TÔ MÀU DANH SÁCH CỦA ĐỒ THỊ TÁCH CỰC

TÔ MÀU DANH SÁCH CỦA ĐỒ THỊ TÁCH CỰC

78 Lê Xuân Hùng TÔ MÀU DANH SÁCH CỦA ĐỒ THỊ TÁCH CỰC LIST COLORING OF SPLIT GRAPHS Lê Xuân Hùng Trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội; lxhung@hunre.edu.vn Tóm tắt - Đồ thị G  (V , E ) gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V  I  K cho đồ thị G cảm sinh I đồ thị rỗng đồ thị G cảm sinh K đồ Abstract - A graph G  (V , E ) is called a split graph if there exists a partition V  I  K so that the subgraphs of G induced by I and K are empty and complete respectively The notion of thị đầy đủ Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 S Foldes P.L Hammer Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan vấn đề tổ hợp khoa học máy tính tốn đóng gói xếp ba lơ quy hoạch nguyên, lý thuyết matroid, nghiên cứu hàm Boolean, giải việc xử lý song song chương trình máy tính xác định cơng việc hệ phân tán,… Một vấn đề chủ yếu lý thuyết đồ thị tốn tơ màu đồ thị Bài báo tổng quát hóa khái niệm tô màu nghiên cứu từ trước, đặc biệt xác định sắc số danh sách đồ thị tách cực split graphs was introduced in 1977 by S Foldes and P.L.Hammer These graphs have been paid much attention to because they have connection with packing and knapsack problems, with the matroid theory, with Boolean function, with the analysis of parallel processes in computer programming and with the task allocation in distributed systems,… One of the fundamentals in graph theory is the problem of graph colorings In this paper, we take a look at a relatively recent generalization of the concepts of coloring studied so far.In particular we will determine list-chromatic number for split graphs Từ khóa - đồ thị tách cực; tô màu đỉnh (tô màu); sắc số; tô màu danh sách đỉnh (tô màu danh sách); sắc số danh sách đỉnh (sắc số danh sách) Key words - Split graph; vertex coloring (coloring); chromatic number; list coloring; list-chromatic number Đặt vấn đề Tất đồ thị nói tới báo đơn đồ thị hữu hạn, vô hướng, khun khơng có cạnh bội Nếu G đồ thị, V (G ) (hoặc V ) gọi tập đỉnh E (G ) (hoặc E ) gọi tập cạnh Tập hợp tất đỉnh hàng xóm tập S  V (G ) Giả sử G đồ thị  số nguyên dương Một ánh xạ f : E (G )  1, 2, ,  gọi  -tô màu ( ký hiệu N G ( S ) (hoặc N(S)) Với đỉnh v  V (G ) , number) đồ thị G ký hiệu  (G) Đồ thị G  -coloring) đồ thị G , với cặp đỉnh u, v kề G ta ln có f (u )  f (v) Số  nhỏ để đồ thị G có  -tơ màu gọi sắc số (chromatic ta gọi N G ( v ) bậc đỉnh v, ký hiệu deg G (v ) (hoặc gọi k-sắc  (G)  k deg(v)) Đồ thị G cảm sinh tập U  V (G ) ký hiệu G[U ] Ngoài ra, số khái niệm ký hiệu khác định nghĩa [1] Vấn đề tô màu danh sách đề cập đến R Diestel (xem [4]) Cho đồ thị G  (V , E ) , với đỉnh v V ta Đồ thị G  (V , E ) có cấp | V (G ) | n cỡ | E (G ) | G thỏa mãn c(v)  Sv với v  V ta gọi c tơ màu danh sách đỉnh (hay tô màu danh sách) từ danh sách Sv Đồ thị G gọi k-tô màu danh sách (k-list- gọi đồ thị rỗng, ký hiệu On Đồ thị | E (G ) | G  (V , E ) có cấp | V (G ) | n cỡ n(n  1) gọi đồ thị đầy đủ cấp n, ký hiệu cho danh sách màu Sv Nếu c tô màu đỉnh colorable) với họ  S v vV thỏa mãn S v  k với v V , ta ln có tơ màu đỉnh từ danh sách K n Sv Số nguyên dương k nhỏ để đồ thị G k-tô màu Đồ thị G  (V , E ) gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V  I  K cho đồ thị danh sách gọi sắc số danh sách (list-chromatic number) G , ký hiệu ch(G ) G[I ] đồ thị rỗng đồ thị G[ K ] đồ thị đầy Dễ dàng nhận thấy G đồ thị k-tô màu danh sách G đồ thị k-tơ màu Thật vậy, giả sử G  (V , E ) đủ Chúng ta ký hiệu đồ thị tách cực S ( I  K , E ) Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 Foldes Hammer [5] Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan nhiều đến vấn đề tổ hợp khoa học máy tính tốn đóng gói xếp ba lơ quy hoạch nguyên [3], lý thuyết matroid [6], nghiên cứu hàm Boolean [10], giải việc xử lý song song chương trình máy tính [7] xác định cơng việc hệ phân tán [8],… đồ thị k-tô màu danh sách Ta việc chọn S v  1, 2, , k  với v  V Từ suy G đồ thị k-tơ màu Như vậy, với đồ thị G ta ln có ch(G)   (G) Nội dung nghiên cứu 2.1 Một số kết liên quan Trước hết kết biết sắc số số ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(106).2016 lớp đồ thị đặc biệt Bổ đề ([1]) Nếu P đường khơng tầm thường  ( P)  79 danh sách màu Sv1 , Sv2 , , Svn cho S vi  với i  1, 2, , n Gọi f tô màu đỉnh C thỏa mãn Bổ đề ([1]) Giả sử C chu trình với f  v1   S v1 , f  v2   Sv2 \  f  v1  , , V (C )  n  f  1   S vn1 \  f    , Khi f    S \  f  1  , f  v1  (i) Nếu n lẻ  (C )  ; Khi đó, rõ ràng f 3-tô màu danh sách C , hay (ii) Nếu n chẵn  (C )  ch(C )  Suy điều phải chứng minh Bổ đề ([2]) Đồ thị đầy đủ K n có (ii) Bây ta chứng minh mệnh đề cho trường hợp n chẵn  Kn   n Theo Bổ đề ta có  (C )  , ch(C )  Ta cần Tiếp theo kết sắc số đồ thị tách cực Định lý ([9]) Giả sử G  S ( I  K , E ) đồ thị tách cực với K  n k  max deg(u ) | u  I  Khi phải chứng minh ch(C )  Giả sử C  v1v2 v1 v1 , v2 , , có danh sách màu Sv1 , Sv2 , , Svn cho S vi  với i  1, 2, , n Giả sử  thuộc tập Sv1 , Sv2 , , Svn Ta xét hai trường hợp sau (i)  (G)  n k < n; Trường hợp 1:   Svi với i  1, 2, , n (ii)  (G )  n  k = n Giả sử S vi   , ti  với i  1, 2, , n Xét tơ màu f 2.2 Kết Trước hết ta phát biểu chứng minh kết sắc số danh sách số lớp đồ thị đặc biệt Mệnh đề Nếu P đường khơng tầm thường f  vi    i lẻ, f  vi   ti i chẵn Khi f 2-tơ màu danh sách C Trường hợp 2: Tồn i  2, 3, , n cho   Svi ch( P)  Chứng minh Giả sử P  v1v2 , n  Theo Bổ đề ta có  ( P)  Do ch( P)  Bây ta chứng minh ch( P)  Giả sử đỉnh v1 , v2 , , có danh sách màu Sv1 , Sv2 , , Svn cho Svi  với i  1, 2, , n Giả sử f tô màu đỉnh P thỏa mãn f  v1   S v1 , f  v2   Sv2 \  f  v1  , , f    S \  f  1  Do đó, f C thỏa mãn 2-tô màu danh sách P Suy ch( P)  ta có điều phải chứng minh ■ Mệnh đề Giả sử C chu trình với V (C )  n  Khi   Svi1 Khơng tính tổng quát ta giả sử   S   S vn1 Gọi g tô màu C thỏa mãn g  v1   Sv1 \   , g  v2   S v2 \  g  v1  , , g  1   S vn1 \  g    , g     Rõ ràng g 2-tô màu danh sách C Như vậy, hai trường hợp ta chứng minh tồn 2-tô màu danh sách C , hay ch(C )  Từ suy điều phải chứng minh ■ Mệnh đề Đồ thị đầy đủ K n có ch  K n   n Chứng minh Theo Bổ đề ta có   K n   n Do ch  K n   n Ta tiếp tục phải chứng minh ch  K n   n Giả sử đồ thị đầy đủ K n có đỉnh v1 , v2 , , vi cho (i) Nếu n lẻ ch(C )  ; S vi danh sách màu đỉnh (ii) Nếu n chẵn ch(C )  i  1, 2, , n Giả sử f tô màu đỉnh K n thỏa mãn Chứng minh (i) Giả sử n lẻ Theo Bổ đề ta có  (C )  Do ch(C )  Ta chứng minh ch(C )  Giả sử C  v1v2 v1 v1 , v2 , , có S vi  n với f  v1   Sv1 , f  v2   Sv2 \  f  v1  , , f    Svn \  f  v1  , f  v2  , , f  1  Khi f n-tơ màu danh sách đồ thị K n , ch  K n   n Suy điều phải chứng minh ■ 80 Lê Xuân Hùng Cuối ta phát biểu chứng minh kết sắc số danh sách đồ thị tách cực Định lý Giả sử G  S ( I  K , E ) đồ thị tách cực f tô màu đỉnh G thỏa mãn f  vi   g  vi  với i  1, 2, , n ; f  ui   S ui \ g  N  ui   với i  1, 2, , m với K  n Rõ ràng f (n + 1)-tô màu danh sách đồ thị G , k  max deg(u ) | u  I  ch(G )  n  Suy điều phải chứng minh ■ Khi (i) ch(G )  n k < n; (ii) ch(G )  n  k = n Chứng minh (i) Giả sử ch(G )  n Nếu k = n G chứa đồ thị đầy đủ cấp n + Từ Mệnh đề ta suy ch(G )  n  , điều trái với giả thiết Vậy ta phải có k < n Bây giả sử k < n Theo Định lý ta có  (G )  n , ch(G )  n Ta chứng minh ch(G )  n Giả sử I  u1 , u2 , , um  , K  v1 , v2 , ,  Su1 , Su2 , , S um , S v1 , S v2 , , S danh sách màu đỉnh u1 , u2 , , um , v1 , v2 , , cho Su1  Su2   Sum  Sv1  S v2   S  n Kết luận Trong lý thuyết đồ thị, có nhiều kết nghiên cứu tốn tơ màu Đặc biệt, [4] có đề cập đến tốn tơ màu danh sách đồ thị (bao gồm tô màu danh sách đỉnh tơ màu danh sách cạnh) Đây coi tổng qt hóa tốn tơ màu đồ thị Với việc tiếp cận vấn đề tô màu danh sách đỉnh, báo giải xong tốn tơ màu danh sách đỉnh số lớp đồ thị, bật lớp đồ thị tách cực, kết lần phát biểu chứng minh, góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu tốn tơ màu nói chung tốn tơ màu danh sách đỉnh nói riêng Từ kết này, tương lai hy vọng tiếp tục có kết sâu sắc tốn tơ màu danh sách nói riêng tốn tơ màu nói chung TÀI LIỆU THAM KHẢO Theo Mệnh đề 7, tồn n-tô màu danh sách g đồ thị G  K  với danh sách màu S v1 , S v2 , , S Gọi f tô màu đỉnh G thỏa mãn f  vi   g  vi  với i  1, 2, , n ; f  ui   S ui \ g  N  ui   với i  1, 2, , m Rõ ràng f n-tô màu danh sách đồ thị G , ch(G )  n Suy điều phải chứng minh (ii) Giả sử ch(G )  n  Nếu k < n theo (i) ta có ch(G )  n , điều trái với giả thiết Do ta phải có k = n Giả sử k = n Khi G chứa đồ thị đầy đủ cấp n + nên theo Định lý ta có  (G )  n  Suy ch(G )  n  Ta chứng minh ch(G )  n  Giả sử [1] M Behazad and G Chartrand (1971), Introduction to the Theory of graphs, Allyn and Bacon, Boston [2] M Behazad and G Chartrand and J Cooper (1967), The coloring numbers of complete graphs, J London Math Soc 42, 226 – 228 [3] V Chvatal and P.L Hammer (1977), Aggregation of inequalities in integer programming, Ann Discrete Math 1, pp 145 – 162 [4] R Diestel (2000), Graph Theory, Springer – Verlag, New Your [5] S Foldes and P.L Hammer (1977), Split graphs, In: Proceeding of the Eighth Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Louisiana State University, Baton Rouge, LA, 1977), Congressus Numerantium, vol XIX, Utilitas Mathematics, Winnipeg, Man., pp 311 – 315 [6] S Foldes and P.L Hammer (1978), On a class of matroid-producing graphs, In: Combinatorics (Proceeding of the Filth Hungarian Colloquium, Kesrthely, 1976), vol 1, Colloquium Mathematical Society, Jano’s Bolyai, vol 18, North-Holland, Amsterdam, New York, pp 331 - 352 [7] P B Henderson and Y Zalcstein (1977), A graph-theoretic characterization of the I  u1 , u2 , , um  , K  v1 , v2 , ,  Su1 , Su2 , , S um , S v1 , S v2 , , S danh sách màu đỉnh u1 , u2 , , um , v1 , v2 , , cho S u1  Su2   Sum  S v1  S v2   Svn  n  Theo Mệnh đề 7, tồn (n + 1)-tô màu danh sách g PVchunk class of synchroniring primitive, SIAM J Comput 6, 88-108 [8] A Hesham H And El-R Hesham (1993), Task allocation in distributed systems: a split graph model, J Combin Math Combin Comput 14, 15-32 [9] Lê Xuân Hùng (2014), “Sắc số, đa thức tô màu tính tơ màu đồ thị tách cực”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, ĐHĐN, 13(04), 23 – 27 [10] U N Peled (1975), Regular Boolean functions and their polytope, Chapter VI, PH D Thesis, Univ Of Waterloo, Dept Combin And Optimization đồ thị G  K  với danh sách màu S v1 , S v2 , , S Gọi (BBT nhận bài: 28/07/2016, phản biện xong: 07/09/2016) ... tơ màu danh sách đồ thị (bao gồm tô màu danh sách đỉnh tơ màu danh sách cạnh) Đây coi tổng qt hóa tốn tơ màu đồ thị Với việc tiếp cận vấn đề tô màu danh sách đỉnh, báo giải xong tốn tơ màu danh. .. sâu sắc tốn tơ màu danh sách nói riêng tốn tơ màu nói chung TÀI LIỆU THAM KHẢO Theo Mệnh đề 7, tồn n -tô màu danh sách g đồ thị G  K  với danh sách màu S v1 , S v2 , , S Gọi f tô màu đỉnh G thỏa... màu danh sách đồ thị K n , ch  K n   n Suy điều phải chứng minh ■ 80 Lê Xuân Hùng Cuối ta phát biểu chứng minh kết sắc số danh sách đồ thị tách cực Định lý Giả sử G  S ( I  K , E ) đồ thị