Cho G là đồ thị có n đỉnh. Giả sử với mỗi đỉnh v của G, tồn tại một danh sách L(v) gồm k màu, sao cho có duy nhất một tô màu cho đồ thị G từ các danh sách màu này, khi đó G được gọi là đồ thị duy nhất k-tô màu danh sách.
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT Tập 10, Số 2, 2020 85-93 TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ TÁCH CỰC ĐẦY ĐỦ DUY NHẤT K-TÔ MÀU DANH SÁCH Lê Xuân Hùnga* a Khoa Khoa học Đại cương, Trường Đại học Tài nguyên Môi trường Hà Nội, Hà Nội, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Email: lxhung@hunre.edu.vn Lịch sử báo Nhận ngày 22 tháng năm 2019 Chỉnh sửa ngày 01 tháng 01 năm 2020 | Chấp nhận đăng ngày 13 tháng 01 năm 2020 Tóm tắt Cho G đồ thị có n đỉnh Giả sử với đỉnh v G, tồn danh sách L(v) gồm k màu, cho có tô màu cho đồ thị G từ danh sách màu này, G gọi đồ thị k-tô màu danh sách Đồ thị G gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V = I K cho đồ thị G cảm sinh I đồ thị rỗng đồ thị G cảm sinh K đồ thị đầy đủ Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa Foldes Hammer (1977) Các đồ thị nghiên cứu nhiều lý thuyết đồ thị Bài báo nghiên cứu tính chất đồ thị tách cực đầy đủ k-tơ màu danh sách Từ khóa: Đồ thị k-tô màu danh sách; Đồ thị tách cực; Tô màu danh sách đỉnh; Tô màu đỉnh DOI: http://dx.doi.org/10.37569/DalatUniversity.10.2.572(2020) Loại báo: Bài báo nghiên cứu gốc có bình duyệt Bản quyền © 2020 (Các) Tác giả Cấp phép: Bài báo cấp phép theo CC BY-NC 4.0 85 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] PROPERTIES OF UNIQUELY K-LIST COLORABLE COMPLETE SPLIT GRAPHS Le Xuan Hunga* a The Faculty of Basic Sciences, Hanoi University of Natural Resources and Evironment, Hanoi, Vietnam * Corresponding author: Email: lxhung@hunre.edu.vn Article history Received: May 22nd, 2019 Received in revised form: January 1st, 2020 | Accepted: January 13th, 2020 Abstract Let G be a graph with n vertices Suppose that for each vertex v in G there exists a list L(v) of k colors, such that there is a unique proper coloring for G from this collection of lists, then G is called a uniquely k-list colorable graph A graph G is called a split graph if there exists a partition V = I K such that the subgraphs of G induced by I and K are empty and complete, respectively The notion of split graphs was introduced in 1977 by S Foldes and P L Hammer, and these graphs have since received much attention in graph theory In this paper, we characterize the properties of complete split graphs that are uniquely k-list colorable graphs Keywords: List coloring; Split graph; Uniquely k-list colorable graphs; Vertex coloring DOI: http://dx.doi.org/10.37569/DalatUniversity.10.2.572(2020) Article type: (peer-reviewed) Full-length research article Copyright © 2020 The author(s) Licensing: This article is licensed under a CC BY-NC 4.0 86 Lê Xuân Hùng ĐẶT VẤN ĐỀ Tất đồ thị nói tới báo đơn đồ thị hữu hạn, vô hướng, khun, khơng có cạnh bội Nếu G đồ thị, V(G) (hoặc V) gọi tập đỉnh E(G) (hoặc E) gọi tập cạnh Tập hợp tất đỉnh hàng xóm tập S V(G) ký hiệu NG (S) (hoặc N(S)) Với đỉnh v V(G), ta gọi |NG (v)| bậc đỉnh v, ký hiệu degG(v) (hoặc deg(v)) Đồ thị G cảm sinh tập U V(G) ký hiệu G[U] Ngoài ra, số khái niệm ký hiệu khác định nghĩa Behazad Chartrand (1971) • Đồ thị G = (V,E) có cấp |V(G)| = n cỡ |E(G)| = gọi đồ thị rỗng, ký hiệu On; • Đồ thị G = (V,E) có cấp |V(G)| = n cỡ | E (G ) |= n( n − 1) gọi đồ thị đầy đủ cấp n, ký hiệu Kn; • ̅ = (𝑉̅ , 𝐸̅ ) gọi đồ thị bù đồ thị G = (V,E) V ̅ = V với Đồ thị G ̅ ta có uv E̅ uv E; u,v V • Đồ thị G = (V,E) gọi đồ thị hai phần có phân hoạch V = V1 V2 cho G[V1 ] G[V2 ] đồ thị rỗng; • Đồ thị G = (V,E) gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V = I K cho đồ thị G[I] đồ thị rỗng đồ thị G[K] đồ thị đầy đủ Đồ thị tách cực ký hiệu S(I K,E) Trong đồ thị tách cực G = S(I K,E), deg(v) = |K| với v I đồ thị G gọi đồ thị tách cực đầy đủ, ký hiệu S(|I|,|K|) Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 Foldes Hammer (1977, tr 311) Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan nhiều đến vấn đề tổ hợp khoa học máy tính như: Bài tốn đóng gói xếp ba lô quy hoạch nguyên (Chvatal & Hammer, 1977); Lý thuyết Matroid (Foldes & Hammer, 1978); Nghiên cứu hàm Boolean (Peled, 1975); Giải việc xử lý song song chương trình máy tính (Henderson & Zalcstein, 1977); Xác định công việc hệ phân tán (Hesham & Hesham, 1993); Sự tồn chu trình Hamilton (Lê, 2018; Ngo & Le, 2004; Ngo & Le, 2005) Giả sử G đồ thị số nguyên dương Một ánh xạ f :E(G) → {1,2,…,} gọi -tô màu (-coloring) đồ thị G với cặp đỉnh u,v kề G ta ln có f(u) ≠ f(v) Vấn đề tơ màu danh sách đề cập lần Erdos, Rubin, Taylor (1979) Cho đồ thị G = (V,E), với đỉnh v V ta cho danh sách màu L(v) 87 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] Nếu c tô màu đỉnh G thỏa mãn c(v) L(v) với v V ta gọi c tô màu danh sách đỉnh (hay tô màu danh sách) từ danh sách L(v) Đồ thị G gọi k-tô màu danh sách (k-list colorable) với họ (L(v))vV thỏa mãn |L(v)|= k với v V, ta ln có tơ màu đỉnh từ danh sách L(v) Số nguyên dương k nhỏ để đồ thị G k-tô màu danh sách gọi sắc số danh sách (list-chromatic number) G, ký hiệu ch(G) Nếu có họ (L(v))vV thỏa mãn |L(v)|= k với v V, cho tồn k-tô màu danh sách cho đồ thị G đồ thị G gọi k-tô màu danh sách (uniquely k-list colorable), ký hiệu UkLC Khái niệm đồ thị k-tô màu danh sách đưa Mahmoodian Mahdian (1997), tốn khó, nghiên cứu nhiều, nhiên kết đạt cho lớp đồ thị cụ thể Vì vậy, vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Đối với lớp đồ thị tách cực, vấn đề tính tơ màu giải triệt để (Lê, 2014), xác định sắc số danh sách (Lê, 2016) lớp đồ thị Bài báo đưa số tính chất đồ thị tách cực chúng k-tô màu danh sách CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Từ vấn đề nêu Mục 1, ta có: Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian, 1997, tr 2): Nếu G đồ thị UkLC G đồ thị U(k–1)LC Chúng ta nói đồ thị G có tính chất M(k) G khơng đồ thị k-tô màu danh sách Dưới số lớp đồ thị đặc biệt có tính chất M(2) Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian, 1997, tr 3): Chu trình, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần đầy đủ đồ thị có tính chất M(2) (nghĩa là, đồ thị khơng đồ thị U2LC) Số k nhỏ cho G có tính chất M(k) ký hiệu m(G) Dưới số tính chất m(G) Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian, 1997, tr 3): Nếu G đồ thị UkLC k < m(G) Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian, 1997, tr 4): Với đồ thị G ta ln có ̅ )| + m(G) ≤ |E(G Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian 1997, tr 6): Nếu G đồ thị UkLC ta ln |V(G)| có ≥ 3k – Dưới mệnh đề minh họa cho khái niệm trên: Mệnh đề 6: Cho đồ thị tách cực đầy đủ G = S(2,2) Khi đó: i) G đồ thị U2LC; ii) G có tính chất M(3); iii) m(G)= 88 Lê Xuân Hùng Chứng minh: i) Giả sử đồ thị tách cực đầy đủ G = S(2,2) có tập đỉnh IK, I = {u1 ,u2 } , K = {v1 ,v2 } Ta thiết lập danh sách màu cho đỉnh sau: L(u1 ) = {1,3}, L (u2 ) = {2,3}, L(v1 ) = {1,3}, L (v2 ) = {2,3} Từ danh sách màu trên, rõ ràng tồn tô màu f cho đồ thị S(2,2) sau: f (v1 ) = 1, f (v2 ) = 2, f (u1 ) = 3, f (u2 ) = 3.Vậy, đồ thị S(2,2) U2LC; ii) Giả sử đồ thị U3LC, theo Bổ đề ta có:|V(G)| ≥ 3.3 – = 7, điều vơ lý |V(G)| = Do G có tính chất M(3); iii) Từ i) Bổ đề ta có: m(G) > 2, từ (ii) ta có m(G) ≤ Do m(G) = 3 KẾT QUẢ CHÍNH Từ kết có ta suy số tính chất đơn giản đây: Mệnh đề 7: Giả sử đồ thị tách cực đầy đủ G = S(m,n) đồ thị UkLC với k ≥ m2 − m + m + n + 2 Khi đó: i) m ≥ 2; ii) k ; iii) k Chứng minh: i) Giả sử m = Khi G đồ thị đầy đủ Kn+1 Theo Bổ đề 2, G có tính chất M(2), điều trái với giả thiết G đồ thị UkLC với k ≥ 2; ( ) ii) Dễ dàng nhận thấy E G = ( ) m (G ) E G + = m ( m − 1) Từ Bổ đề suy m ( m − 1) m2 − m + +2= 2 m2 − m + Theo Bổ đề ta có k ; iii) Suy trực tiếp từ Bổ đề Phần lại báo giả sử đồ thị tách cực đầy đủ G = S(m,n) đồ thị UkLC có tập đỉnh I K với m ≥ 2, n ≥ 1, k ≥ 3, đó: I = {u1 ,u2 ,…,um }, K= {v1 ,v2 ,…,vn } Giả sử với họ danh sách màu đỉnh đây: L(ui ) = {ci,1 ,ci,2 ,…,ci,k } với i = 1,2,…,m, L(vi ) = {di,1 ,di,2 ,…,di,k } với i = 1,2,…,n 89 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ] Đồ thị G có tô màu danh sách f cho: f (ui ) = ci,1 với i = 1,2,…,m, f (vi ) = di,1 với i = 1,2,…,n Chú ý rằng, ci,1 , ci,2 ,…,ci,k đôi khác với i = 1,2,…,m, di,1 , di,2 ,…,di,k đôi khác với i = 1,2,…,n Với ký hiệu nêu ta có tính chất sau: Định lý 8: i) di,1 ≠ dj,1 với i, j thỏa mãn ≤ i, j ≤ n i ≠ j; ii) ci,1 ≠ dj,1 với i, j thỏa mãn ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n; iii) ci,1 {cj,2 ,cj,3 ,…,cj,k } với i, j = 1,2,…,m Chứng minh: i) Vì G[K] đồ thị đầy đủ nên di,1 = f(vi ) ≠ f(vj ) = dj,1 với i, j thỏa mãn ≤ i, j ≤ n i ≠ j; ii) Vì G[K{ui }] đồ thị đầy đủ với i = 1,2,…,m nên ci,1 = f(ui ) ≠ f(vj ) = dj,1 với i, j thỏa mãn ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n; iii) Nếu i = j hiển nhiên ta có ci,1 {cj,2 ,cj,3 ,…,cj,k }với i, j = 1,2,…,m Bây ta xét trường hợp i ≠ j Giả sử tồn i0, j0 cho i0, j0 = 1,2,…,m, i0 ≠ j0 ci0,1 {cj0,2 ,cj0,3 ,…,cj0 ,k } Dễ dàng thấy ci0,1 ≠ cj0,1 Xét tô màu f ' G sau: f '(uj0 ) = ci0,1 ; f '(ui ) = ci,1 với i {1,2,…,m}, i ≠ j0;f '(vi ) = di,1 với i = 1,2,…,n Rõ ràng f ' k-tô màu danh sách G f ' ≠ f, điều vơ lý G đồ thị UkLC Tiếp theo ta đặt ̅̅̅̅̅ f(v) = L(v)\{f(v)} với v I K Chúng ta có tính chất đây: f (v) Định lý 9: i) ≤ |f(I)| ≤ m – ; ii) vI K vI K f ( v ) ; iii) Tồn i {1,2,…,n} cho ̅̅̅̅̅̅ f (vi ) f(I) Chứng minh: i) Trước hết ta chứng minh |f(I)| ≥ Bằng phản chứng, giả sử |f(I)| = 1, ta có c1,1 = c2,1 =…= cm,1 = a Đặt H = G – I, dễ dàng nhận thấy H đồ thị đầy đủ Kn Ta thiết lập họ danh sách màu L'(v) đỉnh H sau: Với v V(H): a L(v) L'(v) = L(v)\{a}; Nếu a L(v) L'(v) = L(v)\{b}, b L(v) b ≠ f (v) Rõ ràng ta có|L'(v)| = k – ≥ với v V(H) Theo Bổ đề 2, đồ thị H có tính chất M(2), theo Bổ đề H có tính chất M(k – 1) Vì vậy, từ danh sách màu L'(v) tồn hai cách tơ màu cho đỉnh H Từ hai cách tô màu dễ dàng mở rộng thành hai cách tô màu cho đỉnh G từ họ danh sách L(v), v V(G), điều mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị UkLC Bây ta chứng minh |f(I)| ≤ m –2 Giả sử |f(I)| ≥ m – Ta xét hai trường hợp đây: 90 Lê Xuân Hùng • Trường hợp 1:|f(I)| = m Trong trường hợp ta có c1,1 ,c2,1 ,…, cm,1 đôi phân biệt Xét đồ thị G'=(V', E') , V ' = I K, E ' = E(G) {ui uj | i,j = 1,2,…,m; i ≠ j} Dễ dàng nhận thấy G' đồ thị đầy đủ Km+n Theo Bổ đề 2, đồ thị G' có tính chất M(2), có hai cách tô màu cho đỉnh G' từ họ danh sách L(v), vV(G) (chú ý f cách tô màu cho đồ thị G') Hai cách tơ màu hai cách tô màu cho đồ thị G, điều mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị UkLC • Trường hợp 2:|f(I)| = m – 1.Khơng tính tổng qt, ta giả sử c1,1 = c2,1 c2,1 ,…, cm,1 đôi phân biệt Xét đồ thị G'' = (V'', E''), đó: V'' = I K, E'' = (E(G) {ui uj | i , j = 1, 2,…, m ; i ≠ j})\{u1 u2 } Dễ dàng nhận thấy G'' đồ thị tách cực đầy đủ S (2, m + n – 2) với tập đỉnh I'' K'', I '' = {u1 , u2 }, K '' = {u3 , u4 ,…,um , v1 , v2 ,…,vn }.Vì c1,1 = c2,1 nên lập luận tương tự chứng minh trường hợp |f(I)| ≥ 2, ta nhận mâu thuẫn; f (v) ii) Ta chứng minh vI K f (v) Giả sử vI K vI K f ( v ) phương pháp phản chứng f ( v ) Khi tồn i0, j0 cho ci , j ≤ i0 ≤ m, ≤ j0 ≤ k (hoặc di , j vI K vI K vI K f ( v ) với f ( v ) với ≤ i0 ≤ n, ≤ j0 ≤ k) Ta xét trường hợp đây: • Trường hợp 1: Tồn i0, j0 cho ci , j 0 vI K f ( v ) với ≤ i0 ≤ m, ≤ j0 ≤ k Giả sử f ' tô màu G sau: f '(ui0 ) = ci0, j0 , f '(ui ) = ci,1 với i {1,2,…,m} \ {i0 }, f '(vi ) = ci,1 với i {1,2,…,n} Rõ ràng f ' tô màu danh sách G từ họ danh sách L(v), v V(G), điều mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị UkLC • Trường hợp 2: Tồn i0, j0 cho di0 , j0 vI K f ( v ) với ≤ i0 ≤ n, ≤ j0 ≤ k Giả sử f '' tô màu G sau: f ''(ui ) = ci,1 với i {1,2,…,m}, f ''(vi0 ) = di0,j0 f ''(vi ) = di,1 với i {1,2,…,n} \ {i0 } Rõ ràng f '' tô màu danh sách G từ họ danh sách L(v), vV(G), điều mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị UkLC; iii) Ta chứng minh khẳng định phương pháp phản chứng 91 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT [CHUYÊN SAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ] Giả sử với i {1,2,…,n} ta có ̅̅̅̅̅̅ f (vi ) f(I), suy |f̅̅̅̅̅̅ (vi ) \ f (I)| ≥ Do đó, ta có |L(vi )\ f (I)| ≥ với i {1,2,…,n} Xét đồ thị H = G – I = G[K ] = Kn Với vi (i {1,2,…,n}), ta chọn danh sách màu L '(vi ) sau: L '(vi ) L(vi ) \ f(I) cho |L '(vi ) | = Theo Bổ đề 2, đồ thị H có tính chất M(2), từ danh sách màu L '(v) tồn hai cách tơ màu cho đỉnh H Từ hai cách tô màu dễ dàng mở rộng thành hai cách tô màu cho đỉnh G từ họ danh sách L(v), vV(G), điều mâu thuẫn với giả thiết G đồ thị UkLC KẾT LUẬN Những tốn tơ màu đồ thị ln vấn đề khó thời lý thuyết đồ thị Cho đến có loại tơ màu khác (tơ màu đỉnh, tô màu cạnh, tô màu tổng thể, tô màu danh sách, đồ thị tô màu ) nghiên cứu nhiều lớp đồ thị, kết đạt phong phú sâu sắc Tuy vậy, vấn đề đặt chưa giải trọn vẹn, vấn đề mở, cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu Với xu hướng đó, báo chúng tơi đề cập đến vấn đề đồ thị tô màu danh sách, kết đạt số tính chất đồ thị tách cực đầy đủ đồ thị tô màu danh sách (tiêu biểu Định lý Định lý 9) Từ kết này, hy vọng thời gian tới có kết sâu sắc việc nghiên cứu vấn đề đồ thị tô màu danh sách cho lớp đồ thị tách cực đầy đủ TÀI LIỆU THAM KHẢO Behazad, M., & Chartrand, G (1971) Introduction to the theory of graphs Boston, USA: Allyn and Bacon Publisher Chvatal, V., & Hammer, P L (1977) Aggregation of inequalities in integer programming Annals of Discrete Mathematics, 1, 145-162 Erdos, P., Rubin, A L., & Taylor, H (1979) Choosability in graphs Paper presented at The West Coast Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, USA Foldes, S., & Hammer, P L (1977) Split graphs Paper presented at The 8th Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, USA Foldes, S., & Hammer, P L (1978) On a class of matroid-producing graphs Colloquium of the Janos Bolyai Mathematical Society, 18, 331-352 Henderson, P B., & Zalcstein, Y (1977) A graph-theoretic characterization of the PVchunk class of synchroniring primitive SIAM Journal on Computing, 6(1), 88-108 Hesham, A., & Hesham, E R (1993) Task allocation in distributed systems: A split graph model Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 14, 15-32 Lê, X H (2014) Sắc số, đa thức tơ màu, tính tơ màu đồ thị tách cực Tạp chí Khoa học Giáo dục, 13(4), 23-27 92 Lê Xuân Hùng Lê, X H (2016) Tô màu danh sách đồ thị tách cực Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, (106), 78-80 Lê, X H (2018) Chu trình Hamilton đồ thị tách cực Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, (124), 94-97 Mahmoodian, E S., & Mahdian, M (1997) On the uniquely list colorable graphs Paper presented at The 28 Annual Iranian Mathematical Conference, Iran Ngo, D T., & Le, X H (2004) Hamilton cycles in split graphs with large minimum degree Discussiones Mathematics Graph Theory, 24(1), 23-40 Ngo, D T., & Le, X H (2005) On the Burkard-Hammer codition for Hamiltonian split graphs Discrete Mathematics, 296(1), 59-72 Peled, U N (1975) Regular Boolean functions and their polytope (PhD thesis) University of Waterloo, Canada 93 ... G[K] đồ thị đầy đủ Đồ thị tách cực ký hiệu S(I K,E) Trong đồ thị tách cực G = S(I K,E), deg(v) = |K| với v I đồ thị G gọi đồ thị tách cực đầy đủ, ký hiệu S(|I|,|K|) Khái niệm đồ thị tách cực. .. có tính chất M(k) G không đồ thị k-tô màu danh sách Dưới số lớp đồ thị đặc biệt có tính chất M(2) Bổ đề (Mahmoodian & Mahdian, 1997, tr 3): Chu trình, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần đầy đủ đồ thị. .. |L(v)|= k với v V, cho tồn k-tô màu danh sách cho đồ thị G đồ thị G gọi k-tô màu danh sách (uniquely k-list colorable), ký hiệu UkLC Khái niệm đồ thị k-tô màu danh sách đưa Mahmoodian Mahdian