Một trong những vấn đề chủ yếu trong lý thuyết đồ thị là bài toán tô màu đồ thị. Đặc biệt là xác định sắc số, đa thức tô màu và nghiên cứu tính duy nhất tô màu của đồ thị. Trong bài viết này chúng ta sẽ xác định sắc số, đa thức tô màu và nghiên cứu tính duy nhất tô màu của đồ thị tách cực.
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.4 (2014) SẮC SỐ, ĐA THỨC TƠ MÀU VÀ TÍNH DUY NHẤT TÔ MÀU CỦA ĐỒ THỊ TÁCH CỰC CHROMATIC NUMBER, CHROMATIC POLYNOMIALS AND CHROMATIC UNIQUENESS OF SPLIT GRAPHS Lê Xuân Hùng Trường Đại học Tài nguyên Hà Nội Email: lxhung@hunre.edu.vn TÓM TẮT Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 S Foldes P.L Hammer Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan vấn đề tổ hợp khoa học máy tính tốn đóng gói xếp ba lơ quy hoạch ngun, lý thuyết matroid, nghiên cứu hàm Boolean, giải việc xử lý song song chương trình máy tính xác định công việc hệ phân tán,… Một vấn đề chủ yếu lý thuyết đồ thị tốn tơ màu đồ thị Đặc biệt xác định sắc số, đa thức tô màu nghiên cứu tính tơ màu đồ thị Trong báo xác định sắc số, đa thức tơ màu nghiên cứu tính tơ màu đồ thị tách cực Từ khóa: đồ thị tách cực; tô màu đỉnh (tô màu); sắc số; đa thức tô màu; đồ thị tô màu ABSTRACT The notion of split graphs was introduced in 1977 by S Foldes and P.L Hammer These graphs have been extensively studied because they are in connection with combinatorial problems and computer science such as packing and knapsack problems, the matroid theory, Boolean function, the analysis of parallel processes of computer programs and the task allocation of distributed systems… One of the fundamental matters in graph theory is the graph coloring, especially the determination of chromatic number, chromatic polynomials, and the uniqueness of graph coloring This paper determines the chromatic number, chromatic polynomials and chromatical uniqueness of split graphs Key words: split graph; vertex colorings (colorings); chromatic number; chromatic polynomials; chromatically unique graph Giới thiệu Tất đồ thị nói tới báo đơn đồ thị hữu hạn, vơ hướng, khơng có khun khơng có cạnh bội Nếu G đồ thị, V(G) (hoặc V) gọi tập đỉnh E(G) (hoặc E) gọi tập cạnh Tập hợp tất đỉnh hàng xóm tập S V (G) ký hiệu N G (S ) (hoặc N(S)) Với đỉnh v V (G) , ta gọi N G (v ) bậc đỉnh v, ký hiệu degG (v) (hoặc deg(v)) Đồ thị G cảm sinh tập U V (G) ký hiệu G[U ] Đồ thị rỗng cấp n đồ thị đầy đủ cấp n ký hiệu On K n Ngoài ra, số khái niệm ký hiệu khác định nghĩa [1] Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị tách cực tồn phân hoạch V = I K cho đồ thị G[I] đồ thị rỗng đồ thị G[K] đồ thị đầy đủ Chúng ta ký hiệu đồ thị tách cực S ( I K , E ) Khái niệm đồ thị tách cực định nghĩa vào năm 1977 Foldes Hammer [11] Các đồ thị nghiên cứu nhiều chúng có liên quan nhiều đến vấn đề tổ hợp khoa học máy tính tốn đóng gói xếp ba lô quy hoạch nguyên [5], lý thuyết matroid [7], nghiên cứu hàm Boolean [12], giải việc xử lý song song chương trình máy tính [8] xác định công việc hệ phân tán [9],… Giả sử G đồ thị số 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC nguyên dương Một ánh xạ f : V (G) → 1,2, , gọi -tô màu ( -coloring) đồ thị G với cặp đỉnh u, v kề G ta ln có f (u ) f (v) Số nhỏ để đồ thị G có -tô màu gọi sắc số đồ thị G ký hiệu (G) Đồ thị G gọi k- (G) = k gọi r-tới hạn (G) = r ( H ) (G) với H đồ thị sắc thực G Hai -tô màu f g đồ thị G gọi khác tồn u V (G) cho f (u) g (u) Ta ký hiệu P(G, ) (hoặc P(G)) số tất -tô màu khác đồ thị G Người ta chứng minh với đồ thị G, P(G, ) đa thức Đa thức gọi đa thức tô màu G Khái niệm đa thức tô màu đưa vào năm 1912 Birkhoff [2] ông cố gắng tìm kiếm lời giải tốn bốn màu Đến thu nhiều kết sâu sắc ' Hai đồ thị G G gọi tương đương tô màu hay -tương đương P(G, ) = P(G ' , ) Đồ thị G gọi tô màu hay ' -duy với đồ thị G tương đương tơ ' màu với G ta có G G đẳng cấu với Như vậy, cấu trúc đồ thị tô màu G xác định hồn tồn đa thức tơ màu P(G, ) Cơ sở lý thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý thuyết Trước hết số kết biết đồ thị r-tới hạn Định lý ([3]) (i) Mọi đồ thị r-sắc chứa đồ thị r-tới hạn (ii) Nếu H đồ thị r-tới hạn H không đồ thị đầy đủ, V ( H ) r + Đồ thị G gọi đồ thị liên thông 24 TẬP 4, SỐ (2014) hai đỉnh G tồn đường Đồ thị G gọi k-liên thông ( k ) G đồ thị đầy đủ K k +1 , G có k + đỉnh khơng có tập gồm k – đỉnh tách Tiếp theo số kết biết đồ thị tương đương tô màu Định lý ([13]) Giả sử G H hai đồ thị tương đương tơ màu Khi (i) V (G ) = V ( H ) ; (ii) E (G ) = E ( H ) ; (iii) (G) = ( H ) ; (iv) G liên thông H liên thông; (v) G 2-liên thông H 2-liên thông Đồ thị liên thông -duy H gọi -duy yếu đồ thị H O1 -duy Đồ thị liên thông -duy H gọi -duy mạnh đồ thị H O1 -duy Ta có số kết sau đồ thị -duy mạnh Định lý ([10]) Giả sử G đồ thị liên thơng -duy Khi G -duy mạnh G 2-liên thông Định lý ([14]) Giả sử G đồ thị khơng liên thơng Khi G -duy G = H Ok , k , H đồ thị -duy mạnh 2.2 Phương pháp nghiên cứu Để đạt kết nghiên cứu, báo sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau, phương pháp đồ thị phương pháp tổ hợp sử dụng nhiều Kết đánh giá 3.1 Kết Trước hết ta phát biểu chứng minh kết sau sắc số đồ thị tách cực Định lý Giả sử G = S ( I K , E ) đồ UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION thị tách cực với | K |= n P(G, ) = ( − 1) ( − n + 1)( − t1 ) k = maxdeg(u) | u I ( − t m ) Trong Bảng ta định nghĩa đồ thị trợ (i) G đồ thị n-sắc k