị (q−1)- chính quy.
Đồ thị F P q (λ) là một đồ thị q-chính quy, do đó q là giá trị riêng của M với vectơ riêng tương ứng là 1 Đồ thị F P q (λ) liên thông, dẫn đến giá trị riêng q có bội một Tương tự như chứng minh của Định lý 2.1.1, nếu gọi θ là giá trị riêng khác của F P q, ta có θ² < 2q - 1, từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Chúng ta cũng định nghĩa đồ thị tổng - tích F q, d như sau: Tập đỉnh của đồ thị tổng - tích F q, d là tập F q × F d q Hai đỉnh U = (a, b) và V = (c, d) ∈
V(F q, d) được kết nối bởi cạnh {U, V} ∈ E(F q, d) nếu và chỉ nếu a + c = bãd Theo Vinh [59], Định lý 2.2.2 (theo Bổ đề 9.1) chỉ ra rằng Chod là một số tự nhiên lớn hơn 1, và đồ thị tổng - tích được hình thành từ điều kiện này.
Đồ thị tổng - tích trên vành hữu hạn
Đồ thị tổng - tích RP q trên vành hữu hạn có tập đỉnh là Z q × Z q Hai đỉnh a = (a 1 , a 2 ) và b = (b 1 , b 2 ) ∈ V(RP q ) được nối với nhau bởi cạnh {a, b} ∈ E(RP q ) khi và chỉ khi 1 + b 1 = a 2 b 2 Vinh [56] đã chứng minh rằng đồ thị RP q là một p 2r , p r , q 2rp 2r − 1.
Tương tự, đồ thị tổng - tích R q, d được định nghĩa như sau: Tập đỉnh của đồ thị tổng - tích R q, d là tập V(R q, d ) = Z q × Z d q Hai đỉnh U = (a, b) và
Với V = (c, d) ∈ V(R q, d), hai đỉnh V và U được nối với nhau bởi một cạnh {U, V} ∈ E(R q, d) khi và chỉ khi c + d = bãd Theo định lý 2.2.4, cho d là một số tự nhiên lớn hơn 1, đồ thị tổng - tích R q, d sẽ có cấu trúc q d + 1, q d, và q 2rp (2r - 1)d.
Chúng ta xem xét đồ thị R q, d, một đồ thị q d - chính quy với q d + 1 đỉnh Mục tiêu là tìm chặn trên cho giá trị riêng thứ hai của đồ thị này Để thực hiện điều này, chúng ta cần đếm số nghiệm của hệ phương trình a + u = bãv và c + u = dãv, với U = (a, b) và V = (c, d) thuộc V(R q, d) và W = (u, v) cũng thuộc V(R q, d) Mỗi nghiệm v của phương trình sẽ được phân tích để xác định giá trị riêng thứ hai.
Để giải phương trình (2.2.2), chúng ta cần xác định số nghiệm của nó Giả sử p α là ước lớn nhất của q, với điều kiện 0 ≤ α ≤ r, sao cho tất cả các tọa độ của b−d đều chia hết cho p α Nếu p α không chia hết cho a−c, thì phương trình (2.2.2) sẽ không có nghiệm Ngược lại, nếu p α chia hết cho a−c, ta đặt γ = a p − α c ∈ Z p r − α và x = b p − α d ∈ Z d p r − α Cuối cùng, chúng ta sẽ đếm số nghiệm v ∈ Z d p r − α của xãv = γ theo phương trình (2.2.3).
Để tìm số nghiệm của phương trình (2.2.3), ta cần xác định p α là ước lớn nhất của q, sao cho tất cả tọa độ của b−d chia hết cho p α và tồn tại chỉ số x j không là ước của p Với mỗi lựa chọn v k ∈ Z p r − α (k 6= j), sẽ có duy nhất một v j ∈ Z p r − α thỏa mãn phương trình (2.2.3), dẫn đến số nghiệm của nó là p (d − 1)(r − α) Khi thay mỗi nghiệm của phương trình (2.2.3) vào phương trình (2.2.2), ta có p d α nghiệm, và do đó, phương trình (2.2.2) sẽ có q d − 1 p α nghiệm nếu p α | a−c.
Với hai đỉnh bất kỳ U = (a, b) và V = (c, d) thuộc V(R q, d), ta xác định p α là ước lớn nhất của q, sao cho tất cả các tọa độ của b−d đều chia hết cho p α Khi đó, U và V sẽ có q d − 1 p α đỉnh chung nếu p α chia hết cho a−c, ngược lại, sẽ không có đỉnh chung.
Giả sử Alà ma trận kề củaR q, d Khi đó ta có:
(q d − 1 p α −q d − 1 )F α , (2.2.4) trong đó J là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng một, I là ma trận đơn vị,
E α là ma trận kề của đồ thị B E, α Hai đỉnh bất kìU = (a, b) vàV = (c, d) ∈
V(R q, d), {U, V} là một cạnh của B E, α khi p α là ước lớn nhất của q, với điều kiện tất cả các tọa độ của b−d chia hết cho p α, trong khi c−a không chia hết cho p α F α đại diện cho ma trận kề của đồ thị B F, α, với hai đỉnh bất kỳ U = (a, b).
Với V = (c, d) ∈ V(R q, d ), {U, V} là một cạnh của B F, α khi và chỉ khi p α là ước lớn nhất của q sao cho tất cả các tọa độ của b−d chia hết cho p α và c−a cũng chia hết cho p α Khi α > 0, B E,α là đồ thị chính quy với bậc của mỗi đỉnh nhỏ hơn p (r − α) d, trong khi B F, α là đồ thị chính quy với bậc của mỗi đỉnh nhỏ hơn p (r − α)(d + 1) Do đó, tất cả các giá trị riêng của E α bị chặn bởi p (r − α) d và tất cả các giá trị riêng của F α bị chặn bởi p (r − α)(d + 1) E 0 là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không.
Đồ thị R q, d là một đồ thị q d - chính quy, trong đó q d là giá trị riêng của ma trận A với vectơ riêng tương ứng là 1 Do đồ thị R q, d liên thông, nên q d có bội một.
Bờn cạnh đú, chọn b, d ∈ Z d q sao cho bãd = 2a 6= 0 khi đú R q, d có chứa tam giác với ba đỉnh là (−a, 0), (a, b) và (a, d), điều này chứng tỏ đồ thị R q, d không phải là đồ thị hai phần Gọi θ là giá trị riêng khác q d của A, ta có | θ | < q d Giả sử v θ là vectơ riêng ứng với giá trị riêng θ, thì v θ ∈ 1 ⊥, dẫn đến J v θ = 0 Từ đó, ta có thể rút ra được kết quả từ (2.2.4).
Do đó, v θ là một vectơ riêng của q d − 1 ∑0 ≤ α < rE α +∑ 0 < α < r (q d − 1 p α −q d − 1 )F α Suy ra θ 2 ≤ q d −q d − 1 +q d − 1 ∑
0 < α < r p − rd 1), nếu A là một nhóm con cộng của F q, thì cần thêm điều kiện |A| ≥ q 1/2 + 1.
Hệ quả 3.3.3 ([7, Hệ quả 1]) Với A ⊂ F q thỏa mãn |A| ≥ q 1 2 Nếu Alà một nhóm con cộng của F q thỏa mãn |A| ≥ q 1 2 +1 Khi đó, ta có:
Sử dụng phương pháp phổ của đồ thị và Hệ quả 3.3.3, chúng tôi đã đạt được kết quả liên quan đến tập thể tích khối Định lí 3.3.4 cho biết rằng với A ⊂ F q thỏa mãn điều kiện |A| &q 1 2, có thể rút ra những kết luận quan trọng.
Trong trường hợp đặc biệt, từ Định lí 3.3.4 dẫn đến nếu A ⊂ F q thỏa mãn
Với A ⊂ Z q, chúng ta định nghĩa tập thể tích khối tương tự như trên trường hữu hạn Bằng phương pháp phổ của đồ thị cho đồ thị tích - tổng trên vành hữu hạn, chúng ta cũng đạt được kết quả tương tự cho tập thể tích khối trên vành hữu hạn Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được kết quả sau: Định lý 3.3.5 ([32, Định lý 1.5]) Với A ⊂ Z q thỏa mãn |A| & q 1 − 2r 1, ta có:
Bằng cách áp dụng phương pháp phổ của đồ thị và Định lý 3.3.4, chúng tôi đã nâng cao kết quả của Định lý 3.3.2 Cụ thể, theo Định lý 3.3.6 ([32, Định lý 1.6]), với A ⊂ F_q thỏa mãn điều kiện |A| ≥ q^(1/2 + 2/3 * 2^(1/k)) trong đó k > 1, chúng tôi đã đạt được những kết quả đáng kể.
V 2k + 1 (A) = F q Chúng tôi [32] cũng có kết quả tương tự trên vành hữu hạn. Định lí 3.3.7 ([32, Định lí 1.7]) Với A ⊂ Z q thỏa mãn
Một số kết quả cần dùng
Để chứng minh Định lí 3.3.7, chúng ta cần một số kết quả sau:
Bổ đề 3.3.8 Với A, B ⊂ Z q thỏa mãn |A||B| >q 2 − 1 r , ta có:
Chứng minh Với x ∈ Z × q bất kì, xét tập A−xB ⊂ Z q Do |A−xB| ≤ p r
|M| = p r − 1 , nên tồn tại i o ,j o sao cho a i o −a j o ∈ Z × q , suy ra x = b a io − b jo io − a jo ∈
A − A ( B − B )\ Z 0 q,dẫn tới điều phải chứng minh.
Bổ đề dưới đây được gọi là Bất đẳng thức tam giác Ruzsa, đây là một kết quả rất quan trọng trong tổ hợp.
Bổ đề 3.3.9 ([47]) ChoU, V, W là các tập con hữu hạn của nhómGbất kì Khi đó, ta có:
Từ Bổ đề 3.3.8 và Bổ đề 3.3.9 chúng ta thu được được kết quả sau trên vành hữu hạn:
Bổ đề 3.3.10 Với A ⊂ Z q thỏa mãn |A| ≥ q 1 − 2r 1 Khi đó, ta có:
Chứng minh ĐặtU =V = (A−A)\ Z 0 q vàW = V n Áp dụng Bổ đề 3.3.9 với
Từ Bổ đề 3.3.8, nếu |A| > p r − 1 2 thì Z × q ⊂ A − A
( A − A )\ Z 0 q Vì Z × q là tập các phần tử khả nghịch của Z q nên suy ra Z × q ⊂ ( A − A )\ Z 0 q
( A − A )\ Z 0 q Từ đó, ta có |UV − 1 | ≥ p r −p r − 1 , kéo theo
Sử dụng phương pháp quy nạp ta thu được:
Mặt khác, dễ thấy|V| =|(A−A)\ Z 0 q | > p r − 1 2 −p r − 1 , vì thế
|V n (A)| ≥ |V n |& q 1 − r2 1 n , ta có điều phải chứng minh.
Sử dụng phương pháp phổ của đồ thị, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 3.3.11 VớiA, B ⊂ F ∗ q vàC, D ⊂ F q thỏa mãn|A||B||C||D| ≥3q 3 Khi đó, ta có:
Chứng minh rằng H = {(a, b, c, d) ∈ A×B×C×D : ab(c−d) = λ } với λ ∈ F ∗ q bất kỳ Đồng thời, số lượng |H| đại diện cho số cạnh giữa hai tập đỉnh A×C và B×D trong đồ thị tích - tổng P S q (λ) Dựa vào Bổ đề 1.3.1 và Định lý 2.3.1, chúng ta có những kết quả quan trọng.
|H| ≥ |A||B||C||D| q −q3q|A||B||C||D|. Nếu|A||B||C||D| >3q 3 khi đó |H| >0,từ đó suy ra
AB(C−D) = F q , đây là điều phải chứng minh.
Tương tự, chúng ta cũng chứng minh được bổ đề sau trên vành hữu hạn:
Bổ đề 3.3.12 Với A, B ⊂ Z × q và C, D ⊂ Z q thỏa mãn |A||B||C||D| ≥ 2rq 4 − 1 r
Chúng ta định nghĩa H = {(a, b, c, d) ∈ A×B×C×D : ab(c−d) = λ}, với λ ∈ Z × q tùy ý Số lượng phần tử |H| đại diện cho số cạnh giữa hai tập đỉnh A×C và B×D trong đồ thị tích - tổng P S R q Dựa vào Bổ đề 1.3.1 và Định lý 2.3.2, chúng ta có những kết quả quan trọng liên quan đến cấu trúc của đồ thị này.
|H| ≥ |A||B||C||D| p r −q2rp 2r − 1 |A||B||C||D|. Nếu|A||B||C||D| >2rp 4r − 1 , khi đó|H| >0,từ đó suy ra
Z × q ⊂ AB(C−D),điều phải chứng minh.
Đánh giá tập thể tích khối trên trường hữu hạn 49
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh Định lí 3.3.4 và Định lí 3.3.6 bằng phương pháp phổ của đồ thị Trước hết, ta sẽ chứng minh Định lí 3.3.4.
Chứng minh Với A ⊂ F ∗ q vàB, C ⊂ F q , ta đặt
Giả sửN là số nghiệm của phương trìnhad(b−c) = 1,(a, b, c, d) ∈ A×B×
Với mỗi a thuộc A, b thuộc B, c thuộc C và b khác c, tồn tại duy nhất một d thuộc D thỏa mãn phương trình ad(b−c) = 1, do đó N = |A||B||C| − |A||B∩C| Hơn nữa, N đại diện cho số cạnh giữa hai tập đỉnh A×B và D − 1 ×(−C) trong đồ thị tích - tổng P S q Dựa vào Bổ đề 1.3.1 và Định lý 2.3.1, ta có thể rút ra kết luận quan trọng.
Thay A =V n − 1 (A), B =C = Avà từ Hệ quả 3.3.3, ta có:
Tiếp theo, chúng ta chứng minh Định lí 3.3.6 Chúng ta sẽ tìm điều kiện cho tập Ađể tập thể tích khối chiếm toàn bộ không gianF q.
Chứng minh Áp dụng Bổ đề 3.3.11 với A = V k (A), B = V k (A), C = D = A và sử dụng kết quả của Định lí 3.3.4 ta có, nếu|A| ≥ cq
Đánh giá tập thể tích khối trên vành hữu hạn
Trong phần này, chúng ta áp dụng phương pháp phổ của đồ thị để chứng minh Định lý 3.3.5 và Định lý 3.3.7, với các kỹ thuật tương tự như trong chứng minh Định lý 3.3.4 và Định lý 3.3.6 Trước tiên, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh Định lý 3.3.5.
Chứng minh Với A ⊂ Z × q vàB,C ⊂ Z q , ta đặt
Giả sửN là số nghiệm của phương trìnhad(b−c) = 1,(a, b, c, d) ∈ A×B×
C×D − 1 Với mỗi a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C và b−c ∈/ Z 0 q thì có duy nhất một d ∈ D thỏa mãn phương trình trên nên số nghiệm của phương trình trên là:
Mặt khác,Nlà số cạnh giữa hai tập đỉnh A×B và D − 1 ×(−C)của đồ thị tích
- tổngP S R q Từ Bổ đề 1.3.1 và Bổ đề 2.3.2, ta có:
≤ q2rp 2r − 1 |A||B||C||D|, tương đương với p|A||B||C||D| p r + q 2rp 2r − 1 |D| −q|A||B||C|+ s |A|
Thay A = V n − 1 (A), B = C = A và sử dụng kết quả của Bổ đề 3.3.10 ta thu được:
Chúng ta sẽ chứng minh Định lý 3.3.7 bằng cách xác định điều kiện cho tập A nhằm đảm bảo rằng thể tích khối của nó bao trùm toàn bộ các phần tử khả nghịch trong vành hữu hạn Z_q.
Chứng minh Áp dụng Bổ đề 3.3.12 với A = V k (A), B = V k (A), C = D = A và sử dụng kết quả của Định lí 3.3.5, ta có nếu|A| ≥ c√
Z × q ⊂ V 2k + 1 (A),đây là điều phải chứng minh.
Tập tổng - tỉ số
Giới thiệu tổng quan về bài toán tổng - tỉ số
Với A ⊂ F ∗ q , tập tỉ số được định nghĩa như sau:
Khi thay tập tích AA bằng tập tỉ số A : A, Roche - Newton đã áp dụng bất đẳng thức tam giác Ruzsa để đạt được những kết quả quan trọng Cụ thể, định lý 3.4.1 chỉ ra rằng nếu A là tập con của F q và thỏa mãn một số điều kiện nhất định, thì sẽ có các hệ quả đáng chú ý liên quan đến tập hợp này.
8 } vớiG là một trường con của F q vàc ∈ F q Khi đó ta có:
Dẫn đến max{|A+A|,|A : A|} &|A| 12/11 Định lí 3.4.2 ([5, Định lí 4.1]) Giả sử A ⊂ F q thỏa mãn
8 } vớiG là trường con của F q vàc ∈ F q Khi đó ta có:
Trong chương này, chúng tôi áp dụng phương pháp phổ của đồ thị để đánh giá lực lượng của tập tổng - tỉ số cho trường hợp tập A có kích thước lớn Cụ thể, chúng tôi đưa ra định lí 3.4.3, trong đó cho A, B, C thuộc F q và 0 không thuộc B, ta có những kết quả quan trọng liên quan đến mối quan hệ giữa các tập này.
Thay BbằngA − 1 và thayC bằngAta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 3.4.4 Với A ⊂ F ∗ q , ta có:
Từ Hệ quả 3.4.4, ta có:
Tương tự như trên trường hữu hạn, chúng ta định nghĩa tập tỉ số cho A ⊂ Z × q Bằng phương pháp phổ của đồ thị, chúng tôi đã đạt được kết quả tương tự cho tập tổng - tỉ số trên vành hữu hạn Định lý 3.4.5 chỉ ra rằng với A, C ⊂ Z q và B ⊂ Z × q, các mối quan hệ giữa các tập này có thể được xác định rõ ràng.
Thay BbằngA − 1 và thayC bằngAchúng ta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 3.4.6 Với A ⊂ Z × q , ta có:
Đánh giá tổng - tỉ số trên trường hữu hạn
Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phổ của đồ thị để chứng minh Định lí 3.4.3.
Chứng minh Giả sửN là số nghiệm của phương trình s 1 ãb − 1 1 +s 2 ãb − 2 1 + .+s d ãb − d 1 +c = t, (s i , b j , c, t) ∈ SìBìCìT, với
Ta có N ≥ |A| d |B| d |C| Mặt khác, N là số cạnh giữa hai tập đỉnh U = C×
B − 1 × .×B − 1 vàV = (−T)×S× .×Scủa đồ thị tổng - tíchF q, d Từ Bổ đề 1.3.1 và Định lí 2.2.2, ta có:
) , suy ra điều phải chứng minh.
Đánh giá tổng - tỉ số trên vành hữu hạn
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh Định lí 3.4.5, chúng ta mở rộng kết quả về tập tổng - tỉ số trên vành hữu hạn.
Chứng minh Đặt Nlà số nghiệm của phương trình s 1 ãb − 1 1 +s 2 ãb − 2 1 + .+s d ãb − d 1 +c = t, (s i , b j , c, t) ∈ SìBìCìT, vớiS = AãB, T = A+A+ .+A+C.
Dễ thấy N ≥ |A| d |B| d |C| Ngoài ra, N là số cạnh giữa hai tập đỉnh U C×B − 1 × .×B − 1 vàV = (−T)×S× .×Scủa đồ thị tổng - tíchR q, d Từ
Bổ đề 1.3.1 và Định lí 2.2.4, ta có:
Tương tự chứng minh của Định lí 3.4.3 ta suy ra điều cần chứng minh.
Hàm nở hai biến
Giới thiệu tổng quan về hàm nở hai biến
Trong nhiều trường hợp, khi một hàm số bao gồm cả phép cộng và phép nhân, tập ảnh của hàm số đó thường có tính giãn nở mạnh Do đó, việc tìm kiếm các lớp hàm nở hai biến trở nên khó khăn hơn so với các hàm nở nhiều biến Garaev và Shen đã chứng minh rằng hàm f = x(y+1) là một hàm nở hai biến với x, y thuộc A và tập A có kích thước lớn Cụ thể, định lý 3.5.1 nêu rõ rằng với A ⊂ F ∗ p, chúng ta có một kết quả quan trọng.
Theo Định lý 3.5.1, hàm f = x(y+1) là một hàm nở hai biến với x, y thuộc A và |A| ≥ p 1/2 Bằng cách áp dụng bất đẳng thức tam giác Ruzsa, Timothy, Jones và Roche - Newton đã chứng minh rằng f = x(y+1) vẫn là một hàm nở hai biến khi x, y thuộc A và |A| < p 1/2 Định lý 3.5.2 ([52, Định lý 1]) chỉ ra rằng đối với tập A ⊂ F q thỏa mãn |A| < p 1/2, các tính chất nở của hàm này vẫn được duy trì.
Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp phổ của đồ thị và đạt được kết quả tương tự cho trường hợp tập A có kích thước lớn Cụ thể, chúng tôi đưa ra định lý sau: Định lý 3.5.3 Với A ⊂ F q \ {0, q−1}, ta có:
Sử dụng phương pháp phổ của đồ thị cho đồ thị tích trên vành hữu hạn
Z q, chúng ta cũng thu được kết quả tương tự. Định lí 3.5.4 Với A ⊂ Z q \ {pZ p r − 1 , pZ p r − 1−1}, ta có:
Bằng các kĩ thuật tương tự, chúng tôi đã chứng minh rằng g = x+y² là một hàm nở hai biến trên trường và vành hữu hạn với x, y thuộc A và |A| = q^(1/2) Cụ thể, định lý 3.5.5 chỉ ra rằng với A ⊂ F_q, các kết quả trên được áp dụng.
, trong đó A 2 = {a 2 : a ∈ A} Kết quả tương tự trên vành hữu hạn. Định lí 3.5.6 Với A ⊂ Z q thỏa mãn |A|& q 1 2 , khi đó ta có:
Hàm nở f = x ( y + 1 )
Hàm nở f =x(y+1) trên trường hữu hạn
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Định lí 3.5.3 Chúng ta chứng minh f x(y+1)là một hàm nở hai biến vớix, y ∈ A và|A| q 1/2
Chứng minh Giả sửN là số nghiệm của phương trình
Ta có N ≥ |A||B||C| Ngoài ra, N là số cạnh giữa hai tập đỉnh C − 1 ×B − 1 và
T×(−S)của đồ thị TíchB q, 2 (1) Từ Bổ đề 1.3.1 và Định lí 2.4.1, ta có:
|A||B||C| ≤ N ≤ |S||B||C||T| q−1/q + q q|S||B||C||T|< |S||B||C||T| q−1 + q q|S||B||C||T|. Đặtt = p|S||T| ≥0, ta được: p|B||C| q−1 t 2 +√ qt− |A|q|B||C| ≥ 0, suy ra q
ThayCvà Dbằng A, ta suy ra điều phải chứng minh.
Hàm nở f =x(y+ 1 ) trên vành hữu hạn
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Định lí 3.5.5.
Chứng minh Giả sửN là số nghiệm của phương trình
Ta có N ≥ |A||B||C| Mặt khác, N là số cạnh giữa hai tập đỉnhC − 1 ×B − 1 và
T×(−S)của đồ thị TíchB q (2, 1) Từ Bổ đề 1.3.1 và Định lí 2.4.2, ta có:
|A||B||C| ≤ N ≤ |S||B||C||T| p r (1−1/p 2 ) + q 2rp 2r − 1 |S||B||C||T|, điều này kéo theo
ThayCvà Dbằng A, suy ra điều phải chứng minh.
Hàm nở g = x + y 2
Hàm nở g= x+y 2 trên trường hữu hạn
Chứng minh Đặt Nlà số nghiệm của phương trình
Dễ thấy N ≥ |A||B||C|/2 Ngoài ra, N là số cạnh giữa hai tập đỉnh (−C)× (−B) và T×S của đồ thị tổng - bình phươngF S q Từ Bổ đề 1.3.1 và Định lí
≤ q 2p 2r − 1 |S||B 2 ||C||T|. Biến đổi tương tự phần trước, ta được: q
ThayBvàC bằngA, suy ra điều phải chứng minh.
Hàm nở g= x+y 2 trên vành hữu hạn
Chứng minh Đặt Nlà số nghiệm của phương trình
Dễ thấy N ≥ |A||B||C|/2 Ngoài ra, N là số cạnh giữa hai tập đỉnh (−C)× (−B) và T×Scủa đồ thị tổng - bình phương S R q Từ Bổ đề 1.3.1 và Định lí
Biến đổi tương tự phần trước, ta được: q
ThayBvàC bằngA, suy ra điều phải chứng minh.
Chương 4 Tập khoảng cách trên đa tạp chính quy
Giới thiệu tổng quan về bài toán tập khoảng cách trên đa tạp chính quy
Trong chương này của Luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán khoảng cách tổng quát trong trường hợpE là một tập con của một đa tạp chính quy.
Bắt đầu với định nghĩa về hàm đặc trưng, ký hiệu 1_E là hàm đặc trưng của tập E trong không gian F^d_q Một đa thức F(x) thuộc F_q[x_1, , x_d] xác định một đa tạp V = {x ∈ F^d_q : F(x) = 0} Đa tạp này được gọi là chính quy nếu kích thước của nó |V| thỏa mãn điều kiện Θ(q^(d - 1)) và 1/V(m) = q^(-(d + 1)/2) cho mọi m ∈ F^d_q \ {0}.
Chúng ta có một số ví dụ về đa tạp chính quy:
1 Hình cầu với bán kính khác0:
3 Hình cầu được định nghĩa "khoảng cách Minkowski" với bán kính khác 0:
Năm 2007, Iosevich và Rudnev đã sử dụng biến đổi Fourier để đạt được kết quả đầu tiên về tập khoảng cách trên hình cầu đơn vị trong trường hữu hạn F d q Cụ thể, họ đã chứng minh Định lý 4.1.1 rằng cho E ⊂ S 1 trong F d q với d ≥ 3.
1 Nếu|E | ≥ Cq d 2 với hằng sốCđủ lớn, khi đó tồn tạic >0sao cho|∆(E)| ≥ cq.
2 Nếu dlà một số chẵn và|E | ≥ Cq d 2 với hằng sốCđủ lớn, khi đó∆(E) = F q
3 Nếudlà một số chẵn, tồn tạic >0vàE ⊂ S 1 sao cho|E | ≥ cq d 2 và∆(E) 6= F q
4 Nếudlà một số lẻ và|E | ≥ Cq d + 2 1 với hằng sốC > 0đủ lớn, khi đó∆(E) = F q
5 Nếu dlà số lẻ, tồn tạic >0 và E ⊂ S 1 sao cho |E | ≥ cq d + 2 1 và ∆(E) 6= F q ChoV ⊂ F d q vàE ∈ V Chúng ta nhắc lại định nghĩa tập ∆ k, D (E)
Covert, Koh và Pi đã đưa ra kết quả tổng quát cho Định lý 4.1.1, trả lời câu hỏi về kích thước cần thiết của tập con E trong đa tạp chính quy V để thỏa mãn điều kiện ∆ k, D (E) = F q hoặc |∆ k, D (E)| & q Ý tưởng chính trong chứng minh Định lý 4.1.1 là sử dụng bài toán khoảng cách để đánh giá tập tích, với khoảng cách giữa hai điểm x và y thuộc S 1 được xác định là 2−2xãy, trong đó xãy = x1y1 + + xdy d.
|∆(E)| =|Π 2 (E)|= |{ x ã y : x, y ∈ E }| (4.1.2) Trong trường hợpk ≥3vàE ⊂ S 1 , dễ thấy
) , với a i j =1nếui < j và0trong trường hợp ngược lại,b i j = 1nếu i =1và−1 trong trường hợp ngược lại.
Việc đánh giá tập |Π k (E)| khi k ≥ 3 gặp nhiều khó khăn, đặc biệt khi thay thế hình cầu đơn vị S 1 bằng một đa tạp chính quy tổng quát V Điều này dẫn đến việc không đảm bảo dấu bằng trong phương trình (4.1.2), khiến cho việc áp dụng chứng minh của Định lý 4.1.1 để đánh giá lực lượng cho tập ∆ k, D (E) trở nên không khả thi.
Covert, Koh và Pi [18] đã sử dụng biến đổi Fourier để cải thiện điều kiện của E trong Định lý 4.1.1 đối với ∆k, D(E) = F q với k ≥ 3 Họ đã chứng minh Định lý 4.1.2 ([18, Định lý 2.2]) rằng nếu V ⊂ F d q là một đa tạp chính quy và k ≥ 3 là một số nguyên, thì với E ⊂ V thỏa mãn |E| & q d − 2 1 + k − 1 1, ta có kết quả mong muốn.
Theo Định lý 4.1.1, đối với tập E ⊂ S1, số mũ của nó lớn hơn hoặc bằng d/2 khi d là số chẵn với d ≥ 4, và lớn hơn hoặc bằng (d+1)/2 khi d là số lẻ với d ≥ 3 Bên cạnh đó, từ Định lý 4.1.2, có thể giảm số mũ d/2 xuống còn d - 2 + (1/k) với k ≥ 3 và trong trường hợp đa tạp chính quy.
Bằng cách áp dụng phương pháp phổ của đồ thị, chúng tôi đã đạt được những kết quả tổng quát, cụ thể là Định lý 4.1.3 Theo định lý này, nếu Q là một dạng toàn phương không suy biến trên F d q và V ⊂ F d q là một đa tạp chính quy với k ≥ 3 là một số nguyên, thì các điều kiện và kết quả liên quan sẽ được khảo sát chi tiết.
E ⊂ V thỏa mãn q d − 2 1 + k − 1 1 = o(|E |), khi đó vớit ∈ F ∗ q bất kì, ta có: n(x 1 , , x k ) ∈ E k : Q(x 1 +ã ã ã+x k ) = to
Hệ quả 4.1.4 ([33, Hệ quả 1.5]) Cho Q là một dạng toàn phương không suy biến trên F d q Giả sử V ⊂ F d q là một đa tạp chính quy và k ≥ 3 là một số nguyên Với
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu về đa thức P(x) = ∑ d j = 1 a j x s j, với s ≥ 2 và a j ≠ 0 cho mọi j = 1, , d trong F q[x 1, , x d] Chúng tôi đã chứng minh được một kết quả tổng quát cho tập ∆ k, D (E) khi thay hàm D bằng đa thức P(x) Cụ thể, theo Định lý 4.1.5, giả sử V ⊂ F d q là một đa tạp chính quy và k ≥ 3 là một số nguyên Nếu E ⊂ V và X ⊂ F q thỏa mãn điều kiện |X||E| 2k − 2 & q (d − 1)(k − 1) + 2, thì kết quả đưa ra sẽ được áp dụng.
Hệ quả 4.1.6 ([33, Hệ quả 1.7]) Giả sử V ⊂ F d q là một đa tạp chính quy vàk ≥ 3 là một số nguyên VớiE ⊂ V thỏa mãn|E | &q d − 2 1 + k − 1 1 , ta có:
Đánh giá cho dạng toàn phương không suy biến
Cho H là một nhóm cộng Abel hữu hạn và S ⊂ H Đồ thị Cayley C_S được định nghĩa với tập đỉnh là H, trong đó có một cạnh giữa hai đỉnh x và y nếu và chỉ nếu y - x ∈ S Mỗi đỉnh của C_S có bậc đi ra là |S| Với α ∈ H, hàm đặc trưng χ_α của H cho phép tính ∑_{s ∈ S} χ_α(s), là giá trị riêng của C_S với vectơ riêng tương ứng là (χ_α(x)) với x ∈ H.
Chúng ta định nghĩa đồ thị CayleyC V như sau: Tập đỉnh H = F d q vàS = V vớiV là một đa tạp chính quy Tập cạnh của đồ thịC V là
E(C V ) = {(x, y)∈ F d q × F d q : y−x∈ V }. Với hai đỉnhxvàybất kì của đồ thịH, ta có:
Đồ thị Cayley C V là một đồ thị chuẩn tắc, với các tính chất (n, d, λ) được nghiên cứu trong định lý 4.2.1 Theo định lý này, đồ thị C V có dạng (q d, |V|, cq (d − 1)/2) với hằng số c > 0.
Đồ thị C V có đặc điểm rõ ràng với mỗi đỉnh, bậc đi vào và bậc đi ra đều bằng |V| Điều này cho thấy sự đồng nhất trong cấu trúc của đồ thị Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành đánh giá giá trị riêng của đồ thị này.
C V Do C V là đồ thị Cayley nên ma trận kề củaC V có vectơ riêng là χ m ( x ) = χ ( x ã m ), (4.2.1) vớix,m ∈ F d q , ứng với giá trị riêng λ m = ∑ x ∈V χ m (x)
q ( d − 1 ) /2 , khim 6= 0 Nếu m = 0thìλ 0 = |V |là giá trị riêng lớn nhất của C V Như vậy,
C V là một đồ thị(q d , |V |, cq ( d − 1 ) /2 )với clà hằng số. Để chứng minh Định lí 4.1.3, chúng ta cần lưu ý sau:
Với số tự nhiên chẵn k = 2m ≥ 2và E ⊂ F d q , chúng ta định nghĩa Λ k (E) như sau: Λ k (E) = n( x 1 , , x k ) ∈ E k : x 1 +ã ã ã+ x m = x m + 1 +ã ã ã+ x k o
. VớiE ⊂ F d q , chúng ta định nghĩa ν k (t) = n(x 1 , , x k ) ∈ E k : Q(x 1 +ã ã ã+x k ) = to
Chúng ta sẽ đánh giá độ lớn củaν k (t)trong các bổ đề sau:
Bổ đề 4.2.2 VớiE ⊂ F d q vàk≥ 2là số chẵn, ta có: ν k (t)−(1+o(1))|E | k q
Chứng minh Giả sử k = 2m Cho A và B là các đa tập với các phần tử thuộc
F d q được định nghĩa như sau:
Mặt khác, ν k (t) là số cạnh giữa hai tập đỉnh A và B trong đồ thị E q (d, Q, t) nên từ Bổ đề 1.3.2 và Định lí 2.5.1 ta có: ν k (t)− (1+o(1)q d − 1 )|A||B| q d
≤2q ( d − 1 ) /2 r a ∑ ∈A m A (a) 2 r ∑ b ∈B m B (b) 2 Điều này tương đương với ν k (t)−(1+o(1))|A||B| q
Do|A||B|= |E | k , ta có điều phải chứng minh.
Tương tự, ta có kết quả cho trường hợpklà số lẻ.
Bổ đề 4.2.3 VớiE ⊂ F d q vàk≥ 3là số lẻ, ta có: ν k (t)−(1+o(1))|E | k q
Chứng minh Giả sử k = 2m+1 Cho A và B là các đa tập với các phần tử thuộcF d q được định nghĩa như sau:
Từ đó ta có: a ∑ ∈A m A ( a ) 2 = Λ k − 1 (E), ∑ b ∈B m B ( b ) 2 =Λ k + 1 (E).Mặt khác, ν k (t) là số cạnh giữa hai tập đỉnh A và B trong đồ thị E q (d, Q, t) nên từ Bổ đề 1.3.2 và Định lí 2.5.1, ta có: ν k (t)− (1+o(1)q d − 1 )|A||B| q d
≤2q ( d − 1 ) /2 r a ∑ ∈A m A (a) 2 r ∑ b ∈B m B (b) 2 Điều này tương đương với ν k (t)−(1+o(1))|A||B| q
Do|A||B|= |E | k , ta có điều phải chứng minh.
Từ Bổ đề 4.2.2 và Bổ đề 4.2.3, ta có định lí sau: Định lí 4.2.4 VớiE ⊂ F d q , ta có:
1 Nếu q d + 2 1 Λk(E) = o(|E | k )vàklà số chẵn, khi đó n (x 1 , , x k ) ∈ E k : Q(x 1 +ã ã ã+x k ) = to
2 Nếu q d + 2 1 (Λ k − 1 (E)) 1/2 (Λ k + 1 (E)) 1/2 = o(|E | k )vàklà số lẻ, khi đó n (x 1 , , x k ) ∈ E k : Q(x 1 +ã ã ã+x k ) = to
Từ Định lí 4.2.4, dễ thấy để chứng minh Định lí 4.1.3, chúng ta cần đánh giá độ lớn củaΛ k (E).
Bổ đề 4.2.5 Cho một đa tạp chính quyV ⊂ F d q Nếu k≥ 4 là số chẵn vàE ⊂ V Ta có: Λ k (E) |E | k − 1 q +q ( d − 1 ) /2 (Λ k − 2 (E)) 1/2 (Λ k (E)) 1/2
Chứng minh DoE là tập con củaV nên ta có đánh giá sau: Λ k (E) ≤ ∑ x 1 , , x k − 1 ∈E
Chúng ta định nghĩa hai đa tậpAvàB như sau:
Mặt khỏc,∑ x 1 , , x k − 1 ∈E 1 V (x 1 +ã ã ã+x k/2 − x k/2 + 1 − ã ã ã − x k − 1 )bằng số cạnh giữa hai tập đỉnh A và B của đồ thị CayleyC V nên từ Bổ đề 1.3.4 và Định lí 4.2.1 ta có:
.q ( d − 1 ) /2 (Λ k − 2 (E)) 1/2 (Λ k (E)) 1/2 Điều này tương đương với
N |V ||E | k − 1 q d +q ( d − 1 ) /2 (Λ k − 2 (E)) 1/2 (Λ k (E)) 1/2 Theo định nghĩa đa tạp chính quy ta có|V | = Θ(q d − 1 ) Từ đó ta có:
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
ChoE ⊂ V vàk ≥4là số chẵn, từ Bổ đề 4.2.5 ta có: Λ k (E) |E | k − 1 q +q ( d − 1 ) /2 (Λ k − 2 (E)) 1/2 (Λ k (E)) 1/2
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta thu được đánh giá cho tập Λ k (E)như sau: Λ k (E) q ( d − 1 )( 2 k − 2 ) Λ2(E) + |E | k − 1 q
, (4.2.2) trong đóE ⊂ V vàk ≥4là một số chẵn.
Giả sử|E |> q ( d − 1 ) /2 , từ Bất đẳng thức (4.2.2) ta có định lí sau: Định lí 4.2.6 Với E là một tập con của đa tạp chính quy V trong F d q thỏa mãn
2 Nếu k≥ 3lẻ, ta có: Λ k − 1(E)Λ k + 1 (E) q ( d − 1 )( k − 2 ) |E | 2 +q ( d − 1 )( k 2 − 3 )− 2 |E | k + 1 + |E | 2k − 2 q 2 Để ý rằng nếu kết hợp Bất đẳng thức (4.2.2) với điều kiệnΛ2(E) = |E |và q d − 1
Dựa vào bất đẳng thức đầu tiên trong Định lý 4.2.6, ta có thể suy ra bất đẳng thức thứ hai Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh Định lý 4.1.3.
Chứng minh Chúng ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu k ≥ 2 chẵn và q d − 2 1 + k − 1 1 = o(|E |) Khi đó, từ Định lí 4.2.6 suy ra q d + 2 1 Λ k (E) = o(|E | k ).
Trường hợp 2:Nếu k ≥ 3 lẻ vàq d − 2 1 + k − 1 1 = o(|E |) Khi đó, từ Định lí 4.2.6 suy ra q d + 2 1 (Λ k − 1 (E)) 1/2 (Λ k + 1 (E)) 1/2 =o(|E | k ).Kết hợp với Định lí 4.2.4, ta có điều phải chứng minh.
Đánh giá cho đa thức chéo P ( x ) = ∑ d
j = 1 a j x s j Để chứng minh Định lí 4.1.5, trước hết chúng ta cần xây dựng đồ thị Cayley như sau: Cho P(x) = ∑ d j = 1 a j x s j ∈ F q [x 1 , , x d ] trong đó s ≥ 2và a j 6= 0với mọi j = 1, , d Đặt
Chúng ta định nghĩa đồ thị Cayley C P 0 ( F 2d q + 1 ) như sau: Tập đỉnh H = F q ×
E(C P 0 ( F 2d q + 1 )) = ((x 0 , x), (y 0 , y)) ∈ H×H: y 0 −x 0 +P 0 ( y − x ) = 0 Đồ thịC P 0 ( F 2d q + 1 )đã được nghiên cứu trong [57] Cụ thể, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 4.3.1([57]) Cho dlà một số tự nhiên và d ≥1, khi đóC P 0 ( F 2d q + 1 )là một
Với E ⊂ F d q ,X ⊂ F q vàt ∈ F ∗ q , chúng ta định nghĩaν P, k (t)như sau: ν P, k (t) = {(a, x 1 , , x k )∈ Xì E k : a+P(x 1 +ã ã ã+x k ) = t} Để chứng minh Định lí 4.1.5, chúng ta cần các bổ đề sau:
Bổ đề 4.3.2 ChoE ⊂ F d q với klà một số chẵn và k≥ 2 Ta có: t ∑ ∈ F q ν P, k (t) 2 ≤ |E | 2k |X| 2 q +q d |X|Λ k (E) 2
Chứng minh ChoAvàB là các đa tập được định nghĩa như sau:
Mặt khác ∑t ∈ F q ν 2 P, k là số cạnh từ tập đỉnh A vào tập đỉnh B trong đồ thị
C P 0 ( F 2d q + 1 ) Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 và Định lí 4.3.1 suy ra t ∑ ∈ F q ν P, k (t) 2 ≤ |E | 2k |X| 2 q +q d |X|Λ k (E) 2 , từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng kĩ thuật tương tự, ta cũng có kết quả tương tự cho trường hợp k là một số lẻ vàk ≥3.
Bổ đề 4.3.3 ChoE ⊂ F d q vớiklà một số lẻ vàk≥ 3 Ta có: t ∑ ∈ F q ν P, k (t) 2 ≤ |E | 2k |X| 2 q +q d |X|Λ k − 1 (E)Λ k + 1 (E). Bây giờ chúng ta chứng minh Định lí 4.1.5.
Chứng minh Định lí 4.1.5 Từ chứng minh của Định lí2.6trong [57], ta có:
Do đó, từ Bổ đề 4.3.2 và Bổ đề 4.3.3, chúng ta xét hai trường hợp sau
Kết hợp với Định lí 4.2.6, chúng ta suy ra điều phải chứng minh.
Trong Luận án này, chúng tôi áp dụng phương pháp phổ của đồ thị để khám phá và phát triển lý thuyết tổ hợp cộng tính, từ đó đạt được một số kết quả mới và quan trọng.
Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng phương pháp phổ của đồ thị để nghiên cứu và nâng cao các kết quả liên quan đến tập khoảng cách, tập tích, tập thể tích khối, tập tổng - tỉ số, cũng như hàm nở hai biến trên trường và vành hữu hạn.
Luận án này đã trình bày một chứng minh ngắn gọn hơn so với chứng minh của Hart và Iosevich về tập khoảng cách và tập tích trên trường hữu hạn Bài viết cũng tìm kiếm các điều kiện cần thiết để xác định bậc lớn nhất có thể của tập khoảng cách và tập tích trong bối cảnh này.
Chúng tôi cải thiện kết quả của tập thể tích khối trên trường hữu hạn, xác định các điều kiện để đạt được bậc lớn nhất có thể cho tập thể tích khối, đồng thời mở rộng kết quả này trên vành hữu hạn.
– Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra kết quả tổng quát cho tập tổng - tỉ số trên trường và vành hữu hạn.
– Ngoài ra, chúng tôi xây dựng các hàm nở hai biến f = x(y+1) và g = x+y 2 trên trường và vành hữu hạn.
Trong Chương 4, chúng tôi áp dụng phương pháp phổ của đồ thị mở rộng để nghiên cứu và đưa ra các kết quả tổng quát cho tập khoảng cách trên đa tạp chính quy Nghiên cứu này thay thế hàm khoảng cách bằng dạng toàn phương không suy biến và đa thức chéo, góp phần làm rõ các khía cạnh quan trọng của vấn đề.
Các hướng nghiên cứu tiếp theo:
Cải thiện kết quả đã đạt được trong các trường hợp tổng quát là điều khó khăn, nhưng có thể thực hiện trong những trường hợp đặc biệt liên quan đến số chiều của không gian hoặc khi xem xét các tập hợp trên các mặt hình học như parabol, hyperbol, đường tròn và mặt cầu Ví dụ, vào năm 2007, Iosevich và Rudnev đã sử dụng biến đổi Fourier để cải thiện kết quả của tập khoảng cách trên hình cầu đơn vị, cụ thể là cho E ⊂ S 1 trong F d q với d ≥ 3.
1 Nếu |E | ≥ Cq d 2 với hằng số C đủ lớn, khi đó tồn tại c > 0 sao cho
2 Nếu d là một số chẵn và |E | ≥ Cq d 2 với hằng số C đủ lớn, khi đó
3 Nếu dlà một số chẵn, tồn tạic > 0vàE ⊂ S 1 sao cho|E | ≥ cq d 2 và
4 Nếud là một số lẻ và|E | ≥ Cq d + 2 1 với hằng sốC > 0đủ lớn, khi đó
5 Nếu d là số lẻ, tồn tại c > 0 và E ⊂ S 1 sao cho |E | ≥ cq d + 2 1 và
Trong Chương 4, chúng tôi đã khám phá bài toán khoảng cách trên đa tạp chính quy Nghiên cứu về các tập trên các mặt đặc biệt vẫn còn mới mẻ và mở ra nhiều hướng nghiên cứu thú vị Chúng tôi hy vọng sẽ đạt được nhiều kết quả khả quan hơn trong thời gian tới khi tiếp tục theo đuổi lĩnh vực này.
Nghiên cứu các bài toán tổ hợp cộng tính trên các tập nhỏ đã chỉ ra rằng phương pháp phổ của đồ thị, mặc dù đơn giản, chỉ cho kết quả có ý nghĩa khi áp dụng cho các tập lớn Cụ thể, phương pháp này chỉ hiệu quả khi tập A ⊂ F q (hoặc Z q) thỏa mãn điều kiện |A| & q 1/2 Gần đây, một số tác giả như Roche-Newton, Rudnev và Shkredov đã áp dụng liên thuộc điểm - đường thẳng và bất đẳng thức tam giác Ruzsa để nghiên cứu các bài toán tổ hợp cộng tính trên các tập nhỏ hơn Họ đã chứng minh rằng với A, B, C ∈ F và |A|= |B|= |C|= N p 2/3, có thể đạt được những kết quả đáng chú ý trong lĩnh vực này.
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số bài toán trên các tập bé nhằm thu được nhiều kết quả có ý nghĩa.
Ngoài phương pháp đồ thị, giải tích Fourier cũng được áp dụng phổ biến trong nghiên cứu Chúng tôi đã tiến hành những nghiên cứu ban đầu với phương pháp này và chứng minh rằng hàm f(x+y−1) là hàm nở hai biến trên trường và vành hữu hạn với x, y ∈ A.
Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu về giải tích Fourier trong thời gian tới, nhằm áp dụng phương pháp này để giải quyết một số bài toán tổ hợp cộng tính.
Công trình liên quan đến Luận án
• D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields,Journal of Number Theory,173(2017), 602 - 613.
• D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 - 792.
• D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces,Indi- ana University Mathematics Journal,65(2016), 2125 - 2136.
[1] E Aksoy Yazici, B Murphy, M Rudnev, and I Shkredov, Growth esti- mates in positive characteristic via collisions, International Mathematics Research Notices, 23(2017), 7148 - 7189.
[2] N Alon and Fan R K Chung,Explicit Constructions of linear sized tolerant networks, Discrete mathematics, 2(1988), 15 - 19.
[3] N Alon and M Krivelevich, Constructive bounds for a Ramsey-type problem,Graphs and Combinatorics,13 (1997), 217 - 225.
[4] N Alon and J H Spencer, The probabilistic method, 2nd ed., Willey- Interscience,2000.
[5] A Balog, K A Broughan, I E Shparlinski, Sum-products estimates with several sets and applications, Integers, 12 (5) (2010), 895 - 906.
[6] A Balog, A note on sum-product estimates, Publicationes Mathematicae, Debrecen, 79(3 - 4) (2011), 283 - 289.
[7] A Balog, Another Sum-Product Estimate in Finite Fields, Sovremennye Problemy Matematiki,16(2012), 31 - 37.
[8] E Bannai, O Shimabukuro and H Tanaka, Finite analogues of non- Euclidean spaces and Ramanujan graphs, European Journal of Combina- torics, 25(2004), 243 - 259.
[9] B Barak, R Impagliazzo, and A Wigderson, Extracting randomness us- ing few inde- pendent sources, SIAM Journal on Computing, 36 (2006),
[10] N Biggs, Algebraic Graph Theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, 1993.
[11] J Bourgain and S Konyagin Estimates for the number of sums and prod- ucts and for exponential sums over subgroups in fields of prime order,
Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,337(2) (2003), 75 - 80.
[12] J Bourgain, N Katz, and T Tao, A sum product estimate in finite fields and Applications,Geometric and Functional Analysis, 14 (2004), 27 - 57.
[13] J Bourgain, Mordell’s exponential sum estimate revisited, Journal of the AMS - American Mathematical Society,18(2) (2005), 477 - 499.
[14] J Bourgain, A Glibichuk, and S Konyagin Estimates for the number of sums and products for exponentials sums in fields of prime order,Journal of the London Mathematical Society,73(2006), 380 - 398.
[15] M Chang, Factorization in generalized arithmetic progressions and ap- plications to the Erdos - Szemerédi sum - product problems,˝ Geometric and Functional Analysis,13(2003), 720-736.
[16] D Covert, A Iosevich, and J Pakianathan, Geometric configurations in the ring of integers modulo p l , Indiana University Mathematics Journal, 61
[17] D Covert, D Koh, and Y Pi, On the sums of anykpoints in finite fields,
SIAM Journal on Discrete Mathematics,30(1) (2016), 367 - 382.
[18] D Covert, D Koh, Y Pi, The k-resultant modulus set problem on al- gebraic varieties over finite fields, Finite Fields and Their Applications, 48
[19] P Erd˝os and E Szemerédi, On sums and products of integers In Studies in pure mathematics, Birkh¨auser, Basel,(1983), 213 - 218.
[20] P Erd˝os, Integral distances, Bulletin of the AMS - American MathematicalSociety, 51(1945), 996.
[21] G Elekes and I Ruzsa, Few sums, many products, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica,40 (2003), 301 - 308.
[22] G Elekes, On the number of sums and products,Acta Arithmetica, 81(4)
[23] M Z Garaev and C.-Y Shen, On the size of the set A(A + 1),Mathematische
[24] A A Glibichuk and S V Konyagin, Additive properties of product sets in fields of prime order, Centre de Recherches Mathematiques, CRM Prceed- ings and Lecture Notes, 43 (2007), 279 - 286.
[25] C Godsil and G Royle, Algebraic Graph Theory,Springer (2001), ISBN 0
[26] L Guth and N Katz, On the Erd˝os distinct distances problem in the plane,Annals Of Mathematics,181(2015), 155 - 190.
[27] B Hanson, B Lund, and O Roche-Newton, On distinct perpendicular bisectors and pinned distances in finite fields, Finite Fields and Their Ap- plications,37(2016), 240 - 264.
[28] D Hart, A Iosevich, D Koh and M Rudnev, Averages over hyperplanes, sum-product theory in vector spaces over finite fields and the Erd˝os - Falconer distance conjecture, Transactions of the AMS, 363 (2011) 3255 - 3275.
[29] D Hart, A Iosevich, J Solymosi, Sum-product Estimates in Finite Fields via Kloosterman Sums, International Mathematics Research Notices (2007) Vol.2007, article ID rmn007, 14 pages.
[30] D Hart and A Iosevich, Sum and products in finite fields: an integral geometric view - pint,Contemporary Mathematics,464(2008), 1 - 9.
[31] D D Hieu and L A Vinh, On distance sets and product sets in vector spaces over finite rings, Michigan Mathematical Journal, 62 (2013), 779 -792.
[32] D D Hieu and L A Vinh, On volume set of boxes in finite spaces,Indiana University Mathematics Journal,65(2016), 2125 - 2136.
[33] D D Hieu and P V Thang, Distinct distances on regular varieties over finite fields,Journal of Number Theory,173(2017), 602 - 613.
[34] A Iosevich and M Rudnev, Erd˝os distance problem in vector spaces over finite fields, Transactions of the American Mathematical Society,359 (2007),
[35] D Koh and C-Y Shen, The generalized Erdos-Falconer distance problems˝ in vector spaces over finite fields,Journal of Number Theory, 132(11) (2012),
[36] D Koh and H Sun, Distance sets of two subsets of vector spaces over finite fields,Proceedings of the AMS - American Mathematical Society,143(4)
[37] Kevin Ford, Sums and products from a finite set of real numbers, Ra- manujan Journal,2(1-2) (1998), 59 - 66.
[38] W.M Kwok, Character tables of association schemes of affine type,Euro- pean Journal of Combinatorics,13(1992), 167 - 185.
[39] L Li and O Roche-Newton, An improved sum-product estimate for gen- eral finite fields,SIAM Journal on Discrete Mathematics,25(3) (2011), 1285
[40] Mei-Chu Chang, A sum-product estimate in algebraic division algebras,
[41] M Nathanson, On sums and products of integers,Proceedings of the AMS
[42] M Nathanson and G Tenenbaum, Inverse theorems and the number of sums and products,Asterisque,258(1999), 195 - 204.
[43] O Roche-Newton, Sum-ratio estimates over arbitrary finite fields, arxiv.org/abs/1407.1654v1.
[44] O Roche-Newton, M Rudnev, and Shkredov, New sum-product type es- timates over finite fields,Advances in Mathematics, 293(2016), 589 - 605.
[45] O Roche-Newton, M Rudnev, and I.D Shkredov, New sum-product type estimates over finite fields,Advances in Mathematics, 293 (2016), 589
[46] M Rudnev, On the number of incidences between points and planes in three dimensions,Combinatorica,38 (1) (2018), 219 - 254.
[47] I Z Ruzsa, "On the cardinality of A+A and A−A",Combinatorics, Vol.
II., Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 18, North-Holland, Amster- dam,(1978), 933 - 938.
[48] A Sárk ¨ozy, On sums and products of residues modulo p, Acta Arith- metica,118(2005), 403 - 409.
[49] A Sárk ¨ozy, On products and shifted products of residues modulo p,In- tegers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory,8(2)(2008), A9.
[50] I E Shparlinski, On the solvability of bilinear equation in finite fields,
[51] J Solymosi, On the number of sums and products,Bulletin of the London Mathematical Society, 37(2005), 491 - 494.
[52] Timothy, G F Jones and O Roche-Newton, Improved bounds on the set A(A+1),Journal of Combinatorial Theory, 120(2013), 515 - 526.
[53] P V Thang, L A Vinh and F d Zeeuw, Three-variable expanding poly- nomials and higher-dimensional distinct distances, arXiv:1612.09032v2
[54] V H Van, Sum-product estimates via directed expanders, Mathematical research letters,15(2) (2008), 375 - 388.