Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 1: Các khái niệm cơ bản gồm các nội dung khái niệm đồ thị; bậc của đỉnh; đường đi, chu trình; đồ thị liên thông; đơn đồ thị đặc biệt; biểu diễn đồ thị trên máy tính.
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ THÔNG TIN VỀ GIÁO VIÊN TT Họ tên giáo viên Học hàm Ngô Hữu Phúc GVC Vi Bảo Ngọc TG Học vị Tiến sỹ Thạc sỹ Đơn vị công tác (Bộ môn) Bộ mơn Khoa học máy tính Bộ mơn Khoa học máy tính • Thời gian, địa điểm làm việc: Bộ mơn Khoa học máy tính Khoa Cơng nghệ thơng tin - Học viện Kỹ thuật Quân • Địa liên hệ: Bộ mơn Khoa học máy tính - Khoa Cơng nghệ thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân • Điện thoại, email: ngohuuphuc76@gmail.com • Các hướng nghiên cứu chính: Xử lý ảnh, Trí tuệ nhân tạo, Nhận dạng mẫu, Tính tốn mềm, Xử lý tiếng nói THƠNG TIN CHUNG VỀ MƠN HỌC • • • • • Tên học phần: Lý thuyết đồ thị Mã học phần: Số tín chỉ: Học phần (bắt buộc hay lựa chọn): tự chọn Các học phần tiên quyết: Đại số tuyến tính, Giải tích đại cương, Tin học • Các yêu cầu học phần (nếu có): • Giờ tín hoạt động: – – – – – – Nghe giảng lý thuyết: 30 tiết Làm tập lớp: 15 tiết Thảo luận: tiết Thực hành, thực tập (ở PTN, nhà máy, thực tập ): tiết Hoạt động theo nhóm: Tự học: 90 tiết • Khoa/Bộ mơn phụ trách học phần, địa chỉ: Bộ mơn Khoa học máy tính - Khoa Công nghệ thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ • Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh • Phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Định nghĩa (Đơn đồ thị) Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh khác rỗng, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hình Sơ đồ mạng máy tính đơn kênh thoại CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Định nghĩa (Đa đồ thị) Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh khác rỗng, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh lặp (bội hay song song) chúng tương ứng với cặp đỉnh Mỗi đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh Hình Sơ đồ mạng máy tính đa kênh thoại CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Định nghĩa (Giả đồ thị) Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh khác rỗng E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Với v Є V, (v,v) Є E ta nói có khuyên đỉnh v Nhận xét: giả đồ thị loại đồ thị vô hướng tổng qt chứa khun cạnh lặp Đa đồ thị loại đồ thị vơ hướng chứa cạnh bội khơng thể có khun, cịn đơn đồ thị loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh bội khuyên CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Định nghĩa (Đơn đồ thị có hướng) Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh khác rỗng E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ Định nghĩa (Đa đồ thị có hướng) Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh khác rỗng E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BẬC CỦA ĐỈNH Định nghĩa 1: Hai đỉnh u v đồ thị (vô hướng) G=(V,E) gọi liền kề (u,v) Є E Nếu e = (u,v) e gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u v Cạnh e gọi cạnh nối đỉnh u v Các đỉnh u v gọi điểm đầu mút cạnh e Định nghĩa 2: Bậc đỉnh v đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh tính hai lần cho bậc Đỉnh v gọi đỉnh treo deg(v)=1 gọi đỉnh cô lập deg(v)=0 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BẬC CỦA ĐỈNH Xét ví dụ: Ta có: deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2 Đỉnh v4 đỉnh cô lập đỉnh v6 đỉnh treo 10 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Đồ thị lập phương: Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài n hai đỉnh kề xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh khác bit gọi đồ thị lập phương, ký hiệu Qn • Như vậy, đỉnh Qn có bậc n số cạnh Qn n.2n-1 Đồ thị lập phương Q1, Q2, Q3 24 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Đồ thị phân đôi (đồ thị hai phe): Đơn đồ thị G=(V,E) cho V=V1UV2, V1∩V2=∅, V1≠∅, V2≠∅ cạnh G nối đỉnh V1 đỉnh V2 gọi đồ thị phân đôi Nếu đồ thị phân đôi G=(V1UV2,E) cho với v1ЄV1, v2 Є V2, (v1,v2) Є E G gọi đồ thị phân đơi đầy đủ Nếu |V1|=m, |V2|=n đồ thị G ký hiệu Km,n Như vậy, Km,n có m.n cạnh, đỉnh V1 có bậc n đỉnh V2 có bậc m 25 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Ứng dụng đồ thị đặc biệt: + Các mạng cục (LAN): Đồ thị phân đôi đầy đủ K1,n Đồ thị vòng Cn Đồ thị bánh xe Wn 26 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận kề, ma trận trọng số Xét đơn đồ thị G=(V,E) Ma trận kề: Ma trận A={ai,j : i,j=1, 2, ,n} với ai,j=0, (i,j)E ai,j=1, (i,j)ЄE, i, j=1, 2, .,n gọi ma trận kề đồ thị G Ví dụ: H1 Đồ thị vô hướng G 27 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận kề, ma trận trọng số Xét đơn đồ thị có hướng G=(V,E) Ma trận kề: Ma trận A={ai,j : i,j=1, 2, ,n} với ai,j=0, (i,j) E ai,j=1, (i,j)ЄE, i, j=1, 2, .,n gọi ma trận kề đồ thị G Ví dụ: Đồ thị có hướng G1 28 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH * Tính chất ma trận kề đồ thị vơ hướng: - Tính đối xứng: a[i,j]=a[j,i], i,j=1,2, .,n - Tổng phần từ dòng i (cột j) bậc đỉnh i (đỉnh j) * Tính chất ma trận kề đồ thị có hướng: - Khơng có tính đối xứng - Tổng phần từ dòng i bán bậc đỉnh i (deg+(i)) tổng phần từ cột j bán bậc vào 29 đỉnh j (deg(-j)) CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận kề, ma trận trọng số Xét ví dụ 2: 30 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận trọng số: Đồ thị có trọng số đồ thị mà cạnh (i,j) có giá trị c(i,j) gọi trọng số cạnh Để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số C= {c[i,j], i,j=1, 2, .,n} với c[i,j]= c(i,j) (i,j) Є E c[i,j]= (i,j) E số đặt giá trị sau: 0, +, - 31 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận trọng số: Ví du: 32 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ưu điểm lớn phương pháp biểu diễn đồ thị ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u,v có kề đồ thị hay không, phải thực phép so sánh Nhược điểm lớn phương pháp là: không phụ thuộc vào số cạnh đồ thị, ta phải sử dụng n2 đơn vị nhớ để lưu trữ ma trận kề 33 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh: Xét G=(V, E) đơn đồ thị có hướng Ma trận liên thuộc đỉnhcạnh có dạng: 34 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN BÀI BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH Danh sách cạnh (cung) + Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất đẳng thức: m