bài giảng đại số tuyến tính

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH PGS TS TRẦN TUẤN NAM TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Hoffman, Kunze Linear algebra (2ed, PH, 1971)(415s) 2/ J S Robinson, A course in linear algebra 3/ T T Nam (chủ biên), Một số ứng dụng Đại số đại vào giải toán sơ cấp, NXB DHSP Tp HCM Chương 1: LÝ THUYẾT TẬP HỢP, NH X & LOGIC Bài 1: Logic mệnh đề Mệnh đề Một phát biểu mà sai đợc gọi mệnh đề Ví dụ Những phát biểu sau mệnh đề? a) số chẵn, b) Trái đất quay quanh mặt trời, c) Mặt trời mọc hớng tây, lặn hớng đông, d) Bạn có khỏe không? e) Tìm x thỏa mÃn 5x+7=2 Mệnh đề phải thỏa mÃn luật sau đây: 1) Mỗi mệnh đề sai, mênh đề không không sai (luật trung) 2) Không có mệnh đề vừa vừa sai (luật phi mâu thuẫn) Trong logic mệnh đề, ngời ta quan tâm đến tính đúng, sai mệnh đề Nếu mênh đề p đúng, ta gán cho p giá trị (p 1) Nếu mênh đề p sai, ta gán cho p giá trị (p 0) đợc gọi giá trị chân lý (chân trị) mênh đề p Các phép toán mệnh đề a) Phép phủ định Phủ định mệnh đề p mệnh đề p (không p) p sai sai p p p Bảng chân trị: 0 b) Phép hội Hội hai mệnh đề p q mệnh đề pq (p q) p q đúng, sai trường hợp lại Bảng chân trị: p q pq 1 1 0 0 0 b) Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề p q mệnh đề pq (p hoặc/hay q) sai p q sai, trường hợp lại Bảng chân trị: p q pq 1 1 1 0 c) Phép kéo theo Cho hai mệnh đề p q Khi mệnh đề p  q (p kéo theo q, p q) sai p q sai, trường hợp lại Bảng chân trị: p q pq 1 1 0 1 0 d) Phép tương đương Cho hai mệnh đề p q Khi mệnh đề p  q (p tương đương q) p q sai, sai trường hợp lại Bảng chân trị: p q pq 1 1 0 0 Biểu thức mệnh đề Các mệnh đề p, q, … nối với phép toán mênh đề gọi biểu thức mệnh đề Hai biểu thức mệnh đề gọi đồng với nhau, ký hiệu  chúng có bảng chân trị ứng với chân trị mệnh đề p, q, … Ta thấy r ( A)  r ( A)   (số ẩn) Hệ có vô số nghiệm Hệ trở thành: 2x-3y-8-10=-13  2x-3y=5 3a  x   2 x  y  z  5t  13   y  a (a  R)   z  t    z2  t  2    t  2  3 4 13   0     0 2  Ví dụ Giải biện luận hpt theo tham số m  3t   x  2y 2 x  y  z  5t  16   3x  y  z  8t  23 5 x  12 y  z  13t  m 1   A 3   12  1 2 d 1 d   3 d 1 d 16  5 d 1 d     0 1 23   13 m   1       1 1  0 0 m  39  2 d  d bo d 3   1   1  2 m  35 r ( A)  2 , m  39 r ( A)   3 , m  39 Kết luận: • Khi m  39: Hệ vơ nghiệm r ( A)  r ( A) • Khi m = 39: r ( A)  r ( A)   Hệ có vơ số nghiệm Hệ trở thành:  x   2a  5b   3t  x  y y  2 a b   y  z t   z  a t  b x+4-2a+2b+3b=7 Hệ Cramer Hệ PTTT gồm n phương trình n ẩn số gọi hệ Cramer định thức ma trận hệ số khác • Cách giải 1: Dùng ma trận nghịch đảo AX = B  X = A-1B Như hệ Cramer có nghiệm Chú ý -Hệ PTTT AX = O  X = O -Có thể tìm ma trận nghịch đảo cách giải hệ Cramer Ví dụ Giải hệ PTTT:  x1  x2  x3    x1  x2  x3  x  x  x   1 1  1  A  1 1 , B  1  , 1 1  3 1  det (A)=4 0  2  1 1  A       Giải  x1  X   x2   x3   0  1 2   1 2  x1   1   1  X   x2   A B  2  x3   0   x1     x2  x   1  0  1  1 1      2     3 1  1  • Cách giải 2: Dùng định thức Định lý (Cramer) Hệ Cramer có Dj nghiệm: xj  D ( j  1, 2, , n) Trong D = det(A), Dj nhận từ D cách thay cột thứ j cột hệ số tự (j=1, 2, …, n) Ví dụ Giải hệ trên:  x1  x2  x3    x1  x2  x3  x  x  x   1 1 D  1   4, D1  1 1 Giải 1 D2  1 1 1   4, 1 1 1   4, D3  1  1  x1  x2  x3  Bài tập: Giải hệ pttt:  x  y  2t   x  y  z  5t   13  x  z  2t   x  y  z  t  14   a)  b)  x  y  z  t    x  y  3t   x  y  3t  8 x  12 y  z  2t  22  x  y  z  12t  14 2 y  z  t   c )  x  y  12 z  16t  20  x  y  z  4t    x  y  z  8t  11 Giải biện luận hpttt: x  2y  2z   a) 2x  y  5z  3 x  y  m z    x  14 y  z  26t   m  x  y  z  5t  16  b)  3 x  y  z  8t   x  y  z  t  m  4x1  (m  5) x2  x3  8mx4  3x  (m  4) x  x  6mx   c)  mx  mx  ( m  1) x  m x4  2m  (m  2) x  (m  2) x  (m  1) x  (3m2  4m 1) x  3m   x  y  z  m  x  y  mz   d)   x  my  z  mx  y  z  2x-y+z+t=1 x+2y-z+4t=2  e)  x+7y-4z+11t=m 4x+8y-4z+16t=m+1  m5 1 8m   1 2m      m   m m   m  d  d    c)   2  m   m m 1 2m 2m m m m 1 2m 2m      2 m   m  m  m  m  m  m   m  m  m  m  m      1 1 2m   1 2m      m   1 m   1  ( m  1) d  d       0 0 m 1 0  m 1 0      m  m  m  1 0 m  m  1 0 0 3 d 1 d  md 1 d  ( m  2) d 1 d Với m=1: Hệ vô nghiệm Với m= - 1: Hệ trở thành:   x1  x  x  x   x    -2 x  x =    x3 x   a  4b  (1  a )   a (a  R )   b (b  R ) (Hệ có vơ số nghiệm) Với m  1: (Hệ có nghiệm nhất)   x1   m  2mx4   x1  x2  (m-1)x  x x  =   2  m 1  (m+1)x3 =0   x3    (m  1) x  m   x   m  Giải biện luận hpttt: x  2y  2z   2x  y  5z  3 x  y  m z   1  A  2  2 0 1  d 1 d    d 1 d 5 1      0  m  1 2    m 6)d 2d  (    0 1   0 m    m  7  B ) 0 2 0  1 1 m   1) 2) 3) 4) GIỚI HẠN ÔN TẬP CUỐI KỲ Logic mệnh đề, Ánh xạ, Quan hệ Ma trận nghịch đảo (dk khả nghịch, tim mtnd cấp 3, tim X: AX+B=C) Tính Định thức: Cấp 3, cấp 4, cấp n Hệ pttt (Giải, biện luận)