Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 3: Đường đi, chu trình Hamilton cung cấp cho người học các kiến thức: Đồ thị Hamilton, Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị, tập cắt – Bài toán luồng cực đại,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Bài Đường đi, chu trình Hamilton 3.1 Đồ thị Hamilton Giới thiệu Năm 1857, nhà toán học người Ailen Hamilton(1805-1865) đưa trò chơi “đi vòng quanh giới” sau Cho hình thập nhị diện (đa diện có 12 mặt, 20 đỉnh 30 cạnh), đỉnh hình mang tên thành phố tiếng, cạnh hình (nối hai đỉnh) đường lại hai thành phố tương ứng Xuất phát từ thành phố, tìm đường thăm tất thành phố khác, thành phố lần, trở chỗ cũ Giới thiệu (tt) Trước Hamilton, từ thời Euler, người ta biết đến câu đố hóc búa “đường mã bàn cờ” Trên bàn cờ, mã theo đường chéo hình chữ nhật x x vng Giả sử bàn cờ có x vng Hãy tìm đường mã qua tất ô bàn cờ, ô lần trở lại ô xuất phát Khảo sát lớp đồ thị đặc biệt: đồ thị Hamilton Đường đi, chu trình Hamilton Xét đồ thị G = Một đường đồ thị gọi đường Hamilton qua tất đỉnh, đỉnh lần Một chu trình đồ thị gọi chu trình Hamilton qua tất đỉnh, đỉnh lần VD: Đồ thị sau có đường chu trình Hamilton là: d1: d2: … C1: C2: … Đồ thị Hamilton Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton tồn chu trình Hamilton G Đồ thị G gọi đồ thị nửa Hamilton tồn đường Hamilton G 3 4 5 Đồ thị Hamilton (hiển nhiên đồ thị nửa Hamilton) Đồ thị nửa Hamilton 6 Một số kết đồ thị Hamilton Định lý (Dirak, 1952) Xét G đơn đồ thị vô hướng với n đỉnh (n>2) Nếu đỉnh G có bậc khơng nhỏ n/2 G đồ thị Hamilton Định lý (Dirak, 1952) Xét G đơn đồ thị có hướng, liên thơng mạnh với n đỉnh Nếu đỉnh G có bán bậc bán bậc vào khơng nhỏ n/2 G đồ thị Hamilton Một số kết đồ thị Hamilton (tt) Định lý Mọi đồ thị đấu loại nửa Hamilton (Đồ thị đấu loại: đồ thị có hướng mà đỉnh nối với cung.) Mọi đồ thị đấu loại, liên thông mạnh Hamilton Định lý (Ore, 1960) Cho đồ thị G có n đỉnh Nếu hai đỉnh khơng kề G có tổng bậc khơng nhỏ n G đồ thị Hamilton Nghĩa là: ( ∀u, v V , (u, v) E deg(u ) + deg(v) n ) G Hamilton Kiểm tra đồ thị Hamilton??? Các quy tắc để xác định chu trình Hamilton (H) đồ thị: Quy tắc 1: Nếu có đỉnh bậc hai cạnh đỉnh bắt buộc phải nằm H Quy tắc 2: Khơng có chu trình (độ dài nhỏ n) H Quy tắc 3: Ứng với đỉnh đó, chọn đủ cạnh vào H phải loại bỏ tất cạnh cịn lại (vì khơng thể chọn thêm) Khơng có đỉnh cô lập đỉnh treo áp dụng quy tắc Kiểm tra đồ thị Hamilton (tt) Đồ thị sau có Hamilton khơng? 10 Tô màu đồ thị (tt) Phải dùng màu để tổ Phải dùng màu để tổ ? 20 Tô màu đồ thị (tt) 21 Tô màu đồ thị (tt) 7 9 2 7 22 Bài tốn tơ màu đồ thị Định nghĩa Tô màu đồ thị vô hướng gán màu cho đỉnh cho hai đỉnh kề phải khác màu Định nghĩa Số màu (sắc số) đồ thị số màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị Đồ thị có số màu Đồ thị có số màu 23 Bài tốn tơ màu đồ thị (tt) Định lý (Định lý màu) Số màu đồ thị phẳng không lớn Một số thơng tin liên quan: Bài tốn đưa năm 1850 Có nhiều chứng minh sai toán Chứng minh sai tiếng Alfred Kempe vào năm 1879 Percy Heawood phát chứng minh sai vào năm 1890 Dựa vào đó, năm 1976 Appel Haken chứng minh cách sử dụng máy tính 24 Bài tốn tơ màu đồ thị (tt) Tìm số màu đồ thị sau: 25 (Tham khảo) 3.3 Tập cắt – Bài toán luồng cực đại Khái niệm mạng Định nghĩa Mạng đồ thị có hướng G = , đó: Có đỉnh s khơng có cạnh vào, gọi điểm phát Có đỉnh t khơng có cung ra, gọi điểm thu Mỗi cạnh đồ thị gán với số không âm gọi khả thông qua (băng thông) cạnh s t 3 27 Luồng mạng Định nghĩa Xét mạng G = Ta gọi luồng f mạng ánh xạ f: E R+, gán cho cạnh e = (u,v) số thực không âm f(e), gọi luồng cung e, thỏa mãn điều kiện sau: Luồng cung không đượt vượt q khả thơng qua nó: f(e) c(e) Tại đỉnh, tổng luồng vào phải tổng luồng (trừ s t) Giá trị luồng f tính tổng luồng s (cũng tổng luồng vào t) 28 Luồng mạng (tt) (2) VD: (1) s (3) (1)1 (1)2 (3)3 (1) 3 (1) 4 Ký hiệu Γ − (v) = { w V | (w, v) E} Γ + (v) = { w V | (v, w) E} Điều kiện cân luồng: f (w,v) = w Γ− ( v ) Giá trị luồng f: val ( f ) = w Γ+ ( s ) t Val(f) = f (v,w) w Γ+ ( v ) f (s,w) = f (w,t) w Γ− ( t ) 29 Lát cắt Một lát cắt (X,X*) cách phân hoạch tập đỉnh V mạng thành hai tập X X* = V\X, s X t X* Khả thông qua lát cắt (X,X*) số: c( X , X * ) = c(v, w) v X w X* Lát cắt với khả thông qua nhỏ gọi lát cắt hẹp 30 Lát cắt (tt) VD: s 3 t Xét lát cắt (X,X*) với X = {s, 3, 4}, X* = {t, 1, 2} Ta có c(X, X*) = + + + = 11 Lát cắt nhỏ nhất??? Lát cắt nhỏ là: X = {s, 1}, X* = {t, 2, 3, 4} 31 Xác định lát cắt hẹp mạng sau: 6 s 6t 3 32 Lát cắt (tt) Bổ đề: Giá trị luồng f mạng nhỏ hay khả thông qua lát cắt Bổ đề: Giá trị luồng cực đại mạng không vượt khả thông qua lát cắt hẹp mạng 33 Đồ thị tăng luồng Cung nghịch Xét mạng G với luồng f sau: (2) (1) s 2 (3) (1)1 (3)3 (1)2 (1) 3 (1) 4 Mạng G luồng f t Cung thuận 1 s 1 t 3 Đồ thị tăng luồng Gf 34 ... VD: Đồ thị sau có đường chu trình Hamilton là: d1: d2: … C1: C2: … Đồ thị Hamilton Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton tồn chu trình Hamilton G Đồ thị G gọi đồ thị nửa Hamilton. .. thị đặc biệt: đồ thị Hamilton Đường đi, chu trình Hamilton Xét đồ thị G = Một đường đồ thị gọi đường Hamilton qua tất đỉnh, đỉnh lần Một chu trình đồ thị gọi chu trình Hamilton qua... nửa Hamilton tồn đường Hamilton G 3 4 5 Đồ thị Hamilton (hiển nhiên đồ thị nửa Hamilton) Đồ thị nửa Hamilton 6 Một số kết đồ thị Hamilton Định lý (Dirak, 1952) Xét G đơn đồ thị vô hướng với