Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian làm : 150 phút Câu (3,0 điểm) x    y    a) Cho số hữu tỷ x, y thỏa mãn  Chứng minh A  x  xy  y số hữu tỉ b) Giải phương trình : x  x   x x   x2  x6 y  y  y c) Giải hệ phương trình  x Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh với x số nguyên 25 x  khơng thể viết dạng tích hai số ngun liên tiếp b) Tìm tất số thực x cho  3x  x  1   ,  2x 1  ký hiệu  a  a   a  với  a  số nguyên lớn không vượt a Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Tìm giá trị nhỏ  1  P   2x2  y  z      y 2z  x biểu thức Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường tròn (O) đường E E  B BE  D  B, D  E  kính BC cắt AB  Gọi D điểm cung nhỏ O Hai đường thẳng DC AH cắt G, đường thẳng EG cắt đường tròn   M ( M khác E), hai đường thẳng AH BM cắt I, đường thẳng CI cắt O đường tròn   P (P khác C) a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp b) Chứng minh GA.GI  GE.GM c) Hai đường thẳng AD BC cắt N, DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23, tìm hai số khác có tích số phương ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) x    y    d) Cho số hữu tỷ x, y thỏa mãn  Chứng minh A  x  xy  y số hữu tỉ  3x    y     xy  x  y    3xy  x  y  A  x  xy  y   x  y  3xy   x  y   x  y  1   x  y  1  x  y 1 Vì x, y hữu tỉ  A hữu tỉ e) Giải phương trình : x  x   x x     5x     x  , pt  x  3x x   x x   x   ĐK:     3x x  5x   5x  x      x  x  3x  x     x  x    x  1; x  (tmdk )  3 x  x   0(do x   PTVN )   1 S  1;   4 Vậy  x2  y x6   y  y f) Giải hệ phương trình  x Điều kiện : x  0; y  Nhân vế với vế hai phương trình ta :  x  y  x2 x  y   y   x   x   x  2; y    x 9  x2  x  y    y   x    x   x  6; y   x  2;1 , 6;3 Vậy hệ có hai nghiệm    Câu (2,0 điểm) c) Chứng minh với x số nguyên 25 x  khơng thể viết dạng tích hai số ngun liên tiếp    Giả sử Có vế phải 25 xM25 với x nguyên (1) Xét vế trái : 25 x   n n  n  ¢  n  n   25 x   n    n     25 x Th1:  n   M5 n    n  2  chia hết  n    n  3 M25  vế trái   n    n  3  không chia hết cho 25 n    n  2  Th2: n  không chia hết cho khơng chia hết cho n    n  3  n    n  3  Nên  không chia hết cho  không chia hết cho hay vế trái không chia hết cho 25 Cả hai trường hợp mâu thuẫn với (1) Vậy 25 x  khơng viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp d) Tìm tất số thực x cho  3x  x  1   ,  2x 1  ký hiệu  a  a   a  với  a  số nguyên lớn không vượt a 3x  x  x  x   x   x  1  0, x      1 x2  Với x : Với x : 2x  x2   2 3x  x  x     2 2x2  2x 1  3x  x   3x2  x  1 3x  x       2  2x 1 2 Từ (1) (2)  x   x  3x  x  1  x 2 Giải x  3x  x   x 2 Giải x  1 x   ;x  Vậy số phải tìm Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z Tìm giá trị  1  P   2x2  y  z      y 2z  x nhỏ biểu thức  1  P   2x2  y  z2      y 2z  x Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :   P   x  y   z        xy z     x  y     z     x  y   z      1 8        x  y  2 z   z  x  y           2  x y   17 t t     t   P   t  1       t 2 t Đặt  z  15 17  t  15 17          17 2  2t  2t  P  17, dấu "  " xảy Vậy Min P  17  x  y  xy z z Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB E  E  B  Gọi D điểm cung nhỏ BE  D  B, D  E  Hai đường thẳng DC AH cắt G, đường thẳng EG cắt đường tròn  O  M ( M khác E), hai đường thẳng AH BM cắt O I, đường thẳng CI cắt đường tròn   P (P khác C) d) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp D thuộc đường trịn đường kính BC  BDC  90  BDG  BHG  180  tứ giác BHGD nội tiếp  HGC  DBH DBC  DPC (nội tiếp (O) chắn cung DC)  HGC  DPI nên tứ giác DGIP nội tiếp e) Chứng minh GA.GI  GE.GM E  đường trịn đường kính BC  BEC  90  BAH  BCE (cùng phụ với ABC ) ; BME  BCE (cùng chắn cung BE )  EAG  IMG Xét GIM GEA có IGM  EGA (đối đỉnh), EAG  IMG GI GE   GI GA  GE.GM GM GA f) Hai đường thẳng AD BC cắt N, DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với EGD CGM có EGD  CGM (đối đỉnh), EDG  CMG (cùng chắn GE GC  EGD ∽ CGM ( g g )    GE.GM  GC.GD GD GM cung EC) GI GD GE.GM  GI GA  GI GA  GC.GD   GC GA Lại có Xét GAD GCI có GI GD AGD  CGI ,   GAD ∽ GCI (c.g c )  DAG  ICG GC GA Xét ANH CKD có AHN  CDK  90, NAH  DCI  ANH  DKC nên tứ  GIM ∽ GEA( g g )  giác DNKC nội tiếp  KNC  KDC  90 hay NK  NC Mà AH  NC  NK / / AH Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23, tìm hai số khác có tích số phương Lập 15 nhóm sau: Nhóm 1: 1; 4; 9; 16 Nhóm 2: 2; 8; 18 Nhóm 3: 3; 12 Nhóm 4: 5; 20 11 nhóm tiếp theo, nhóm có số 11 số khơng nhóm 0,25 nhóm Với 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 xếp vào 15 nhóm → có hai số xếp vào nhóm, mà 11 nhóm cuối có số → hai số nhóm nhóm từ nhóm đến nhóm  tích chúng số phương  ... theo, nhóm có số 11 số khơng nhóm 0,25 nhóm Với 16 số ngun dương đơi khác nhỏ 23 xếp vào 15 nhóm → có hai số xếp vào nhóm, mà 11 nhóm cuối có số → hai số nhóm nhóm từ nhóm đến nhóm  tích chúng số