3 Một số bài toán ứng dụng
3.4 Bài toán phân chia tần số
Có m đài phát thanh. Hãy chia các kênh cho các đài phát thỏa mãn hai đài cách nhau không quá n km không được trùng kênh và số kênh dùng là ít nhất. Ta lập đồ thị có các đỉnh là các đài phát thanh và hai đài phát kề nhau nếu khoảng cách giữa chúng không quá n km. Kênh truyền thanh của mỗi đài được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy bài toán phân chia tần số trở thành bài toán tô màu đỉnh của đồ thị với số màu ít nhất.
Ví dụ 3.4.1. Có 6 đài truyền thanh ở cách nhau như đã cho ở Hình 3.6. Mỗi đài sẽ được cấp 1kênh để phát sóng. Hãy tìm số kênh ít nhất cần phát, biết hai đài cách nhau không quá 150 km sẽ không được cấp phát chung một kênh.
Hình 3.6: Khoảng cách các đài phát thanh
Ta xây dựng đồ thị với các đỉnh là các đài phát thanh. Hai đỉnh kề nhau nếu hai đài truyền thanh đặt cách nhau không quá150 km. Đồ thị thu được có dạng như Hình 3.7 dưới đây
Hình 3.7: Đồ thị mô phỏng6 đài phát thanh
Dùng thuật toán tô màu đỉnh đồ thị, ta tô màu cho đồ thị ta thu được kết quả như Hình 3.8 dưới đây
Hình 3.8: Gán màu theo bậc của đỉnh
Sau khi xác định được màu tô của các đỉnh như Hình 3.8 ta tô được màu cho đồ thị biểu diễn bởi hình vẽ sau
Vậy cần ít nhất là 3 màu để tô các đỉnh đồ thị 6 đài phát thanh. Do đó ta cần 3 kênh để chia cho các đài phát thanh.
Ví dụ 3.4.2. Một thảo cầm viên nhập về 6 loại thú khác nhau, mà ta kí hiệu làA, B, C, D, E, F. Một số loại trong đó có thể sống cùng trong một chuồng. Các loài thú nào không thể sống chung với nhau được biểu diễn như bảng sau
Vậy cần ít nhất bao nhiêu chuồng để có thể nhốt tất cả các loại thú đó? Ta quy về bài toán tô màu đỉnh của đồ thị như sau: mỗi đỉnh của đồ thị là một loài thú. Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh, nếu hai loài thú không thể nhốt chung một chuồng.
Hình 3.9: Đồ thị sau khi tô
Áp dụng thuật toán tô màu đỉnh đồ thị, ta tìm được số lượng chuồng ít nhất cần có là 3. Như vậy, ta thu được lời giải cho bài toán như sau