Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 3 - Ngô Hữu Phúc

Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 3: Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton với những kiến thức về đồ thị Euler; đồ thị Hamilton. Để nắm chi tiết nội dung kiến thức, phục vụ cho học tập và nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - 1736 Euler (1707-1783) công bố lời giải “bài toán cầu Konigsberg” Bài toán tìm đường qua tất cầu, cầu qua lần phát biểu lại mơ sau:  Có tồn chu trình đơn đa đồ thị G chứa tất 49 cạnh? CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - Đường qua cạnh đồ thị lần gọi đường Euler - Chu trình qua cạnh đồ thị lần gọi chu trình Euler - Đồ thị gọi đồ thị Euler có chu trình Euler, gọi đồ thị nửa Euler có đường Euler - Nhận xét: đồ thị Euler nửa Euler, điều ngược lại không 50 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - Ví dụ 1: Xét đồ thị G1, G2, G3 bên dưới: Đồ thị G1 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a Đồ thị G3 khơng có chu trình Euler có đường Euler a, c, d, e, b, d, a, b, G3 đồ thị nửa Euler Đồ thị G2 khơng có chu trình đường Euler.51 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - Ví dụ 2: Xét đồ thị H1, H2, H3 bên dưới: Đồ thị H2 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3 chu trình Euler có đường Euler c, d, b, c, a, b, H3 đồ thị nửa Euler Đồ thị H1 khơng có chu trình đường Euler 52 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đồ thị EULER:  Định lý (Euler): G đồ thị vô hướng liên thông G đồ thị Euler  đỉnh G có bậc chẵn  Bổ đề: Nếu bậc đỉnh đồ thị G không nhỏ G chứa chu trình  Hệ quả: Đồ thị vô hướng liên thông G nửa Euler có khơng q đỉnh bậc lẻ 53 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đồ thị EULER:  Thuật toán Flor: Xuất phát từ đỉnh u G ta theo cạnh cách tuỳ ý cần tuân thủ qui tắc sau: (1) Xoá bỏ cạnh qua đồng thời xoá bỏ đỉnh cô lập tạo thành (2) Ở bước ta qua cầu khơng cịn cách lựa chọn khác 54 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đồ thị EULER: Xét ví dụ: Tìm chu trình Euler đồ thị:  Định lý G có hướng liên thông mạnh G đồ thị Euler  deg+(v) = deg-(v), vV 55 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đồ thị EULER:  Bài toán người phát thư Trung Hoa (Guan 1960): Một NV từ Sở BĐ, qua số đường phố để phát thư, quay Sở Phải qua đường theo trình tự để đường ngắn nhất? Xét tốn: Cho đồ thị liên thơng G Một chu trình qua cạnh G gọi hành trình G Hãy tìm hành trình ngắn (qua cạnh nhất) Nếu G đồ thị Euler chu trình Euler G hành trình ngắn cần tìm Xét trường hợp G có số đỉnh bậc lẻ Khi đó, hành trình G phải qua hai lần số 56 cạnh CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON 1.Đồ thị EULER:  Bài toán người phát thư Trung Hoa (Guan 1960): Định lý (Gooodman Hedetniemi, 1973) Nếu G đồ thị liên thơng có q cạnh hành trình ngắn G có chiều dài q + m(G), m(G) số cạnh mà hành trình qua hai lần xác định sau: Gọi V0(G) tập hợp đỉnh bậc lẻ (2k đỉnh) G Ta phân 2k phần tử G thành k cặp, tập hợp k cặp gọi phân hoạch cặp V0(G) Gọi độ dài đường ngắn từ u đến v khoảng cách d(u,v) Đối với phân hoạch cặp Pi, tính khoảng cách hai đỉnh cặp, tính tổng d(Pi) Số m(G) cực tiểu d(Pi): m(G)=min d(Pi) 57 1.Đồ thị EULER: VO(G)={B, G, H, K} tập hợp phân hoạch cặp là: P={P1, P2, P3}, đó: P1 = {(B, G), (H, K)} → d(P1) = d(B, G)+d(H, K) = 4+1 = P2 = {(B, H), (G, K)} → d(P2) = d(B, H)+d(G, K) = 2+1 = 3, P3 = {(B, K), (G, H)} → d(P3) = d(B, K)+d(G, H) = 3+2 = m(G) = min(d(P1), d(P2), d(P3)) = GT có từ G cách thêm vào cạnh: (B, I), (I, H), (G, K) GT đồ thị Euler Vậy hành trình ngắn cần tìm theo chu trình Euler GT: A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A 58 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON - Đường qua tất đỉnh đồ thị đỉnh lần gọi đường Hamilton - Chu trình đỉnh v qua tất đỉnh lại đỉnh lần quay trở v gọi chu trình Hamilton - Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị nửa Hamilton có đường Hamilton 59 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON Ví dụ Trong hình: Đồ thị G3 Hamilton, G2 nửa Hamilton cịn G1 khơng nửa Hamilton Cho đến việc tìm tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton mở Phần lớn phát biểu có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn G Hamilton" 60 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON  Định lý (Dirak 1952) Đơn đồ thị vơ hướng G với n>2 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ n/2 đồ thị Hamilton  Định lý Nếu G đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh V1, V2 có số đỉnh n (n ≥ 2) bậc đỉnh lớn n/2 G đồ thị Hamilton  Định lý Giả sử G đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+(v)≥n/2, deg–(v) ≥ n/2, v G Hamilton 61 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON Đồ thị G có đỉnh, đỉnh có bậc 4, nên G đồ thị Hamilton Đồ thị phân đơi có bậc đỉnh (> 3/2), nên đồ thị Hamilton 62 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON Ví dụ Hình mơ tả tìm kiếm tất chu trình Hamilton đồ thị 63 Đồ thị HAMILTON Bài tốn xếp chỗ ngồi: Có n đại biểu đến dự hội nghị Mỗi ngày họp lần ngồi quanh bàn trịn Hỏi phải bố trí ngày bố trí cho ngày, người có hai người kế bên bạn Lưu ý n người muốn làm quen với Xét đồ thị gồm n đỉnh, đỉnh ứng với người dự hội nghị, hai đỉnh kề hai đại biểu tương ứng muốn làm quen với Như vậy, ta có đồ thị đầy đủ Kn 64 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON Mỗi chu trình Hamilton cách xếp yêu cầu tốn Bái tốn trở thành tìm chu trình Hamilton phân biệt đồ thị đầy đủ Kn (hai chu trình Hamilton gọi phân biệt chúng khơng có cạnh chung) Định lý: Đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n ≥ có (n −1)/2 chu trình Hamilton phân biệt 65 Đồ thị HAMILTON Giải tốn xếp chỗ ngồi với n=11 Có (11−1)/2=5 cách xếp chỗ ngồi phân biệt sau: 10 11 1 11 10 1 11 10 1 11 10 1 11 10 66 ...CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - Đường qua cạnh đồ thị lần gọi đường Euler - Chu trình qua cạnh đồ thị lần gọi chu trình Euler - Đồ thị gọi đồ thị Euler... Euler.51 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị EULER: - Ví dụ 2: Xét đồ thị H1, H2, H3 bên dưới: Đồ thị H2 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3 khơng có... 61 CHƯƠNG III ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ HAMILTON Đồ thị HAMILTON Đồ thị G có đỉnh, đỉnh có bậc 4, nên G đồ thị Hamilton Đồ thị phân đôi có bậc đỉnh (> 3/ 2), nên đồ thị Hamilton 62 CHƯƠNG III ĐỒ