Bài báo này trình bày một phần tử dầmcột có thể mô phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh. Hàm chuyển vị của cấu kiện dầmcột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện. Từ đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai. Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo. Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất và kết quả phân tích của nó được chứng minh là tin cậy qua các ví dụ số.
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG DÙNG HÀM CHUYỂN VỊ ĐA THỨC BẬC NĂM NONLINEAR ANALYSIS OF PLANAR STEEL FRAMES USING FIFTH-ORDER POLYNOMIAL DISPLACEMENT FUNCTION Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh, Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường TÓM TẮT Bài báo trình bày phần tử dầm-cột mô tác động bậc hai chảy dẻo kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Hàm chuyển vị cấu kiện dầmcột chịu lực dọc mômen uốn hai đầu mút giả định xấp xỉ hàm đa thức bậc năm thỏa điều kiện tương thích cân hai đầu mút cấu kiện Từ ma trận độ cứng với hàm ổn định có xét đến hiệu ứng cung thiết lập để giả lập xác tác động bậc hai Các hệ số chảy dẻo đầu mút sử dụng để mô chảy dẻo tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng phát triển ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa thuật toán giải phi tuyến theo phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ kết phân tích chứng minh tin cậy qua ví dụ số Từ khóa: Khớp dẻo, hiệu ứng cung, phân tích phi tuyến, khung thép, hàm đa thức bậc năm ABSTRACT This paper presents a beam-column element capable of modeling the second-order effects and the inelasticity of planar steel frame structures under static loads The displacement function of a beam-column member subjected to axial forces and bending moments at the ends is approximately assumed to be a fifth-order polynomial function satisfying the compatible and equilibrium conditions at the mid-length and ends of the member Then a stiffness matrix with stability functions considering the bowing effect is formulated in order to simulate the second-order effects accurately The end plasticity factors are used to model the gradual plastification of two end element sections by plastichinge assumption A structural nonlinear analysis program of steel frame structures is developed by MATLAB programming language based on the arc-length method combined with minimum residual displacement method and its analysis results are proved to be reliable through some numerical examples Keywords: Plastic-hinge, bowing effect, nonlinear analysis, steel frames, fifth-order polynomial function ThS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm Khoa Xây dựng & Cơ học ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM NCS, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM KS Lê Nguyễn Công Tín Khoa Xây dựng, Trường Đại học Xây dựng Miền Trung ThS Nguyễn Thị Thùy Linh Khoa Xây dựng, Trường Đại học Công nghệ Tp.HCM ThS Nguyễn Tấn Hưng Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng PGS.TS Ngô Hữu Cường Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM; Email: ngohuucuong@hcmut.edu.vn Giới thiệu Trong phân tích phi tuyến kết cấu, phương pháp dầm-cột xem phương pháp đơn giản hiệu việc mô tác động phi tuyến mà đảm bảo độ xác cần thiết cho phân tích thiết kế thực hành nghiên cứu phát triển Lui & Chen (1986) [1], Liew cộng (2000) [2], Kim & Choi (2001) [3], Ngo-Huu & Kim (2012) [4], Tuy nhiên, việc sử dụng hàm ổn định xác từ lời giải giải tích cấu kiện dầm-cột gây khó khăn việc khai triển công thức trình thiết lập ma trận độ cứng phần tử Năm 1994, Chan & Zhou [5] đề xuất hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc năm cho cấu kiện dầm-cột thiết lập ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động bậc hai phương pháp toàn phần dừng Ưu điểm việc sử dụng hàm đơn giản việc thiết lập công thức mà đảm bảo độ xác hàm ổn định lượng giác truyền thống Nghiên cứu sử dụng dạng hàm chuyển vị đa thức bậc năm Chan & Zhou [5] để xây dựng ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầmcột Hiệu ứng cung kể đến để xem xét thay đổi chiều dài phần tử uốn cong phần tử chịu lực Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh sử dụng để mô ứng xử phi tuyến vật liệu Để giải hệ phương trình cân phi tuyến, phương pháp chiều dài cung (arc-length method) kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ (minimum residual displacement method) lựa chọn để áp dụng có tốc độ hội tụ cao Một chương trình máy tính phát triển ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự động hóa việc phân tích ứng xử phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Kết phân tích so sánh với kết nghiên cứu trước chứng tỏ độ tin cậy chương trình phát triển Cơ sở lý thuyết 2.1 Các hàm ổn định xấp xỉ hàm chuyển vị đa thức bậc Xét phần tử dầm-cột đàn hồi chịu lực dọc trục mômen uốn hai đầu phần tử Hình M1 θ1 ∆(x) M2 F x L θ2 Hình Phần tử dầm-cột điển hình Phương trình vi phân phần tử dầm-cột: d 4∆ ( x) d 2∆ ( x) = EI + F ( F ≤ 0) dx dx (1a) Trang d 4∆ ( x) d 2∆ ( x) = (1b) − EI F ( F > 0) dx dx Áp dụng điều kiện biên, ta quan hệ mômen góc xoay: s2 θ1 s1 θ M1 EI s1 = M L s2 d 2∆ ( x) M = EI dx x=L Từ phương trình (6) đến (11) ta xác định hệ số ( i = ~ ) , từ ta xác định hàm ổn định s1 , s2 theo q = λ Bảng (2) với s1 , s2 gọi hàm ổn định Kết lời giải giải tích hàm chuyển vị ∆ ( x ) hàm ổn định s1 , s2 trình bày Bảng Bảng Lời giải hàm chuyển vị ∆ ( x ) hàm ổn định s1 , s2 xấp xỉ hàm chuyển vị đa thức bậc Trường hợp F ≤ Bảng Lời giải giải tích hàm chuyển vị ∆ ( x ) hàm ∆ ( x ) = a5 x + a4 x + a3 x λx λx = ∆ ( x ) a sinh + b cosh L L +cx + d a2 λ sin λ − λ cos λ s1 = − cos λ − λ sin λ λ cosh λ − λ sinh λ s1 = − cosh λ + λ sinh λ 1 2 2 s2 = 1 F EI a4 = − a5 = Để đơn giản hóa phép biến đổi toán học, hàm chuyển vị ∆ ( x ) xấp xỉ đa thức bậc 5: ∆ ( x ) = a5 x5 + a4 x + a3 x3 + a2 x + a1 x + a0 s1 = s2 = cho hai trường hợp F ≤ F > 0) ) ( L ( q − 48 )( q − 80 ) ) ( 4q ( 3q − 160 ) θ1 + ( 2q − 80 ) θ L3 ( q − 48 )( q − 80 ) a2 = − a3 = (80 − q )( 48 − q ) q − 64q + 3840 (80 − q )( 48 − q ) ) ) ( 6q (13q a4 = − a5 = 3q − 256q + 3840 ( ) − 832q + 3840 θ1 + 5q − 192q + 3840 θ L2 ( q − 48 )( q − 80 ) ( a1 = θ1 ) − 512q + 7680 θ1 + q − 64q + 3840 θ L4 ( q − 80 ) λ sinh λ − λ 2 − cosh λ + λ sinh λ 4q (θ1 + θ ) s2 = (13q 2 λ − λ sin λ − cos λ − λ sin λ (với λ = L a= + a2 x + a1 x + a0 a0 = ( 6q = − a3 = (1 − cosh λ + λ sinh λ )θ + ( cosh λ − 1)θ L λ ( − 2cosh λ + λ sinh λ ) sinh λ − λ cosh λ )θ + ( λ − sinh λ )θ ( b= L λ ( − 2cosh λ + λ sinh λ ) (1 − cosh λ )(θ + θ ) c= ( − 2cosh λ + λ sinh λ ) ( sinh λ − λ cosh λ )θ + ( λ − sinh λ )θ L d= − λ ( − 2cosh λ + λ sinh λ ) ∆ ( x ) = a5 x + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 a1 = θ1 (1 − cos λ − λ sin λ )θ + ( cos λ − 1)θ L λ ( − 2cos λ − λ sin λ ) sin λ − λ cos λ )θ + ( λ − sin λ )θ ( b= L λ ( − 2cos λ − λ sin λ ) (1 − cos λ )(θ + θ ) c= ( − 2cos λ − λ sin λ ) ( sin λ − λ cos λ )θ + ( λ − sin λ )θ L d= − λ ( − 2cos λ − λ sin λ ) a= Trường hợp F > a0 = Trường hợp F > λx λx = ∆ ( x ) a sin + b cos L L +cx + d ổn định s1 , s2 Trường hợp F ≤ (11) 2 ) ( ) + 512q + 7680 θ1 + q + 64q + 3840 θ L ( q + 48 )( q + 80 ) ) ( ) + 832q + 3840 θ1 + 5q + 192q + 3840 θ L2 ( q + 48 )( q + 80 ) 4q ( 3q + 160 ) θ1 + ( 2q + 80 ) θ L3 ( q + 48 )( q + 80 ) 4q (θ1 + θ ) L4 ( q + 80 ) s1 = s2 = ( 3q + 256q + 3840 ( (80 + q )( 48 + q ) q + 64q + 3840 (80 + q )( 48 + q ) ) ) Kết hàm ổn định đề xuất hàm ổn định truyền thống theo lời giải giải tích trình bày Hình cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ xác cao Với hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định đạo hàm hàm ổn định s1′ , s2′ công thức tính toán nội lực nút phần tử phần sau (3) Các hệ số ( i = ~ ) xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết thỏa điều kiện tương thích điều kiện cân Các phương trình trình bày sau: ∆ ( x ) x =0 = (4) ∆ ( x )x=L = (5) d ∆ ( x) = θ1 dx x =0 (6) d ∆ ( x) = θ2 dx x = L (7) d 2∆ ( x ) ( M1 + M ) x − M = F∆ ( x) + EI 1 dx L L x = L x= (8) d 3∆ ( x ) EI = dx3 L x= Hình So sánh hàm ổn định 2 d ∆ ( x ) ( M1 + M ) F + L dx L x= d ∆ ( x) M1 = − EI dx x =0 (9) 2 (10) Trang 2.2 Quan hệ nội lực góc xoay hai đầu phần tử Ta có: = F F L (13) theo hàm ổn định s1 , s2 q = λ sau: s2 = ; b2 8q ( s1 + s2 ) (14a) ( s1 + s2 )( s2 − ) s2 F > 0: b1 = (14b) − ; b2 = 8q ( s1 + s2 ) Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh quan hệ sau: s1′ = −2 ( b1 + b2 ) ; s2′ = −2 ( b1 − b2 ) F ≤ (15a) s1′ = ( b1 + b2 ) ; s2′ = ( b1 − b2 ) F > (15b) Gọi e e tương ứng hệ số chảy dẻo mô tả mức độ chảy dẻo hai đầu mút phần tử ( ≤ e1 , e2 ≤ 1) ; đó, e e có giá trị tiết diện hoàn toàn đàn hồi, tiết diện chảy dẻo hoàn toàn có giá trị nằm tiết diện chảy dẻo Theo Liew cộng [7], quan hệ mô-men góc xoay viết lại sau: s2 p θ1 s3 p θ (16) Trong đó, giá trị s1 p , s2 p , s3 p xác định theo hàm ổn đinh s1 , s2 hệ số e1 , e2 : s2 s2 s1 p = e1 s1 − (1 − e2 ) ; s2 p = e1e2 s2 ; s3 p = e2 s1 − (1 − e1 ) s s 1 (17) Từ (13), (15a), (15b) lực dọc hiệu chỉnh lại sau: (18) (Biểu thức lấy dấu “+” F > dấu “–“ F ≤ 0) Với: (1 − e2 ) ; s2′ p = e1e2 s2′ ; 2s s s ′ − s s ′ s3′ p = e2 s1′ − 22 s1 (19) (1 − e1 ) 2.3 Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột Sơ đồ lực chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột trình bày Hình L L Hình Lực chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột Ta có quan hệ thông số hình học chuyển vị đầu mút phần tử sau: = δ ( s1 + s2 )( s2 − ) δ 1 F = EA ± s1′ pθ12 + s2′ pθ1θ + s3′ pθ 22 L (M1 + M2) (M1 + M2) Trong đó, b1 , b2 hàm hiệu ứng cung xác định 2s s s ′ − s s ′ s1′ p = e1 s1′ − 22 s1 M2 θ2 2 δ F= EA + b1 (θ1 + θ ) + b2 (θ1 − θ ) L M1 EI s1 p = M L s2 p δ θ1 F Theo Oran [6], lực dọc viết lại sau: F ≤ 0: b1 = z u6 z u4 M1 (12) EA EA d ∆ δ+ dx L L dx ∫ z u3 ∫ L z u1 L L EA d δ d∆ = F dx + dx L dx dx 0 ∫ ( u4 − u1 ) ( u5 − u2 ) θ= u3 − θ= u6 − (20) (21) L ( u5 − u2 ) (22) L Nội lực nút phần tử tọa độ địa phương hệ tọa độ tổng thể: ( M1 + M ) M F {z } = − F L − ( M1 + M ) L T M (23) {Z } = T T { z } (24) Trong đó, [T] ma trận chuyển phần tử dầm-cột khung phẳng cosα − sin α [T ] = sin α cosα 0 0 0 0 0 cosα − sin α 0 0 0 0 0 0 sin α cosα (25) Ma trận độ cứng phần tử tọa độ địa phương tọa độ tổng thể xác định sau: ∂ {z } kT = ( j ,i ) ( i , j ) k= ∂ {u} hay k= ∂zi = ∂u j ∂z j ∂ui [ KT ] = [T ] T kT [T ] (26) (27) Khai triển (26) phần mềm MAPLE, ta xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử: = kT kG + kθ Trong đó: A I EI kG = L sym (28) ( s1 p + 2s2 p + s3 p ) ( s1 p + s2 p ) L2 L s1 p − A I 0 A I − s2 p + s3 p L s2 p s2 p + s3 p − L s3 p ( s1 p + 2s2 p + s3 p ) ( L2 − ( s1 p + s2 p ) L ( s1 p + 2s2 p + s3 p ) L2 ) ( (29) Trang ) (T1 + T2 ) (T1 + T2 ) L T1 − T2 (T1 + T2 ) LT1T2 T2 −T2 (T1 + T2 ) LT22 (T1 + T2 )2 L −T1 (T1 + T2 ) (T + T ) − L (T1 + T2 )2 L (30) ( ( ) ) T1 = − s1′ pθ1 + s2′ pθ ; T2 = − s2′ pθ1 + s3′ pθ F ≤ (31a) ( ) ( T ∂ {∆λi ∆u + ∆ui } {∆λi ∆u + ∆ui } =0 ∂∆λi −T2 L ) T1 = s1′ pθ1 + s2′ pθ ; T2 = s2′ pθ1 + s3′ pθ F > (31b) Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất có xét đến ảnh hưởng bậc hai tác động phi tuyến vật liệu thông qua hàm ổn định s1 p , s2 p , s3 p hiệu chỉnh theo hệ số chảy dẻo góc xoay hai đầu phần tử 2.4 Phân tích phi tuyến vật liệu Để kể đến ảnh hưởng ứng suất dư mặt cắt tiết diện tác dụng lực dọc, tác giả sử dụng khái niệm môđun tiếp tuyến E t đưa Hội đồng nghiên cứu cột Hoa Kỳ (CRC – Column Research Council): = ∆λi {∆u}Ti {∆u } (i ≥ 2) {∆u }T {∆u } 2 Ví dụ số Một chương trình phân tích kết cấu phát triển MATLAB để áp dụng phân tích phi đàn hồi bậc hai cho khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Các kết phân tích so sánh đánh giá với kết nghiên cứu trước qua ví dụ số sau 3.1 Cột hai đầu khớp Cột thép hai đầu khớp chịu lực nén tâm đầu cột với thông số Hình Ngo-Huu Kim [4] phân tích phương pháp khớp thớ trường hợp có xét đến ảnh hưởng ứng suất dư ban đầu cấu kiện Ở ví dụ này, tác giả phân tích cột phần tử đề xuất P L E = 200 GPa σy = 250 MPa ry = 51.2 mm Hình Cột hai đầu khớp dẻo tính theo độ lớn lực dọc mô-men hai đầu mút cấu kiện (37) E P t ≤ 0.5 Py E (32) P Et P P 1 − > 0.5 = Py Py Py E Bên cạnh đó, để kể đến tác động đồng thời lực dọc mô-men uốn, đường cường độ Orbison [8] sử dụng: P M P M + 3.67 = (33) α= 1.15 + Py M y Py M y Theo Liew cộng [7], hệ số chảy dẻo e xác định theo công thức = e h= (α ) 4α (1 − α ) , với α thông số (36) Đơn giản biểu thức (36), ta được: W8×31 (T1 + T2 ) − −T1 L (T1 + T2 )2 T T + T 1( 2) L LT12 kθ = EA sym Kết đường cường độ cột theo λc = ( L / ry ) (σ y /π 2E ( P / Py ) ) trình bày Hình Bảng 2.5 Thuật toán giải phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ Chan Zhou [5] đề xuất để giải hệ phương trình phi tuyến Phương trình cân gia tăng trình bày sau: λ∆u } [ KT ] {∆u + ∆= −1 {∆P + ∆λ∆P} (34) Trong đó: ∆P véc-tơ lực không cân bằng, ∆u gia số chuyển vị, ∆P véc-tơ song song với véc-tơ tải, ∆u véc-tơ chuyển vị kết hợp ∆λ hệ số điều chỉnh tải Ở bước lặp đầu tiên, lấy ∆λ1 theo công thức phương pháp chiều dài cung: arc length ∆λ1 = {∆u }T {∆u } (35) Ở bước thứ trở đi, ∆λi (i ≥ 2) xác định từ điều kiện chuyển vị dư nhỏ nhất: Hình Đường cường độ cột hai đầu khớp chịu lực dọc trục đầu mút 3.2 Khung tầng nhịp Khung tầng nhịp với thông số Hình Chan Chui [9] phân tích đàn hồi phi đàn hồi mô phần tử đề xuất cho cấu kiện nghiên cứu Kết đường tải trọng – chuyển vị đỉnh ∆ phân tích phi tuyến đàn hồi phi đàn hồi khung thể Hình Hình Đường tải trọng – chuyển vị chương trình đề xuất gần trùng khớp với kết Chan & Trang Chui Giá trị tải giới hạn phân tích khung trình bày Bảng với sai số lớn khoảng 2% Bảng Kết tỷ số tải tới hạn (P/P y ) cột hai đầu khớp (P/P y ) CRC Tác giả Sai số (%) λc Euler Có xét ƯSD Không xét ƯSD Có xét ƯSD Không xét ƯSD Có xét ƯSD Không xét ƯSD Có xét ƯSD 1141.97 0.25 16 0.9844 0.9870 0.9870 0.9960 0.9858 0.14 2283.95 0.50 0.9375 0.9870 0.9360 0.9960 0.9396 0.22 3425.92 0.75 1.7778 0.8594 0.9870 0.8610 0.9960 0.8604 0.12 4567.84 1.00 1.0000 0.7500 0.9880 0.7600 0.9825 0.7493 1.75 0.09 6851.90 1.50 0.4444 0.4444 0.4450 0.4450 0.4371 0.4371 1.64 1.64 9135.78 2.00 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2474 0.2474 1.04 1.04 11419.73 2.50 0.1600 0.1600 0.1600 0.1600 0.1587 0.1587 0.81 0.81 13703.67 3.00 0.1111 0.1111 0.1120 0.1120 0.1100 0.1100 0.99 0.99 15987.62 3.50 0.0816 0.0816 0.0820 0.0820 0.0817 0.0817 0.12 0.12 18271.56 4.00 0.0625 0.0625 0.0630 0.0630 0.0626 0.0626 0.16 0.16 20555.51 4.50 0.0494 0.0494 0.0500 0.0500 0.0498 0.0498 0.81 0.81 22839.45 5.00 0.0400 0.0400 0.0400 0.0400 0.0405 0.0405 1.25 1.25 Hình Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆ với phân tích phi đàn hồi Bảng Kết tải giới hạn khung tầng nhịp Kết tải giới hạn Phân tích đàn hồi Phân tích phi đàn hồi Chan & Chui Tác giả Sai số 2560 2558 0.08 % 480 470 2.08 % ∆ P P Hình Khung tầng nhịp liên kết ngàm H W16×40 P 2P W16×40 P = 60 kN H = 31 kN 9.15 m W16×40 2P 2P P W16×40 2P 2P W16×40 E = 200 GPa σy = 250 MPa P 3.66 m 3.66 m P W12×79 2P 3.66 m 2P 2P W12×79 P H W16×40 W12×79 W12×79 W16×40 P 3.66 m 20' 2P 2P W12×79 P 2P W12×79 W12×79 12' 12' σy = 36 ksi W12×96 W12×96 E = 29000 ksi W16×40 H W14×48 0.02P W12×79 P W12×79 P W12×96 W12×96 H 2P W12×79 0.01P W12×79 P W14×48 W12×79 L (mm) Ngo-Huu & Kim 9.15 m Hình Khung tầng nhịp Hình 10 cho thấy quan hệ hệ số tải trọng – chuyển vị ngang đỉnh khung tác giả sát với kết trước Kukreti Zhou Sai số hệ số tải giới hạn λ u hai phương pháp 0.38% (λ u (Kukreti & Zhou) = 1.831, λ u (Tác giả) = 1.838) Hình Quan hệ tải trọng - chuyển vị đỉnh ∆ với phân tích đàn hồi 3.3 Khung tầng nhịp Khung thép tầng nhịp với thông số hình học Hình Kukreti Zhou [11] phân tích phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh Mô-đun đàn hồi E = 200 GPa, ứng suất chảy dẻo σ y = 250 MPa, P = 60 kN H = 31 kN Ở ví dụ này, khung mô phần tử đề xuất Hình 10 Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên phải khung tầng nhịp Trang 3.4 Khung Vogel tầng nhịp Khung Vogel tầng nhịp trình bày Hình 11 với tiết diện cấu kiện trình bày Bảng Vogel [12] phân tích phi tuyến hai phương pháp khớp dẻo phương pháp vùng dẻo Bài toán chọn làm sở để kiểm chứng phương pháp phân tích đơn giản khác Trong ví dụ này, dầm chịu tải phân bố nên khớp dẻo hình thành vị trí dầm, tác giả khảo sát với trường hợp: chia dầm thành phần tử, cột thành phần tử đề xuất (2B1C) trường hợp chia dầm thành phần tử, cột thành phần tử đề xuất (4B1C) q 1= 31.7 kN/m ψ IPE400 E = 205 GPa fy = 235 MPa ψ0 = 1/300 q2 q2 6@3.75m = 22.5m HEB200 HEB240 q2 HEB240 IPE360 Kết luận Hàm chuyển vị xấp xỉ dạng đa thức bậc năm áp dụng để thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột có kể đến tác động phi tuyến hình học vật liệu theo lý thuyết dầm-cột Ưu điểm hàm tính đơn giản cho việc khai triển công thức đảm bảo độ xác cần thiết lời giải để áp dụng phân tích thiết kế thực hành Kết ví dụ số chứng tỏ phương pháp đề xuất chương trình phát triển dự đoán xác ứng xử phi tuyến phi đàn hồi cấu kiện hệ kết cấu khung phẳng chịu tải trọng tĩnh HEB260 HEB160 HEB160 HEB220 H2 IPE330 Hình 12 Quan hệ hệ số tải trọng - chuyển vị ngang đỉnh bên phải khung Vogel tầng nhịp q 2= 49.1 kN/m q2 HEB260 H2 HEB220 H2 IPE300 HEB220 H2 IPE300 HEB220 H 2= 20.44 kN IPE240 HEB200 H 1= 10.23 kN ψ ψ 0 6.0m 6.0m Hình 11 Khung Vogel tầng nhịp Bảng Kích thước cấu kiện khung Vogel tầng nhịp Tiết diện bf (mm) tf (mm) d (mm) tw (mm) HEB260 HEB240 HEB220 HEB200 HEB160 IPE400 IPE360 IPE330 IPE300 IPE240 260 240 220 200 160 180 170 160 150 120 17.5 17.0 16.0 15.0 13.0 13.5 12.7 11.5 10.7 9.8 260 240 220 200 160 400 360 330 300 240 10.0 10.0 9.5 9.0 8.0 8.6 8.0 7.5 7.1 6.2 Kết chuyển vị ngang đỉnh bên phải so sánh với kết Vogel sử dụng phương pháp vùng dẻo thể Hình 12 Kết phân tích cho thấy hệ số tải trọng giới hạn λ u hai phương pháp sát với sai số 0.5% (λ u (Vogel) = 1.111, λ u (Tác giả) = 1.107) Với việc chia nhỏ dầm thành phần tử đề xuất, toán hội tụ kết phương pháp vùng dẻo Vogel phân tích Tài liệu tham khảo Lui, E.M., Chen, W.F (1986), Analysis and behaviour of flexibly-jointed frames, Engineering Structures, 8(2), 107-18 Liew, J.Y.R., Chen, W.F., Chen, H (2000), Advanced inelastic analysis of frame structures, Journal of Constructional Steel Research, 55(1-3), 245-265 Kim, S.E., Choi, S.H (2001), Practical advanced analysis for semi-rigid space frames, International Journal of Solids and Structures, 38, 9111-31 Ngo-Huu, C., Kim, S.E (2012), Second-order plastichinge analysis of space semi-rigid steel frames, ThinWalled Structures, 60(11), 98-104 Chan, S.L., Zhou, Z.H (1994), Pointwise equilibrating polynomial element for nonlinear analysis of frames, Journal of Structural Engineering, 120(6), 1703-17 Oran, C (1973), Tangent stiffness in plane frames, J Struct Div., 99(6), 973-985 Liew, J.Y.R., White D.W., Chen W.F (1993), Secondorder refined plastic-hinge analysis for frame design Part I, Journal of Structural Engineering, 119(11), 31963216 Orbison, J.G., McGuire, W., Abel, J.F (1982), Yield surface applications in nonlinear steel frame analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 33, 557-73 Chan, S.L., Chui, P.P.T (2000), Non-linear static and cyclic analysis of steel frames with semi-rigid connections, Elsevier 10 Balling, R (2012), Computer Structural Analysis, Lecture notes, Brigham Young University, Utah 11 Kukreti, A.R., Zhou, F.F (2006), Eight-bolt endplate connection and its influence on frame behavior, Engineering Structures, 28, 1483-93 12 Vogel, U (1985), Calibrating frames, Stahlbau, 10, 295301 Trang