Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - Ngô Hữu Phúc

Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 4: Cây và cây khung của đồ thị với các nội dung định nghĩa và các tính chất cơ bản, cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim, cây có gốc.

CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa tính chất Định nghĩa: Cây đồ thị vô hướng liên thông, không chứa chu trình có hai đỉnh Một đồ thị vơ hướng khơng chứa chu trình có hai đỉnh gọi rừng Trong rừng, thành phần liên thông 67 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa tính chất bản: Định lý: Cho T đồ thị có n ≥ đỉnh Các điều sau tương đương: 1) T 2) T liên thơng có n−1 cạnh 3) T khơng chứa chu trình có n−1 cạnh 4) T liên thông cạnh cầu 5) Giữa hai đỉnh phân biệt T có đường đơn 6) T khơng chứa chu trình thêm cạnh có chu trình 68 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây khung tốn tìm khung nhỏ nhất: Định nghĩa: Trong đồ thị liên thông G, ta loại bỏ cạnh nằm chu trình ta đồ thị liên thông Nếu loại bỏ cạnh chu trình khác đồ thị khơng cịn chu trình (vẫn liên thơng) ta thu nối đỉnh G Cây gọi khung hay bao trùm đồ thị G 69 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây khung tốn tìm khung nhỏ nhất: Bài tốn phát biểu sau: Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng liên thơng có trọng số, cạnh eE có trọng số m(e)≥0 Giả sử T=(VT,ET) khung đồ thị G (VT=V) Ta gọi độ dài m(T) khung T tổng trọng số cạnh nó: This image cann ot cur rently b e displayed m(T )   m (e ) eET 70 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây khung tốn tìm khung nhỏ nhất: Bài toán đặt số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Cây khung gọi khung nhỏ đồ thị Bài tốn gọi “bài tốn tìm khung nhỏ nhất” • Hai mơ hình thực tế tiêu biểu: * Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt * Bài tốn nối mạng máy tính 71 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật toán Kruskal: Thuật toán xây dựng tập cạnh ET khung nhỏ T=(VT,ET) theo bước: Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh Sắp xếp cạnh G theo thứ tự không giảm trọng số Bắt đầu từ cạnh dãy này, thêm dần cạnh dãy xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không tạo thành chu trình T Lặp lại Bước số cạnh T n−1, ta thu khung nhỏ cần tìm 72 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật tốn Kruskal: Xét thí dụ: Tìm khung nhỏ cho đồ thị: 73 Thuật tốn Prim: cịn gọi phương pháp lân cận gần VT:={v*}, v* đỉnh tuỳ ý đồ thị G ET:=∅ Với đỉnh vj∉VT, tìm đỉnh wjVT cho m(wj,vj) = m(xi, vj)=:βj ; xiVT gán cho đỉnh vj nhãn [wj, βj] Nếu khơng tìm đuợc wj (tức vj khơng kề với đỉnh VT) gán cho vj nhãn [0, ∞] Chọn đỉnh vj* cho βj* = βj ; vj∉VT VT := VT  {vj*}, ET := ET  {(wj*, vj*)} Nếu |VT| = n thuật tốn dừng (VT, ET) khung nhỏ Nếu |VT| < n chuyển sang Bước 4 Đối với tất đỉnh vj∉VT mà kề với vj*, ta thay đổi nhãn chúng sau: Nếu βj > m(vj*, vj) đặt βj:=m(vj*, vj) nhãn vj [vj*, βj] Ngược lại, ta giữ nguyên nhãn vj Sau quay 74 lại Bước CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật tốn Prim: Xét thí dụ: Tìm khung nhỏ cho đồ thị: 75 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật toán Prim: Bảng nhãn đỉnh: Vậy độ dài khung nhỏ là: 15 + 12 + 11 + 13 + 14 + 17 + 21 = 103 76 CHƯƠNG V CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây có gốc: Định nghĩa: Cây có hướng đồ thị có hướng mà đồ thị vơ hướng Cây có gốc có hướng, có đỉnh đặc biệt, gọi gốc, từ gốc có đường đến đỉnh khác Trong có gốc gốc r có bán bậc vào 0, cịn tất đỉnh khác có bậc vào Một có gốc thường vẽ với gốc r phát triển từ xuống, gốc r gọi đỉnh mức Các đỉnh kề với r xếp phía gọi đỉnh mức Đỉnh đỉnh 77 mức đỉnh mức 2, CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây có gốc: Tổng qt, có gốc v đỉnh mức k đường từ r đến v có độ dài k Mức lớn đỉnh gọi chiều cao 78 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Cây có gốc: Định nghĩa: Cho T có gốc r=v0 Giả sử v0, v1, , vn-1, đường T Ta gọi: − vi+1 vi vi cha vi+1 − v0, v1, , vn-1 tổ tiên vn dòng dõi v0, v1, , vn-1 − Đỉnh treo đỉnh con; đỉnh treo gọi hay đỉnh ngồi; đỉnh khơng phải đỉnh Định nghĩa: Một có gốc T gọi m-phân đỉnh T có nhiều m Với m=2, ta có nhị phân Trong nhị phân, rõ bên trái hay bên phải; Cây có gốc T gọi m-phân đầy đủ 79 đỉnh T có m  ... khung nhỏ nhất: Bài toán đặt số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Cây khung gọi khung nhỏ đồ thị Bài tốn gọi ? ?bài tốn tìm khung nhỏ nhất” • Hai mơ hình thực tế tiêu biểu: * Bài toán xây... KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật tốn Prim: Xét thí dụ: Tìm khung nhỏ cho đồ thị: 75 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật toán Prim: Bảng nhãn đỉnh: Vậy độ dài khung nhỏ là: 15 + 12 + 11 + 13 + 14 + 17... cần tìm 72 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Thuật tốn Kruskal: Xét thí dụ: Tìm khung nhỏ cho đồ thị: 73 Thuật tốn Prim: cịn gọi phương pháp lân cận gần VT:={v*}, v* đỉnh tuỳ ý đồ thị G ET:=∅