phương trình mặt phẳng oxyzcó trong tài liệu cho hs

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng     Vectơ n  vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng ( )  Chú ý:    Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k  0) VTPT mặt phẳng ( )  Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT       Nếu u , v có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n  [u , v ] VTPT ( ) II Phương trình tổng quát mặt phẳng  Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax  By  Cz  D  với A2  B  C    Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  có VTPT n ( A; B ; C )    Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n ( A; B ; C ) khác VTPT là: A( x  x0 )  B ( y  y )  C ( z  z )   Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  với A2  B  C   Nếu D  mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz  Nếu A  B  0, C  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oxy   Nếu A  C  0, B  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oxz   Nếu B  C  0, A  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oyz  Chú ý: Trang  Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng x y z    Ở ( ) cắt trục tọa độ a b c điểm  a; 0;0  ,  0; b;  ,  0;0;c  với abc   Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   : III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Trong không gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính: d ( M ,( ))  IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho | Ax0  By0  Cz0  D | hai A2  B  C mặt phẳng    : A1 x  B1 y  C1 z  D1    : A2 x  B2 y  C2 z  D2    Góc      bù với góc hai VTPT n , n Tức là:   n n   cos     ,      cos n , n     n n  A1 A2  B1B2  C1C2  B CÁC VÍ DỤ A12  B12  C12 A22  B22  C22  Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (  ) biết pháp tuyến n (A;B;C) toạ độ điểm M(x0;y0;z0) thuộc mặt phẳng Pp: Phương trình mặt phẳng (  ) là: A(x- x0) + B(y-y0 ) + C(z-z0) =  Ax + By + Cz -Ax0 - By0 - Cz0 = Chú ý:          - Mp (Oxz) có VTPT: n  i, k   j   0;1;0       - Mp (Oyz) có VTPT: n   j, k   i  1;0;0    - Trục Ox có VTCP i  1;0;0  - Mp (Oxy) có VTPT: n  i, j  k   0;0;1  - Trục Oy có VTCP j   0;1;0   - Trục Oz có VTCP k   0;0;1 Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau:  a/ (  ) qua điểm M (1;2;3) có pháp tuyến n (3;2;4)  b/ (  ) qua gốc toạ độ có pháp tuyến n (3;-2;0) Lời giải a/ Phương trình mặt phẳng (  ) là: 3(x-1) + 2(y-2) + 4(z-3) =  3x + 2y +4z -19 = b/ Phương trình mặt phẳng (  ) : 3(x- 0) -2(y-0) + 0(z-0) =  3x -2y = Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau: a/ (  ) qua điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3) b/ (  ) qua điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-3) Lời giải Trang  a/ Ta có AB =(2 ;1 ;-2)  AC =(-12 ;6 ;0)      n  = [ AB AC ] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy n  =(1 ;2 ;2) pháp tuyến A(2;-1;3)  (  )  Phương trình mặt phẳng (  ) là: 1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) =  x+ 2y + 2z - = b/ áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng (  ) là: x y z     6x- 3y - 2z - = 2 3 ( cách giải khác giống câu a) Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau:  x  2t  a/ (  ) qua điểm M(1;2;3) vng góc với d  y  3  t ( t tham số ) z   t  b/ (  ) qua điểm N(2;-1;3) vng góc với d x 1 y  z   2 c/ (  ) qua điểm P(0;1;2) vng góc với trục Ox   a/ Do (  ) vng góc với d  n  = a d = (2;1;-1) Lời giải M(1;2;3) (  )  phương trình (  ) là: 2(x-1) + 1(y-2) -1(z-3) =   b/ Do (  ) vuông góc với d  n  = a d = (-2;3;1)  2x + y -z -1 = N(2;-1;3)  (  )  phương trình (  ) : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) =   c/ (  ) vng góc với Ox  n  = i = (1;0;0)  -2x +3y +z +4 = P(0;1;2) (  )  phương trình (  ) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0  x=0 Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau: a/ (  ) qua M(2;-1;3) // (P): x+2y-3z + = b/ (  ) qua N(2;0;-3) // (Oxy)   a/ (  ) // (P)  n  = n P = (1;2;-3) M(2;-1;3) Lời giải (  )  phương trình (  ) là: 1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) =  x +2y -3z + =   b/ (  ) // (Oxy)  n  = k =( 0;0;1) Trang N(2;0;-3) (  )  phương trình (  ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) =  z+3=0 Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua điểm M(2;3;-1) song song với  x   3t  d  y  2t ( t tham số ) vng góc với (P): x + y - z + = z   t   Ta có : a d = (-3 ;2 ;-1)  n P = (1 ;1 ;-1) Lời giải    Do (  ) //d vng góc với (P)  n  = [ a d n P] = (-1 ;-4 ;-5) M(2;3;-1) (  )  phương trình (  ) là: -1(x-2) - 4(y-3) - 5(z+1) =  x +4y + 5z - = Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vng góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + = 0, (Q): 5x- 4y + 3z +1 = Ta có:  n P = (3;-2;2)  n Q= (5;-4;3) Lời giải    Do (  ) vng góc với (P) (Q)  n  = [ n P n Q] = (2;1;-2) M(3;-1;-5) (  )  phương trình (  ) là: 2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) =  2x + y - 2z -15 = Ví dụ 7: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  x   2t x  y 1 z   d  y  3t ; ( t tham số ) d’:   1 z   t  Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song với d d’  Ta có : a d = (2 ;-3 ;1)  a d’= (1 ;2 ;-1)    Do (  ) // d d’  n  = [ a d a d’] = (1;3;7) Lời giải Và M(1;2;3) (  )  phương trình (  ) : 1(x-1) +3( y - 2) +7(z-3) =  x + 3y + 7z - 28 = Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua điểm M(1;2;3) chứa đường thẳng d: Trang x  y 1 z    1 Lời giải Ta có: N(2;-1;3) d  MN = (1;-3;0)     a d = (1;2;-1) (  ) chứa M d  n  = [ a d, MN ] =(3;1;5)  phương trình (  ) : 3(x-1) + 1(y-2) +5(z - 3) =  3x + y +5 z - 20 =  x  1  t  Ví dụ 9:Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua M(2;1;3), N(1,-2,1) song song với d  y  2t ( t tham  z  3  2t  số )  Ta có: MN = (-1;-3;-2)  a d = (1;2;-2) Lời giải    Do (  ) qua M,N song song với d  n  = [ MN a d]= (10;-4;1) (  )  phương trình (  ) là: 10(x-2) -4(y-1) +1(z-3) =  10x - 4y +z -19 = Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua M(0;1;2), N(2;0;1) vng góc với M(2;1;3) (P): 2x + 3y - z + =  Ta có: MN = (2;-1;-1)  n P= (2;3;-1) Lời giải    Do (  ) qua M,N vng góc với (P)  n  = [ MN n P] = (4;0;8) M(0;1;2) (  )  phương trình (  ) là: 4(x-0) + (y-1) + 8(z-2) =  4x + 8z - 16 =  x + 2z - = Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  x   2t x  y 1 z   d  y  3t ; ( t tham số ) d’:   1 z   t  Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau : a/ (  ) chứa d // d’ b/ (  ) chứa d // d  a/ Ta có : a d = (2 ;-3 ;1) Lời giải Trang  a d’= (1 ;2 ;-1)    Do (  ) chứa d // d’  n  = [ a d a d’] = (1;3;7) Và M(1;0;4) d  M  (  )  phương trình (  ) : 1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) =  x + 3y + 7z - 29 =  b/ Ta có : a d = (2 ;-3 ;1)  a d’= (1 ;2 ;-1)    Do (  ) chứa d’ // d  n  = [ a d a d’] = (1;3;7) Và N(2;-1;3)  d’  N  (  )  phương trình (  ) : 1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) =  x + 3y + 7z - 20 = Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trường hợp sau: a/ (  ) chứa d: x  y 1 z    vng góc với (P): -x + y + 2z - =  x  3t  b/ (  ) chứa d  y  1  t vng góc với (Oyz)  z   2t  c/ (  ) chứa trục Oy vng góc với (P) : 2x + 3y - 4z + 1=  a/ Ta có a d= ( ;3 ;1)  n P = (-1 ;1 ;2) Lời giải    Do (  ) chứa d vuông góc với (P)  n  = [ a d n P] = (5; -5;5) M(-1;1;-1) d  M  (  )  phương trình (  ) : 5(x+1) - 5(y-1) + (z+1) =  x- y+ z+ 3=  b/ Ta có a d= ( ;1 ;-2)  i = (1 ; ; 0) pháp tuyến mặt phẳng (Oyz)    Do (  ) chứa d vng góc với (Oyz)  n  = [ a d i ] = (0 ; -2 ; -1) M(0 ;-1 ;2) d  M (  )  phương trình (  ) : 0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) =  -2y - z =  c/ Ta có j = (0 ;1 ;0 ) phương đường thẳng chứa trục Oy  n P= (2 ;3 ;-4)    Do (  ) chứa trục Oy vng góc với (P)  n  = [ j n P] = (-4 ;0 ;-2) Trang O(0 ;0 ;0) Oy  O (  )  phương trình (  ) : -4x - 2z =0  2x + z = Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (  ) trung trực đoạn thắng MN   pp : n  = MN (  ) qua trung điểm I MN Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng (  ) trung trực MN biết M(1;3;2), N(-1;1;0) Lời giải (  ) trung trực MN  (  )  MN  I ( I trung điểm MN) Ta có toạ độ I=(0;2;1) (  )   n  = MN = (-2 ;-2 ;-2) pháp tuyến (  )  phương trình (  ) là: -2 (x-0) - 2(y-2) -2(z-1) =  x+ y+ z-3 =0 Dạng 3: Phương trình mặt chắn: - Phương trình mp cắt ba trục tọa độ A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) với a,b,c  Ta có phương trình đoạn chắn x y z   1 a b c Ví dụ 14: Viết phương trình mp qua A(2,0,0); B(0;-5;0); C0;0;6) ĐS: x y z   1 5 Ví dụ 15: Lập phương trình (P) qua M(4;9;1); cắt 0x;0y; 0z A,B,C cho thể tích 0ABC nhỏ Lời giải Gọi Ba điểm A(a;0;0); b(0; b;0); C(0;0;c) ba điểm thuộc Ox; Oy; Oz (a,b,c>0) x y z   1 a b c Vì qua M nên ta có    a b c 1 Ta có VOABC  OA.SABC  a.b.c 4.9.1     a.b.c  27.4.9.1 Áp dụng cosi ta có a b c abc Phương trình mp (P):  V  162 Dấu xảy a=12; b=27; c=3 x y z   1 12 27 Dạng 4: Viết phương trình mp qua điểm thỏa mãn điều kiện khoảng cách  - Gọi n  (A;B;C) tọa độ vecto pháp tuyến (p) ĐS: - (P): A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Dùng điều kiện khoảng cách để tìm A,B,C Chọn giá trị C sau =>A,B Ví dụ 16: Viết phương trình mp (P) biết qua A(0;0;3) ; B(2;-2;0) khoảng cách từ M(-1;1;6) tới mp Lời giải  - Gọi n  (A;B;C) tọa độ vecto pháp tuyến (p) (P) qua A nên Ax+By+C(z-3)=0Ax+By+Cz-3C=0 - (P) qau B nên ta có: 2A-2B-3C=0 C  2A  2B Trang - D(M,(p))=1 | A( 1)  B.1  6C  3C | 2 A B C A  B2  C | A  B  3C | với C  1 2A  2B => A=-2B; B=-2A Với: A=-2B chọn B=1 => (P): 2x-y+2z-6=0 Với B=-2A chọn A=1 => (P):x-2y+2z-6=0 Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x  y  z  cách điểm M(1; 2; –1) khoảng Lời giải  PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax  By  Cz  (với A2  B  C  )  Vì (P)  (Q) nên: A  1.B  1.C   C   A  B (1)  d ( M ,(P ))   A  2B  C 2 A  B C   ( A  B  C )2  2( A2  B  C ) (2) B  (3) (4)  Từ (3): B =  C = –A Chọn A = 1, C = –1  (P): x  z   Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8  C =  (P): x  y  3z  Từ (1) (2) ta được: AB  B    8 A  B  x  t  Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) :  y  1  2t điểm A(1;2;3) Viết  z  phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Lời giải    (d) qua điểm M(0; 1;1) có VTCT u  (1; 2; 0) Gọi n  (a; b; c) với a2  b2  c2  VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x  0)  b( y  1)  c(z  1)   ax  by  cz  b  c  (1)  Do (P) chứa (d) nên: u n   a  2b   a  2b (2) d  A,( P)    a  3b  2c 2 a b c 3 5b  2c 5b  c 2  4b2  4bc  c2    2b  c    c  2b   5b  2c  b  c (3) Từ (2) (3), chọn b  1  a  2, c  2  PT mặt phẳng (P): x  y  z   Dạng 5: Viết phương trình mp (P) liên quan đến góc:  - Gọi n  (A;B;C) tọa độ vecto pháp tuyến (p) - (P): A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Từ Cosin góc ta tính A,B,C Ví dụ 19: Viết phương trình mặt phẳng qua A(0;2;0) , B(0;0;1) tạo với Oyz góc 60 Lời giải  - Gọi n  (A;B;C) tọa độ vecto pháp tuyến (p) Vì (P) qua A nên Ax+B(y-2)+Cz=0 Vì (P) qua B nên ta có A.0+B(0-2)+C.1=0 => C=2B  | n.i | | A.1  B.0  C.0 |     | n || i | A  B2  C Lại có:  5 B;A   3 Chọn B   A    5;C    2 => 3A  5B  A  Trang Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (a ) : x – y –1  , ( ) : x – z  tạo với mặt phẳng (Q ) : x – y  z –1  góc  mà cos   2 Lời giải  Lấy A(0;1; 0), B(1;3;2)  d (P) qua A  PT (P) có dạng: Ax  By  Cz – B  (P) qua B nên: A  3B  2C – B   A  (2 B  2C )  (P ) : (2 B  2C ) x  By  Cz – B  cos   2 B  2C  B  2C (2 B  2C )2  B  C  2  13B  8BC – 5C  13 + Với B  C   (P ) : 4 x  y  z –1  + Với B  , C   (P ) : 23 x  5y  13z –  13 Chọn C   B  1; B  Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x  y  5z   (Q ) : x  y  8z  12  Lập phương trình mặt phẳng ( R ) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc a  450 Lời giải  Giả sử PT mặt phẳng (R): ax  by  cz  d  (a2  b  c2  0) Ta có: ( R )  (P )  5a  b  5c  (1);  cos(( R),(Q))  cos 450  a  4b  8c  (2) a2  b2  c  a  c Từ (1) (2)  7a  6ac  c     c  7a  Với a  c : chọn a  1, b  0, c  1  PT mặt phẳng ( R ) : x  z   Với c  7a : chọn a  1, b  20, c   PT mặt phẳng ( R) : x  20 y  7z  Dạng : Viết phương trình mặt phẳng (  ) liên quan đến mặt cầu Ví dụ 22: Viết phương trình mặt phẳng (  ) //(P):x – 2y + 2z +1 =0 tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: (x+2)2 + (y-1)2 + (z- 2)2 = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;2) , bán kính R = Do (  ) // (P)  phương trình (  ) có dạng: x – 2y +2z + D = Do (  ) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d(I,(  )) = R  2    D 12  (2)2  2 =  |D|=6  D = D = -6 Vậy tìm hai mặt phẳng (  ) : x – 2y + 2z + = Và x – 2y + 2z - = Ví dụ 23: Viết phương trình mặt phẳng (  ) tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - = vng góc với đường thẳng Trang d: x 1 y  z   2 Lời giải 2 Ta có (S): x + y + z -2x +2y + 4z - =  (x - 1)2 + (y +1)2 + (z + 2)2 =  tâm I(1 ;-1 ;-2), bán kính R =   Do (  ) vng góc với d  n  = a d = (1;2;-2)  phương trình (  ) có dạng: x + 2y - 2z +D = Do (  ) tiếp xúc với mặt cầu S  d(I,(  )) = R  1   D 2   ( 2)   | D +3 | =  D = D = -12 Vậy tìm hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + = x + 2y - 2z - 12 = Ví dụ 24: Viết phương trình mặt phẳng (  ) song song với d: x  y 1 z   , vng góc với (P): 2x +y + z 1 = tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y+1)2 + z2 = Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 0), bán kính R =  n P = (2 ; ; )  a d = (1 ; ; -1)    Do (  ) //d vng góc (P)  n  = [ a d n P] = (- ; ; )  phương trình (  ) có dạng: - 4x + 3y + 5z + D = Do (  ) tiếp xúc S(I ;R)  d(I,(  ) ) = R  8   D (4)  32  52 =3  | D - 11 | = 15  D = 11 + 15 hày D = 11 - 15 Vậy tìm hai mặt phẳng (  ) : - 4x + 3y + 5z +11 + 15 = Và - 4x + 3y + 5z + 11 - 15 = Ví dụ 25: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S) x  y   x  2z  x2 + y2+z2 - 2x + 2y + 4z -3 = hai đường thẳng d:  d’ : x 1 y z   Viết phương trình mặt phẳng (  ) tiếp diện (S) đồng thời song song với d d’ 1 1 Lời giải Ta có (S)  (x -1)2 + (y +1)2 + (z +2)2 =  tâm I(1;-1;-2), bán kính R = Ta thấy đường thẳng d giao hai mặt phẳng (P): x + 2y -2 =0 (Q):x - 2z= Trang 10 Mặt phẳng qua M vng góc với trục Oy có phương trình y  yM Câu 20 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z   Khẳng định sau sai?  A Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến u  6,3,  B Khoảng cách từ O đến mặt phẳng   C Mặt phẳng   chứa điểm A 1, 2, 3 D Mặt phẳng   cắt ba trục Ox, Oy, Oz Hướng dẫn giải: 6 Do d  O,      36   Câu 21 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Biết A, B, C số thực khác , mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là: A Ax  Bz  C  B Ax  By  C By  Az  C  D Ax  By  C  Hướng dẫn giải Trục Oz giao tuyến mặt phẳng  Ozx  ,  Oyz  nên mặt phẳng chứa Oz thuộc chùm mặt phẳng tạo mặt  Ozx  ,  Oyz   Ax  By  Vậy Ax  By  Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B (1;2;6), C (5;0;4), D ( 4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng qua D song song với mặt phẳng ( ABC ) A x  y  z  10  B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z  10  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận     +) AB  ( 4;1;3), AC  (0; 1;1)   AB , AC   (4; 4; 4)    +) Mặt phẳng qua D có VTPT n  (1;1;1) có phương trình: x  y  z  10  +) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: x  y  z  10  Phương pháp trắc nghiệm Gọi phương trình mặt phẳng ( ABC ) có dạng Ax  By  Cz  D  Sử dụng MTBT giải hệ bậc ẩn, nhập tọa độ điểm A, B, C vào hệ, chọn D  ta 1 A  , B  , C  (Trong trường hợp chọn D  vô nghiệm ta chuyển sang chọn D  ) 9  Suy mặt phẳng ( ABC ) có VTPT n  (1;1;1)  Mặt phẳng qua D có VTPT n  (1;1;1) có phương trình: x  y  z  10  Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Câu 23 Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B (1;2;6), C (5;0;4), D ( 4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD A x  y  z  18  B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải Trang 24 Phương pháp tự luận     +) AB  ( 4;1;3), CD  ( 1; 0; 2)   AB, CD   (2;5;1)    +) Mặt phẳng qua A có VTPT n  (2;5;1) có phương trình là: x  y  z  18  +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: x  y  z  18  Phương pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay khơng? thấy đáp án B, C không thỏa mãn  Câu 24 +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD ta loại đáp D Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q ) : x  y  z   Phương trình mặt phẳng (P ) là: A y  z  B y  z  C y  z   D y  z  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận  +) Trục Ox véctơ đơn vị i  (1;0; 0)  Mặt phẳng (Q ) có VTPT n ( Q )  (1;1;1) Mặt phẳng (P ) chứa trục Ox vng góc với    n  i, n(Q )   (0; 1;1) (Q ) : x  y  z   nên (P ) có VTPT Phương trình mặt phẳng (P ) là: y  z  Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Ox nên loại đáp án C +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng (Q ) vng góc với VTPT (P ) ta loại tiếp đáp án Câu 25 B, D Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng chứa trục Ox qua điểm I  2; 3;1 là: A y  z  B x  y  C y  3z  D y  z  Hướng dẫn giải  Trục Ox qua A 1;0;  có i  1; 0;       Mặt phẳng qua I  2; 3;1 có vectơ pháp tuyến n  i, AI    0;1;3  có phương trình y  3z  Vậy y  z  Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;1 , B 1; 0; 4 C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là: A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải  Ta có: CB 1; 2;5  Mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC có VTPT CB 1; 2;5 nên có phương trình là: x  y  z   Vậy x  y  z   Trang 25 Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   qua A  2; 1;  , B  3; 2; 1 vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z   Phương trình mặt phẳng   là: A x  y  z   B x  y  z  21  C x  y  z   D x  y  z  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   AB  1;3; 5 , nQ  1;1;    Mặt phẳng   qua A  2; 1;  có vectơ pháp tuyến  AB, nQ    10; 6;8   2  5;3; 4  có   phương trình: x  y  z   Vậy x  y  z   Phương pháp trắc nghiệm     Do     Q   n nQ  , kiểm tra mp   có n nQ  Vậy chọn A Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng   qua M  0; 2;3 , song song với đường x  y 1   z vng góc với mặt phẳng    : x  y  z  có phương trình: 3 A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   thẳng d : Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận   Ta có ud   2; 3;1 , n  1;1; 1    Mặt phẳng   qua M  0; 2;3 có vectơ pháp tuyến n  ud , n    2;3;5       : x  y  z   Phương pháp trắc nghiệm   n  knQ   / /  d  Do      kiểm tra mp   thỏa hệ n n      Q    Q Câu 29 Vậy chọn A Trong không gian với hệ trục tọa độ  P  : x  y  z   với trục Ox ?   A M  0, 0,    B M  0, ,0  Oxyz Tọa độ giao điểm C M  3, 0,  M mặt phẳng D M  2, 0,  Hướng dẫn giải: Gọi M  a,0,  điểm thuộc trục Ox Điểm M   P   2a    a  Vậy M  2, 0,  giao điểm  P  , Ox Phương pháp trắc nghiệm 2 x  y  z    Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox):  y  ; bấm máy tính z   Câu 30 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng qua hình chiếu A5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng   là: Trang 26 A 12 x 15 y  20 z  60  C B.12 x 15 y  20 z  60  x y z    D x y z    60  Hướng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy, Oz Ta có: M 5; 0; 0 , N 0; 4;0 , P 0; 0;3 Phương trình mặt phẳng   qua M 5; 0; 0 , N 0; 4; 0 , P 0; 0;3 là: Câu 31 x y z     12 x  15 y  20 z  60  Vậy 12 x 15 y  20 z  60  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng    qua hai điểm A 5; 2; 0 , B 3; 4;1  có vectơ phương a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng    là: A x  y 14 z  C x  y 14 z   B x  y   D 5 x  y 14 z   Hướng dẫn giải  Ta có: AB 8;6;1  Mặt phẳng    qua hai điểm A 5; 2; 0 , B 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 nên    có VTPT là: n   AB , a   5;9; 14    Mặt phẳng    qua điểm A 5; 2; 0 có VTPT n  5;9; 14 có phương trình là: Câu 32 x  y 14 z   Vậy x  y 14 z   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P) : x  y  z   tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x  y  z  12 ? A B Khơng có C Hướng dẫn giải D Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q ) song song với mặt phẳng ( P ) có dạng: x  y  z  D  ( D  6) +) Do mặt phẳng (Q ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x  y  z  12 nên d ( I ;(Q ))  R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D  D  6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  4x   ,  Q   x  y  z   ,  R  : 3x  y  12 z  10  ,  W  : x  y  z  12  Có cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 Hướng dẫn giải: D.1 a b c d    a' b' c' d ' 2 3 Xét  P   Q  :      P   Q  2 8 2 3 Xét  P   R  :      P   R 6 12 10  Q   R  Hai mặt phẳng song song Xét  P  W  : 2   8 Trang 27 2 8   8 6 12 Xét  R  W  :   8 Xét  Q  W  : Vậy có cặp mặt phẳng song song Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng   : x   m  1 y  z   ,    : nx   m   y  z   Với giá trị thực m, n A m  3; n  6 B m  3; n  để   song song    C m  3; n  D m  3; n  6 Hướng dẫn giải: Để   song song     m 1 4     m  3; n  n m  2 2 Vậy m  3; n  Câu 35  P  : x  my   m  1 z   , để hai mặt phẳng  P  ,  Q  vng góc Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q  : x  y  3z   Giá trị số thực m B m   A m  1 D m  C m  2 Hướng dẫn giải: Câu 36   Để mặt phẳng  P  ,  Q  vng góc  n p nQ   1.2  m  1   m  1   m  Vậy m  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng   : x  y  z   ,    : x  y  z   Khoảng cách hai mặt phẳng   ,    ? A d    ,      B d    ,      11 C d    ,      D d    ,      Hướng dẫn giải: Lấy M 1, 0,1 thuộc mặt phẳng   Ta có d Vậy d Câu 37    ,      d  M ,         2   2    ,      Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng  Q  ? A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng  P  Điểm M '   x, y,  z  điểm đối xứng M qua trục tung   Q  :  x  y  z   mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng  P  Vậy x  y  z   Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng Q  Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ? Trang 28 A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hướng dẫn giải P Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng Điểm M '  x,  y, z  điểm đối xứng M qua trục tung   Q  : x  y  z   mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng P Vậy  P  : x  y  z   Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,   mặt phẳng qua điểm A2; 1;5 vng góc với hai mặt phẳng  P  : 3x  y  z   Q  : x  y  z 1  Phương trình mặt phẳng   là: A x  y  z   C x  y  z  10  B x  y  z 10  D x  y  z   Hướng dẫn giải  Mặt phẳng (P) có VTPT nP   3; 2;1  Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ   5; 4;3  Mặt phẳng   vng góc với mặt phẳng  P  : 3x  y  z   , Q  : x  y  z 1     nên có VTPT nP   nP , nQ    2; 4; 2    Phương trình mặt phẳng   là: x  y  z   Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng:  P  : x  y  z    Q  : x  y  z   là: A M  0; 3;  B M  0;3;  C M  0; 2;  D M  0;1;0  Hướng dẫn giải Ta có M  Oy  M  0; m;0      Giả thiết có d M ,  P   d M ,  Q   m 1  m   m  3 Vậy M  0; 3;  Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng qua G 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy , Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng   có phương trình: A x  y  z  18  B x  y  z  18  C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A  a;0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  giao điểm mặt phẳng   trục Ox, Oy , Oz Phương trình mặt phẳng   : x y z     a, b, c   a b c Trang 29 Ta có G trọng tâm tam giác ABC Câu 42 a 3 1 a   x y z b      b     :     x  y  z  18  3 c   c 3   Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng song song với mặt phẳng    : 2x  y  z     là: cách điểm A  2; 3;  khoảng k  Phương trình mặt phẳng A x  y  z   x  y  z  13  B x  y  z  25  C x  y  z   D x  y  z  25  x  y  z   Hướng dẫn giải Vì   / /       : x  y  z  m   m  3   Giả thiết có d A,     32  m  m  14 3   m  50 Vậy   : x  y  z   ,   : x  y  z  25  Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình x  y 2 z 3 x 1 y  z 1 , d2 : Phương trình mặt phẳng   cách hai     1 đường thẳng d1 , d là: d1 : A x  y  z  B x  y  z   C x  y  z   D 14 x  y  z   Hướng dẫn giải   Ta có d1 qua A  2; 2;3 có ud1   2;1;3 , d qua B 1; 2;1 có ud   2; 1;     AB   1;1; 2  ; ud1 ; ud2    7; 2; 4 ;     ud1 ; ud2  AB  1  nên d1 , d chéo    Do   cách d1 , d nên   song song với d1 , d  n  ud1 ; ud2    7; 2; 4       có dạng x  y  z  d      Theo giả thiết d A,    d B,    d 2 69  d 1 69 d     :14 x  y  z   Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  ,  b  0, c   mặt phẳng  P  : y  z   Xác định b c biết mặt phẳng B b  1, c   ABC  vng góc với mặt phẳng  P  khoảng cách từ O đến  ABC  A b  1 ,c  2 C b  1 ,c  2 D b  ,c 1 Trang 30 Hướng dẫn giải x y z     bcx  cy  bz  bc  b c c  b  bc   ABC    P     bc 1 Theo giả thiết:  b2 1   d O , ABC         2 3   b  2b   bc   c  b 1  3b2  b4  2b  8b  2b  b   c  2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng   qua điểm M 5; 4;3 cắt tia Phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng Câu 45 Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: A x  y  z 12  C x  y  z  50  B x  y  z  D x  y  z  Hướng dẫn giải Gọi Aa;0; 0 , B 0; a;0 , C 0; 0; a   a   giao điểm mặt phẳng   tia Ox, Oy , Oz x y z   1 a a a Mặt phẳng   qua điểm M 5; 4;3  a  12 Phương trình mặt phẳng   qua A, B, C là: x y z     x  y  z 12  12 12 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt phẳng Ta có Câu 46 y  z   góc 600 Phương trình mặt phẳng (P ) là: x  z  x  z  x  y  x  y  A  B  x  z   x  z  C  x  2z  x  z  D  Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên có dạng: Ax  Cz  ( A2  C  0)   n ( P ) n( Q ) +) Mặt phẳng (P ) tạo với mặt phẳng y  z   góc 600 nên cos 60    n( P ) n(Q )  AC A2  C  C  A2  C    A2  C  A  C x  z  Phương trình mặt phẳng (P ) là:  x  z    C  Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn Câu 47 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu  S  :  x  1   y     z  3  Phương trình mặt phẳng   chứa trục Oz tiếp xúc với  S  A   : x  y   B   : x  y  C   : x  y  D   : x  y  Hướng dẫn giải:  Mặt phẳng   chứa trục Oz có dạng : Ax  By  A2  B   Trang 31   Ta có : d I ,     A  2B A2  B 1  AB  B   A  B  Chọn A  3, B  4    : x  y  Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A 1, 2, 1 , B  2,1,  , C  2,3,  Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  OGB  ? A 174 29 B 174 29 C 174 29 D 174 29 Hướng dẫn giải 1 3 1 3     13   Gọi n vtpt mặt phẳng  OGB   n  OG  OB    ,  ,   3 3 Do G trọng tâm tam giác ABC  G  , 2,    Phương trình mặt phẳng  OGB  : x  y  13 z   d A,  OGB   Câu 49 174 29 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu  S  :  x  1   y     z  3  16 Phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt hình cầu  S  theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A   : 3x  z  B   : x  z  C   : x  z   D   : x  z  Hướng dẫn giải:  Phương trình mặt phẳng   : Ax  Cz  A2  C   Ta có : 2 r  8  r  Mà  S  có tâm I 1, 2, 3 , R  Do R  r   I     A  3C  Chọn A  3, C  1    : x  z  Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x  1)  ( y  2)  z  12 theo đường trịn có chu vi lớn Phương trình (P ) là: A x  y   B y   C y   D y   Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( x  1)  ( y  2)  z  12 theo đường trịn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; 2;0) Phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay  B  Do ( P ) qua tâm I (1; 2;0) có phương trình dạng: y   Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P ) qua tâm I (1; 2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án Câu 51 B,C Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi ( ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình ( ) là: A x  z  B x  z  C x  z  Hướng dẫn giải D x  Phương pháp tự luận Trang 32 +) Gọi H , K hình chiếu vng M M mặt phẳng ( ) trục góc Oy Ta có : K (0; 2; 0) d ( M , ( ))  MH  MK Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) lớn mặt phẳng ( ) qua K vuông góc với MK Phương trình mặt phẳng: x  3z  Câu 52 H K Oy 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z    , điểm A  0;0;  Phương trình mặt phẳng  P  qua A cắt mặt cầu  S  theo thiết diện hình trịn C  có diện tích nhỏ ? A  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hướng dẫn giải: Mặt cầu  S  có tâm I 1, 2, 3 , R  Ta có IA  R nên điểm A nằm mặt cầu   Ta có : d I ,  P   R2  r2   Diện tích hình trịn  C  nhỏ  r nhỏ  d I ,  P  lớn      Do d I ,  P   IA  max d I ,  P   IA Khi mặt phẳng  P  qua A nhận IA làm vtpt  P : x  2y  z   Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  cắt trục Ox, Oy , Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hướng dẫn giải: Gọi A  a;0;  , B  0; b;  , C  0;0; c  giao điểm  P  với trục Ox, Oy , Oz x y z    1 a, b, c   a b c 1 1 a  b  c 1  N   P   Ta có:  NA  NB   a   b   a  b  c   x  y  z    NA  NC  a   c 1     P : Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A(1;1;1) , B  0; 2;  đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM  2ON A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Trang 33 Hướng dẫn giải: Gọi M  a;0;0  , N  0; b;  giao điểm  P  với tia Ox , Oy  a, b     Do OM  2ON  a  2b  MN  2b; b;   b  2; 1;  Đặt u  2; 1;      Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P   n  u , AB    1; 2;1   Phương trình măt phẳng  P  : x  y  z   Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1; 2;1 , B  2;1;3 , C  2; 1;3 D  0;3;1 Phương trình mặt phẳng   qua A, B đồng thời cách C , D A  P1  : x  y  z  15  0;  P2  : x  y  z  10  B  P1  : x  y  z   0;  P2  : x  y  z  10  C  P1  : x  y  z   0;  P2  : x  3z   D  P1  : x  y  z  20  0;  P2  : x  y  z  10  Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: CD   P     nP  AB  CD   6; 10; 14   2  3;5;    P  : 3x  y  z  20  Trường hợp 2:  P  qua trung điểm I 1;1;  CD    nP  AB  AI  1;3;3    P  : x  y  z  10  D C C I P P D Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;1;3 ; B  3; 0;  ; C  0; 2;1 Phương trình mặt phẳng  P  qua A, B cách C khoảng lớn ? A  P  : x  y  z  11  B  P  : x  y  z  13  C  P  : x  y  z  12  D  P  : x  y   Hướng dẫn giải: C Gọi H , K hình chiếu C lên mp  P  doạn thẳng AB Ta có : H P B K A CH  d  I ,  P    CK  d  C ,  P   lớn H  K Khi mặt phẳng  P  qua A, B vuông với mặt phẳng  ABC      Ta có n p   AB, AC   AB   9, 6, 3     P  : 3x  y  z  11  Trang 34 Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng   có phương trình là: x y z   1  D x  y  z  14  A x  y  z 14  B C x  y  z 10  Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M  BK  CH AB  CH    AB  COH   AB  OM (1) (1) AB  CO  Chứng minh tương tự, ta có: AC  OM (2) Từ (1) (2), ta có: OM   ABC   Ta có: OM 1; 2;3 C Ta có : Mặt phẳng   qua điểm M 1; 2;3 có VTPT có phương trình là: K M A O H B  OM 1; 2;3 nên  x 1   y  2  3 z  3   x  y  3z 14  Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy , Oz nên A(a;0; 0), B (0; b;0), C (0;0; c ) ( a, b, c  ) x y z   1 a b c    AM BC     +) Do M trực tâm tam giác ABC nên  BM AC  Giải hệ điều kiện ta a , b, c  M  ( ABC )  Vậy phương trình mặt phẳng: x  y  z  14  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G (1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: Câu 58 A x y z    16 12 B x y z    16 12 C x y z    12 D x y z    12 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy , Oz nên A(a;0; 0), B (0; b;0), C (0;0; c ) xO  xA  xB  xC   xG   yO  y A  yB  yC  +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên  yG   yO  y A  yB  yC   zG   suy a  4, b  16, c  12 x y z    16 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P ) qua M cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: Câu 59 A x  y  z  B x  y  z  18  C x  y  z  14  D x  y  z   Trang 35 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P ) cắt Ox, Oy , Oz tia lượt lần A, B, C nên A(a;0; 0), B (0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c  ) x y z   1 a b c +) Mặt phẳng (P ) qua M nên    a b c Phương trình mặt phẳng (P )    33  abc  162 a b c abc +) Thể tích khối tứ diện OABC V  abc  27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ    suy a  3, b  6, c  a b c x y z Phương trình mặt phẳng (P )    hay x  y  z  18  Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình Ta có  Câu 60  P  x  y  z    Q  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  1   y   phẳng   vuông với mặt phẳng  P  ,  Q  đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S  A x  y   0; x  y   B x  y   0; x  y   C x  y   0; x  y   D x  y   0; x  y    z  Mặt Hướng dẫn giải 2 Mặt cầu  S  :  x  1   y    z  có tâm I 1; 2;  bán kính R   Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng        Ta có : n  nP  n Q  n   6;3;0   3  2; 1;   3n1 Lúc mặt phẳng   có dạng : x  y  m    Do mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S   d I ,     m4  m 1    m  9 Vậy phương trình mặt phẳng   : x  y   x  y   Câu 61  P  : x  y  z   , điểm 2 A 1; 0;0  , B(1; 2; 0)  S  :  x  1   y    z  25 Viết phương trình mặt phẳng   vuông với mặt phẳng  P  , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu  S  theo đường trịn có Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng bán kính r  2 A x  y  3z  11  0; x  y  z  23  B x  y  z  11  0; x  y  z  23  C x  y  z  11  0; x  y  z  23  D x  y  3z  11  0; x  y  3z  23  Hướng dẫn giải 2 Mặt cầu  S  :  x  1   y    z  có tâm I 1; 2;  bán kính R   Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng   Trang 36      Ta có : n   nP , AB   n   4; 4;    2; 2;3  2n1   Lúc mặt phẳng   có dạng : x  y  z  m  Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng     Ta có : R  r  IJ  IJ  17  d I ,    17   m  17  m  11 m  23 Vậy phương trình mặt phẳng   : x  y  z  11  x  y  z  23  Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A 1;1; 1 , B 1;1;  , C  1; 2; 2  mặt phẳng  P  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng   qua A , vng góc với mặt phẳng  P  cắt đường thẳng BC A   : x  y  z   C   : x  y  z   I cho IB  IC biết tọa độ điểm I số nguyên B   : x  y  z   D   : x  y  z   Hướng dẫn giải :    I  3;3; 6   IB  2IC  Do I , B, C thẳng hàng IB  2IC          IB  2 IC  I   ; ;      Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I  3;3; 6  Lúc mặt phẳng   qua A, I  3;3; 6  vng góc với mặt phẳng  P     : x  y  z   Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P x  y  z   ,  Q  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng   qua A 1; 0;1 chứa hai mặt phẳng  P  ,  Q  ? A   : x  y  z   B   : x  y  z  16  C   : x  y  z  17  D   : x  y  z   giao tuyến Hướng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q   x  y  z 3  M , N thỏa hệ phương trình :  2 x  y  z    y  z  4  y  3 Cho x      M (7; 3; 1) 3 y  z  13  z  1  y  z  3  y  1 Cho x     N  6; 1; 2   3 y  z  11  z  2 Lúc mặt phẳng   chứa điểm A, N , M    : x  y  z  16  Câu 64 x y 1 z x 1 y z    d2 :   1 1 Viết phương trình mặt phẳng   vng góc với d1 ,cắt Oz A cắt d B ( có tọa ngun ) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng d1 : cho AB  A   :10 x  y  z   B   : x  y  z   C   : x  y  z   D   : x  y  z   Trang 37 Hướng dẫn giải Do mặt phẳng   vng góc với d1  x  y  z  m  Mặt phẳng   cắt Oz A  0; 0; m  , cắt d B  m  1, 2m, m  1   AB   m  1, 2m, 2m  1  m2  2m    m2  m    m  1, m   Vậy mặt phẳng   : x  y  z   Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2; 0;  , C  1; 1;0  , D  0;3;  Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm B ', C ', D ' thỏa : AB AC AD    Viết phương trình mặt phẳng AB ' AC ' AD ' AB ' C ' D ' tích nhỏ ? A 16 x  40 y  44 z  39  C 16 x  40 y  44 z  39   B ' C ' D ' biết tứ diện B.16 x  40 y  44 z  39  D 16 x  40 y  44 z  39  Hướng dẫn giải: AB AC AD AB.AC AD    33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' 27 V AB ' AC ' AD ' 27 27     VAB 'C ' D '  VABCD  AB 'C ' D '  AB AC AD 64 VABCD AB AC AD 64 64   AB ' AC ' AD ' 7 7 Để VAB 'C ' D ' nhỏ     AB '  AB  B '  ; ;  AB AC AD 4 4 4 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có :  7 7  4 4 Lúc mặt phẳng  B ' C ' D '  song song với mặt phẳng  BCD  qua B '  ; ;    B ' C ' D '  :16 x  40 y  44 z  39  Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P  : x  y  z   ,  Q  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến  P  ,  Q  cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải Chọn M  6;0;  , N  2; 2;  thuộc giao tuyến  P  ,  Q  Gọi A  a;0;  , B  0; b;  , C  0;0; c  giao điểm   với trục Ox, Oy , Oz x y z    1 a, b, c   a b c  1  a   chứa M , N   2   1  a b c    : Hình chóp O ABC hình chóp  OA  OB  OC  a  b  c Vây phương trình x  y  z   Trang 38 ... với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng Q  Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ? Trang 28 A  P  :...      Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng  Q ... , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng  Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P   Q  ? A  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   Câu 39 qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình