Tô màu đỉnh của đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MAI THẢO TÔ MÀU ĐỈNH CỦA ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ MAI THẢO TÔ MÀU ĐỈNH CỦA ĐỒ THỊ Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết đề tài “Tô màu đỉnh đồ thị” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa công bố công trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 22 tháng năm 2021 Học viên thực đề tài Trần Thị Mai Thảo ii Mục lục Mở đầu 1 Sắc số đồ thị 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sắc số đồ thị 1.3 Thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị 14 Đa thức màu đồ thị 23 2.1 Một số tính chất đa thức màu đồ thị 23 2.2 Đa thức màu số họ đồ thị 27 Một số toán ứng dụng 38 3.1 Bài tốn điều khiển đèn tín hiệu giao thông 38 3.2 Bài toán lập lịch thi 41 3.3 Bài tốn lập thời khóa biểu 44 3.4 Bài toán phân chia tần số 49 3.5 Bài toán Sudoku 52 Kết luận 57 Danh mục tài liệu tham khảo 57 iii Quyết định 59 iv Danh mục kí hiệu V (G) Tập đỉnh đồ thị G E(G) Tập cạnh đồ thị G δ(G) Bậc bé đồ thị G ∆(G) Bậc lớn đồ thị G deg G v Bậc đỉnh v đồ thị G Pn Đồ thị đường Kn Đồ thị đầy đủ Cn Đồ thị chu trình Wn Đồ thị bánh xe Km,n Đồ thị hai nhánh Tn Đồ thị Mở đầu Một kết lý thuyết đồ thị xuất báo Leonhard Euler Bảy cõy cu Kăonigsberg, xut bn nm 1736 Bi bỏo xem kết topo hình học, khơng phụ thuộc vào độ đo Năm 1852 Francis Guthrie đưa toán bốn màu vấn đề liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tơ màu Bài tốn xem khai sinh lý thuyết đồ thị, giải sau kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lý thuyết đồ thị Kể từ lý thuyết đồ thị đời đến nay, có nhiều vấn đề giải thơng qua mơ hình hóa đồ thị Trong đó, tơ màu đồ thị toán lý thuyết đồ thị, vận dụng nhiều tin học lẫn tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật đời sống Tô màu đồ thị chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Chẳng hạn ta thường gặp tốn tơ màu đồ, tô màu cho dây dẫn điện Một số vấn đề khơng liên quan đến tơ màu xử lý nhờ tốn tơ màu như: bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế bảng vi mạch điện tử, xếp lịch thi, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, Tơ màu đỉnh đồ thị đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu vấn đề lý thuyết đồ thị áp dụng vào việc giải tốn thực tiễn Do việc tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề tơ màu đỉnh đồ thị cần thiết Đặc biệt toán liên quan đến chủ đề thường hay xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, toán sơ cấp chương trình bồi dưỡng học sinh chun tốn phổ thơng Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn "Tô màu đỉnh đồ thị" gồm có ba chương Chương 1: Sắc số đồ thị Chương trình bày số vấn đề tô màu đỉnh đồ thị Vấn đề tìm sắc số số lớp đồ thị đặc biệt như: đồ thị đường, đồ thị đầy đủ, đồ thị chu trình, đồ thị bánh xe, đồ thị hai nhánh Vấn đề thuật toán tô màu đỉnh đồ thị Trong chương nhắc lại số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Chương 2: Đa thức màu đồ thị Chương trình bày số vấn đề tính chất đa thức màu đồ thị tính tốn đa thức màu số họ đồ thị đặc biệt Chương 3: Một số tốn ứng dụng Chương trình bày số ứng dụng tô màu đỉnh đồ thị vào việc trình bày chi tiết lời giải số tốn thực tế như: tốn điều khiển đèn tín hiệu giao thơng, tốn lập lịch thi, tốn thời khóa biểu, tốn phân chia tần số, tốn Sudoku Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Phương pháp tốn sơ cấp Khóa 22 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè, Trường Cao đẳng Cơ điện Xây dựng Nông Lâm Trung tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q Thầy Cơ để luận văn hoàn thiện Chương SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ Chương trình bày số vấn đề tô màu đỉnh đồ thị Vấn đề tìm sắc số số lớp đồ thị đặc biệt như: đồ thị đường, đồ thị đầy đủ, đồ thị chu trình, đồ thị bánh xe, đồ thị hai nhánh Vấn đề thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị Trong chương nhắc lại số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục trình bày số kiến thức đồ thị sử dụng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị cặp G = (V, E) (i) V tập khác rỗng, phần tử V gọi đỉnh G (ii) E tập tập hợp tất tập hai phần tử phân biệt V , phần tử E gọi cạnh G Cho G đồ thị Ta kí hiệu tập tất đỉnh G V (G), kí hiệu 45 điều kiện để xếp thời khóa biểu cho trường học, với điều kiện ràng buộc biết trước Ví dụ 3.3.1 Bài tốn xếp thời khóa biểu cho giáo viên trường trung học có thông tin sau Danh sách khối lớp trường 6A1, 6A2, 6A3, 7A1, 7A2, 7A3, 8A1, 8A2, 8A3, 9A1, 9A2, 9A3 Danh sách môn học quy định khối lượng tiết học tuần thể bảng sau Danh sách giáo viên phân công theo chuyên môn đào tạo thể bảng sau Trong yêu cầu sau phải đảm bảo q trình xếp thời khóa biểu Tại thời điểm lớp học môn Một giáo viên dạy môn lớp thời điểm Một giáo viên dạy nhiều mơn nhiều lớp khác Không học số tiết quy định tuần Số tiết mỗi môn học/tuần không 46 Bài tốn tìm thời khóa biểu tuần, nghĩa ta biết mơn học để xếp thời khóa biểu cho giáo viên, lớp tuần Từ toàn lập thời khóa biểu cho giáo viên trường trung học phổ thơng, ta quy tốn tơ màu đỉnh đồ thị sau Đỉnh đồ thị mơn học Có cạnh nối hai mơn u v u v hai môn học lớp u v có giáo viên dạy Ta có bảng môn học ứng với đỉnh đồ thị sau Đồ thị biểu diễn mơn học hình sau 47 Áp dụng thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị, ta tô màu 28 đỉnh đồ thị ta bảng màu sau Từ bảng ta tô màu đồ thị sau 48 Từ ta lập danh sách mơn học có màu thể bảng Vậy toán giải môn học với đỉnh tương ứng tô màu dạy Bài toán xếp thời khóa biểu cho giáo viên đề cập đến phần nhỏ số giáo viên trường trung học phổ thơng giải 49 cách mơ hình hóa theo phương pháp tơ màu đồ thị 28 đỉnh tương ứng với 28 môn học lớp giáo viên giảng dạy 3.4 Bài toán phân chia tần số Có m đài phát Hãy chia kênh cho đài phát thỏa mãn hai đài cách không n km không trùng kênh số kênh dùng Ta lập đồ thị có đỉnh đài phát hai đài phát kề khoảng cách chúng không n km Kênh truyền đài biểu thị màu khác Như toán phân chia tần số trở thành tốn tơ màu đỉnh đồ thị với số màu Ví dụ 3.4.1 Có đài truyền cách cho Hình 3.6 Mỗi đài cấp kênh để phát sóng Hãy tìm số kênh cần phát, biết hai đài cách không 150 km không cấp phát chung kênh Hình 3.6: Khoảng cách đài phát Ta xây dựng đồ thị với đỉnh đài phát Hai đỉnh kề hai đài truyền đặt cách không 150 km Đồ thị thu có dạng Hình 3.7 50 Hình 3.7: Đồ thị mơ đài phát Dùng thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị, ta tô màu cho đồ thị ta thu kết Hình 3.8 Hình 3.8: Gán màu theo bậc đỉnh Sau xác định màu tơ đỉnh Hình 3.8 ta tơ màu cho đồ thị biểu diễn hình vẽ sau Vậy cần màu để tơ đỉnh đồ thị đài phát Do ta cần kênh để chia cho đài phát 51 Ví dụ 3.4.2 Một thảo cầm viên nhập loại thú khác nhau, mà ta kí hiệu A, B, C, D, E, F Một số loại sống chuồng Các lồi thú khơng thể sống chung với biểu diễn bảng sau Vậy cần chuồng để nhốt tất loại thú đó? Ta quy tốn tơ màu đỉnh đồ thị sau: đỉnh đồ thị loài thú Hai đỉnh nối với cạnh, hai lồi thú khơng thể nhốt chung chuồng Hình 3.9: Đồ thị sau tơ Áp dụng thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị, ta tìm số lượng chuồng cần có Như vậy, ta thu lời giải cho toán sau 52 3.5 Bài toán Sudoku Vào kỷ thứ XVIII nhà toán học Leonhard Euler sáng tạo trị chơi hình vng Latinh, với luật chơi xếp số cho chúng không trùng lặp theo chiều ngang lẫn chiều dọc Sau trị chơi du nhập vào Nhật nhà xuất Nikoli đổi tên thành Sudoku Bài toán đặt cho người chơi sau Điền số từ đến vào ô trống bảng hình vng (9x9) cho cột dọc, hàng ngang, khối vng nhỏ (ơ 3x3) có đủ số từ đến mà không lặp lại Trong bảng có vài nhỏ đánh số tuỳ theo mức độ nhiều hay manh mối, câu đố xếp loại dễ, trung bình, khó hay cực khó Ngồi ra, cịn bảng 4x4, 16x16, 25x25 hay chí 100x100 Đã có nhiều nhà toán học sử dụng phương pháp khác để giải câu đố Sudoku Năm 2007, hai nhà toán học Herzberg Murty phát triển phương pháp để tính số cách mà người ta tơ màu đỉnh đồ thị, tơ màu phần cho khơng có hai đỉnh liền kề có màu Bằng phương pháp này, ta tìm lời giải cho câu đố Sudoku định Sau lời giải cho toán Sudoku Trước hết, chuyển bảng Sudoku với 9Ư9 Sudoku thành đồ thị Đồ thị có 81 đỉnh với đỉnh tương ứng với ô bảng Hai đỉnh khác biệt kề ô tương ứng bảng nằm hàng, cột, bảng (3x3) Bảng Sudoku giải xong đồ thị tô k màu thích hợp Xét bảng có kích thước n2 xn2 Đối với ô bảng, liên kết 53 đỉnh có nhãn (i, j) với ≤ i, j ≤ n2 Ta nói (i, j) (i , j ) liền kề i = i j = j [i/n] = [i /n] [j/n] = [j /n] (kí hiệu [.] phần nguyên số) Kí hiệu đồ thị Xn gọi đồ thị Sudoku hạng n Đồ thị gọi tung độ đỉnh Ta tính bậc đồ thị Xn 3n2 − 2n − = (3n + 1)(n − 1) Trường hợp n = đỉnh X3 có bậc 20 số cạnh |H| = 20x81/2 = 810 Thuật tốn tơ màu đồ thị Sudoku gồm bước sau Bước : Đỉnh tô màu chọn liên kết cạnh màu với tất đỉnh khác tập hợp mà đỉnh nằm Các đỉnh khơng cịn tô màu Điều lặp lại cho tất đỉnh mà gợi ý đưa Bước 2: Các đỉnh mà số lượng cạnh màu lớn hội tụ tìm thấy (rất có ứng cử viên) Bước : Nếu có đỉnh số chúng tơ màu màu, chúng tơ màu với quy trình tiếp tục từ bước (khơng cần vẽ cạnh vào đồ thị dẫn đến đỉnh có cạnh khác màu) Nếu khơng có đỉnh vậy, quy trình tiếp tục với Bước Bước : Từ tập hợp đỉnh chọn đó, đỉnh liền kề với số lượng lớn đỉnh không tô màu chọn tơ màu thành màu có giá trị thấp không sử dụng cho đỉnh lân cận Nếu có nhiều đỉnh vậy, số chúng chọn ngẫu nhiên Trong bước tiếp theo, thuật toán tiếp tục từ bước Ví dụ 3.5.1 Cho tốn Sudoku có kích thước 4x4 sau 54 Chuyển sang đồ thị Sudoku có 16 đỉnh 56 cạnh Áp dụng thuật tốn tơ màu theo Bước ta có hình sau 55 Đồ thị sau thực Bước Ta có ma trận biểu diễn Kết tốn sau 56 Ví dụ 3.5.2 Cho tốn Sudoku có kích thước 9x9 sau Áp dụng thuật tốn tơ màu ta có kết sau 57 Kết luận Trong luận văn thực cơng việc sau Trình bày số vấn đề tô màu đồ thị, sắc số đồ thị (Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3) Tính tốn chi tiết tường minh sắc số đồ thị (Mệnh đề 1.2.7, Mệnh đề 1.2.8, Mệnh đề 1.2.9, Mệnh đề 1.2.10) Trình bày thuật tốn tơ màu đỉnh đồ thị (Mục 1.3, Ví dụ 1.3.1) Trình bày số vấn đề đa thức màu đồ thị (Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7) Tính tốn chi tiết tường minh đa thức màu số họ đồ thị đặc biệt có bậc ≤ n ≤ (Ví dụ 2.2.10) Sưu tầm trình bày chi tiết lời giải số tốn có nội dung thực tế liên quan đến tô màu đỉnh đồ thị: Bài tốn điều khiển đèn tín hiệu giao thơng (Mục 3.1), tốn lập lịch thi (Mục 3.2), tốn lập thời khóa biểu (Mục 3.3), tốn phân chia tần số (Mục 3.4), toán Sudoku (Mục 3.5) 58 Danh mục tài liệu tham khảo [1] Vũ Đình Hịa (2003), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Berge C (1971) Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] J Bondy, U Murty (1967), Graph theory with applications, American Elsevier Pub, New York [4] G Chartrand, L Lesniak (2005), Graphs and Digraphs, Chapman and Hall/CRC, London [5] R Diestel (2006), Graph Theory, Springer-Verlag New York, New York [6] Graph Theory Part http://web.math-alive/5/Notes2.pdf [7] The University of Sydney Math (2009), Graph Theory, Tutorial Solutions (2004) [8] Sudoku Squares and Chromatic Polynomials, Agnes M.Heberg and M.Ram Murty https://www.ams.org/notices/200706/tx070600708p.pdf 59 Quyết định ... Tập đỉnh đồ thị G E(G) Tập cạnh đồ thị G δ(G) Bậc bé đồ thị G ∆(G) Bậc lớn đồ thị G deg G v Bậc đỉnh v đồ thị G Pn Đồ thị đường Kn Đồ thị đầy đủ Cn Đồ thị chu trình Wn Đồ thị bánh xe Km,n Đồ thị. .. Hình 1.8: Đồ thị sau tô đỉnh F Cuối đỉnh G tô với màu 5, khơng thể tơ màu với màu bốn màu khác 20 Hình 1.9: Đồ thị sau tô đỉnh G Như ta tô màu đỉnh đồ thị với màu Cách 2: Tô màu đỉnh G, F, B,... Chương SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ Chương trình bày số vấn đề tô màu đỉnh đồ thị Vấn đề tìm sắc số số lớp đồ thị đặc biệt như: đồ thị đường, đồ thị đầy đủ, đồ thị chu trình, đồ thị bánh xe, đồ thị hai nhánh