Về chu trình Hamilton trong đồ thị tách cực

Khái niệm đồ thị tách cực được định nghĩa vào năm 1977 bởi S. Foldes và P.L. Hammer. Các đồ thị này đã và đang được nghiên cứu nhiều bởi vì chúng có liên quan nhiều đến các vấn đề về tổ hợp. Mặt khác, một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết đồ thị là bài toán Hamilton.

112 Lê Xuân Hùng VỀ CHU TRÌNH HAMILTON TRONG ĐỒ THỊ TÁCH CỰC ON HAMILTON CYCLES IN SPLIT GRAPHS Lê Xuân Hùng Trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội; Email: lxhung@hunre.edu.vn Tóm tắt - Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị tách cực tồn V = I  K cho đồ thị G cảm sinh G = (V , E ) is called a split graph if V = I  K such that the subgraphs Abstract - A graph there phân hoạch I đồ thị rỗng đồ thị G cảm sinh K đồ thị đầy đủ Chúng ta ký hiệu đồ thị tách cực S ( I  K , E ) Khái exists a partition of G induced by I and K are empty and complete, recpectively We will denote such a graph by S ( I  K , E ) The notion of split graphs niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 S Foldes P.L Hammer Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan nhiều đến vấn đề tổ hợp Mặt khác, vấn đề lý thuyết đồ thị toán Hamilton Trong báo nghiên cứu tồn chu trình Hamilton lớp đồ thị tách cực với was introduced in 1977 by S Foldes and P.L.Hammer Attention has been paid to these graphs because of their connection with many combinatorial problems Moreover, one of the fundamental problems in graph theory is the hamiltonian problem In this paper, we characterize Hamiltonian graphs in the class of split graphs with  (G)  (| I | −1) chứng minh đồ thị tách cực G có chu trình Hamilton khi với G − v có đường Hamilton vK ,  (G)  (| I | −1) only if for every đồ thị Từ khóa - đồ thị tách cực; chu trình Hamilton; đường Hamilton; đồ thị tách cực phi Hamilton tối đại; bậc cực tiểu Đặt vấn đề Tất đồ thị nói tới báo đơn đồ thị hữu hạn, vô hướng, khun khơng có cạnh bội Nếu G đồ thị, V(G) (hoặc V) gọi tập đỉnh E(G) (hoặc E) gọi tập cạnh Tập hợp tất đỉnh hàng xóm tập S  V (G) ký hiệu NG (S ) (hoặc N(S)) Với đỉnh v V (G) , ta gọi N G (v) bậc đỉnh v, ký hiệu deg(v) Với đồ thị G = (V , E ) , số deg(v) | v  V  gọi bậc cực tiểu G, ký hiệu  (G) Đồ thị G cảm sinh tập U  V (G) ký hiệu G[U ] Ngoài ra, số khái niệm ký hiệu khác định nghĩa [1] Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V = I  K cho đồ thị G[I] đồ thị rỗng đồ thị G[K] đồ thị đầy đủ Chúng ta ký hiệu đồ thị đồ thị tách cực S ( I  K , E) Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 Foldes Hammer [4] Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan nhiều đến vấn đề tổ hợp (xem [3], [5], [8]) Năm 1980, Burkard Hammer đưa điều kiện cần không điều kiện đủ để đồ thị tách cực G = S ( I  K , E ) với | I || K | có chu trình Hamilton [2] Các tác giả đặt câu hỏi, cần bổ sung điều kiện để điều kiện cần điều kiện đủ Đã có số tác giả giải phần câu hỏi trên, Peemoller [7], Ngơ Đắc Tân Lê Xuân Hùng [9], [10] Liên quan đến giả thuyết V.Chvatal đồ thị có We show that G has Hamilton cycle if and vK , G −v has a Hamilton path Key words - split graph, Hamilton cycle, Hamilton path; nonhamiltonian split graph; minimum degree độ bền có chu trình Hamilton, tác giả Kratsch, Lehel Muller [6] nghiên cứu mối quan hệ độ bền với tồn chu trình Hamilton đồ thị tách cực Trong báo tiếp tục nghiên cứu tồn chu trình Hamilton cho đồ thị tách cực G = S ( I  K , E ) với  (G)  (| I | −1) chứng minh đồ thị tách cực G có chu trình Hamilton với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Nội dung nghiên cứu 2.1 Một số kết liên quan Giả sử C chu trình đồ thị G = (V , E ) Ta ký hiệu chu trình C với chiều xác định C chu trình C với chiều ngược lại C Nếu u, v V (C ) , ta ký hiệu đỉnh liên tiếp C từ u tới v theo chiều xác định C uCv ký hiệu đỉnh liên tiếp C từ u tới v theo chiều ngược lại xác định C uCv Ta coi uCv uCv đường tập đỉnh Nếu u V (C ) , ta ký hiệu u + u − đỉnh đứng sau trước đỉnh u C Các khái niệm tương tự mô tả cho chu trình sử dụng cho đường Nếu U  V (G) , ta ký hiệu tập U  NG (u) NU (u) Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực G* đồ thị phần thu từ đồ thị G cách xóa tất cạnh có hai đỉnh đầu mút thuộc K Trong đồ thị G* , đỉnh thuộc tập I ta tô màu trắng, đỉnh thuộc tập K TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 7(80).2014 ta tô màu đen Các đường đồ thị G có hai đỉnh đầu mút thuộc K ta gọi B-đường * Bổ đề ([6]) Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với | I || K | Khi G có chu trình Hamilton tập đỉnh G* phân hoạch thành B-đường Bổ đề ([6]) Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực Nếu với tập I  I ta có N ( I )  I ' , tập đỉnh G* phân hoạch thành B-đường ' ' Bổ đề Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với | I |= m, | K |= n với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Khi với   I '  I thỏa mãn I '  m, n − 1 ta ln có N ( I ' )  I ' Chứng minh Giả sử tồn tập   I '  I thỏa mãn I '  m, n − 1 N ( I ' )  I ' Giả sử 113 thị G − v Bây giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với  (G) | I | −2 với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Từ Bổ đề ta có N ( I ' )  I ' với   I '  I thỏa mãn I '  | I |,| K | −1 Do theo Định lý 5, G có chu trình Hamilton G đồ thị ngoại lệ liệt kê định lý Nhưng dễ dàng thấy đồ thị ngoại lệ không thỏa mãn điều kiện với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Như vậy, xảy trường hợp G có chu trình Hamilton ■ Bảng Các đồ thị Gnm , Dn4 Fn5 Đồ thị G = (V , E ) Tập đỉnh V = I K Tập cạnh E = E1  E2  E3 Gnm 3 m n I = u1 , , um  E1 = u1v1 , u2 v2 , u3v3  K = v1 , ,  E2 = {ui v j | i = 1, , m; j = 4, , m + 1} E3 = {vi v j | i  j; v1 , v2 , , vk đỉnh N ( I ' ) giả sử P đường Hamilton G − v1 Khi P − v1 , v2 , , vk  phủ k = N ( I ' ) đường rời Do G − N ( I ' ) phủ k = N ( I ) đường rời ' i, j = 1, , n} n D 4n I = u1 , , u4  E1 = {u1v2 , u2 v1 , ui vi | K = v1 , ,  i, j = 1, 2,3, 4} E2 = {ui v5 | i = 1, , 4} E3 = {vi v j | i  j; Nhưng ta biết số đường rời G − N ( I ' ) phủ V (G − N ( I ' )) lớn k = N ( I ' ) i, j = 1, , n} Từ dẫn tới điều mâu thuẫn ■ Bổ đề ([9]) Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực phi-Hamilton tối đại Khi với v  K , N I (v)  I −  (G ) N I (v) = I Định lý ([9]) Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với | I |= m, | K |= n  (G)  m − Khi G có chu trình Hamilton m  n N ( I )  I ' ' với   I  I thỏa mãn I  m, n − 1 , ngoại trừ ' ' đồ thị mà chúng điều kiện đủ không đúng: (i) m =  n G đồ thị Gn3 ; (ii) m =  n G đồ thị bao trùm đồ thị Dn đồ thị Gn4 ; (iii) m =  n G − u đồ thị Gn3 với u  I ; (iv) m =  n G đồ thị Fn5 đồ thị bao trùm đồ thị Gn5 ; (v)  m  n G đồ thị bao trùm đồ thị Gnm Các đồ thị Gnm , Dn4 Fn5 định nghĩa Bảng Từ Định lý ta suy hệ sau Hệ Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với  (G) | I | −2 Khi G có chu trình Hamilton với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Chứng minh Nếu G có chu trình Hamilton giả sử v đỉnh thuộc K, v+ Cv− đường Hamilton đồ n F 6n I = u1 , , u5  K = v1 , ,  E1 = {ui vi | i = 1, ,5} E2 = {ui v j | i = 1, ,5; j = 6,7} E3 = {vi v j | i  j; i, j = 1, , n} Kết Trong mục phát biểu chứng minh định lý Định lý Giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với  (G)  (| I | −1) Khi G có chu trình Hamilton với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Chứng minh Nếu G có chu trình Hamilton giả sử v đỉnh thuộc K, v+ Cv− đường Hamilton đồ thị G − v Bây giả sử G = S ( I  K , E ) đồ thị phi Hamilton tối đại thỏa mãn | I |= m, | K |= n,  (G)  (m − 1) với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Đặt  2m +  Ki = v  K | N I (v) = i  , t =     (Trong [a] ký hiệu số nguyên lớn nhỏ a) Theo Bổ đề dễ dàng thấy 114 Lê Xuân Hùng Kt +1 = = Km−1 =  u j = v −j  N I ( ) với j = 1, 2, , k = deg ( u1 ) Từ Nếu tồn đỉnh v  Km giả sử P đường Hamilton G − v Khi vPv chu trình Hamilton G, mâu thuẫn với việc G đồ thị phi Hamilton Do Km =  suy Khẳng định 3.1 deg ( u1 ) = m − t u1 , u2 , , um−t tất đỉnh V(G) không kề với Ta xét hai trường hợp xảy Đặt: Trường hợp 1: Kt =  P1 = u1 Pu2− , P2 = u2 Pu3− , , Pm −t = um −t Pvn Trong trường hợp này, Kt = Kt +1 = = Km =  Với Khi khẳng định sau   I  I ta có ' Khẳng ' deg(u) (m − 1) I ' ' ' N ( I )  uI 5 = I 2m + t −1 −1 Theo Bổ đề Bổ đề 2, G có chu trình Hamilton, mâu thuẫn Trường hợp 2: Kt   Bổ đề 3.2 N ( u j )  V ( Pi )  với i, j  1, 2, , m − t Giả sử ngược lại tồn i, j  1, 2, , m − t cho N ( u j )  V ( Pi )  Giả sử vl vl +1 hai đỉnh khác N ( u j )  V ( Pi ) , xuất P theo thứ tự số chúng Trước hết giả sử j  i Khi với u  I ta có deg(u) = N (u )  u = , deg(u)  Hơn nữa, Theo định 3, vl−+1  u1 , u2 , , um −t  Theo Khẳng định 3.1, vl−+1  N ( ) Do C ' = u j Pu1v j Pvl−+1vn Pvl +1u j chu trình Hamilton m   (G)   m − Theo Hệ 6, G có chu trình Hamilton, mâu thuẫn Do m  G, mâu thuẫn Bây ta giả sử j  i Khi Giả sử đỉnh Kt Vì I = m  vl+  u1 , u2 , , um −t  tiếp tục theo Khẳng định 3.1 ta có  2m +  N I ( ) = t =    m , tồn đỉnh u1  I cho   u1 không kề với Vì G đồ thị tách cực phi Hamilton tối đại nên G + u1vn có chu trình Hamilton D Do P = D − u1vn đường Hamilton G với đỉnh đầu mút u1 Chú ý u1  I ,  K u1 không vl+  N ( ) Do C ' = u j Pvl+ Pv j u1 Pvl u j chu trình kề với Giả sử P = u1 Nếu vn−  K u  N I ( ) , P ' = u1 Pu − vn− Puvn đường Hamilton G với đỉnh đầu mút u1 Nhưng P ' , vn− = u  I Bằng việc xét P ' thay cho P cần thiết, khơng tính tổng qt ta giả sử vn− P đỉnh um  I Giả sử v1 , v2 , , vk đỉnh N ( u1 ) xuất P theo thứ tự số chúng Nếu tồn đỉnh u j  N ( u1 ) cho v −j  N ( ) , − j n C = u1 Pv v Pv j u1 chu trình Hamilton G, mâu ' thuẫn Do v  N ( ) với j = 1, 2, , k Suy − j v −j  I với j = 1, 2, , k Dễ dàng thấy u1 = v1− Đặt u j = v −j  I với j = 2, , k N I ( ) = I \ N I ( ) Khi N I ( ) = I − N I ( ) = m − t 2m + Nhưng deg ( u1 )  (m − 1) = m − , suy 5 deg ( u1 )  m − t (vì deg ( u1 ) số nguyên dương) Hamilton G, mâu thuẫn Khẳng định 3.3 Nếu v  N ( u j )  V ( Pi ) j  i với i, j  1, 2, , m − t , v −  N ( ) Nếu v = v j , ta chứng tỏ Khẳng định 3.1 v − = v −j = u j  N ( ) Nếu v  v j v −  N ( ) , C ' = u j Pu1v j Pv − Pvu j chu trình Hamilton G, mâu thuẫn Khẳng định 3.4 Nếu v  N ( u j )  V ( Pi ) j  i với i, j  1, 2, , m − t , v +  N ( ) Giả sử v +  N ( ) Khi C ' = u j vPu1v j Pvn v + Pu j chu trình Hamilton G, mâu thuẫn Từ Khẳng định 3.2 ta có deg ( u j )  m − t với j  1, 2, , m − t Nhưng đồ thị G, theo giả thiết ta có deg ( u j )  m − t Do deg ( u j ) = m − t với j  1, 2, , m − t Hơn nữa, theo Khẳng định 3.1, Khẳng định 3.3 Khẳng định 3.4 ta có N ( u1 ) = v1 , v2 , , vm −t  , N ( u j ) = u2− , u3− , , u −j , v j , v j +1 , , vm −t  Với j = 2,3, , m − t Giả sử u −j = v j −1 với j  2,3, , m − t Khi TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 7(80).2014 với I = u1 , u2 , , um −t  ta có ' N ( I ' ) = v1 , v2 , , vm −t  Do N ( I ' ) = m − t = I ' , mâu thuẫn với Bổ đề Như vậy, phải tồn j  2,3, , m − t cho u −j  v j −1 3(m − 1) 12 với  5 j  1, 2, , m − t , từ suy deg ( u j )  với Vì m  nên deg ( u j )  j  1, 2, , m − t Nếu um− −t  vm −t −1 , C ' = um −t um− −t −1 Pu1vm −t −1um −t −1vm −t Pvn vm+ −t −1 Pum −t chu trình Hamilton G, mâu thuẫn Tiếp theo, u2−  v1 , C ' = u1v2 Pum −t u2− u2 vm −t Pvn u2−− Pu1 chu trình Hamilton G, mâu thuẫn Cuối cùng, u −j  v j −1 với j  2, m − t , C ' = u j −1v j Pum −t u −j u j vm −t Pvnu −− j Pv j −1u1 Pu j −1 chu trình Hamilton G, mâu thuẫn Như vậy, ta suy mâu thuẫn tất trường hợp Định lý chứng minh đầy đủ ■ Kết luận Vấn đề tồn hay khơng tồn chu trình Hamilton đồ thị nói chung lớp đồ thị tách cực nói riêng tốn khó ln vấn đề thời tốn học Việc tìm điều kiện để đồ thị tách cực có chu trình Hamilton số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đạt số kết định Tuy vấn 115 đề chưa giải triệt để cần tiếp tục nghiên cứu Chính vậy, báo tiếp tục đề cập tới vấn đề tồn chu trình Hamilton cho số lớp đồ thị tách cực đạt số kết mới, kết Định lý (định lý điều kiện cần đủ cho lớp đồ thị tách cực có chu trình Hamilton) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Behazad and G Chartrand, 1971 Introduction to the Theory of graphs, Allyn and Bacon, Boston [2] R.E Burkard and P.L Hammer, 1980 “A note on Hamiltonian split graphs” J Combin Theory B28, pp 245 – 248 [3] V Chvatal and P.L Hammer, 1977 “Aggregation of inequalities in integer programming” Ann Discrete Math 1, pp 145 – 162 [4] S Foldes and P.L Hammer, 1977 “Split graphs” In: Proceeding of the Eighth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Louisiana State University, Baton Rouge, LA, 1977), Congressus Numerantium, vol XIX, Utilitas Mathematics, Winnipeg, Man., pp 311 – 315 [5] S Foldes and P.L Hammer, 1978 “On a class of matroid-producing graphs” In: Combinatorics (Proceeding of the Filth Hungarian Colloquium, Kesrthely, 1976), vol 1, Colloquium Mathematical Society, Jano’s Bolyai, vol 18, North-Holland, Amsterdam, New York, pp 331 - 352 [6] D Kratsch, J Lehel, H muller, 1996 “Toughness, hamiltonicity and split graphs”, Discrete Math 150, pp 231 - 245 [7] J Peemoller, 1985 “Necessary conditions for Hamiltonian split graphs” Discrete Math 54, pp 39 – 47 [8] U.N Peled, 1975 Regular Boolean function and their polytope, Ph.D Thesis, Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, Chapter VI [9] Ngo Dac Tan, Le Xuan Hung, 2004 “Hamilton cycles in split graphs with large minimum degree” Discussiones Math Graph Theory 24, pp 23 – 40 [10] Ngo Dac Tan, Le Xuan Hung, 2005 “On the Burkard-Hammer codition for hamiltonian split graphs” Discrete Math 296, pp 59–72 (BBT nhận bài: 13/05/2014, phản biện xong: 03/06/2014) ... bao trùm đồ thị Dn đồ thị Gn4 ; (iii) m =  n G − u đồ thị Gn3 với u  I ; (iv) m =  n G đồ thị Fn5 đồ thị bao trùm đồ thị Gn5 ; (v)  m  n G đồ thị bao trùm đồ thị Gnm Các đồ thị Gnm , Dn4... E ) đồ thị tách cực với  (G) | I | −2 Khi G có chu trình Hamilton với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Chứng minh Nếu G có chu trình Hamilton giả sử v đỉnh thuộc K, v+ Cv− đường Hamilton. .. ) đồ thị tách cực với  (G)  (| I | −1) Khi G có chu trình Hamilton với v  K , đồ thị G − v có đường Hamilton Chứng minh Nếu G có chu trình Hamilton giả sử v đỉnh thuộc K, v+ Cv− đường Hamilton