3 Một số bài toán ứng dụng
3.2 Bài toán lập lịch thi
Giả sử mỗi sinh viên phải thi một số môn trong n môn thi. Hãy xếp lịch thi sao cho không có sinh viên nào có 2 môn thi cùng một lúc và số đợt thi là ít nhất.
Ta quy về bài toán tô màu đỉnh của đồ thị: các đỉnh là các môn thi và hai đỉnh kề nhau nếu có một sinh viên thi cả hai môn này cùng một lúc. Mốc thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau dùng để tô cho các đỉnh của đồ thị.
Ví dụ 3.2.1.Có7môn thi cần xếp lịch. Các môn học được kí hiệuA, B, C, D, E, F, G. Các cặp môn thi sau có chung sinh viên
(A, B),(A, C),(A, D),(A, G),(B, C),(B, D),(B, E),(B, G),
(C, D),(C, F),(C, G),(D, E),(D, F),(E, F),(E, G),(F, G).
Hãy xếp lịch thi cho các sinh viên sao cho số đợt thi là ít nhất.
Ta quy về bài toán tô màu đỉnh của đồ thị với 7 đỉnh là bảy môn thi, hai đỉnh kề nhau nếu có sinh viên thi cả hai môn thi đó. Như vậy ta có mô hình biểu diễn 7 môn thi như Hình 3.4.
Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn7môn thi
Dùng thuật toán tô màu đỉnh đồ thị, ta tô màu cho các đỉnh của đồ thị và nhận được kết quả trong bảng dưới đây
Dựa vào bảng tô màu trên ta tô được màu các đỉnh đồ thị biểu diễn bởi Hình 3.5 như sau
Vậy ta có lịch thi của sinh viên gồm 4 đợt và số đợt thi là ít nhất. Đợt I: thi môn B, F Đợt II: thi môn C, E
Đợt III: thi môn D, G Đợt IV: thi môn A
Ví dụ 3.2.2. Tại một trường học, trong một học kỳ của năm học nhà trường tổ chức cho học sinh lớp 12(thí sinh tự do) theo học một trong bảy lớp sau
Lớp 1 sẽ học các môn: Toán, Tiếng Anh, Sinh, Hóa. Lớp 2 sẽ học các môn: Toán, Tiếng Anh, Tin, Địa. Lớp 3 sẽ học các môn: Sinh, GDCD, Lý, Địa. Lớp 4 sẽ học các môn: Văn, Tin, Sinh, Sử.
Lớp 5 sẽ học các môn: Tiếng Anh, GDCD, Tin, Sử. Lớp 6 sẽ học các môn: Văn, GDCD, Tin, Hóa. Lớp 7 sẽ học các môn: Địa, GDCD, Lý, Sử.
Cuối học kỳ nhà trường tổ chức cho các lớp thi các môn đã học. Hãy xếp một lịch thi để học sinh các lớp đều có thể tham gia thi các môn mà họ đã học và không được chồng chéo nhau, sao cho số lần tổ chức thi là ít nhất. Ta có bảng sau
Ta đưa về bài toán tô màu đỉnh của đồ thị: mỗi đỉnh của đồ thị là một môn học, hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh nếu hai môn học không thể thi cùng một đợt.
Áp dụng thuật toán tô màu đỉnh đồ thị, ta tìm được số lần tổ chức thi ít nhất cần có là 6.
Như vậy, ta thu được lời giải cho bài toán trên như sau