Tuyensinh247 com 1 MỤC LỤC Hàm số 02 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit 19 Nguyên hàm, tích phân 29 Số phức 46 Khối đa diện 50 Các khối tròn xoay 57 Phương pháp tọa độ trong không gian 65 Cu. MỤC LỤC Hàm số ..................................................................................................................................... 02 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit .................................................................. 19 Nguyên hàm, tích phân .......................................................................................................... 29 Số phức .................................................................................................................................... 46 Khối đa diện ............................................................................................................................ 50 Các khối tròn xoay ................................................................................................................. 57 Phương pháp tọa độ trong không gian ................................................................................. 65 Cuốn sổ tay gồm 80 trang, tổng hợp lại đầy đủ các dạng bài và công thức quan trọng của môn Toán lớp 12. TAISACHONTHI.COM 2 Tuyensinh247.com HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y f x Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Giải phương trình f x 0 và tìm các điểm f x không xác định Bước 3: Lập BBT của hàm số f x . Bước 4: Kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số. Tính đơn điệu chứa tham số Đơn điệu trên Đối với hàm đa thức bậc ba: Sử dụng tam thức bậc hai: 2 y ax bx c a 0 2 2 0 0 0 ; 0 4 0 4 0 a a y x y x b ac b ac Đơn điệu trên a;b Đơn điệu trên Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 3 Đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L Cho 3 2 y f x;m ax bx cx d a 0 . 2 y f x;m 3ax 2bx c có 2 b 3ac . Bước 1: Tính y . Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0 1 0 a . Bước 2: Biến đổi 1 2 x x L 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 4 x x L x x x x L Vậy 2 2 S 4P L 2 . Bước 3: Sử dụng định lí Viét đưa (2) về phương trình theo m. Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) và kết luận. Mở rộng hướng giải Giả sử 2 y f x;m Ax Bx C A 0 . 1 2 x x L với 1 2 , 2 2 B B x x A A . 1 2 2 2 2 2 B B x x A A A A . Vậy 2 1 2 2 x x L L A A . TAISACHONTHI.COM 4 Tuyensinh247.com Lưu ý không lấy dấu bằng Riêng đối với hàm ax b y cx d Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax b y cx d là 2 ad bc y cx d Đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định ad bc 0 hoặc ad bc 0 Phương pháp chung: Tính y . Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên a;b thì y 0 xa;b ( y 0 xa;b ) và bằng 0 tại hữu hạn điểm. Cô lập m , đưa về dạng: ; ; max a b m g x x a b m g x , ; ; min a b m g x x a b m g x Lập BBT hàm số g x trên a;b và kết luận. ad bc 0 hoặc ad bc 0 + ; d c (tức là hoặc d c hoặc d c ) Đơn điệu trên a;b Đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng ; TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 5 Hàm 2 ; ax bx c y f x m dx e Công thức tính nhanh đạo hàm: 2 2 2 adx aex be cd y dx e Hs đồng biến trên TXĐ khi y 0 và nghịch biến trên khi y 0 Hàm phân thức chứa lượng giác ; au x b y f x m cu x d ; trong đó u x sin x, cos x, tan x, cot x... Cách 1: Tính đạo hàm trực tiếp Chú ý đạo hàm hàm hợp: y f u.u x . Dấu của y phụ thuộc vào tích dấu f u và u x . Cách 2: Đổi biến Đặt t u x , với x ; thì 1 2 tD t ; t . + Nếu t u x 0 x; thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y f t đơn điệu cùng chiều đề bài trên D. + Nếu t u x 0 x; thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y f t đơn điệu ngược chiều đề bài trên D. VD: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số cos 2 2cos m x y x m nghịch biến trên ; 3 2 . + Đặt t cos x , với ; 3 2 x thì 1 0; 2 t + Ta có sin 0 ; 3 2 t x x x . 2 1 , 0; 2 2 mt y t t m . Bài toán Tìm m để hàm số y f t đồng biến trên 1 0; 2 . 2 2 2 0 4 0 2 0 0 2 0;1 1 2 1 m f t m m m t m m m m Lưu ý: lấy dấu bằng TAISACHONTHI.COM 6 Tuyensinh247.com CỰC TRỊ Phương pháp tìm cực trị 1 Tìm tập xác định cùa hàm số 2 Tính y , giải phương trình y 0 và xác định các điểm mà y không xác định 3 Lập bảng xét dấu y và xác định các điểm cực trị là điểm mà qua đó y đổi dấu Note: Chỉ cần y đổi dấu, không cần y 0 CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC HÀM ĐA THỨC BẬC BA 3 2 y ax bx cx d a 0 1. Đạo hàm: 2 y 3ax 2bx c . 2. Điều kiện để hàm số có cực trị: 2 b 3ac 0 . 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: 2 3 3 9 b bc y c x d a a HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG 4 2 y ax bx c a 0 1. Đạo hàm: 3 y 4ax 2bx. 2. Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: ab 0 , có 1 cực trị: ab 0 . 3. Hàm số có 1 cực tiểu + 2 cực đại: a 0, b 0 . 4. Hàm số có 2 cực tiểu + 1 cực đại: a 0, b 0 5. Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực đại: a 0, b 0 . 6. Hàm số chỉ có 1 cực trị là cực tiểu: a 0, b 0 . TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 7 Điều kiện cần và đủ để 0 x là điểm cực đại của hàm số y f x : 0 0 0 0 f x f x Điều kiện cần và đủ để 0 x là điểm cực tiểu của hàm số y f x : 0 0 0 0 f x f x Tìm số điểm cực trị thông qua đạo hàm đã cho Nếu thoả mãn pt f x 0 thì là nghiệm bội lẻ 1 2 m n f x x x x x + m,n lẻ: 1 2 x , x là những điểm cực trị + m,n chẵn : 1 2 x , x không là cực trị Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f x Quan sát điểm cực trị thoả m ãn các dấu hiệu: Đạo hàm y phải đổi dấu khi qua nó Tại các điểm cực trị, y có thể bằng 0 hoặc không xác định nhưng y phải xác định. Hàm số thay đổi chiều hướng mũi tên khi qua nó Đồ thị hàm số “lồi lên hoặc lõm xuống” tại các điểm cực trị. Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f x Quan sát điểm cực trị thoả mã n các dấu hiệu: Là giao điểm của đồ thị f x với trục hoành Ox y f x đổi dấu khi qua các điểm đó hay tại đó đồ thị f x nằm về cả hai phía mặt phẳng bờ Ox Không tính điểm mà tại đó f x tiếp xúc Ox Tại điểm đồ thị hàm số đi từ miền âm lên dương là điểm cực tiểu, đi từ miền dương xuống âm là điểm cực đại. TAISACHONTHI.COM 8 Tuyensinh247.com Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0 Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0 Tam giác ABC vuông cân tại A 3 b 8a Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O 3 b 8a 8abc 0 Tam giác ABC đều 3 b 24a Tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp O 3 b 8a 4abc 0 Tam giác ABC có diện tích 0 S 3 2 5 0 32a S b 0 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 3 8 8 b a R a b Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b 6ac Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r 2 2 1 4 1 8 b r b a a Tam giác ABC có trực tâm O 3 b 8a 4ac 0 Tam giác ABC có 3 góc nhọn 3 b 8a b 0 Khi đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị A, B, C CỰC TRỊ CHỨA m Hàm đa thức bậc 3: 3 2 y ax bx cx d a 0 (hệ số a có chứa m ) + Hàm số có 2 cực trị a 0 và 0 y + Hàm số có 1 cực trị a 0 và b 0 + Hàm số không có cực trị a 0 và 0 y hoặc suy biến a 0 và b 0 TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 9 CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM KHÁC ax2 bx c T x y mx n M x với 0, 0 n am T m . Hàm số có 2 điểm cực trị: 0 a.T x 0 . Hàm số không có cực trị: 0 a.T x 0 . Chú ý: 0; 0 n am T m hàm số suy biến và không có cực trị. Với 2 ax bx c y mx n 1) Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: 2 2 ax bx c ax b y mx n m (2) 1 2 1 2 2 CD CT a b y y y y x x m m . (3) 1 2 1 2 2 CD CT a y y y y x x m . (4) 2 1 2 1 2 2 2 2 4 . . . CD CT ax b ax b b ac y y y y m m m . Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: ax b y cx d Hàm phân thức bậc không có cực trị. hai trên bậc nhất TAISACHONTHI.COM 10 Tuyensinh247.com Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện cho trước: Cho hàm số 3 2 f x,m ax bx cx d a 0 Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: TXĐ: D R 2 2 y 3ax 2bx c Ax Bx C Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu 2 1 0 0 y 0 3 0 A a m D b ac Bước 3: Gọi 1 2 x ; x là hai nghiệm của PT . Khi đó, theo ĐL Viet: 1 2 1 2 2 ; . 3 3 B b C c S x x P x x A a A a Bước 4: Biến đổi hệ th ức đề bài về dạng chứa S;P. Từ đó giải tìm được 2 mD Bước 5: Kết luận 1 2 mD D thoả mãn yêu cầu bài toán. Điều kiện để hai điểm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn Khi đó PT y 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 x ; x thoả mãn: • 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 0 x x x x 0 • 1 2 1 2 1 2 2 0 x x x x x x • 1 2 1 2 1 2 2 0 x x x x x x • 2 nghiệm cùng âm: 0;P 0;S 0 Hay gặp TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 11 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x trên a;b Bước 1: Tìm các điểm 1 2 , ,..., n x x x trên khoảng a;b , tại đó f x bằng 0 hoặc f x không xác định. Bước 2: Tính 1 2 , , , , ..., n f a f b f x f x f x . Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: ; max a b M f x , ; min a b m f x . Note: Khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 khoảng, hoặc các hàm phức tạp thì bước 3 nên thay bằng lập BBT của hàm số. SKILL SỬ DỤNG MTCT – CHỨC NĂNG TABLE MODE 7 (đối với FX 570 VN plus) hoặc MODE 8 (đối với FX 580 VN X) Bước 1: Nhập hàm số f X Bước 2: Nhập START = a, END = b, STEP 19 b a . Bước 3: Đọc giá trị cột F X và tìm GTNN, GTLN của hàm số trên a;b , đạt được tại các giá trị x tương ứng ở cột X. Nếu đề bài cho bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số, yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên một khoảng một đoạn nào đó, ta chú ý giá trị của hàm tại hai điểm đầu mút và tại các điểm cực trị. TAISACHONTHI.COM 12 Tuyensinh247.com ĐƯỜNG TIỆM CẬN Khái niệm Đường thẳng 0 y y được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị y f x nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 lim x f x y , 0 lim x f x y Đường thẳng 0 x x được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị y f x nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 lim x x f x , 0 lim x x f x Nên sử dụng máy tính cầm tay để tính giới hạn. Đường tiệm cận đứng của đồ thị là nghiệm của mẫu số không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử số (không triệt tiêu hết khác với trùng). Giải nhanh: Đồ thị hàm số ax b y ad bc cx d có tiệm cận ngang a y c và tiệm cận đứng d x c . TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 13 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Sự biến thiên: Xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm các điểm mà y 0 hoặc không xác định, xét dấu đạo hàm) Tìm cực trị. Tính các giới hạn tại vô cực, tìm các đường tiệm cận (nếu có). Lập BBT . Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất TAISACHONTHI.COM 14 Tuyensinh247.com Các dạng đồ thị hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d a 0 Các dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương 4 2 y ax bx c a 0 TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 15 Hàm số y f x có đồ thị C . Với số a 0 Hàm số y f x a có đồ thị C là tịnh tiến C theo phương của Oy lên trên a đơn vị. Hàm số y f x a có đồ thị C là tịnh tiến C theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị. Hàm số y f x a có đồ thị C là tịnh tiến C theo phương của Ox qua phải a đơn vị. Hàm số y f x có đồ thị C là đối xứng C qua Ox . Hàm số y f x a có đồ thị C là tịnh tiến C theo phương của Ox qua trái a đơn vị. Hàm số y f x có đồ thị C là đối xứng C qua Oy . TAISACHONTHI.COM 16 Tuyensinh247.com 1. Giao điểm của hai đồ thị Giả sử hàm số y f x có đồ thị là 1 C và hàm số y g x có đồ thị là 2 C . Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên giải phương trình f x g x. Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị. 2. Sự tiếp xúc của hai đường cong Giả sử hàm số y f x có đồ thị là 1 C và hàm số y g x có đồ thị là 2 C . Hai đường cong 1 C và 2 C tiếp xúc nhau hệ phương trình f x g x f x g x có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Tuyensinh247.com MỤC LỤC Hàm số 02 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit 19 Nguyên hàm, tích phân 29 Số phức 46 Khối đa diện 50 Các khối tròn xoay 57 Phương pháp tọa độ không gian 65 Cuốn sổ tay gồm 80 trang, tổng hợp lại đầy đủ dạng công thức quan trọng môn Toán lớp 12 TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Tìm khoảng đơn điệu hàm số y f x Bước 2: Giải phương trình f ' x tìm điểm f ' x không xác định Bước 3: Lập BBT hàm số f x ĐƠN ĐIỆU Bước 4: Kết luận khoảng đơn điệu hàm số Đơn điệu Tính đơn điệu chứa tham số Đơn điệu a; b Đơn điệu khoảng có độ dài L Đơn điệu - Đối với hàm đa thức bậc ba: Sử dụng tam thức bậc hai: y ' ax bx c a y ' x a ; y ' x b ac TAISACHONTHI.COM a b 4ac Tuyensinh247.com Đơn điệu khoảng có độ dài L Cho y f x; m ax bx cx d a y ' f ' x; m 3ax 2bx c có ' b2 3ac Bước 1: Tính y ' Bước 2: Biến đổi x1 x2 L Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch a biến: 1 ' x1 x2 L2 x1 x2 x1 x2 L2 Bước 3: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) phương trình theo m Vậy S P L2 2 Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) kết luận Mở rộng hướng giải Giả sử y ' f ' x; m Ax Bx C A B B , x2 2A 2A B B x1 x2 2A 2A 2A A Vậy x1 x2 x1 x2 L với x1 TAISACHONTHI.COM L L2 A A Tuyensinh247.com Đơn điệu a; b Phương pháp chung: - Tính y ' Để hàm số đồng biến (nghịch biến) a; b y ' x a; b ( y ' x a; b ) hữu hạn điểm - Cô lập m , đưa dạng: m g x x a; b m max g x , m g x x a; b m g x a ;b a ;b - Lập BBT hàm số g x a; b kết luận Riêng hàm y ax b cx d Lưu ý khơng lấy dấu Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax b ad bc y y ' cx d cx d Đồng biến nghịch biến khoảng ; Đồng biến nghịch biến khoảng xác định ad bc ad bc + TAISACHONTHI.COM ad bc ad bc d d d ; (tức ) c c c Tuyensinh247.com ax bx c Hàm y f x; m dx e Lưu ý: lấy dấu Công thức tính nhanh đạo hàm: y ' adx 2aex be cd dx e Hs đồng biến TXĐ y ' nghịch biến Hàm phân thức chứa lượng giác au x b ; y f x; m cu x d Cách 1: Tính đạo hàm trực tiếp u x sin x, cos x, tan x, cot x Dấu y ' phụ thuộc vào tích dấu f ' u u ' x y ' Chú ý đạo hàm hàm hợp: y ' f ' u u ' x VD: Tìm tất giá trị thực m để hàm m cos x số y nghịch biến ; cos x m 3 2 Cách 2: Đổi biến 1 + Đặt t cos x , với x ; t 0; 3 2 2 + Nếu t ' u ' x x ; yêu cầu toán trở thành + Ta có t ' x sin x x ; 3 2 + Nếu t ' u ' x x ; yêu cầu toán trở thành y mt 1 , t 0; 2t m 2 Bài tốn Tìm m để hàm số y f t 1 đồng biến 0; 2 Đặt t u x , với x ; t D t1 ; t2 tìm m để y f t đơn điệu chiều đề D tìm m để y f t đơn điệu ngược chiều đề D 2 m m2 f ' t 2 m m 2t m 1 m m 0;1 m TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com CỰC TRỊ Note: Chỉ cần y ' đổi dấu, không cần y ' Phương pháp tìm cực trị Tìm tập xác định cùa hàm số Tính y ' , giải phương trình y ' xác định điểm mà y ' không xác định Lập bảng xét dấu y ' xác định điểm cực trị điểm mà qua y ' đổi dấu CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG y ax bx c a HÀM ĐA THỨC BẬC BA y ax3 bx cx d a Đạo hàm: y ' 4ax3 2bx Đạo hàm: y ' 3ax 2bx c 2 Điều kiện để hàm số có cực trị: ab , có cực trị: ab Điều kiện để hàm số có cực trị: b 3ac Đường thẳng qua điểm cực trị: 2 b bc y c x d 3a 9a Hàm số có cực tiểu + cực đại: a 0, b Hàm số có cực tiểu + cực đại: a 0, b Hàm số có cực trị cực đại: a 0, b Hàm số có cực trị cực tiểu: a 0, b TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com Tìm số điểm cực trị thơng qua đạo hàm cho Tìm số điểm cực trị thơng qua đồ thị hàm số y f x Nếu thoả mãn pt f ' x nghiệm bội lẻ Quan sát điểm cực trị thoả mãn dấu hiệu: f ' x x x1 m x x2 n + m, n lẻ: x1 , x2 điểm cực trị + m, n chẵn : x1 , x2 không cực trị Đạo hàm y ' phải đổi dấu qua Tại điểm cực trị, y ' không xác định y phải xác định Hàm số thay đổi chiều hướng mũi tên qua Đồ thị hàm số “lồi lên lõm xuống” điểm cực trị Tìm số điểm cực trị thông qua đồ thị hàm số y f ' x Quan sát điểm cực trị thoả mãn dấu hiệu: Là giao điểm đồ thị f ' x với trục hoành Ox y f ' x đổi dấu qua điểm hay đồ thị f ' x nằm hai phía mặt phẳng bờ Ox Khơng tính điểm mà f ' x tiếp xúc Ox Tại điểm đồ thị hàm số từ miền âm lên dương điểm cực tiểu, từ miền dương xuống âm điểm cực đại TAISACHONTHI.COM Điều kiện cần đủ để x0 điểm cực f ' x0 tiểu hàm số y f x : f '' x0 Điều kiện cần đủ để x0 điểm cực đại f ' x0 hàm số y f x : f '' x0 Tuyensinh247.com Khi đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có điểm cực trị A, B, C Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân A Công thức thỏa mãn ab b3 8a Tam giác ABC b3 24a Tam giác ABC có diện tích S 32a S0 b5 Tam giác ABC có trọng tâm O b2 6ac Tam giác ABC có trực tâm O b3 8a 4ac Dữ kiện Tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp O Tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp O Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r Tam giác ABC có góc nhọn Cơng thức thỏa mãn ab b 8a 8abc b3 8a 4abc R r b2 b2 a 1 8a b 8a b3 Hàm đa thức bậc 3: y ax3 bx cx d a (hệ số a có chứa m ) CỰC TRỊ CHỨA m + Hàm số có cực trị a ' y ' + Hàm số có cực trị a b + Hàm số khơng có cực trị a ' y ' suy biến a b TAISACHONTHI.COM b3 8a 8ab Tuyensinh247.com CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM KHÁC Hàm phân thức bậc hai bậc y Hàm phân thức bậc bậc nhất: y ax bx c T x n với am 0, T mx n M x m Hàm số có điểm cực trị: a.T x0 Hàm số cực trị: a.T x0 ax bx c mx n 1) Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình: ax bx c ' 2ax b y m mx n ' Với y ax b khơng có cực trị cx d Chú ý: n am 0; T hàm số suy m biến khơng có cực trị 2a b x1 x2 m m 2a (3) yCD yCT y1 y2 x1 x2 m 2ax1 b 2ax2 b b 4ac (4) yCD yCT y1 y2 m m m2 (2) yCD yCT y1 y2 TAISACHONTHI.COM 10 Tuyensinh247.com Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện cho trước: Cho hàm số f x, m ax bx cx d a Bước 1: TXĐ: D R y ' 3ax 2bx c Ax Bx C Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu A a m D1 b 3ac ' y ' Bước 5: Kết luận m D1 D2 thoả mãn yêu cầu toán Hay gặp Bước 3: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm PT Khi đó, theo ĐL Vi-et: S x1 x2 B 2b C c ; P x1.x2 A 3a A 3a Bước 4: Biến đổi hệ thức đề dạng chứa S ; P Từ giải tìm m D2 Khi PT y ' có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: • x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Điều kiện để hai điểm cực trị lớn nhỏ x1 x2 2 • x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 • x1 x2 x1 x2 • nghiệm âm: 0; P 0; S TAISACHONTHI.COM 68 Tuyensinh247.com PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình tổng qt mặt phẳng • Phương trình mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nhận vectơ n A; B; C khác VTPT là: A x x0 B y y0 C z z0 Lưu ý Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : : x y z A a;0;0 Ox, B 0; b;0 Oy, C 0;0; c Oz ; abc a b c Đặc biệt: Oxy : z 0, Oyz : x 0, Oxz : y • Các trường hợp riêng: Xét phương trình mặt phẳng : Ax By Cz D với A2 B2 C : Nếu D mặt phẳng qua gốc tọa độ O Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng song song trùng với Oxy Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng song song chứa trục Ox Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng song song chứa trục Oy Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng song song chứa trục Oz Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng song song trùng với Oxz Nếu A 0, B 0, C mặt phẳng TAISACHONTHI.COM song song trùng với Oyz Tuyensinh247.com Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 || A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A1B1 A2 B2 A3 B3 cắt A1 B1 B1 C1 A1 C1 A2 B2 B2 C2 A2 C2 Khoảng cách từ điểm đến mặt mặt phẳng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng tính: d M ; Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Công thức giải nhanh: Với : Ax By Cz D : Ax By Cz D ' / / ta có: d ; D D' A2 B C Góc hai mặt phẳng : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 cos , cos n , n n n n n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 A2 B2 C2 TAISACHONTHI.COM 69 70 Tuyensinh247.com CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1: Viết PTMP qua điểm DẠNG 2: Viết PTMP qua ba điểm A, B, C không M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng cho thẳng hàng Phương pháp: trước • Tìm tọa độ vectơ: AB, AC Phương pháp: Cách Thực theo bước sau: • Vectơ pháp tuyến là: n AB, AC • VTPT n A; B; C • Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) • || nên VTPT mặt phẳng • Viết PTMP qua điểm có VTPT n n n A; B; C Đặc biệt: Với A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c abc ta có • PTMP : A x x0 B y y0 C z z0 x y z phương trình ABC theo đoạn chắn: a b c Cách • Mặt phẳng || nên phương trình có dạng: Ax By Cz D ' * , với D ' D • Vì qua điểm M x0 ; y0 ; z0 nên thay tọa độ M x0 ; y0 ; z0 vào * ta tìm D ' DẠNG 3: Viết PTMP song song với mặt phẳng DẠNG 4: Viết PTMP tiếp xúc với mặt cầu S : Ax By Cz D Nếu mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S M S cho trước cách điểm M khoảng k cho trước có PT: Ax By Cz D ' D ' D mặt phẳng qua điểm M có VTPT MI Sử dụng CT tính khoảng cách để tìm D’ TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 71 DẠNG 5: Viết PTMP qua điểm M vng góc DẠNG 6: Viết PTMP chứa đường thẳng , vng với đường thẳng góc với mặt phẳng Phương pháp: Phương pháp: • Tìm VTCP u • Tìm VTPT n • Vì nên có VTPT n u • Tìm VTCP u • Áp dụng cách viết PTMP qua điểm có • VTPT mặt phẳng là: n n ; u VTPT n • Lấy điểm M • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT DẠNG 7: Viết PTMP qua hai điểm A, B vng góc DẠNG 8: Viết PTMP chứa đường thẳng song song với ' ( , ' chéo nhau) với mặt phẳng Phương pháp: Phương pháp: • Tìm VTPT n • Tìm VTCP ' u u ' • VTPT mặt phẳng n u , u ' • Tìm tọa độ vecto AB • VTPT mặt phẳng là: n n , AB • Lấy điểm M • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua • Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT điểm có VTPT TAISACHONTHI.COM 72 Tuyensinh247.com DẠNG 9: Viết PTMP chứa đường thẳng điểm M Phương pháp: DẠNG 10: Viết PTMP chứa hai đường thẳng cắt ' Phương pháp: • Tìm VTCP u , lấy điểm N Tính • Tìm VTCP ' u u ' • VTPT mặt phẳng là: n u , u ' • Lấy điểm M MN • VTPT mặt phẳng là: n u , MN DẠNG 11: Viết PTMP chứa hai đường thẳng song song ' Phương pháp: DẠNG 12: Viết PTMP qua điểm M song song với hai đường thẳng ' chéo cho trước Phương pháp: • Tìm VTCP ' u u ' , lấy M , N ' • Tìm VTCP ' u u ' • VTPT mặt phẳng là: n u , u ' • VTPT mặt phẳng là: n u , MN DẠNG 13: Viết PTMP qua điểm M DẠNG 14: viết PTMP song song với mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng P , Q cho trước cách : Ax By Cz D khoảng k cho Phương pháp: trước Phương pháp: • Sử dụng cơng thức khoảng cách • Tìm VTPT P Q nP , nQ • VTPT mặt phẳng là: n nP , nQ d , d M , k để tìm D ' , M • Có thể sử dụng công thức giải nhanh D D' d , A B2 C TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com 73 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số x x0 at qua M x0 ; y0 ; z0 Đường thẳng d có phương trình tham số y y0 bt t VTCP u a; b; c z z ct Phương trình tắc qua M x0 ; y0 ; z0 x x0 y y0 z z0 Đường thẳng d có phương trình tắc abc a b c VTCP u a; b; c Dạng Đường thẳng qua điểm M song song với d Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt: + Nếu song song/ trùng với trục Ox u i 1;0;0 + Nếu song song/ trùng với trục Oy u j 0;1;0 Dạng Viết PTĐT qua điểm M vng góc với mặt phẳng Cách giải: Xác định vectơ phương u n , với n vectơ pháp tuyến + Nếu song song/ trùng với trục Oz u k 0;0;1 Các trường hợp khác có vectơ phương u ud , với ud vectơ phương d Quy ước: gọi u vtcp PTĐT: phương trình đường thẳng PTMP: phương trình mặt phẳng TAISACHONTHI.COM 74 Tuyensinh247.com Dạng Viết PTĐT qua điểm M vng góc với hai Dạng Viết PTĐT qua điểm M vng góc với đường thẳng d1 , d (hai đường thẳng không phương) đường thẳng d song song với mặt phẳng Cách giải: u u1 , u2 , với u1 , u2 vectơ Cách giải: u ud , n phương d1 , d Dạng Viết PTĐT qua điểm A song song với hai mặt phẳng , ; ( , hai mặt phẳng cắt nhau) Dạng Viết PTĐT giao tuyến hai mặt phẳng Cách giải: u n , n , với n , n vectơ pháp Cách giải: + Lấy điểm , cách cho ẩn tuyến , số tùy ý + Xác định vectơ phương u n , n , với n , n vectơ pháp tuyến , Dạng Viết PTĐT nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: u AB , với A d1 , B d Dạng Viết PTĐT đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải: AB d1 + Xác định A d1 , B d2 , cho AB d + Viết PTĐT qua hai điểm A, B Dạng Viết PTĐT qua điểm A , vng góc cắt d Cách giải: + Xác định B d nhờ AB ud + Viết PTĐT qua A, B Dạng 10 Viết PTĐT song song với đường thẳng d (hoặc qua điểm M ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: + Xác định A d1 , B d2 cho AB, ud phương (hoặc M , A, B thằng hàng MA kMB ) + Viết PTĐT qua điểm A có vectơ phương ud u TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com Dạng 11 Viết PTĐT qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng P Cách giải: Cách 1: + Dựng Q mặt phẳng chứa A d + có VTCP u nP , nQ Cách 2: + Xác định B d nhờ AB.nP + Viết phương trình đường thẳng qua A, B Cách 3: + Dựng Q qua A song song P + Tìm B d Q , viết PTĐT qua A, B 75 Dạng 12 Viết PTĐT vng góc với mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: Cách 1: + Dựng mp Q chứa d1 + d Q A + qua A có VTCP u nP Cách 2: + Xác định A d1 , B d2 cho AB, nP phương Khi ta có AB k nP dùng AB, nP + Viết PTĐT qua điểm A ud nP Dạng 13 Viết phương trình hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng Cách 1: Cách 2: Cách 3: + Lấy tìm hình chiếu A , B d + Tìm A d có + Viết PTMP chứa d vuông A, B gọi H , K + Lấy M d tìm hình chiếu M góc với gọi H + Viết PTĐT giao tuyến hai + Viết PTĐT qua H , K + Viết PTĐT qua A H mặt phẳng TAISACHONTHI.COM 76 Tuyensinh247.com VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp x x1 a1t x x2 a2t ' Cho hai đường thẳng d1 : y y1 b1t d : y y2 b2t ' z z c t z z c t ' 1` 2 d1 qua M x1 ; y1 ; z1 có VTCP u1 a1 ; b1 ; c1 Bước 1: Kiểm tra tính phương u1 u t , t ; d qua M x2 ; y2 ; z2 có VTCP u2 a2 ; b2 ; c2 Bước 2: Nhận xét + Nếu u1 u phương d1 / / d2 d1 d2 Bước + Nếu u1 u khơng phương d1 d2 d1 chéo d Bước Bước 3: Thay tọa độ điểm M1 vào d + Nếu M1 d2 d1 d2 + Nếu M1 d2 d1 / / d2 x1 a1t x2 a2t ' Bước 4: Giải hệ phương trình y1 b1t y2 b2t ' * z c t z c t ' 2 1 + Nếu (*) có nghiệm t ; t ' d1 d M TAISACHONTHI.COM + Nếu (*) vô nghiệm d1 d chéo Tuyensinh247.com Phương pháp nâng cao d1 d2 u1 , u2 M 1M đôi phương d1 / / d2 u , u cung phuong u1 , M1M khong cung phuong d1 d2 u , u khong cung phuong u1 , u2 , M1M dong phang d1 , d chéo u1 , u2 , M 1M khơng đồng phẳng VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp đại số TAISACHONTHI.COM u1 , u2 u1 , M 1M u1 , u2 u , M M 1 u1, u2 u1, u2 M1M u1 , u2 M 1M 77 78 Tuyensinh247.com x x0 at Cho đường thẳng d : y y0 bt t z z ct mặt phẳng P : Ax By Cz D x x0 at 1 y y0 bt Xét hệ phương trình z z0 ct 3 Ax By Cz D Nếu (*) có nghiệm t d P M : có giao điểm Thế (1), (2), (3) vào (4) giải phương trình ẩn t * Nếu (*) vô nghiệm d / / P : khơng có giao điểm Nếu (*) có vơ số nghiệm d P : có vơ số giao điểm n.u TH2: d P M P TH3: n.u d P Phương pháp hình học n.u TH1: d / / P M P Đặc biệt n ku d P TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com ❶ Hình chiếu điểm mặt phẳng Cho M x0 ; y0 ; z0 mặt phẳng P : Ax By Cz D Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M P Lập PTĐT d qua M vng góc với P PTTS: x x0 At y y0 Bt z z Ct Tọa độ H nghiệm hệ phương trình x x0 At 1 y y0 Bt z z0 Ct 3 Ax By Cz D H hình chiếu vng góc M P H d P ❷Hình chiếu điểm đường thẳng Cho điểm M xM ; yM ; zM x x0 at đường thẳng d : y y0 bt Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M d z z ct Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M d Ta có H d H x0 at ; y0 bt ; z0 ct Tính MH Cách 2: Dựng mp P qua M vng góc d có PTTQ P : a x xM b y y M c z z M Khi MH ud MH ud t ? H x; y; z TAISACHONTHI.COM 0 Khi H d P H x; y; z 79 80 Tuyensinh247.com GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN ① Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng d có VTCP u a; b; c đường thẳng d ' có VTCP u ' a '; b '; c ' Gọi góc hai đường thẳng đó: u.u ' cos u u' a.a ' b.b ' c.c ' 2 90 a b c a' b' c' 2 ② Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP u a; b; c mặt phẳng có VTPT n A; B; C Gọi góc đường thẳng d mặt phẳng , ta có: sin u.n u.n Aa Bb Cc A B2 C a b2 c 2 ③ Góc mặt phẳng: Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n mặt phẳng Q có vecto pháp tuyến n cos P ; Q cos n, n ④ Khoảng cách từ M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng: * Oxy z0 , Oyz x0 , Ozx y0 * P : Ax By Cz D là: d M ; P TAISACHONTHI.COM Ax0 By0 Cz0 A2 B C Tuyensinh247.com 81 ⑤ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cách 1: Tìm hình chiếu M Cách 2: Sử dụng công thức MM , u + Viết PTMP qua M vng góc d M ; (với M ) u với + Tìm tọa độ giao điểm H mặt phẳng Cách 3: Tìm khoảng cách MA ngắn với A Gọi A Ta tính MA2 f t m Suy d M ; MAmin m t ? d M ; MH ⑥ Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo qua M x1 ; y1 ; z1 , có VTCP u1 qua M x2 ; y2 ; z2 , có VTCP u * Chứng minh 1 , 2 chéo u1 , u2 , M 1M không đồng phẳng u1 , u2 M 1M * Khoảng cách d 1 ; MN độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng 1 , 2 * Tính khoảng cách 1 , 2 Cách 1: Tính độ dài đoạn vng góc chung MN u1 , u2 M1M Cách 2: d 1 , u1 , u2 TAISACHONTHI.COM Cách 3: Dựng mặt phẳng P chứa song song d 1 , d ; P d M ; P 82 Tuyensinh247.com “Giáo dục vũ khí mạnh để thay đổi giới.” Nelson Mandela TAISACHONTHI.COM ... 1 r mn , m, n , m n r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m Bài toán tăng trưởng dân số X m dân số năm m X n dân số năm n TAISACHONTHI.COM Tuyensinh247.com NGUYÊN HÀM Nguyên hàm... 3x 3x Đặt x t12 3x t ; 3x t ; 3x t x t12 dx 4t11dt t 11 L2 t dt t t t14 1 t14 4 dt 4 dt t 1 t 1 t13 t12 dt t 1 ... Tuyensinh247.com BÀI TOÁN THỰC TẾ Lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: Sn A nAr A 1 nr Các dạng toán lãi